第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中陰影面積計(jì)算》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接、，平分交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)如圖2，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，求陰影部分的面積．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求證：為的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．3．如圖，在中，，以為直徑的分別交于點(diǎn)D，G，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：與相切；(2)當(dāng)時(shí)，求陰影部分的面積．4．如圖，是的外接圓，為的直徑，點(diǎn)D是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．5．如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．6．如圖，在中，，以為直徑的分別交、于點(diǎn)D、G，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：與相切；(2)當(dāng)時(shí)，求陰影部分的面積．7．如圖，以的邊為直徑作，交邊于點(diǎn)，恰有．

(1)求證：與相切；(2)若在上取一點(diǎn)，使得，且，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．8．如圖，為的直徑，射線交于點(diǎn)F，點(diǎn)C為劣弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．9．如圖，在中．；點(diǎn)E是上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．10．如圖，是的直徑，D是上的點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為點(diǎn)E．(1)填空：______（選填“＞”、“＜”或“＝”）；(2)求證：是的切線；(3)若，，求陰影部分的面積．11．如圖，點(diǎn)D在的直徑的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在上，且，．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．12．如圖，在中，是直徑，C是圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，直線是的切線．(1)求證：．(2)若，，求圖中陰影部分的面積．13．如圖，內(nèi)接于為的直徑，于點(diǎn)，將沿所在的直線翻折，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．14．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖2，分別與相切于點(diǎn)A、B、C，且，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作交于N．①求證：是的切線；②當(dāng)時(shí)，求的半徑及圖中陰影部分的面積．．15．如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，．(1)求的度數(shù)；(2)設(shè)，相交于E，的延長(zhǎng)線相交于F，求，的度數(shù)；(3)若，求圖中陰影部分的面積．參考答案1．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意，得，則，因?yàn)椋?，即可證明，則；（2）證明，得，得，證明是等邊三角形，得，，再證明，得，，由勾股定理得，求出，，從而求出．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵平分交于點(diǎn)E，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，如圖，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，由（1）知，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵是的切線，∴，即，∴，又，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、角平分線定義、切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、求扇形面積等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了解直角三角形，扇形的面積公式，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．（1）連接，證明，推出，即可證明為的切線；（2）設(shè)，根據(jù)題意得到，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用三角函數(shù)求得，再根據(jù)陰影部分的面積，利用扇形和三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵為的半徑，∴為的切線；（2）解：如圖所示，連接，設(shè)，∵，，，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，在中，，∴∴陰影部分的面積．3．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由可得，再由可得，等量代換可得，根據(jù)同位角相等兩條直線平行可得，又因?yàn)?，根?jù)垂直于兩條平行線中的一條，與另一條也垂直，得到即可證明結(jié)論；（2）先證明可得是等邊三角形，即、，進(jìn)而得到、，最后結(jié)合即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∵為的半徑，∴與相切．（2）解：∵，∴，∵，，，，，，∴是等邊三角形，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、求解扇形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練的證明圓的切線是解本題的關(guān)鍵．4．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算．（1）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由D為的內(nèi)心，得到，求得，根據(jù)圓周角定理得到∠，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到即可；（2）先利用，求得，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，，又為的內(nèi)心∴又為的直徑又∵∴是的切線．（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴，=．5．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定及扇形的面積公式，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練地掌握切線的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．（1）連接，證明，可得，再進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）連接，證明四邊形是矩形，可得，再證明，可得，可得，利用可得答案．【詳解】（1）證明：連接，，，∵是的中點(diǎn)，，，，，，，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接交于點(diǎn)，∵是的直徑，，，，∴四邊形是矩形，，，，，，，，，．6．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解扇形的面積，熟練掌握?qǐng)A的基本知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．