專題1.1等腰三角形的判定與性質(zhì)【十大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【翅型1根據(jù)等邊對等角求角度】...............................................................1

【題型2根據(jù)等邊對等角證明】.................................................................6

【題型3根據(jù)三線合一求解】...................................................................11

【題型4根據(jù)三線合一證明】...................................................................16

【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】...........................................22

【題型6根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形】......................................................26

【題型7根據(jù)等角對等邊證明速相等】..........................................................34

【題型8根據(jù)等角對等邊求邊長】..............................................................40

【題型9求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】...........................................44

【題型10等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】..................................................49

，舉一反三

【知識點(diǎn)等腰三角形】

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性質(zhì)

①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對等角“：②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高

線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45。.

（3）等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（即“等角對等邊“）.

【題型1根據(jù)等邊對等角求角度】

【例1】（2023春?江蘇無錫?八年級校聯(lián)考期末）如圖,在ZMBC中，AC=BC,以點(diǎn)5為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40。得到△48U,點(diǎn)4恰好落在4C_L,連接CC，，貝此/lCC，度數(shù)為（）

A.110°B.105°C.100°D.95°

【答案】A

【分析】由旋轉(zhuǎn)知乙484=乙CBC'=40。，BA=BAr,BC=BC,由等邊對等角及三角形內(nèi)角和定理可求

乙B44=70°,Z.BCC=70°,Z.CAB=Z.CBA=70°,Z-ACB=40°,從而求得/ACC'=Z-ACB+乙BCC=

110°.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)知，AABA1=Z.CBC=40°,BA=BA',BC=BCr,

：./.BAAr=^BArA,乙BCC'=乙BC'C,

：.ABAA,=g(180?！?/184')=70°,Z.BCC=1(180°-zCFCz)=70°,

中，AC=BC

：,LCAB=LCBA=70°,

：.LACB=180°-LCAB-Z.CBA=40°,

：,LACC=Z.ACB+乙BCC=40c+70°=110°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，由定理得到角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2023春?廣東梅州?八年級校考期末)在中，AB=AC,80是4c邊上的高，LABD=50°,

則/C的度數(shù)為.

【答案】70?；?0。

【分析】①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時(shí)：/847=90。一44?。=40。，②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時(shí)：

乙8.4C=90。+50°=140%再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時(shí)：^BAC=90°-/.ABD=40°,

'：AB=AC,

：.LABC=ZC=1(180°-40°)=70°；

②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時(shí):

*：z.ABD=50°,40=90。，

：.LBAC=90°+50°=140°,

*：AB=AC,

：.LC=Zi4BC=1（180°-140°）=20°.

故答案為:70?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論是解本題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023春?四川達(dá)州?八年級?？计谥校┤鐖D，在第1個(gè)△48C中，△8=30。AlB=CB,在邊為S

上任取一點(diǎn)延長。占到",使44=4。，得到第2個(gè)△44。；在邊色。上任取一點(diǎn)E，延長44到

AH使424=42E得到第3個(gè)△&&￡；……按此做法繼續(xù)下去，則第〃個(gè)三角形中以41為頂點(diǎn)的內(nèi)角度

數(shù)是（）

C.（曠、5。D.()85。

【答案】C

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NB&C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求

出4￡43力2及立凡解久的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第九個(gè)三角形中以4為頂點(diǎn)的底角度數(shù).

【詳解】解：???在中，/-B=30°,A1B=CB,

18O0-Z6180°-30°

,/B41c=ZC=2275°,

4是△a&D的外角，

-A1A2=A1D,

:.￡DA2A1=，x75。；

2

同理可得"/久=(1)X75°,Z.FA^A3=C)3x75°,

??.第九個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是G)"TX75。.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出4口424，4￡4342及4凡心人3的

度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2023春?海南?？?八年級?？计谥?如圖，△A8C中，乙18。二4力。氏點(diǎn)力在8C所在的宜線

上，點(diǎn)E在射線4c上，且乙AOE=41E。，連接OE.

(1)如圖①，乙B=4C=36°,/-BAD=72°,求NCDE的度數(shù).

(2)如圖②，若乙4BC==65。，^CDE=20°,求NB4D的度數(shù).

