熱點六教材衍生問題——中考數(shù)學(xué)熱點考點訓(xùn)練熱點趨勢解讀教材衍生問題是以教材習(xí)題為基礎(chǔ)拓展延伸出來的問題，這些問題一般是從已知條件的變化，到圖形的變化，再到結(jié)論的變化，解決這類問題時應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角觀察問題、提出問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)的思維解決問題.《教育部關(guān)于加強初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》中明確指出：“試題命制既要注重考查基礎(chǔ)知識、基本技能，還要注重考查思維過程、創(chuàng)新意識和分析問題、解決問題的能力.”在近幾年的中考中，教材衍生問題出現(xiàn)次數(shù)較多，既考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，又考查學(xué)生對所學(xué)知識的靈活運用和舉一反三的能力.1.愛思考的小郭同學(xué)發(fā)現(xiàn)教科書中介紹了多項式除以單項式的方法，并沒有介紹多項式除以多項式的方法，通過查閱資料小郭同學(xué)發(fā)現(xiàn)了多項式除以多項式的一種方法叫“綜合除法”，綜合除法主要用于一元多項式，除以一次多項式的演算，以便獲得商式和余式，具體方法如下：①寫出分離系數(shù)豎式：②進(jìn)行相關(guān)計算：將落下得到，計算并置于下方，計算得到；計算并置于下方，計算得到……計算并置于下方，計算得到.③寫出計算結(jié)果：除以得到商式和余式.解決問題：利用綜合除法求除以的商式和余式.由此可知，除以的商式是______，余式是______.2.代數(shù)推理小軍對于教材36頁“試一試”部分產(chǎn)生了濃厚的興趣,請和他探究并完成下列問題.發(fā)現(xiàn)速算從11到19這九個兩位數(shù)中任何兩個的乘積的方法：第一步：把第一個因數(shù)(13)與第二個因數(shù)的個位數(shù)(2)相加：；第二步：把第一步的結(jié)果乘以10(也就是說后面加個0)：；第三步：把第一個因數(shù)的個位數(shù)(3)乘以第二個因數(shù)的個位數(shù)(2)：；第四步：把第二、三兩步的結(jié)果相加：.這就是要求的計算結(jié)果,即得.嘗試(1)用上述方法,直接寫出計算結(jié)果：______；______.驗證(2)設(shè)這兩個兩位數(shù)分別為,,①根據(jù)“發(fā)現(xiàn)”,直接寫出這兩個兩位數(shù)的積：______(用含a,b的式子表示,不需要化簡)；②說明①的正確性.3.在北師大版教材七年級上冊第三章的學(xué)習(xí)過程中,經(jīng)歷過很多次“歸納”的過程,即從幾種特殊情形出發(fā),進(jìn)而找到一般規(guī)律的過程,歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、解決數(shù)學(xué)問題的一種重要策略,請用歸納策略解答下列問題(1)探究一：如圖1,將一根繩子折成3段,然后按如圖所示方式剪開；如圖1-1,剪1刀,繩子變?yōu)?段；如圖1-2,剪2刀,繩子變?yōu)?段；……①剪12刀,繩子變?yōu)開_____段；②有可能正好剪得98段嗎？請說明理由(2)探究二：將一根繩子折成4段,然后按(1)中方式剪開；如圖2,剪1刀,繩子變?yōu)?段；剪2刀,繩子變?yōu)槎?；剪n刀,繩子變?yōu)開_____段(3)歸納：將一根繩子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,繩子變?yōu)槎?用含m,n的代數(shù)式表示)(4)問題解決：將一根繩子折成m()段,然后按(1)中方式方式剪n刀,繩子變?yōu)?00段,則的值為______4.【綜合與實踐】閱讀材料：課本第頁數(shù)學(xué)活動中介紹一種新的幾何圖形——“箏形”.定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.我們研究一種新幾何圖形的一般過程：先學(xué)習(xí)定義,再研究性質(zhì)和判定.而性質(zhì)的研究,其實就是對圖形邊,角,對角線等基本要素的研究.八年級某班按照這樣的思路對“箏形”的性質(zhì)開展研究：第一步：根據(jù)定義剪出一個“箏形”；第二步：用測量、折紙等方法猜想“箏形”邊,角,對角形的結(jié)論；第三步：通過證明得到性質(zhì).解答問題：(1)猜想“箏形”的對角線有怎樣的結(jié)論？請寫出來.(2)請畫出圖形,寫出已知,求證并證明得到對角線的性質(zhì).(3)從性質(zhì)進(jìn)一步探究可得到“箏形”的面積公式,請直接寫出“箏形”的面積公式.5.學(xué)習(xí)正方形時,王老師帶領(lǐng)同學(xué)們探索了課本上的一道幾何題.【課本原型】(1)人教版八年級下冊數(shù)學(xué)課本拓廣探索》第15題.請你寫出證明過程.如圖,四邊形是正方形,點G為上的任意一點,于點E、,交于F.求證：.