（1）由可得，再由可得，等量代換可得，根據(jù)同位角相等兩條直線平行可得，又因?yàn)?，根?jù)垂直于兩條平行線中的一條，與另一條也垂直，得到，即可證明結(jié)論；（2）先證明，可得，，利用含的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理可得，，結(jié)合，從而可得答案．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，是⊙O的切線．（2）解：∵，∴，∵，則，∴，∴，又，∴，∴，，∴，，∴．7．(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角，所以，進(jìn)而易證，即，又是直徑，所以與相切；（2）連接，證明是等邊三角形，求出，根據(jù)扇形面積公式算出扇形面積即可．【詳解】（1）證明：∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，即，又是直徑，∴與相切（2）解：連接，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，，∴，∴∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理、圓周角定理、扇形面積計(jì)算、垂徑定理，掌握切線的判定定理是解決此題的關(guān)鍵．8．(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】本題考查了切線的判定，圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，扇形面積公式等；（1）連接，由圓的基本性質(zhì)得，由圓周角定理得，由平行線的判定方法得，即可得證；（2）連接、，連接交于，由等邊三角形的判定方法得、是等邊三角形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及菱形的判定方法得四邊形是菱形，由菱形的性質(zhì)得，可得，由扇形的面積公式，即可求解．掌握切線的判定，圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，點(diǎn)C為劣弧的中點(diǎn)，，，，，，，，，，是的切線；（2）解：連接、，連接交于，由（1）得，∴，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，四邊形是菱形，，，，．9．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖，連接、，易證可得，即，再根據(jù)切線的判定定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得、，進(jìn)而得到、，再根據(jù)勾股定理可得，最后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，，∴，∵，，∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，，∴，，∵，∴，則，∴，∴．10．(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由同圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等即可得結(jié)論；（2）連接，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義可得，再結(jié)合即可完成證明；（3）連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，由已知易得是等邊三角形，從而可求得扇形的面積，再求出的長(zhǎng)，即可求出的面積，從而求出陰影部分面積．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∴；故答案為：；（2）證明：連接

∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵為的半徑，∴是的切線．（3）解：連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，∵，∴是等腰三角形．∵平分，∴．∴是等邊三角形．∴．∴．在中，．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合，考查了圓周角與弧的關(guān)系，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，切線的判定，求不規(guī)則圖形的面積等知識(shí)，熟練掌握并正確運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角，得，結(jié)合圓周角定理得，根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)求出，得到，根據(jù)切線的判斷定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式、扇形面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）證明：連接，∵，，∴，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定、扇形面積計(jì)算，等邊對(duì)等角，圓周角定理，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．12．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，面積的求法，三角形的解法．（1）連接，得到，然后可得結(jié)論；（2）推出，通過(guò)求解三角形，推出，然后求解面積．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC．是直徑，．，，．直線CD是的切線，，，．（2）解：，，，，．，，，．13．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，如圖所示，先證明，再由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及平行線性質(zhì)得到，由切線的判定即可得證；（2）由等腰直角三角形的判定與性質(zhì)求出相關(guān)角度與邊長(zhǎng)，間接表示出不規(guī)則的圖形面積，最后由扇形面積公式及三角形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：，，，，∵將沿所在的直線翻折，得到，，，，，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：由（1）知，，，，由（1）知，，則，即為等腰直角三角形，，，，，∴圖中陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及垂直定義、等腰三角形性質(zhì)、翻折性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、不規(guī)則面積的求法、扇形面積公式等知識(shí)，熟記圓的相關(guān)性質(zhì)、基本幾何性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（1）；理由見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②半徑為，【分析】本題主要考查圓的切線的證明、扇形的面積計(jì)算等，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握?qǐng)A的知識(shí)點(diǎn)，切線的證明與性質(zhì)，圓中的相關(guān)面積計(jì)算等．（1）.連接和，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題意求證，即可得出，即可得出答案；②根據(jù)，求出的長(zhǎng)，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案．【詳解】解：（1）；理由如下：如圖1，連接和，∵和是的兩條切線，∴，在和中，，∴，∴；（2）①證明：∵分別與相切于點(diǎn)A、B、C，∴分別平分，又∵，∴，∴，∴．∴，又∵，∴，又∵經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)M，∴是的切線．②解：連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，即的半徑為．∴，綜上所述：的半徑為，圖中陰影部分的面積是．1