⑶當(dāng)點(diǎn)。在直線BC上運(yùn)動時(shí)(不與點(diǎn)8、C重合)，試探究N8/W與"DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)36。

(2)40°

(3)2zCDE=乙BAD

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到±8力C=108。，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到乙￡=65。-20。=45。，于是得到結(jié)論；

(3)設(shè)N4BC=Z-ACB=y0,Z.ADE=Z.AED=x°,ADE=a,LBAD=0①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，

乙4DC=x°-a②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，乙4DC=x°+a③如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè)時(shí),LADC=X°-

a,根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：???"="?=36。，

:.Z.BAC=108°,

???/BAD=72。，

：?/.DAE=36°,

???/.ADE=Z.AED=72°,

:?乙CDE=180°-36°-36°-72°=36°；

(2)???乙4cB=65°,“DE=20°,

???zE=65°-20°=45°,

???LADE=Z.AED=45°,

:.Z.ADC=25°,

vZ.ABC=^ADB+乙DAB=65°,

:.Z.BAD=40°；

(3)設(shè)4/IBC=Z.ACB=y0,Z.ADE=Z.AED=x°,4COE=a,乙BAD=p

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，^ADC=x0-a,

fy°=x°+a

ly°=x°—a+'

解得，2a—0=0,

:.2a=0；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段3C上時(shí)，^.ADC=x0+a,

圖2

(x°+a=y°+p

(x°=y°+a'

:.2a=0,

2a=0；

③如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，￡ADC=x0-a,

A

.(x°-a+y°+p=180°

A(x°+y°+a=180°'

解得，2a-0=0,

:.2a=p.

綜.上所述，484。與iCOE的數(shù)量關(guān)系是24coE=乙BAD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的

關(guān)鍵.

【題型2根據(jù)等邊對等角證明】

【例2】(2023春?湖南?八年級期末)如圖，在中，N/1=45。，點(diǎn)。在4B邊上，BC=CD,DELAC,

BFLAC,垂足分別為E,F.

(1)求證ADCE三2CBF；

(2)若力8=AC,求證

【答案】(I)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)先證明乙F8C=4DCE,再根據(jù)44s可證ADCK三AC8F：

(2)過點(diǎn)C作C"1BZ)于點(diǎn)H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得Z8CH=乙DCH,BH=DH,再證明乙4:。=乙DCH,

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DE=。，，進(jìn)一步即可得證.

【詳解】(1)證明：-DELAC.BFLAC,

:./DEC=Z.CFB=90°,^BFA=90°,

vLA=45°,

???Z.ABF=45°,

???BC=CD,

???Z.DBC=Z.BDC,

vZ.DBC=乙ABF+Z.FBC,乙BDC=Z.A+乙DCE,

Z.FBC=Z.DCE,

在ADCE和ACBF中,

(乙DEC=乙CFB

1/.ECD=Z.FBC,

(BC=CD

DCE=△CZ?F(AAS)；

(2)證明：過點(diǎn)C作C”IB。于點(diǎn)”，如圖所示：

B

Z.BCH=￡DCH,BH=DH,

-AB=AC,

???/.ABC=Z-ACB,

vZ.FBC=乙DCE,

:./BCD=乙ABF=45°,

Z.DCH=22.5°,4BDC=(180°-45°)+2=67.5°,

Z.ACD=67.5°-45°=22.5°,

???Z.ACD=乙DCH,

???DELAC,CH1BD,

：?DE=DH,

DE=-DB.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023春?甘肅張掖?八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，48=AC,作AD1交8c的延長線

于點(diǎn)D,作4EII8D,CELAC,W.AE,CE相交于點(diǎn)E,求證：AD=CE.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)等邊對等角可得/力8匚=乙478,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙氏4。=乙478,推得"8C="4C,

根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明.

【詳解】證明：，：AB=AC,

：.LABC=乙ACB,

\'AE\\BD,

：,LEAC=Z.ACB,

：,LABC=乙EAC,

*：AD±AB.CE±AC,

：,LBAD=/.ACE=90°,

在A48。和△力CE中

（/.ABC=4CAE

AB=AC,

{^.BAD=LACE

??AABD=△CAE>

,'.AD=CE.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對等角，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

【變式2-2]（2023春?湖北荊州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABC。中,AB||CD,連接8D,點(diǎn)E在BD

上，連接CE,若41=42,AB=ED,求證：乙DBC=LDCB.

AB

【答案】見解析

【分析】由平行線的性質(zhì)可得出=乙BDC,結(jié)合題意可由“AAS”證明△ABD三4DEC,即得出BO=DC,

進(jìn)而由等邊對等角即可證明NOBC=乙DCB.

【詳解】解：-AB||CD,

???/.ABD=Z.BDC.

Z1=Z2

在AABD^WLDEC中，4ABD=LEDC,

AB=DE

???△/WOOCC(AAS),

???BD=DC,

???Z.DBC=Z-DCB.

【點(diǎn)睛】本題考查平：行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).掌握三角形全等的判定定

理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?遼寧大連?八年級統(tǒng)考期末)如圖，已知△/1BC為等腰三角形，AB=AC,0為線段延

長線上一點(diǎn)，連接4。，DE平分/4OC交AC、48于點(diǎn)E、F,R/.ADC+-Z.ABC=180°.

