PAGEPAGE1第10章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第5講A組基礎(chǔ)關(guān)1．連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90°的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案A解析∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本領(lǐng)件總共有6×6＝36(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個)．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).2．從集合A＝{－2，－1,2}中隨機(jī)抽取一個數(shù)記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機(jī)抽取一個數(shù)記為b，則直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率為()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,4)答案A解析(a，b)全部可能的結(jié)果為9種．由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,b≥0))時，直線不經(jīng)過第四象限，符合條件的(a，b)的結(jié)果為(2,1)，(2,3)，共2種，所以直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率P＝eq\f(2,9)，故選A.3．某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名作為樣本，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．要從這6人中，隨機(jī)選出2人參與一項技術(shù)競賽，選出的2人至少有1人為優(yōu)秀工人的概率為()A.eq\f(8,15) B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,9)答案C解析由已知得，樣本均值為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(20＋60＋30＋7＋9＋1＋5,6)＝22，故優(yōu)秀工人只有2人．故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(2,6)－C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，故選C.4．現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，－3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案C解析由題意得以1為首項，－3為公比的等比數(shù)列的10個數(shù)為1，－3,9，－27，…，其中有5個負(fù)數(shù)，1個正數(shù)1，共計6個數(shù)小于8，所以從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，它小于8的概率是eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).5．(2024·山東濟(jì)寧檢測)學(xué)校為了嘉獎數(shù)學(xué)競賽中獲獎的優(yōu)秀學(xué)生，將梅、蘭、竹、菊四幅名畫送給獲獎的甲、乙、丙三位學(xué)生，每個學(xué)生至少獲得一幅，則在全部送法中甲得到名畫“竹”的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)答案C解析先分3組，Ceq\o\al(2,4)＝6，再安排Aeq\o\al(3,3)＝6，由分步計數(shù)原理可知總方法數(shù)N＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，滿意條件方法數(shù)N1＝Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝12，概率P＝eq\f(N1,N)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).故選C.6．某微信群中四人同時搶3個紅包，每人最多搶一個，則其中甲、乙兩人都搶到紅包的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)答案D解析3個紅包安排給四人共有Aeq\o\al(3,4)種分法，“甲、乙兩人都搶到紅包”指從3個紅包中選2個安排給甲、乙，其余1個安排給另外二人，其概率為eq\f(C\o\al(2,3)A\o\al(2,2)·A\o\al(1,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(3×2×2,4×3×2)＝eq\f(1,2)，故選D.7．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中隨意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案C解析易知過點(diǎn)(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選C.8．從正方形四個頂點(diǎn)及其中心這5個點(diǎn)中，任取2個點(diǎn)，則這2個點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為________．答案eq\f(3,5)解析如圖，從A，B，C，D，O這5個點(diǎn)中任取2個，共有10種取法，滿意兩點(diǎn)間的距離不小于正方形邊長的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6種，因此所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).9．(2024·撫州模擬)如圖所示是某市2017年4月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天．該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率為________．答案eq\f(5,12)解析某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝12,4月1日至4月12日空氣質(zhì)量重度污染的天數(shù)有5天，即該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝5，所以該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(5,12).10．(2024·江蘇蘇州模擬)若a，b∈{0,1,2}，則函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b有零點(diǎn)的概率為________．答案eq\f(2,3)解析a，b∈{0,1,2}，當(dāng)函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b沒有零點(diǎn)時，a≠0，且Δ＝4－4ab<0，即ab>1，∴(a，b)有3種狀況：(1,2)，(2,1)，(2,2)．基本領(lǐng)件總數(shù)n＝3×3＝9，∴函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b有零點(diǎn)的概率為P＝1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).B組實力關(guān)1．(2024·南昌模擬)如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，現(xiàn)從該三棱錐的6條棱中任選2條，則這2條棱相互垂直的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,9)答案A解析由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，從該三棱錐的6條棱中任選2條，共有15種不同的選法，其中相互垂直的2條棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5種狀況，所以這2條棱相互垂直的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).2．下面三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是()A.eq\f(3,7) B.eq\f(4,7)C.eq\f(1,14) D.eq\f(13,14)答案D解析從九個數(shù)中任取三個數(shù)的不同取法共有Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,1×2×3)＝84(種)，取出的三個數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝6(種)，所以至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).3．某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則構(gòu)成橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1且離心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．答案eq\f(1,3)解析同時擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組共有36種狀況，當(dāng)a>b時，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)?eq\f(b,a)<eq\f(1,2)?a>2b，符合a>2b的狀況有：當(dāng)b＝1時，有a＝3,4,5,6四種狀況；當(dāng)b＝2時，有a＝5,6兩種狀況．總共有6種狀況，則概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理當(dāng)a<b時，e>eq\f(\r(3),2)的概率也為eq\f(1,6).綜上可知e>eq\f(\r(3),2)的概率為eq\f(1,3).4．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以事務(wù)M發(fā)生的概率為P(M)＝eq\f(5,21).C組素養(yǎng)關(guān)1．(2024·成都模擬)某醫(yī)療科研項目組對5只試驗小白鼠體內(nèi)的A，B兩項指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析，得到的數(shù)據(jù)如下表：(1)若通過數(shù)據(jù)分析，得知A項指標(biāo)數(shù)據(jù)與B項指標(biāo)數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系．試依據(jù)上表，求B項指標(biāo)數(shù)據(jù)y關(guān)于A項指標(biāo)數(shù)據(jù)x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)現(xiàn)要從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只，求其中至少有一只的B項指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的概率．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)由題意，可得eq\o(x,\s\up6(－))＝7，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝110，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝255，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1,2).∵eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝－eq\f(1,2).∴所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).(2)設(shè)1號至5號小白鼠依次為a1，a2，a3，a4，a5，則在這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只的狀況有a1a2a3，a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a隨機(jī)抽取的3只小白鼠中至少有一只的B項指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的狀況有a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a5，a∴從這5只小白鼠中隨機(jī)抽取3只，其中至少有一只的B項指標(biāo)數(shù)據(jù)高于3的概率為eq\f(9,10).2．(2024·吉林模擬)12月10日，我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)覺青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎，以青蒿素類藥物為主的聯(lián)合療法已經(jīng)成為世界衛(wèi)生組織舉薦的抗瘧疾標(biāo)準(zhǔn)療法，目前，國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展快速，調(diào)查表明，人工種植的青蒿的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項指標(biāo)分別記為x，y，z，并對它們進(jìn)行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標(biāo)ω＝x＋y＋z的值評定人工種植的青蒿的長勢等級：若ω≥4，則長勢為一級；若2≤ω≤3，則長勢為二級；若0≤ω≤1，則長勢為三級．為了了解目前人工種植的青蒿的長勢狀況，探討人員隨機(jī)抽取了10塊青蒿人工種植地，得到如下結(jié)果：(1)在這10塊青蒿人工種植地中任取兩地，求這兩地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率；(2)從長勢等級是一級的人工種植地中任取一地，其綜合指標(biāo)為m，從長勢等級不是一級的人工種植地中任取一地，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量X＝m－n，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．解(1)由表可知：空氣濕度指標(biāo)為0的有A1，空氣濕度指標(biāo)為1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空氣濕度指標(biāo)為2的有A4，A6，A7，在這10塊青蒿人工種植地中任取兩地，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,10)＝45，這兩地的空氣濕度的指標(biāo)z相同包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,3)＝18，∴這兩地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率P＝eq\f(m