.2新定義問題和閱讀理解型問題—中考數(shù)學重難點題型解讀·技巧點撥·訓練1．從n個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示，（，n、m為正整數(shù)）；例如：，，則（）A． B． C． D．【答案】C【知識點】定義新運算【解析】【解答】解：由題意可得：，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)所給的定義，計算求解即可。2．定義一種新運算：對于兩個非零實數(shù)，．若，則的值是．【答案】【知識點】代數(shù)式求值；定義新運算【解析】【解答】解：由題意得，

∴x-y=2，

∴，

故答案為：

【分析】先根據(jù)新定義運算即可求出x-y=2，再根據(jù)題意即可求解。3．定義一種新運算：，例如：，若，則（）A．-2 B． C．2 D．【答案】B【知識點】解分式方程【解析】【解答】解：由題意得：m-1-(5m)-1=-2

∴，

5-1=-10m

-10m=4

經(jīng)檢驗，是原分式方程的解故答案為：B.【分析】根據(jù)題意可得：m-1-(5m)-1=-2，根據(jù)任何數(shù)的-1次冪都等于它的倒數(shù)可得分式方程，解分式方程求得m檢驗即可.4．定義：若，則，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為，其滿足運算法則：．例如：因為，所以，亦即；．根據(jù)上述定義和運算法則，計算的結(jié)果為（）A．5 B．2 C．1 D．0【答案】C【知識點】定義新運算【解析】【解答】解：原式，，，，，故答案為：C．

【分析】根據(jù)題干中的定義及計算方法將數(shù)據(jù)代入計算即可。5．規(guī)定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx?cosy+cosx?siny．據(jù)此判斷下列等式成立的是寫出所有正確的序號①；②sin；③sin2x=2sinx?cosx；④sin(x-y)=sinx-siny．【答案】②③【知識點】求特殊角的三角函數(shù)值【解析】【解答】解：①，所以①錯誤；

②sin75°=sin(30°+45°)=sin30°·cos45°+cos30°·sin45°

，所以②正確；

③sin2x=sin(x+x)=sinx·cosx+cosx·sinx=2sin·cosx，所以③正確；

④sin(x-y)=sinx·cos(-y)+cosx·sin(-y)=sinx·cosy-cosx·siny，所以④錯誤.故答案為：②③.【分析】對于①，根據(jù)cos60°的值及cos(-x)=cosx可得cos(-60°)的值；

對于②，sin75°=sin(45°+30°)，結(jié)合sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny，可求sin75°的值；

對于③，sin2x=sin(x+x)并結(jié)合sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny即可得到答案；

對于④，sin(x-y)=sin[x+(-y)]結(jié)合sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny得sin(x-y)=sinx·cos(-y)+cosxsin(

y)，再根據(jù)sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx整理可得結(jié)果.6．數(shù)經(jīng)歷了從自然數(shù)到有理數(shù)，到實數(shù)，再到復數(shù)的發(fā)展過程，數(shù)學中把形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復數(shù)，用z＝a+bi表示，任何一個復數(shù)z＝a+bi在平面直角坐標系中都可以用有序數(shù)對Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示為Z（1，2），則z＝2﹣i可表示為（）A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）【答案】B【知識點】有序數(shù)對【解析】【解答】解：由題意，得z＝2?i可表示為Z（2，?1）.故答案為：B.【分析】由題意可得：任何一個復數(shù)z＝a+bi在平面直角坐標系中都可以用有序數(shù)對Z（a，b）表示，據(jù)此解答.7．在平面直角坐標系中，將橫縱坐標相等的點稱為“好點”，下列函數(shù)圖象中不存在“好點”的是（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征【解析】【解答】解：A.y=2x，當x=y時，x=2x，解得x=0，此時y=0，因此存在“好點”(0，0)；

B.y=x+2，當x=y時，x=x+2，方程無解，因此不存在“好點”；

C.，當x=y時，，解得x=±1，此時y=±1，因此存在“好點”(1，1)和(-1，-1)；

D.y=x2-2x，當x=y時，x=x2-2x，解得x=0或x=3，此時y=0或y=3，因此存在“好點”(0，0)和(3，3).故答案為：B.【分析】通過代入x=y到函數(shù)解析式中，判斷方程是否有解來確定函數(shù)圖象中是否存在“好點”.8．定義：等腰三角形底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．例如，在中，，頂角A的正對．當時，．（結(jié)果保留根號）【答案】【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；黃金分割【解析】【解答】解：在線段AC上取一點D，使得BD=BC，如圖所示：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD=BC，