2

(1)猜想乙ZMC與乙4C0的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(2)求證4。=DC+EC.

【答案】(1)乙力CD=24ZMC,證明見解析

⑵見解析

【分析】（1）由等邊對等角得乙=再由三角形內(nèi)角和定理和已知等量代換即可得出結(jié)論；

（2）延長DC至點(diǎn)K,使CK=CE,易得△4DE三AKDESAS）,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）LACD=2LDAC.

證明如下：''AB=AC,

???/.ABC=Z.ACD,

???/.ADC+-/.ABC=180°,

2

Z.ADC-^--^ACD=180°,

2

X*.Z.ADC=180°-/.ACD-乙DAC,

3

180°-Z,ACD-Z.DAC=180°--z/lCD,

2

化簡，得：/-ACD=2^DAC.

(2)證明：延長OC至點(diǎn)K,使CK=CZ7.

vCK=CE,

???LK=乙CEK,

???Z.ACD=2/.K,

又???Z.ACD=2/.DAC,

:.Z.DAC=乙K,

又OE平分NA。。，

:.Z.ADE=Z.KDE,

在A/1DE與△KOE中，

(LADE=Z.KDE

\/.DAC=乙KDE,

(DE=DE

???△ADEw△/</)￡1(AAS),

DA=DK,

又???DK=DC+CK=DC+EC,

???AD=DC+EC.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線使

三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【題型3根據(jù)三線合一求解】

【例3】（2023春?廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△4BC中，=點(diǎn)。為C4延長線上一點(diǎn)，DH1BC

于點(diǎn)〃，點(diǎn)F為延長線上一點(diǎn)，連接。廣交CB的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)E是。戶的中點(diǎn)，若BH=2,BE=2BH,

則8c=______.

【答案】12

［分析］過。作DNII4凡交CE延長線于N,證明△DEN=△/EB(AAS),得到EN=BE=4,由此求出N"=10,

再根據(jù)乙。=乙ABC,乙ABC=LN,證得NC=△N,得到DC=DN,利用等腰三角形的三線合一求出CH=

NH=10,即可求出==12.

【詳解】過。作DNIRF,交CE延長線于N,

:.乙FDN=乙F,乙FBE=4N

???點(diǎn)E是。尸的中點(diǎn)，

:?DE=FE

??△DENw△/E8(AAS)

：.EN=BE,

?:BH=2,BE=2BH,

：.EN=BE=4,

:.NH=10,

YAB=AC,

:?乙C=匕ABC,

VDNUAF,

：,z.ABC=乙N,

：,LC=，N,

：.DC=DN

又,：DH1BC,

:?CH=NH=10,

：.BC=CH+BH=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等二角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰二角形二線合一的性質(zhì)，正確引出輔助

線結(jié)合各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023春?河北邢臺?八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△48C中，AB=AC,力。是△4"的中線，邊

力8的垂直平分線交力C于點(diǎn)E,連接〃E,交40于點(diǎn)F.若/。=66。，則乙1FE的度數(shù)為（）

A.48°B.62°C.72°D.82°

【答案】C

【分析】由題意易得乙4BC=4C=66。，AE=BE,則有N/WE==48。，然后可得乙E8C=18。，進(jìn)

而問題可求解.

【詳解】解：*：AB=AC,/1O是A/B。的中線，，Z.C=66°,

：.LABC=Z.C=66°,AD1BC,即44D8=90。，

：,LBAC=180°-2zC=48°,

???48的垂直平分線交4c于點(diǎn)E,

??AE=BE,

：,z.ABE=LBAC=48°,

:.乙EBC=18°,

J.LAFE=乙BFD=90°-乙EBC=72°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及線段

垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2

【變式3-2]（2023春?山西臨汾?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在2L4BC中,AB=BC,S^ABC=3cm,邊BC的垂

直平分線為/,點(diǎn)。是邊力C的中點(diǎn)，點(diǎn)夕是/上的動點(diǎn)，當(dāng)APCD的周長取最小值4時(shí)，則—.

A

【分析】連接8D,由于力8=8。，點(diǎn)。是71C邊的中點(diǎn)，故BO_L/C,再根據(jù)三角形的面積公式求出力CX8。=

6,再根據(jù)直線/是線段8C的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,故的長為CP+PD的最

小值，得50=-[4:+4,由此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接8D,

??NB=BC,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn),

1AC,

:\S\ABC—"c'BD=}xACxBD=3?

解得ACxBD=6,

???直線/是線段8c的垂直平分線，

???點(diǎn)C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

???BD的長為CP+PD的最小值，

J.ACDP的周長最短=(CP+PD)+CD=BD+\AC=4,

；?BD

=--/21C+4,

?MCx(-“C+4)=6,

解得AC=2或6.

