1第6章《計(jì)數(shù)原理》人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)6.2.3組合

問題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng),其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng),1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？甲乙，甲丙，乙丙從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一列。從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素合成一組有順序無順序排列組合甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．

將具體背景舍去，上述問題可以概括為：從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素作為一組，一共有多少個(gè)不同的組?

這就是我們要研究的問題．

環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念

排列與組合的概念有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

組合定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．排列定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.共同點(diǎn)：都要“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”

不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，而組合則與元素的順序無關(guān).組合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

問題一和問題二中“排列”和“組合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

探究：你能說一說排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎？思考一：ab與ba是相同的排列還是相同的組合?為什么?思考二：兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)?兩個(gè)相同的組合呢?１）元素相同；２）元素排列順序相同.元素相同排列組合組合

環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設(shè)集合A={a，b，c，d，e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?組合問題(2)10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問候,共需握手多少次?組合問題(3)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)游覽，有多少種不同的方法?組合問題(4)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)，并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法?排列問題組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.組合排列校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色、綠色的各有3輛.下面的問題是排列問題，還是組合問題？①從中選3輛，有多少種不同的方法?②從中選3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法?思考：判斷一個(gè)計(jì)數(shù)問題是排列問題還是組合問題的方法：排列問題組合問題若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān).若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關(guān).

環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念例5：平面內(nèi)有A、B、C、D共4個(gè)點(diǎn).(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?解：(1)一條有向線段的端點(diǎn)要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從4個(gè)元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，共有

條.(2)將(1)中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為1條線段，就是以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，共有如下6條：AB，AC，AD，BC，BD，CD.這12條有向線段分別為

環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用結(jié)論：取出2個(gè)元素的組合的個(gè)數(shù)是排列數(shù)的一半

利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5(1)中排列和(2)中組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，能否從這種對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個(gè)數(shù)？思考：1.甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，(1)列出所有各場(chǎng)比賽的雙方；（2)列出所有冠亞軍的可能情況.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：

請(qǐng)看課本P22：練習(xí)2.已知平面內(nèi)A，B，C，D這4個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上，寫出以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形.解：ΔABC，ΔACD，ΔABD，ΔBCD3.現(xiàn)有1，3，7，13這4個(gè)數(shù)．（1）從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不相等的和?（2）從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相減，可以得到多少個(gè)不相等的差?

請(qǐng)看課本P23：練習(xí)1.組合的定義

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合(combination).

課堂小結(jié)：判斷一個(gè)計(jì)數(shù)問題是排列問題還是組合問題的方法：排列問題組合問題若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān).若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關(guān).1.從a，b，c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合分別是：ab,ac,bc

2.已知4個(gè)元素a，b，c，d，寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3個(gè))(6個(gè))概念理解：

從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.如：從a，b，c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是：如：已知4個(gè)元素a、b、c、d，寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是：概念講解組合數(shù)：注意：是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開來．

1.寫出從a，b，c，d四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合。abc，abd，acd，bcdbcddcbacd練一練:組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb你發(fā)現(xiàn)了什么?如何計(jì)算：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：因此：

一般地，求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：

第1步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．第2步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)

．

這里，且，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．

例：一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人。問：（1）這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)