∴∠BDC=∠C=72°

∴∠BDC=∠ABC，

又∵∠BCD=∠ACB，

∴△BDC∽△ABC，

∴CD：BC=BC：AC，

∵∠A=36°，∠BDC=72°，

∴∠ABD=36°，

∴∠A=∠ABD，

∴AD=BD，

設(shè)BC=x，

則CD：x=x：(x+CD)，

解得，

∴，

∴，

即

故答案為：.【分析】通過等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)或黃金分割比來求解頂角為36°時的正對值.9．定義：對于一個函數(shù)，當自變量x取a時，函數(shù)y的值也等于a，則稱a是這個函數(shù)的不動值．已知二次函數(shù)．（1）若﹣2是此函數(shù)的不動值，則m的值為；（2）若此函數(shù)有兩個不動值a、b，且，則m的取值范圍是．【答案】（1）-6（2）m<2【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）；二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應用【解析】【解答】解：(1)由題意得函數(shù)經(jīng)過(-2，-2)，

將(-2，-2)代入y=x2-2x+m得-2=4+4+m，

解得m=-6，

故答案為：-6.

(2)由題意得拋物線與直線y=x有2個交點，

∴a，b為x2-2x+m=x的兩個解，且a<2<b，

整理得x2-3x+m=0，

∴a+b=3，ab=m，

∵(a-2)(b-2)<0，

∴ab-2(a+b)+4<0，

∴m-2<0，

∴m<2.

故答案為：m<2.

【分析】(1)將(-2，-2)代入解析式求解；

(2)令x2-2x+m=x，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=3，ab=m，再由(a-2)(b-2)<0求解.10．將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【知識點】公式法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵，∴，，∴=====，∵，且，∴，∴原式=，故答案為：C.【分析】先求得，代入即可得出答案.11．在平面直角坐標系中，對任意兩點與的識別距離，給出如下定義：若，則點與的識別距離是；若，則點與的識別距離是（1）如圖1，已知點，點B是y軸上一個動點．①若點A與點B的識別距離為2，則點B的坐標是；②直接寫出點A與點B的識別距離的最小值是；（2）如圖2，已知點，點D是一次函數(shù)圖象上一個動點．求點C與點D的識別距離的最小值及相應的點D的坐標；（3）如圖3，已知點，點T是一次函數(shù)圖象上的一個動點，以T為圓心，長為半徑作，設(shè)F是上任意一個動點，若點E與點F的“識別距離”L滿足，直接寫出點T的橫坐標的取值范圍．【答案】（1）(0，2)或(0，-2)；1（2）解：如圖，過點C作平行于x軸的直線，與過點D作平行于y軸的直線交于H，

根據(jù)定義“若，則點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的識別距離是|x1-x2|”，當取點C與點D的“識別距離”的最小值時，則|x1-x2|=|y1-y2|，即CH=DH，

設(shè)，

則，

解得：，或x=8，

當x=8時，點C與點D的“識別距離”為8，

當時，點C與點D的“識別距離”為，

∴此時點C與點D的“識別距離”的最小值是，

∴（3）解：∵點E與點F的“識別距離”L滿足4≤L≤8，

∴滿足條件的F位于一、三象限，

當F在第三象限時，⊙T位于直線x=-4和直線x=-8之間，如圖3(1)，

此時，

∴L=|xF-xE|=|xF|，

∴-8≤xF≤-4，

∴；

當F在第一象限時，⊙T位于切線直線y=6和直線y=10之間，如圖3(2)，

此時，|xF-xE|<|yF-yE|，

∴L=|yF-yE|=|yF-2|，

∴4≤yF-2≤8，即6≤yF≤10，

當L=4或L=8時，直線y=6和y=10均為切線，

∵直線PT為y=x+4，

∴△PNT、△PMT均為等腰直角三角形，

∴，，

∴【知識點】切線的性質(zhì)；一次函數(shù)中的動態(tài)幾何問題；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征12．在平面直角坐標系中，點到直線的距離公式為：，例如，求點到直線的距離．解：由直線知：，，所以到直線的距離為：根據(jù)以上材料，解決下列問題：（1）求點到直線的距離．（2）已知：是以點為圓心，1為半徑的圓，與直線相切，求實數(shù)的值；（3）如圖，設(shè)點為問題2中上的任意一點，點，為直線上的兩點，且，請求出面積的最大值和最小值．【答案】（1）解：點P(1，-1)到直線3x-4y-5=0的距離