故答案為：2或6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023春?遼寧沈陽?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在中，^ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)、E為AC邊

的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作/1。148交BE的延長線于點(diǎn)D,CG平分乙ACB交BD于點(diǎn)、G,交4B于點(diǎn)M,點(diǎn)廣為邊力B上一

點(diǎn)，連接。凡^ACF=Z.CBG.

⑴若乙FCM=18。，則的度數(shù)為；

(2)若點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，判斷CF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)108°

(2)CF=2DE,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到NC4F=/CBA=45。，ZBCG=ZACG=45°,求出N8CG

=ZCAF=45°,進(jìn)而求出NAC廠得到NC3G的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出答案；

(2)證明△4CGgZ\G4F(ASA),推出8G=。凡再證△AOE/ACGE(AAS),推出。/GE,即QG=2OE,

即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)VZACB=90°,AC=BC,CG平分NACB,

^ZCAF=ZCI3A=45°,ZBCG=ZACG=45°,

：,ZBCG=ZCAF=45°,

VzFCM=18°,

A^ACF=ZACM-ZFCM=450-]8°=27°,

???NC8G=NAb=27°,

AZBGC=180°-Z^CG-ZCfiG=IS0°-45°-27。=108。,

故答案為：108。；

(2)CF=2DE,

理由：連接AG,

?；NCBG=NACF,AC=BC,NBCG=/CAF,

.,.△BCG^ACAF(ASA),

：?8G=CF,

*/CG平分N4C4,AC=BC,

???CM_LA8,

,：ADLAB,

：.AD\\CG,

，/D=4EGC,

?：2AED/CEG,/D=/EGC,AE=CE,

/.AADE^ACGE(AAS),

:?DE=GE,即QG=2O￡

又：點(diǎn)G是8。的中點(diǎn)，

:?DG=BG,

:.CF=2DE.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握

全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【題型4根據(jù)三線合一證明】

【例4】（2023春?福建芾田?八年級校考期中）如圖，中，AB=AC,AD是8c邊上的中線，DE//AC

⑴求證：EB=ED.

（2）求證：AE=DE.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)。E〃4C,ED=^AC=^AB,進(jìn)而得出結(jié)論；⑵由等腰三角形的性質(zhì)得48/W=iGW,再

由平行線的性質(zhì)得NB4D=〃DE,則皿D=4ADE,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）VAB=AC,人。是8c邊上的中線，

??.4￡）平分血1C,

LBAD=Z.CAD,

：.BD=DC,

?：DE"AC,

:,ED=-2AC=-2AB,

：.E&AB中點(diǎn)即EB=AE=\AB,

：.EB=ED.

（2）證明：?.F8=4C,A。是BC邊上的中線，

，AD平分4C,

：,LBAD=Z.CAD,

*：DE//AC

：,￡BAD=/-ADE,

：,LCAD=LADE,

'?AE=DE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1】(2023春?湖南益陽?八年級校考期中)兩組鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形.如圖，在箏

形RBCD中，AB=AD,BC=DC,AC.8。相交于點(diǎn)。，求證：

(1)△43c三△A。。：

(2)AC1BD.

【答案】(I)見解析；

⑵見解析.

【分析】⑴分別利用SSS證。三△4DC即可；

(2)由△力BC三△ADC得44c8=44CD,利用等腰三角形的性質(zhì)即可■得4C180.

【詳解】(1)證明：在△48C和△力。C中,

(AB=AD

8c=DC，

(AC=AC

：.LABC=LADC(SSS).

A

(2)證明：由(1)得△ABC三△ADC,

：.^ACB=Z/4CD,

*：BC=CD,

:、AC1BD.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握全等三角形的判定定

理.

【變式4-2](2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期中)如圖,已知A/BC中，AB=AC,LBAC=90%點(diǎn)。為BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E、r分別在直線4B、AC上運(yùn)動，目始終保持AE=C凡

圖①圖②

(1)如圖①，若點(diǎn)從小分別在線段,48、力。上，OE與OF相等且1與。尸垂直嗎？請說明理由;

(2)如圖②，若點(diǎn)E、F分別在線段4B、CA的延長線上,(1)中的結(jié)論是否依然成立？說明理由.

【答案】(l)DE=DFRDE1DF,見解析

(2)成立,見解析

【分析】(1)先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到="=45。和40=80=DC,再證

明ZME0三△60(S4S),利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到乙=LDAC=乙8=4。=45。和力。=BD=DC,再證明△AED三

△CFD(SAS),利用全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)DE=D尸且DE1DF,理由是：

如圖①，連接4。，

*：LBAC=90°,AB=AC,。為BC中點(diǎn)，

：.LBAD=/.DAC==z_C=45°,

,.AD=BD=DC?

