熱點六教材衍生問題——中考數(shù)學熱點考點訓練熱點趨勢解讀教材衍生問題是以教材習題為基礎拓展延伸出來的問題，這些問題一般是從已知條件的變化，到圖形的變化，再到結論的變化，解決這類問題時應注意引導學生以數(shù)學的視角觀察問題、提出問題，用數(shù)學的語言表達問題，用數(shù)學的思維解決問題.《教育部關于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》中明確指出：“試題命制既要注重考查基礎知識、基本技能，還要注重考查思維過程、創(chuàng)新意識和分析問題、解決問題的能力.”在近幾年的中考中，教材衍生問題出現(xiàn)次數(shù)較多，既考查學生對基礎知識的掌握情況，又考查學生對所學知識的靈活運用和舉一反三的能力.1.愛思考的小郭同學發(fā)現(xiàn)教科書中介紹了多項式除以單項式的方法，并沒有介紹多項式除以多項式的方法，通過查閱資料小郭同學發(fā)現(xiàn)了多項式除以多項式的一種方法叫“綜合除法”，綜合除法主要用于一元多項式，除以一次多項式的演算，以便獲得商式和余式，具體方法如下：①寫出分離系數(shù)豎式：②進行相關計算：將落下得到，計算并置于下方，計算得到；計算并置于下方，計算得到……計算并置于下方，計算得到.③寫出計算結果：除以得到商式和余式.解決問題：利用綜合除法求除以的商式和余式.由此可知，除以的商式是______，余式是______.2.代數(shù)推理小軍對于教材36頁“試一試”部分產(chǎn)生了濃厚的興趣,請和他探究并完成下列問題.發(fā)現(xiàn)速算從11到19這九個兩位數(shù)中任何兩個的乘積的方法：第一步：把第一個因數(shù)(13)與第二個因數(shù)的個位數(shù)(2)相加：；第二步：把第一步的結果乘以10(也就是說后面加個0)：；第三步：把第一個因數(shù)的個位數(shù)(3)乘以第二個因數(shù)的個位數(shù)(2)：；第四步：把第二、三兩步的結果相加：.這就是要求的計算結果,即得.嘗試(1)用上述方法,直接寫出計算結果：______；______.驗證(2)設這兩個兩位數(shù)分別為,,①根據(jù)“發(fā)現(xiàn)”,直接寫出這兩個兩位數(shù)的積：______(用含a,b的式子表示,不需要化簡)；②說明①的正確性.3.在北師大版教材七年級上冊第三章的學習過程中,經(jīng)歷過很多次“歸納”的過程,即從幾種特殊情形出發(fā),進而找到一般規(guī)律的過程,歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論、解決數(shù)學問題的一種重要策略,請用歸納策略解答下列問題(1)探究一：如圖1,將一根繩子折成3段,然后按如圖所示方式剪開；如圖1-1,剪1刀,繩子變?yōu)?段；如圖1-2,剪2刀,繩子變?yōu)?段；……①剪12刀,繩子變?yōu)開_____段；②有可能正好剪得98段嗎？請說明理由(2)探究二：將一根繩子折成4段,然后按(1)中方式剪開；如圖2,剪1刀,繩子變?yōu)?段；剪2刀,繩子變?yōu)槎?；剪n刀,繩子變?yōu)開_____段(3)歸納：將一根繩子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,繩子變?yōu)槎?用含m,n的代數(shù)式表示)(4)問題解決：將一根繩子折成m()段,然后按(1)中方式方式剪n刀,繩子變?yōu)?00段,則的值為______4.【綜合與實踐】閱讀材料：課本第頁數(shù)學活動中介紹一種新的幾何圖形——“箏形”.定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.我們研究一種新幾何圖形的一般過程：先學習定義,再研究性質(zhì)和判定.而性質(zhì)的研究,其實就是對圖形邊,角,對角線等基本要素的研究.八年級某班按照這樣的思路對“箏形”的性質(zhì)開展研究：第一步：根據(jù)定義剪出一個“箏形”；第二步：用測量、折紙等方法猜想“箏形”邊,角,對角形的結論；第三步：通過證明得到性質(zhì).解答問題：(1)猜想“箏形”的對角線有怎樣的結論？請寫出來.(2)請畫出圖形,寫出已知,求證并證明得到對角線的性質(zhì).(3)從性質(zhì)進一步探究可得到“箏形”的面積公式,請直接寫出“箏形”的面積公式.5.學習正方形時,王老師帶領同學們探索了課本上的一道幾何題.【課本原型】(1)人教版八年級下冊數(shù)學課本拓廣探索》第15題.請你寫出證明過程.如圖,四邊形是正方形,點G為上的任意一點,于點E、,交于F.