廣東省培正中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動(dòng)，若采用下面的方法選取：先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為2．已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是()A． B． C． D．以上都不正確3．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A．B．C．D．4．已知雙曲線(xiàn)x2a2-yA．x212-y285．對(duì)于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（i1，i1，…，in）（n是不小于1的正整數(shù)），如果在p＜q時(shí)有ip＜iq，則稱(chēng)“ip與iq”是該數(shù)組的一個(gè)“順序”，一個(gè)數(shù)組中所有“順序”的個(gè)數(shù)稱(chēng)為此數(shù)組的“順序數(shù)”．例如，數(shù)組（1，4，3，1）中有順序“1，4”、“1，3”，其“順序數(shù)”等于1．若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a1，a3，a4，a5）的“順序數(shù)”是4，則（a5，a4，a3，a1，a1）的“順序數(shù)”是（）A．7 B．6 C．5 D．46．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則()A． B．e C． D．18．若隨機(jī)變量，且，則等于（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則“”是“曲線(xiàn)存在垂直于直線(xiàn)的切線(xiàn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知變量之間的線(xiàn)性回歸方程為，且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)11．某快遞公司共有人，從周一到周日的七天中，每天安排一人送貨，每人至少送貨天，其不同的排法共有（）種.A． B． C． D．12．為客觀(guān)了解上海市民家庭存書(shū)量，上海市統(tǒng)計(jì)局社情民意調(diào)查中心通過(guò)電話(huà)調(diào)查系統(tǒng)開(kāi)展專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查，成功訪(fǎng)問(wèn)了位市民，在這項(xiàng)調(diào)查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是B．總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是C．總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民，樣本的容量是D．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民，樣本的容量是二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________.14．將一邊長(zhǎng)為的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋的方盒，當(dāng)?shù)扔赺_________時(shí)，方盒的容積最大．15．在上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則事件“直線(xiàn)與圓相交”發(fā)生的概率為_(kāi)_________．16．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且.（I）求直線(xiàn)的方程；（II）已知過(guò)右焦點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，是否存在軸上一定點(diǎn)，使？（為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由.18．（12分）某工廠(chǎng)的某車(chē)間共有位工人，其中的人愛(ài)好運(yùn)動(dòng)。經(jīng)體檢調(diào)查，這位工人的健康指數(shù)（百分制）如下莖葉圖所示。體檢評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)指出：健康指數(shù)不低于者為“身體狀況好”，健康指數(shù)低于者為“身體狀況一般”。（1）根據(jù)以上資料完成下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“身體狀況好與愛(ài)好運(yùn)動(dòng)有關(guān)系”？身體狀況好身體狀況一般總計(jì)愛(ài)好運(yùn)動(dòng)不愛(ài)好運(yùn)動(dòng)總計(jì)（2）現(xiàn)將位工人的健康指數(shù)分為如下組：，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示。計(jì)算該車(chē)間中工人的健康指數(shù)的平均數(shù)，由莖葉圖得到真實(shí)值記為，由頻率分布直方圖得到估計(jì)值記為，求與的誤差值；（3）以該車(chē)間的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該廠(chǎng)的總體數(shù)據(jù)，若從該廠(chǎng)健康指數(shù)不低于者中任選人，設(shè)表示愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。附：。19．（12分）質(zhì)檢部門(mén)對(duì)某工廠(chǎng)甲、乙兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的12個(gè)零件質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)．甲、乙兩個(gè)車(chē)間的零件質(zhì)量（單位：克）分布的莖葉圖如圖所示．零件質(zhì)量不超過(guò)20克的為合格．（1）質(zhì)檢部門(mén)從甲車(chē)間8個(gè)零件中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢測(cè)，若至少2件合格，檢測(cè)即可通過(guò)，若至少3件合格，檢測(cè)即為良好，求甲車(chē)間在這次檢測(cè)通過(guò)的條件下，獲得檢測(cè)良好的概率；（2）若從甲、乙兩車(chē)間12個(gè)零件中隨機(jī)抽取2個(gè)零件，用X表示乙車(chē)間的零件個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知．（I）求；（II）當(dāng)，求在上的最值．21．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，，是中點(diǎn)，求的長(zhǎng).22．（10分）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知．證明：；若的面積，且的周長(zhǎng)為10，為的中點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個(gè)人入選的概率.【詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，則要先剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再分組，在剔除過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等，所以，每個(gè)個(gè)體被抽到包括兩個(gè)過(guò)程，一是不被剔除，二是選中，這兩個(gè)過(guò)程是相互獨(dú)立的，因此，每個(gè)人入選的概率為.故選：D.本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】令，則當(dāng)時(shí)：，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；不等式在上的解集為，同理，不等式在上的解集為，綜上可得：不等式的解集是.3、B【解析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，若，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，所以，故選B.4、D【解析】試題分析：因?yàn)殡p曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，所以ca考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的性質(zhì)．5、B【解析】

根據(jù)題意，找出一個(gè)各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a1，a3，a4，a5）的“順序數(shù)”是4的數(shù)組，再根據(jù)此條件判斷出（a5，a4，a3，a1，a1）的“順序數(shù)”．【詳解】根據(jù)題意，各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a1，a3，a4，a5）的“順序數(shù)”是4，假設(shè)a1＜a1，a1＜a3，a1＜a4，a1＜a5，且后一項(xiàng)都比前一項(xiàng)小，因此可以判斷出a1＞a3，a3＞a4，a4＞a5，則（a5，a4，a3，a1，a1）的“順序數(shù)”是6，故選：B．本題主要考查歸納推理、不等式的性質(zhì)，考查了學(xué)生的理解能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．6、C【解析】f′(x)＝，則f′(1)＝1，故函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，－2)處的切線(xiàn)方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故選C7、C【解析】