(AE=CF

S.LAED^^CFD^,l^EAD=ADAC

(AD=DC

：,LAED三＞CFD(SAS),

：.DE=DF,乙ADE=LCDF,

又???4COF+4ADF=90。,

J乙力r=90°,

.LED"=90°,

：,DE1DF.

圖①

(2)若點(diǎn)E、尸分別在線段力氏。4的延長線上，(I)中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接4。，理由如下:

VAB=AC,Z.BAC=90°,點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，

=Z-DAC=乙B=Z.C=45°,

??AD=BD=DC?

AE=CF

在AAED^^CFD中，Z.EAD=LDAC

AD=DC

：.LAEDWACFD(SAS)；

：.DE=DF,乙ADE=^CDF,

又?："DF-/.ADF=90。，

：.LADE-LAD￥=90°,

/.zFDF=90°,

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全

等三角形.

【變式4-3]（2023春?河北廊坊?八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，IC=BC,/A=/ABC=45。，。為AB中

點(diǎn)，點(diǎn)E是48邊上一動點(diǎn)(不含端點(diǎn)4、B),連接CE,點(diǎn)F為CE上一點(diǎn)，8F始終垂直于CE,交直線CO于

點(diǎn)G.

(1)點(diǎn)E在線段40上運(yùn)動(如圖1),當(dāng)CG=/E時(shí)，求證：BG=CE；

(2)若點(diǎn)E運(yùn)動到線段80上(如圖2),當(dāng)CG=/1E時(shí)，試猜想BG、CE的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請寫出你

的結(jié)論并加以證明；

(3)過點(diǎn)力作為“1CE,垂足為點(diǎn)H,并交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖3),求證：2BCE為CAM.

【答案】(1)見解析

(2)不變,見解析

⑶見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出乙8CG=45。，再證明△4CE三△CBG(SAS),即可求證BG=CE；

(2)用和(1)同樣的方法證明△4CE三△CBG(SAS),即可得出結(jié)論：

(3)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CD1AB,則，2+乙3=90。，根據(jù)AH1CE,則乙3+乙M=90°,即可得出乙2=

乙M,再推=Z3,則/8CE=^CAM,即可求證^BCE三△CAM(AAS).

【詳解】(1)證明：*：AC=BC,LA=LABC=45°,

：.LACB=90°,

丁點(diǎn)。為48中點(diǎn)，

：.ABCG--2AACB-45°,

在ZMCE和△加；中，

(AC=CB

NBCG=Z.A,

(CG=AE

：.LACE三△CBG(SAS),

:.BG=CE.

(2)解：BG、CE的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，證明如下:

證明：???AC=8C,乙4=44BC=45。，

???，4c8=90。，

丁點(diǎn)。為48中點(diǎn)，

???，8CG=*CB=45。，

2

在44(；七不必(；8。中，

(AC=BC

NBCG=Z-A,

(CG=AE

：,LACE三△CBG(SAS),

:.BG=CE.

(3)解：'：AC=BC.^A=乙ABC=45°,

J.LACB=90°,

???點(diǎn)。為力8中點(diǎn)，

：,CD1AB,Z-BCG=-Z-ACB=45°,

2

AZ2+Z3=90°,

*：AH1CE,

Az3+zM=90。，

Az2=乙M,

Vzl+ZM=90°,

Azl=Z3?

Az3+乙BCG=Z1+^BAC,即zBCE=^.CAM,

在

(Z2=Z-M

NBCE=ACAM,

(AC=BC

/.ABCE三△C4M(AAS).

B

M

H

圖3

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰二角形那個(gè)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等二角形

是判定方法，以及等腰三角形“三線合一”.

【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】

【例5】（2023春?上海浦東新?八年級校聯(lián)考期末）已知，如圖，在M故?中，AB=AC,D,￡分別在CA,

8A的延長線上，且8￡=CO,連BD,CE.

（1）求證：ZD=ZE：

（2）若N84C=108。，NO=36o,則圖中共有個(gè)等腰三角形.

【答案】（1）見解析；（2）5

【分析】（1）證明△（SAS），可得結(jié)論.

（2）根據(jù)等腰三角形的定義，判斷即可.

【詳解】（1）\*AB=AC,

???A^BC=ZACB,

在AEBCffADCB中，

（BE=CD

l^ABC=乙ACB，

（BC=CB

:.△EBgADCB（SAS），

：.BE=CD.

（2）圖中共有5個(gè)等腰三角形.

VZBAC=108°,AB=AC,

???NA8C=/ACB=36°,

VZD=ZE=36°,

:"D=/BCD,ZE=ZCBE,

：.ZDAB=ZEAC=12°,

???NQBA=NOAB=72。，/EAC=/ECA=72。,

:?DB=DA,EA=EC,

.二△AB。，△AEC,△BCD,△BCE,△ABC是等腰三角形.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找.