（2）解：∵⊙C與直線相切，⊙C的半徑為1，

∴C(2，1)到直線3x+4y-4b=0的距離d=1，

∴，

解得或（3）解：由(2)知，⊙C的半徑為1，

∵點C(2，1)到直線3x+4y+5=0的距離

，

∴⊙C上點P到直線3x+4y+5=0的距離的最大值為3+1=4，最小值為3-1=2，

∴，【知識點】直線與圓的位置關(guān)系；一次函數(shù)的其他應用【解析】【分析】(1)直接利用距離公式代入計算即可得到答案；

(2)把直線整理，得3x+4y-8b=0，利用公式列方程求解即可；

(3)先求圓心C(2，1)到直線AB的距離，判斷出P到AB的最大距離與最短距離可得答案.13．閱讀下面的材料：如果函數(shù)y＝f（x）滿足：對于自變量x取值范圍內(nèi)的任意x1，x2，①若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱f（x）是增函數(shù)；②若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），則稱f（x）是減函數(shù)．例題：證明函數(shù)f（x）＝x2（x＞0）是增函數(shù)．證明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．則f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．∴函數(shù)f（x）＝x2（x＞0）是增函數(shù)．根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）函數(shù)f（x）（x＞0），f（1）1，f（2），f（3）＝，f（4）＝；（2）猜想f（x）（x＞0）是▲函數(shù)（填“增”或“減”），并證明你的猜想．【答案】（1）；（2）減【知識點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征【解析】【解答】解：(1)，，

故答案為：，.

(2)猜想：(x>0)是減函數(shù)，

證明：任取x1<x2，x1>0，x2>0，

則，

∵x1<x2且x1>0，x2>0，

∴x2-x1>0，x1x2>0，

∴，即f(x1)-f(x2)>0，

∴函數(shù)(x>0)是減函數(shù)，

故答案為：減.

【分析】(1)根據(jù)題目中函數(shù)解析式可以解答本題；

(2)根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明猜想成立.14．閱讀材料：在處理分數(shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數(shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與一個真分數(shù)（真分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分數(shù)變形帶分數(shù)的方法進行．如：a﹣1，這樣，分式就拆分成一個分式與一個整式a﹣1的和的形式，下列說法正確的有（）個．①若x為整數(shù)，為負整數(shù)，則x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一個整式與一個真分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11（整式部分對應等于5m﹣11，真分式部分對應等于），則m2+n2+mn的最小值為27．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【知識點】分式的加減法；二次函數(shù)的最值【解析】【解答】解：①∵為負整數(shù)，∴為負整數(shù)，

∴=﹣2或﹣1(舍)，∴x=﹣3.故①的結(jié)論正確；

②，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，故②的結(jié)論正確；

③，∵分式可拆分成5m﹣11，

∴，，

整理得：m＝x＋2，n＝4?x．

∴m2＋n2＋mn

＝(x+2)2+(4－x)2+(x+2)(4－x)

=x2+4x+4+16－8x+x2+4x－x2+8－2x

＝x2?2x＋28

＝(x?1)2＋27≥27，

∴m2＋n2＋mn有最小值為27，故③的結(jié)論正確.

故正確選項有3個.