【問題解決】(2)如圖(1),正方形中,點G為延長線上的任意一點,交延長線于點E,交于點F.試探索、、之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明【問題研究】(3)如圖(2),四邊形是正方形,點G為上的一點,于點E,連接,若,請直接寫出的面積.6.追本溯源題(1)來自于課本中的習(xí)題,請你完成解答,提煉方法并完成題(2).(1)如圖1,在中,,,求的度數(shù).方法應(yīng)用(2)如圖2,在中,,E是上的點(不與點A,C重合),連接并延長至點G,連接并延長至點F.連接.①求證：.②若,的面積為27,求的半徑.7.在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題.聰聰在研究完上面的問題后,對這類問題進(jìn)行了深入的研究,他的研究過程如下：(1)【問題再現(xiàn)】如圖1,在中,,的角平分線交于點P,若.則______；(2)【問題推廣】如圖2,在中,的角平分線與的外角的角平分線交于點P,過點B作于點H,若,求的度數(shù).(3)如圖3,在中,,的角平分線交于點P,將沿折疊使得點A與點P重合,若,則______；(4)【拓展提升】在四邊形中,,點F在直線上運動(點F不與E,D兩點重合),連接,,,的角平分線交于點Q,若,,直接寫出和,之間的數(shù)量關(guān)系.8.【鏈接教材】（1）如圖1，E、F是直線l上方兩點，若點P在直線l上，滿足，則點P是線段的_____（填特殊直線）與直線l的交點；【問題延伸】（2）①如圖2，點O是矩形對角線的交點，.要分別在、邊上確定點P、Q，滿足，且點O在線段上.經(jīng)過思考，小文發(fā)現(xiàn)可以利用矩形的中心對稱性，將點E或F關(guān)于點O對稱，再作該對稱點和另一點所組成的線段的中垂線.請你根據(jù)她的思路在圖2中尺規(guī)作圖確定P、Q的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.②如圖3，點O是矩形對角線的交點，.經(jīng)過深入探究，聰明的小文發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步利用矩形的中心對稱性，在問題①思路的基礎(chǔ)上再添加一條過點O的線段，就能找到符合題意的P、Q（P、Q分別在、邊上，滿足，且點O在線段上）.請在圖3中用直尺簡單構(gòu)圖（不要求圓規(guī)作圖），并證明.【舉一反三】（3）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，原點O是菱形對角線的交點，，，，其中，.若P、Q分別在、邊上，滿足，且點O在線段上，直接寫出m的取值范圍________.9.【教材呈現(xiàn)】現(xiàn)行人教版九年級下冊數(shù)學(xué)教材85頁“拓廣探索”第14題：14.如圖,在銳角中,探究,,之間的關(guān)系.(提示：分別作和邊上的高.)【得出結(jié)論】.【基礎(chǔ)應(yīng)用】在中,,,,利用以上結(jié)論求的長；【推廣證明】進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),不僅在銳角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且還滿足(R為外接圓的半徑).請利用圖1證明：.【拓展應(yīng)用】如圖2,四邊形中,,,,.求過A,B,D三點的圓的半徑.10.【教材呈現(xiàn)】以下是人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第50頁的部分內(nèi)容,如圖,直線,與的面積相等嗎？為什么？【基礎(chǔ)鞏固】如圖1,正方形內(nèi)接于,直徑,求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應(yīng)用】如圖2,在半徑為5的中,,,,求；【拓展提高】如圖3,是的直徑,點P是上一點,過點P作弦于點P,點F是上的點,且滿足,連接交于點E,若,,求的半徑.11.【教材呈現(xiàn)】人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第68頁第8題如下：如圖1,是一個正方形花園,E,F是它的兩個門,且,要修建兩條路和,這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？(此問題不需要作答)九年級數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)探究圖形中互相垂直的線段之間的數(shù)量關(guān)系是一個常見問題,于是對上面的問題又進(jìn)行了拓展探索,內(nèi)容如下：【類比分析】(1)如圖2,在矩形中,點E是上一點,連接,過點A作的垂線交于點F,垂足為點G,若,,求的長.【遷移探究】(2)如圖3,在中,,,點D是上一點,連接,作交于點E,求證：.【拓展應(yīng)用】(3)如圖4,在中,,,,作點A關(guān)于的對稱點D,點E為上一點,連接,過點D作的垂線,交于F,垂足為G,若E為中點,則_________.