【變式5-1］（2023春?廣西欽州?八年級?？计谥校┤鐖D，在RtzMBC中，41CB=90度，BC=4,AC=3,

在直線AC上取一點(diǎn)尸，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）

Ch------------------

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如下圖，

作＜8垂直平分線與小。相交于點(diǎn)P,可得R4=PB,

以A為圓心，力8為半徑畫圓，交AC有Pi、P2兩個(gè)交點(diǎn)，可得PIA=AB,P2A=AB,

以8為圓心，4?為半徑畫圓，交AC有P3一個(gè)交點(diǎn)，可得尸34二。8，

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查r等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作圖，分情況討論.

【變式5-2]（2023春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖,△ABC中,Z.ABC=72%乙4=36。,用尺規(guī)作圖

作出射線BO交4C于點(diǎn)/）,則圖中等腰三角形共有一個(gè).

A

【答案】3

【分析】根據(jù)已知條件乙48。=72>,41=36。，可得△48。是底角為72。的等腰三角形，再根據(jù)尺規(guī)作圖可

得8。平分乙48C,從而判斷等腰三角形的個(gè)數(shù).

【詳解】???△48C中，乙48c=72°,=36°,

/.zC=180°-72°-36°=72°,

/.zC=z.ABCr

.\AB=AC,

???A48。是等腰三角形.

由題圖可知，BD平分〃BC,

：.LABD=乙CBD=-^ABC=36',

2

：,LABD=4力，乙CDB=180°-72°-36°=72°,

?\AD=BD/CDB=乙C,

???乙力8。是等腰三角形，BC=BD,

???么8。。是等腰三角形.

綜上可知，題圖中的等腰三角形有△ABC,AABD,ABDC,共3個(gè).

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、尺規(guī)作圖——角平分線，掌握“等角對等邊”是解決此題的關(guān)鍵.

【變式5-31（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,/.DAB=（ABC=90°,ABAC=45°,CELBD.

（1）求證：AD=BE；

（2）如圖2,若點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，連接。E、CD,在不添加其他字母的條件下，寫出圖中四個(gè)等腰三角形.

【答案】（1）見解析

△EDC,△CDB,LADE

【分析】（I）先證明=根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可;

（2）根據(jù)等腰三角形的判定方法判斷即可.

【詳解】（I）證明：Vz/IFC=90°,/.BAC=45°,

J.LACB=45°,Z.ABD+乙DBC=90°,

：.AB=BC.

,：CE1BD,

，乙BCE十乙DBC=90°,

：.￡.ABD=乙BCE.

(LABD=乙BCE

在和△E8C中，AB=BC

{^.DAB=LEBC

：,LDAB三△EBC(ASA),

*.AD=BE.

(2)如圖：

由（1）可知48=BC,

???4力8。是等腰三角形；

???點(diǎn)E是88的中點(diǎn)，AD=BE,

AZD=AE,

.MADE是等腰三角形；

'：^DAB=90°,^BAC=45°,

：,FD=FE,ACA.DE,

?:FC=FC,

/.AEFC=△DFC,

，EC=DC,

???AEDC是等腰三角形；

'：LDAB"EBC,

：,EC=DB,

：,DC=DB,

???ACD8是等腰三角形；

故等腰三角形有△ABC,△EDC,△CD8,AADE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【題型6根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形】

【例6】(2023春?重慶江北?八年級校考期中)如圖，在RS4CB中，44cB=90。，與乙二48的平分線

相交于點(diǎn)E,延長交8C于點(diǎn)0,過點(diǎn)E作Efl40交AC于尸，作EGII4B交4c于點(diǎn)G.

(1)求證：AGEF為等腰三角形;

(2)求證：AF+BD=AB.

【答案】(I)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得/BAD="力。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得〃EG=乙BAD,可得乙4EG=

根據(jù)等角的余角相等可得24/咕=""，即可得出答案；

(2)在AB上取8M=BD，連接EM,首先利用SAS證明△MBE4DBE,得匕8ME=乙BDE,再說明匕AFE=

乙4ME,利用A4S證明△4FE得/F=4M,進(jìn)而證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???40平分4B4C,

A/.BAD=乙CAD,

???EGWAB,

???/.AEG=乙BAD,

???/.AEG=Z.CAD,

vEF1AD,

:./.AEG+Z.GEF=Z.CAD+Z.AFE=90°,

:.Z.AFE=乙GEF,

AGF=GE,

??.△GEF為等腰三角形；

(2)在A8上取8M=8。，連接EA/,

???BE平分乙4BO,

???Z.MBE=Z.DBE?