求證：.【問題解決】(2)如圖(1),正方形中,點G為延長線上的任意一點,交延長線于點E,交于點F.試探索、、之間的數(shù)量關系,并給出證明【問題研究】(3)如圖(2),四邊形是正方形,點G為上的一點,于點E,連接,若,請直接寫出的面積.6.追本溯源題(1)來自于課本中的習題,請你完成解答,提煉方法并完成題(2).(1)如圖1,在中,,,求的度數(shù).方法應用(2)如圖2,在中,,E是上的點(不與點A,C重合),連接并延長至點G,連接并延長至點F.連接.①求證：.②若,的面積為27,求的半徑.7.在我們蘇科版義務教育教科書數(shù)學七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題.聰聰在研究完上面的問題后,對這類問題進行了深入的研究,他的研究過程如下：(1)【問題再現(xiàn)】如圖1,在中,,的角平分線交于點P,若.則______；(2)【問題推廣】如圖2,在中,的角平分線與的外角的角平分線交于點P,過點B作于點H,若,求的度數(shù).(3)如圖3,在中,,的角平分線交于點P,將沿折疊使得點A與點P重合,若,則______；(4)【拓展提升】在四邊形中,,點F在直線上運動(點F不與E,D兩點重合),連接,,,的角平分線交于點Q,若,,直接寫出和,之間的數(shù)量關系.8.【鏈接教材】（1）如圖1，E、F是直線l上方兩點，若點P在直線l上，滿足，則點P是線段的_____（填特殊直線）與直線l的交點；【問題延伸】（2）①如圖2，點O是矩形對角線的交點，.要分別在、邊上確定點P、Q，滿足，且點O在線段上.經(jīng)過思考，小文發(fā)現(xiàn)可以利用矩形的中心對稱性，將點E或F關于點O對稱，再作該對稱點和另一點所組成的線段的中垂線.請你根據(jù)她的思路在圖2中尺規(guī)作圖確定P、Q的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.②如圖3，點O是矩形對角線的交點，.經(jīng)過深入探究，聰明的小文發(fā)現(xiàn)進一步利用矩形的中心對稱性，在問題①思路的基礎上再添加一條過點O的線段，就能找到符合題意的P、Q（P、Q分別在、邊上，滿足，且點O在線段上）.請在圖3中用直尺簡單構圖（不要求圓規(guī)作圖），并證明.【舉一反三】（3）如圖4，在平面直角坐標系中，原點O是菱形對角線的交點，，，，其中，.若P、Q分別在、邊上，滿足，且點O在線段上，直接寫出m的取值范圍________.9.【教材呈現(xiàn)】現(xiàn)行人教版九年級下冊數(shù)學教材85頁“拓廣探索”第14題：14.如圖,在銳角中,探究,,之間的關系.(提示：分別作和邊上的高.)【得出結論】.【基礎應用】在中,,,,利用以上結論求的長；【推廣證明】進一步研究發(fā)現(xiàn),不僅在銳角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且還滿足(R為外接圓的半徑).請利用圖1證明：.【拓展應用】如圖2,四邊形中,,,,.求過A,B,D三點的圓的半徑.10.【教材呈現(xiàn)】以下是人教版八年級下冊數(shù)學教材第50頁的部分內(nèi)容,如圖,直線,與的面積相等嗎？為什么？【基礎鞏固】如圖1,正方形內(nèi)接于,直徑,求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應用】如圖2,在半徑為5的中,,,,求；【拓展提高】如圖3,是的直徑,點P是上一點,過點P作弦于點P,點F是上的點,且滿足,連接交于點E,若,,求的半徑.11.【教材呈現(xiàn)】人教版八年級下冊數(shù)學教材第68頁第8題如下：如圖1,是一個正方形花園,E,F是它的兩個門,且,要修建兩條路和,這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？為什么？(此問題不需要作答)九年級數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)探究圖形中互相垂直的線段之間的數(shù)量關系是一個常見問題,于是對上面的問題又進行了拓展探索,內(nèi)容如下：【類比分析】(1)如圖2,在矩形中,點E是上一點,連接,過點A作的垂線交于點F,垂足為點G,若,,求的長.【遷移探究】(2)如圖3,在中,,,點D是上一點,連接,作交于點E,求證：.【拓展應用】(3)如圖4,在中,,,,作點A關于的對稱點D,點E為上一點,連接,過點D作的垂線,交于F,垂足為G,若E為中點,則_________.

