PAGEPAGE1指數(shù)及指數(shù)函數(shù)【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．根式1.根式的概念根式的概念符號表示備注假如a＝xn，那么x叫做a的n次實數(shù)方根n>1且n∈N*當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次實數(shù)方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次實數(shù)方根是一個負數(shù)eq\r(n,a)0的n次實數(shù)方根是0當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次實數(shù)方根有兩個，它們互為相反數(shù)±eq\r(n,a)負數(shù)沒有偶次方根2.兩個重要公式①eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0))))(n為偶數(shù))；②(eq\r(n,a))n＝a(留意a必需使eq\r(n,a)有意義)．二．有理指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪的表示①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪是＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪是＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪是0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．(2)有理指數(shù)冪的運算性質①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質（1）指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的定義域是R.（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質y＝axa>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0,1)當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一指數(shù)的運算【例1】計算化簡(1)(1（2）(27（3）已知x1①x+x-1；②x2【答案】（1）7（2）52（3）－eq\f(6a,b)（4）①7②47③8【解析】(1)1（2）(278)（3）①因為x12+x-②因為x+x-1=7所以(x+③x3【套路總結】【套路總結】指數(shù)冪運算的四個原則：有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算；先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)；（4）若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質來解答（化簡過程中肯定要留意等價性，特殊留意開偶次方根時函數(shù)的定義域）【舉一反三】1．0.027-【答案】31【解析】原式＝0.3-12．化簡：(3【答案】3【解析】(3故答案為：33．(0.25)1【答案】-【解析】原式=(=12-4×164.已知x＋x－1＝3，則的值為．【答案】2eq\r(5)【解析】＝x＋2＋x－1＝5，＝eq\r(5)(3－1)＝2eq\r(5).5.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的兩根，且a>b>0，則eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝.【答案】eq\f(\r(5),5)【解析】由已知得，a＝3＋eq\r(5)，b＝3－eq\r(5)，所以a＋b＝6，ab＝4，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))))2＝eq\f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))＝eq\f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq\f(1,5).因為a>b>0，所以eq\r(a)>eq\r(b)，所以eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(5),5).6．設2x＝8y＋1，9y＝3x－9，則x＋y的值為．【答案】27【解析】∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.7．已知a－eq\f(1,a)＝3(a>0)，則a2＋a＋a－2＋a－1的值為．【答案】11＋eq\r(13)【解析】由a－eq\f(1,a)＝3，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))2＝9，即a2＋eq\f(1,a2)－2＝9，故a2＋a－2＝11.又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，且a>0，所以a＋a－1＝eq\r(13).于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋eq\r(13).考向二指數(shù)函數(shù)的推斷【例2】函數(shù)f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有（）A．a(chǎn)＝1或a＝2B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2D．a(chǎn)>0且a≠1【答案】C【解析】函數(shù)f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù),依據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義得到a2－3a＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因為指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不能為1，故結果為2.故答案為：C.