在ZkMBE和△DBE中，

BM=BD

乙MBE=Z-DBE,

BE=BE

MBE=△OBE(SAS),

:.Z.BME=乙BDE,

v乙FED=Z.ACB=90。，

:.乙EFC+乙EDC=180°,

???乙EDC+乙BDE=180°,

???乙EFC=乙BDE,

，EFC=乙BME,

Z.AFE=LAME,

在AAFE和△AME中,

(/.BAD=Z.CAD

1/.AFE=Z.AME,

(AE=AE

：.LAFE三△4ME(AAS),

.'.AF=AM,

AF+BD=AM+BM=AB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的

性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023春?吉林松原?八年級統(tǒng)考期中）如圖，zl+z2=180°,GP平分48GH.

（1）求證：△PGH是等腰三角形；

（2）若=116°,求4GPO的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）148°

【分析】（1）首先根據(jù)平角的定義得出乙2=48GH,則48||CD,再利用平行線的性質(zhì)證明即可；

（2）首先得出N8GH=180。-116。=64。，再由角平分線的定義得出/BGP=32。，最后利用平行線的性質(zhì)

可得答案.

【詳解】（1）證明：???41+42=180。，Z14-ZFGW=180°,

???Z2=乙BGH,

AB||CD,

:.乙GPH=LPGB,

???GP平分ZBG”,

:.￡P(guān)GH=乙PGB,

:.乙GPH=乙PGH,

???GH=PH,

??.△PGH是等腰三角形：

(2)解：???匕1=116°,

:.4BGH=180°-116°=64°,

???GP平分乙BGH,

.%乙BGP=32°,

vAB||CD,

???乙GPD=180°-32°=148°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【變式6-2](2023春?廣東廣州?八年級校考期末)如圖，四邊形力BCD中，z.DCB+Z.CBA=180°,過點(diǎn)。

作=DE與C交于點(diǎn)D,與4c交于點(diǎn)凡

備用圖

(1)求證：△(?”/)為等腰三角形；

(2)若E為BC中點(diǎn)，猜想A”，，。與EH三者的數(shù)量關(guān)系.并證明之

【答案】(1)見解析；

(2)AH=HD+2EH,理由見解析.

【分析】(1)由題意可知||CD,利用其性質(zhì)可得=乙C/8,根據(jù)/CDE=4。力8進(jìn)而可得40Gl=

(CDE,從而可得△CH。為等腰三角形；

(2)如圖，延長DE,使得=可證明ABEF三△CE。，可得4戶二乙。48,即AH=FH,再利用線段

和差關(guān)系即可得AH=HD+2EH.

【詳解】(1)證明：\^DCB+Z.CBA=180°,

：.AB||CD,

：,LDCA=Z.CAB,

,:乙CDE=LCAB,

：.LDCA=Z.CDE,

:?HD=HC,

???AC，。為等腰三角形.

(2)AH=HD+2EH,理由如下：

如圖，延長DE,使得DE=EF=HD+EH,

??力為BC的中點(diǎn),

：,BE=CE

在&BEF與△CED中，

FE=DE

ZdiEF=MED,

BE=CE

:MBEF三ACED(SAS),

=乙CDE,

又,：乙CDE=/-CAB,

：.LF=乙CAB,

：,AH=FH,即：AH=EF+EH=HD+EH+EH

即：AH=HD+2EH.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用中點(diǎn)倍長中線構(gòu)造

全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2023春?新疆烏魯木齊?八年級統(tǒng)考期末)數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究卜.面命題的正確性，頂角為

36。的等腰三角形我們稱之為黃金三角形，“黃金三角形”具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可以

把它分成兩個(gè)小等腰三角形，為此，請你，解答問題：

(1)已知如圖1：黃金三角形△ABC中，ZA=36°,直線BD平分NABC交AC于點(diǎn)D,求證：△ABD和

△DBC都是等腰三角形;

（2）如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=36。，請你設(shè)計(jì)三種不同的方法，將△ABC分割成三個(gè)等腰三角形,

不要求寫出畫法，不要求證明，但是要標(biāo)出所分得的每個(gè)三角形的各內(nèi)角的度數(shù).

（3）已知一個(gè)三角形可以被分成兩個(gè)等腰三角形，若原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36。，求原三角形的最大內(nèi)角的

所有可能值.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）最大角的可能值為72。，90。，108。，126。，132。

【分析】（1）通過角度轉(zhuǎn)換得到/ABD二NBAD,和NBDC=72c=NC,即可判斷：

（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可；

（3）設(shè)原△ABD中有一個(gè)角為36。，可分成兩個(gè)等腰三角形，逐個(gè)討論：①當(dāng)分割的直線過頂點(diǎn)B時(shí)②當(dāng)

分割三角形的直線過點(diǎn)D時(shí)情況和過點(diǎn)B一樣的，③當(dāng)分割三角形的直線過點(diǎn)A時(shí)，在分別求出最大角的

度數(shù)即可.