答案以及解析1.答案：；2.解析：由題意得：∴商式為，余式為2，故答案為：①，②2.2.答案：(1)272,247(2)①；②見解析解析：嘗試(1)；.故答案為：272,247；驗證(2)①第一步：把第一個因數(shù)()與第二個因數(shù)的個位數(shù)(b)相加：；第二步：把第一步的結果乘以10(也就是說后面加個0)：；第三步：把第一個因數(shù)的個位數(shù)(a)乘以第二個因數(shù)的個位數(shù)(b)：；第四步：把第二、三兩步的結果相加：.這就是要求的計算結果,即得；②,又,,說明①的結論正確.3.答案：(1)①37；②沒有可能正好剪98段,理由見詳解(2)9；(3)(4)或解析：(1)①剪1刀,繩子變?yōu)?段,；剪2刀,繩子變?yōu)?段,；由此可得,剪3刀,繩子變?yōu)槎?剪4刀,繩子變?yōu)槎?……可得,剪12刀,繩子變?yōu)槎?；故答案為?7；②沒有可能正好剪得98段,理由：由①可得,剪n刀,繩子變?yōu)槎?,,不是正整數(shù),沒有可能正好剪得98段；(2)剪1刀,繩子變?yōu)?段,；剪2刀,繩子變?yōu)?9段；剪n刀,繩子變?yōu)槎?故答案為：9；；(3)由(1)、(2)可得,將一根繩子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,繩子變?yōu)槎?故答案為：；(4)由(3)可得,將一根繩子折成m()段,然后按(1)中方式剪n刀,繩子變?yōu)槎?,,,又,時或時,或,故答案為：或.4.答案：(1)“箏形”的對角線互相垂直(2)見解析(3)“箏形”的面積等于對角線積的一半解析：(1)“箏形”的對角線互相垂直；(2)已知：四邊形是“箏形”,,,對角線、相交于點O.求證：.證明：∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴；(3)∵,∴,∴“箏形”的面積等于對角線積的一半.5.答案：(1)證明過程詳見解答(2),理由見解析(3)8解析：(1)證明：四邊形是正方形,,,,,,,,,,,,,；(2),理由如下：由(1)得：,,,,,,,,,,,；(3)如圖,過點B作交于點F,由(1)得：,∵,,∴,.6.答案：(1)(2)①證明見解析,②半徑為5解析：(1)∵,∴,∴；(2)①證明：點A,B,C,E均在上,四邊形為圓內(nèi)接四邊形,.又.∴,,,又,；②如圖,過點A作于點H.,,點O在上,.,即,,解得.設,則.在中,由勾股定理得,即,解得,的半徑為5.7.答案：(1)(2)(3)(4)F在E左側；F在ED中間；F在D右側解析：(1)∵,∴,∵平分,平分,∴,,∴,即,∴,故答案為：；(2)∵平分,平分,∴,,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,即,∴；(3)由折疊的性質(zhì)可得,,∵,,,∴,∴,∴,∴,∴同(1)原理可得,故答案為：；(4)當點F在點E左側時,如圖4-1所示,∵,∴,∵平分,平分,∴,,∵,∴；當F在D、E之間時,如圖4-2所示：同理可得,,,∴；當點F在D點右側時,如圖4-3所示：同理可得；綜上所述,F在E左側；F在ED中間；F在D右側.8.答案：（1）垂直平分線；（2）①見解析；②證明見解析；（3）.解析：（1）點P在直線l上，滿足，點P是線段的垂直平分線與直線l的交點，故答案為：垂直平分線；（2）①如圖，作E關于點O對稱點，連接，作垂直平分線，交、于點P、Q，連接、，②如圖，作法同①，點O是矩形對角線的交點，，，，，，垂直平分，，；（3）如圖，作F關于點O對稱點，連接，，同②理，，，，當Q與D重合時，m有最小值，如圖，四邊形是菱形，，，，，；當Q與C重合時，m有最大值，如圖，四邊形是菱形，，，，，或（舍去）；m的取值范圍為，故答案為：.9.答案：教材呈現(xiàn)：見解析基礎應用：推廣證明：見解析拓展應用：解析：教材呈現(xiàn)：如圖,分別作,,垂足分別為D,E,在中,,,在中,,,,,在中,,,在中,,,,,.基礎應用：∵中,,,∴,由題意得,∴,解得；推廣證明：作直徑,連接,∵直徑,∴,∵,∴,∴,∴,同理,,∴；拓展應用：連接,作于點E,∵,∴四邊形是矩形,∵,,,∴,,,∴,∵,∴,∴,∴,∵,即,∴.10.答案：【教材呈現(xiàn)】與的面積相等,理由見解析【基礎鞏固】【嘗試應用】【拓展提高】6解析：教材呈現(xiàn)：與的面積相等,理由：∵,∴點A,D到的距離相等,∴與中邊上的高相等,即：與是同底等高的三角形,根據(jù)三角形的面積公式為：底×高,∴與的面積相等；基礎鞏固：連接,,如圖,∵四邊形為正方形,∴,,∵,∴,由教材呈現(xiàn)可知：,,∴,∴陰影面積.∵圓的面積為,∴陰影面積與圓面積的比值為；嘗試應用：連接,過點O作于點E,則.在和中,,∴,∴,∴.∵,∴.∵