答案以及解析1.答案：；2.解析：由題意得：∴商式為，余式為2，故答案為：①，②2.2.答案：(1)272,247(2)①；②見解析解析：嘗試(1)；.故答案為：272,247；驗證(2)①第一步：把第一個因數(shù)()與第二個因數(shù)的個位數(shù)(b)相加：；第二步：把第一步的結(jié)果乘以10(也就是說后面加個0)：；第三步：把第一個因數(shù)的個位數(shù)(a)乘以第二個因數(shù)的個位數(shù)(b)：；第四步：把第二、三兩步的結(jié)果相加：.這就是要求的計算結(jié)果,即得；②,又,,說明①的結(jié)論正確.3.答案：(1)①37；②沒有可能正好剪98段,理由見詳解(2)9；(3)(4)或解析：(1)①剪1刀,繩子變?yōu)?段,；剪2刀,繩子變?yōu)?段,；由此可得,剪3刀,繩子變?yōu)槎?剪4刀,繩子變?yōu)槎?……可得,剪12刀,繩子變?yōu)槎?；故答案為?7；②沒有可能正好剪得98段,理由：由①可得,剪n刀,繩子變?yōu)槎?,,不是正整數(shù),沒有可能正好剪得98段；(2)剪1刀,繩子變?yōu)?段,；剪2刀,繩子變?yōu)?9段；剪n刀,繩子變?yōu)槎?故答案為：9；；(3)由(1)、(2)可得,將一根繩子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,繩子變?yōu)槎?故答案為：；(4)由(3)可得,將一根繩子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,繩子變?yōu)槎?,,,又,時或時,或,故答案為：或.4.答案：(1)“箏形”的對角線互相垂直(2)見解析(3)“箏形”的面積等于對角線積的一半解析：(1)“箏形”的對角線互相垂直；(2)已知：四邊形是“箏形”,,,對角線、相交于點O.求證：.證明：∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴；(3)∵,∴,∴“箏形”的面積等于對角線積的一半.5.答案：(1)證明過程詳見解答(2),理由見解析(3)8解析：(1)證明：四邊形是正方形,,,,,,,,,,,,,；(2),理由如下：由(1)得：,,,,,,,,,,,；(3)如圖,過點B作交于點F,由(1)得：,∵,,∴,.6.答案：(1)(2)①證明見解析,②半徑為5解析：(1)∵,∴,∴；(2)①證明：點A,B,C,E均在上,四邊形為圓內(nèi)接四邊形,.又.∴,,,又,；②如圖,過點A作于點H.,,點O在上,.,即,,解得.設(shè),則.在中,由勾股定理得,即,解得,的半徑為5.7.答案：(1)(2)(3)(4)F在E左側(cè)；F在ED中間；F在D右側(cè)解析：(1)∵,∴,∵平分,平分,∴,,∴,即,∴,故答案為：；(2)∵平分,平分,∴,,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,即,∴；(3)由折疊的性質(zhì)可得,,∵,,,∴,∴,∴,∴,∴同(1)原理可得,故答案為：；(4)當(dāng)點F在點E左側(cè)時,如圖4-1所示,∵,∴,∵平分,平分,∴,,∵,∴；當(dāng)F在D、E之間時,如圖4-2所示：同理可得,,,∴；當(dāng)點F在D點右側(cè)時,如圖4-3所示：同理可得；綜上所述,F在E左側(cè)；F在ED中間；F在D右側(cè).8.答案：（1）垂直平分線；（2）①見解析；②證明見解析；（3）.解析：（1）點P在直線l上，滿足，點P是線段的垂直平分線與直線l的交點，故答案為：垂直平分線；（2）①如圖，作E關(guān)于點O對稱點，連接，作垂直平分線，交、于點P、Q，連接、，②如圖，作法同①，點O是矩形對角線的交點，，，，，，垂直平分，，；（3）如圖，作F關(guān)于點O對稱點，連接，，同②理，，，，當(dāng)Q與D重合時，m有最小值，如圖，四邊形是菱形，，，，，；當(dāng)Q與C重合時，m有最大值，如圖，四邊形是菱形，，，，，或（舍去）；m的取值范圍為，故答案為：.9.答案：教材呈現(xiàn)：見解析基礎(chǔ)應(yīng)用：推廣證明：見解析拓展應(yīng)用：解析：教材呈現(xiàn)：如圖,分別作,,垂足分別為D,E,在中,,,在中,,,,,在中,,,在中,,,,,.基礎(chǔ)應(yīng)用：∵中,,,∴,由題意得,∴,解得；推廣證明：作直徑,連接,∵直徑,∴,∵,∴,∴,∴,同理,,∴；拓展應(yīng)用：連接,作于點E,∵,∴四邊形是矩形,∵,,,∴,,,∴,∵,∴,∴,∴,∵,即,∴.10.答案：【教材呈現(xiàn)】與的面積相等,理由見解析【基礎(chǔ)鞏固】【嘗試應(yīng)用】【拓展提高】6解析：教材呈現(xiàn)：與的面積相等,理由：∵,∴點A,D到的距離相等,∴與中邊上的高相等,即：與是同底等高的三角形,根據(jù)三角形的面積公式為：底×高,∴與的面積相等；基礎(chǔ)鞏固：連接,,如圖,∵四邊形為正方形,∴,,∵,∴,由教材呈現(xiàn)可知：,,∴,∴陰影面積.∵圓的面積為,∴陰影面積與圓面積的比值為；嘗試應(yīng)用：連接,過點O作于點E,則.在和中,,∴,∴,∴.∵,∴.∵