【詳解】解：（1）證明：VZABC=（180-36）^2=72；BD平分NABC,NABD=72+2=36。，

???NABD=NBAD,

???△ABD為等腰三角形，

AZBDC=72°=ZC,

???△BCD為等腰三角形；

（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理作出，如圖所示:

A

(3)設(shè)原△ABD中有一個(gè)角為36。，可分成兩個(gè)等腰三角形，逐個(gè)討論：

①當(dāng)分割的直線過頂點(diǎn)B時(shí)，

【I】：第一個(gè)等腰三角形ABC以A為頂點(diǎn):則第二個(gè)等腰三角形BCD只可能以C為頂點(diǎn)

此時(shí)NA=36o,ND=36。，NR=72+36=108。，最大角的值為108°；

[2]：第一個(gè)等腰三角形ABC以B為頂點(diǎn)：第二個(gè)等腰三角形BCD只可能以C為頂點(diǎn)

此時(shí)：ZA=36°,ZD=18°,ZB=IO8+18=126°,最大角的值為126。；

【3】第一個(gè)等腰三角形ABC以C為頂點(diǎn)：第二個(gè)等腰三角形BCD有三種情況

△BCD以B為頂點(diǎn)：ZA=36°,ZD=72°,

AZABD=72°,最大角的值為72。；

△BCD以C為頂點(diǎn)：ZA=36",ND=54。,

???NABD=90。，最大角的值為9()。；

D

△BCD以D為頂點(diǎn)：ZA=36°,ND=36。

AZABD=108°,最大角的值為108。；

②當(dāng)分割三角形的直線過點(diǎn)D時(shí)情況和過點(diǎn)B一樣的;

③當(dāng)分割三角形的直線過點(diǎn)A時(shí)，

此時(shí)NA=36。，ZD=12°,ZB=132°,

最大角的值為132°：

綜上所述:最大角的可能值為72。，90°,108°,126°,132°.

【點(diǎn)睛】本題是對三角形知識的綜合考查，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和角度轉(zhuǎn)換是解決本題的關(guān)鍵，難度

較大，分類討論是解決本題的關(guān)鍵.

【題型7根據(jù)等角對等邊證明邊用等】

【例7】（2023春?江蘇揚(yáng)州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△48。中，乙48。的平分線B。交4C邊于點(diǎn)AAE1BC

于點(diǎn)E.已知448。=60。，ZC=45°.

(1)求證：AB=BD-,

（2）設(shè)與AE交于點(diǎn)F,求證：CE=BF+EF.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）利用角平分線和三角形內(nèi)角和得出=乙4DB=75。，再用等腰三角形的判定證明即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的判定證明4E=EC,力f二B尸即可.

【詳解】（1）證明：平分〃BC,Z-ABC=60°,

：

.LDBC=-2Z-ABC=30°,

LADB=Z.DBC+ZT=75°,

^BAC=180°-乙ABC-Z.C=75°,

：.LBAC=LADB,

：.AB=BD；

（2）證明：VAE1BC

：.LAEC=90°

VzC=45°

：,LEAC=45°

：.AE=EC

*：LBAC=75°

：.z.EAB=30°

：.^ABD=4EAB=30°,

：.AF=BF,

\'AE=AF+EF

：，CE=BF+EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和和等腰三角形的判定，解題關(guān)健是熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和求出角的度數(shù).

【變式7-1］（2023春?天津?八年級期中）如圖：石在△A8C的AC邊的延長線上，A/3=4C,。點(diǎn)在A8邊上,

DE交BC于點(diǎn)F,DF=EF,求證：BD=CE.

A

【答案】見解析

【分析】過。作。G〃C￡,交4c于點(diǎn)G,證明AQG尸父△ECR可得。G=C￡,根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等

角對等邊可得BD=DG,等量代換即可證明BD=CE.

【詳解】證明：過。作OG〃C￡,交8C于點(diǎn)G,

則NGO"=NE,NDGB=NACB,

在AQG尸和△ECF中，

(乙GDF=ZE

DF=EF,

t乙DFG=乙CFE

:ADGgAECF(ASA),

:.DG=CE,

?：AB=AC,

:?/B=NACB=NDGB,

:?RD=DG

BD=CE.

【，點(diǎn)睛】本題考杳了三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對等邊，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2］（2023春?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△48。中，。4=C8,點(diǎn)。在8C的延長線上，連

接々），AE平分4二40交CD于點(diǎn)￡過點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)F,與力。相交于點(diǎn)G.

D

⑴求證：CG=CEx

(2)若48=30。，Z-CAD=40°,求乙4E尸和匕。的度數(shù);

(3)求證：ZD=2AAEF.

【答案】(I)見解析

(2)LAEF=40。，ZD=80°

(3)見解析

【分析】