先求導(dǎo)，再計(jì)算出，再求.【詳解】由題得，所以.故選：C.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和基本的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得出，由此可得出結(jié)果.【詳解】由于，則正態(tài)密度曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，故選A.本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計(jì)算，解題時(shí)要確定正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)性列等式計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9、B【解析】

先根據(jù)“曲線(xiàn)存在垂直于直線(xiàn)的切線(xiàn)”求的范圍，再利用充要條件的定義判斷充要性.【詳解】由題得切線(xiàn)的斜率為2，所以因?yàn)?所以“”是“曲線(xiàn)存在垂直于直線(xiàn)的切線(xiàn)”的必要不充分條件.故答案為B10、C【解析】分析：根據(jù)線(xiàn)性回歸方程的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可．詳解：對(duì)于A(yíng)：根據(jù)b的正負(fù)即可判斷正負(fù)相關(guān)關(guān)系．線(xiàn)性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負(fù)相關(guān)．對(duì)于B：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：=1．可得=2．即，解得：m=3．對(duì)于C：相關(guān)系數(shù)和斜率不是一回事，只有當(dāng)樣本點(diǎn)都落在直線(xiàn)上是才滿(mǎn)足兩者相等，這個(gè)題目顯然不滿(mǎn)足，故不正確.對(duì)于D：由線(xiàn)性回歸方程一定過(guò)（，），即（1，2）．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了線(xiàn)性回歸方程的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿(mǎn)足回歸方程，再者計(jì)算精準(zhǔn)，正確理解題意，應(yīng)用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).11、C【解析】分析：把天分成天組，然后人各選一組值班即可.詳解：天分成天，天，天組，人各選一組值班，共有種，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查分組與分配問(wèn)題問(wèn)題，著重考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)總體、樣本及樣本的容量的概念，得到答案.【詳解】根據(jù)題目可知，總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是故選B項(xiàng).本題考查總體、樣本及樣本的容量的概念，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據(jù)題干描述畫(huà)出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，將代入中，解得：，，由拋物線(xiàn)方程可得：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：此題考查拋物線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，得到拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.14、【解析】

先求出方盒容積的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)單調(diào)性求最大值.【詳解】方盒的容積為：當(dāng)時(shí)函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞增故答案為本題考查了函數(shù)的最大值的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.15、【解析】試題分析：直線(xiàn)y=kx與圓相交,需要滿(mǎn)足圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓位置關(guān)系；幾何概型【名師點(diǎn)睛】本題是高考?？贾R(shí)內(nèi)容，考查幾何概型概率的計(jì)算.本題綜合性較強(qiáng)，具有“無(wú)圖考圖”的顯著特點(diǎn)，涉及點(diǎn)到直線(xiàn)距離的計(jì)算.本題能較好地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及基本計(jì)算能力等.16、【解析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求得的系數(shù)，進(jìn)而得到的值，然后再根據(jù)微積分基本定理求解即可．詳解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得的系數(shù)為，由題意得，解得．∴．點(diǎn)睛：解答有關(guān)二項(xiàng)式問(wèn)題的關(guān)鍵是正確得到展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后根據(jù)題目要求求解．定積分計(jì)算的關(guān)鍵是確定被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分基本定理求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）【解析】

（I）解法一：直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．（II）II）設(shè)l2的方程為與橢圓聯(lián)立：．假設(shè)存在點(diǎn)T（t，0）符合要求，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【詳解】解：（I）設(shè)的方程為與橢圓聯(lián)立得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故恒成立，設(shè)，則，，解得，的方程為或；解2：由焦半徑公式有，解得.（II）設(shè)的方程為與橢圓聯(lián)立：，由于過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，假設(shè)存在點(diǎn)符合要求，設(shè)，韋達(dá)定理：，點(diǎn)在直線(xiàn)上有，即，，解得.解決解析幾何中探索性問(wèn)題的方法存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”．其步驟為：假設(shè)滿(mǎn)足條件的元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))不存在．18、（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析；有的把握認(rèn)為“身體狀況好與愛(ài)好運(yùn)動(dòng)有關(guān)系”；（2）誤差值為；（3）數(shù)學(xué)期望【解析】

（1）根據(jù)莖葉圖補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算可得，從而得到結(jié)論；（2）利用平均數(shù)公式求得真實(shí)值；利用頻率直方圖估計(jì)平均數(shù)的方法求得估計(jì)值，作差得到結(jié)果；（3）可知，利用二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由莖葉圖可得列聯(lián)表如下：身體狀況好身體狀況一般總計(jì)愛(ài)好運(yùn)動(dòng)不愛(ài)好運(yùn)動(dòng)總計(jì)有的把握認(rèn)為“身體狀況好與愛(ài)好運(yùn)動(dòng)有關(guān)系”（2）由莖葉圖可得：真實(shí)值由直方圖得：估計(jì)值誤差值為：（3）從該廠(chǎng)健康指數(shù)不低于的員工中任選人，愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的概率為：則數(shù)學(xué)期望本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、莖葉圖和頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)、二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，涉及到卡方的計(jì)算、利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的判定等知識(shí)，屬于中檔題.19、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）設(shè)事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測(cè)通過(guò)”；事件表示“檢測(cè)良好”.通過(guò)，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．

（2）由題意知，的所有可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．詳解：（1）設(shè)事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測(cè)通過(guò)”；事件表示“檢測(cè)良好”.∴∴.故所求概率為.（2）可能取值為分布列為所以，.點(diǎn)睛：本題考查條件概率的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法