故答案為：D．【分析】利用題干中的方法對分子進行拆分，從而得到一個整式與一個真分式的和（差）的形式，即可判斷說法①；將拆分成的形式，先結(jié)合平方的非負性確定的取值范圍，再取得的取值范圍即可判斷說法②；將拆分成的性質(zhì)，再結(jié)合等式的恒等性可表示出m和n，最后代入③m2+n2+mn并利用二次函數(shù)的性質(zhì)和最值即可判斷得到結(jié)論并判斷說法③.15．閱讀理解：在正方形網(wǎng)格中，格線與格線的交點稱為“格點”，各頂點都在格點上的多邊形稱為“格點多邊形”.設(shè)小正方形的邊長均為1，則“格點多邊形”的面積S可用公式計算，其中a是多邊形內(nèi)部的“格點”數(shù)，b是多邊形邊界上的“格點”數(shù)，這個公式稱為“皮克定理”.如圖所示的的正方形網(wǎng)格，，，圖中格點多邊形的面積是21.問題解決：已知一個格點多邊形的面積S為19，且邊界上的點數(shù)b是內(nèi)部點數(shù)a的3倍，則.【答案】32【知識點】二元一次方程組的應用-幾何問題【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得，解得，.故答案為：32.【分析】將S=19代入可得a+b-1=19，根據(jù)邊界上的點數(shù)b是內(nèi)部點數(shù)a的3倍可得b=3a，聯(lián)立求出a、b的值，進而可得a+b的值.16．請閱讀下列材料，并完成相應的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀時的希臘數(shù)學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：設(shè)，，依次是的三邊，，或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線交的邊于點，交邊于點，交邊的延長線與點．過點作交于點，則，（依據(jù)），∴，∴，即．情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長線于點，，．…（1）情況①中的依據(jù)指：；（2）請你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；（3）如圖3，，分別是的邊，上的點，且，連接并延長，交的延長線于點，那么【答案】（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例（2）證明：過點C作CG//DF交AB的延長線于點G，

則，，

∴，

∴BF·AD·EC=BD·AE·FC，

即（3）25：16【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例【解析】【解答】解：(1)情況①中的依據(jù)是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

故答案為：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

(3)如圖3中，，

AD：DB=CE：EA=4：5，

∴BF：CF=25：16.

故答案為：25：16.

【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例定理解決問題即可；

(2)如圖2中，過點C作CG//DF交AB的延長線于點G，模仿情況①的方法解決問題即可；

(3)利用結(jié)論解決問題即可.17．閱讀與應用：同學們，你們已經(jīng)知道()2，即2b2所以2b2當且僅當時取等號．閱讀：若、為實數(shù)，且，，，，當且僅當時取等號．閱讀：若函數(shù)為常數(shù)由閱讀結(jié)論可知：，即當即，時，函數(shù)的最小值為．閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問題：（1）問題：已知一個矩形的面積為，其中一邊長為，則另一邊長為，周長為，當時，矩形周長的最小值為．（2）問題：若函數(shù)，則時，函數(shù)的最小值為．（3）問題3：建造一個容積為立方米，深米的長方體無蓋水池，池底和池壁的造價分別為每平方米元和元，設(shè)池長為米，水池總造價為元，求當為多少時，水池總造價最低？最低是多少？【答案】（1）2；8（2）4；7（3）解：∵根據(jù)題意得長方體的寬為米，

∴，

∵，

∴當，即x=-2(不合題意舍去)，x=2時，函數(shù)的最小值為1760，

∴當x=2時，水池總造價y最低，最低為1760元.答：當x=2時，水池總造價y最低，最低為1760元.【知識點】二次根式的應用；反比例函數(shù)的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)【解析】【解答】解：(1)問題1：∵

∴，

∴當，即x=-2(不合題意舍去)，x=2時，函數(shù)有最小值8，

當x=2，矩形周長的最小值為8，

故答案為：2，8.

(2)問題2：∵(a>1)，

∴(a>1)，

∴由閱讀2結(jié)論可知，，即.

∴當即(a-1)2=9，

∴a-1=3，a-1=-3(不合題意舍去)，

∴當a=4時，函數(shù)(a>1)的最小值為7，

故答案為：4，7.

【分析】(1)問題1：根據(jù)矩形的性質(zhì)和閱讀材料內(nèi)容進行計算即可求解；

(2)問題2：先將代數(shù)式變形，再根據(jù)閱讀內(nèi)容即可求解；

(3)問題3：根據(jù)立方體的體積公式和已知條件表示出長方體的寬，運用閱讀內(nèi)容即可求解.18．【閱讀材料】數(shù)列是一個古老的數(shù)學課題，我國對數(shù)列概念的認識很早，例如《易傳·系辭》：“河出圖，洛出書，圣人則之；兩儀生四象，四象生八卦”．這是世界數(shù)學史上有關(guān)等比數(shù)列的最早文字記載．【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為，排在第