【套路總結】【套路總結】指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的須要同時滿意①②系數(shù)為1③次數(shù)為1【舉一反三】1．函數(shù)y=（a2–3a+3）?ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為A．1或2B．1C．2D．a(chǎn)>0且a≠1的全部實數(shù)【答案】C【解析】∵y=（a2–3a+3）?ax是指數(shù)函數(shù)，∴a2-3a+3=1a>0且a≠12．函數(shù)f（x）=（2a–3）ax是指數(shù)函數(shù)，則f（1）=A．8B．32【答案】D【解析】函數(shù)f（x）=（2a-3）ax是指數(shù)函數(shù)，∴2a-3=1，解得a=2；∴f（x）=2x，∴f（1）=2．故選：D．3．函數(shù)fx=mA．2B．1C．3D．2或-1【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義，得m2-m-1=1，解得考向三指數(shù)函數(shù)的單調性【例3】函數(shù)fxA．-2,+∞ B．-32,+∞ C．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)fx的定義域為R設u=gx則gx在-2,+∞上單調遞減，在-∞,-2又因為y=5u在R上單調遞增，可得函數(shù)fx的單調遞增區(qū)間為-∞,-2【套路總結】【套路總結】指數(shù)函數(shù)單調性的推斷依據(jù)指數(shù)的底數(shù)a進行推斷，0<a<1為減函數(shù)，a>1為增函數(shù)指數(shù)型函數(shù)的單調性依據(jù)復合函數(shù)“同增異減”求單調區(qū)間必需先求定義域【舉一反三】1.函數(shù)f（x）=eA．(-2,+∞) B．(2,+∞) C．(-∞,-2) D．(-∞,2)【答案】D【解析】因為y=ex，是指數(shù)函數(shù)，是增函數(shù)，所以x＜2時，二次函數(shù)y=-x2+4x-9是增函數(shù)，x＞2由復合函數(shù)的單調性可知：函數(shù)f（x）=e-x2.函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調增區(qū)間是________．【答案】[0，＋∞)【解析】設t＝2x(t>0)，則y＝t2－2t的單調增區(qū)間為[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上單調遞增，所以函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調增區(qū)間是[0，＋∞)．3．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿意f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調遞減區(qū)間是________．【答案】[2，＋∞)【解析】由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上單調遞減，在[2，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在(－∞，2]上單調遞增，在[2，＋∞)上單調遞減．考向四指數(shù)函數(shù)的定義域和值域【例4】（1）函數(shù)y=4-設函數(shù)f（x）=4-4x，則函數(shù)f（x（3）函數(shù)y=2x（4）函數(shù)f（x）=(12【答案】（1）(-∞,2]（2）(-∞,4]（3）0,1【解析】（1）由二次根式有意義，得：4-2x≥0因為y=2x（2）因為fx=4-因為4-4x4≥0,4（3）y=2x2x+1=2x+1-1（4）令t=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，【舉一反三】1．函數(shù)f(x)=2【答案】(0,+∞)【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質可知，2x>0，所以2x+1故答案為：(0,+∞)．2．函數(shù)f（x）=4【答案】[-4，0]【解析】令t=2x(當t=4時，ymax=0；當t=2時，故函數(shù)f（x）=4x-2x+2考向五比較大小【例5】設a=(35A．a(chǎn)>c>bB．a(chǎn)>b>cC．c>a>bD．b>c>a【答案】A【解析】對于函數(shù)y=(25)x，在(0,+∞)對于函數(shù)y=x25，在(0,+∞)上是增函數(shù)，∵從而b<c<a．故A正確．【舉一反三】1.已知a=0.50.8，b=0.8A．c<b<aB．c<a<bC．a(chǎn)<b<cD．a(chǎn)<c<b【答案】D【解析】由題意，依據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調性，可得a=0.50.8<又由c=0.80.8>又由b=0.80.5>c=2．(2A．(23C．(25【答案】A【解析】∵y=（23）x在R上為減函數(shù)，23∵y=x23在（0，+∞）上為增函數(shù)，23>23．已知a=5log23.4，A．b>a>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．a(chǎn)>b>c【答案】D【解析】a=5log23.4，∵log23.4>log【套路總結】【套路總結】一．比較大小常用的方法利用單調性比較大小與特殊值比較大小構造新函數(shù)，分別與新函數(shù)比較大小二．比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.（3）在探討指數(shù)型函數(shù)的單調性時，當?shù)讛?shù)a與“1”的大小關系不確定時，要分類探討考向六過定點【例6】已知函數(shù)fx=aA．0,4 B．2,4 C．0,3 D．4,3【答案】B【解析】由題意知，函數(shù)fx=ax-2+3(a≠0)所以函數(shù)fx的圖象過定點(2,4)【套路總結】【套路總結】形如指數(shù)型函數(shù)求定點：①求x，令f(x)=0求解x;②求y=A+B【舉一反三】1．函數(shù)f(x)=2-aA．(0,2) B．(1,2)【答案】C【解析】由x+1=0得x=-1則f-1=2-a0=12．函數(shù)f（x）=2+ax-1（a＞0，且a≠1）恒過定點（）A．(0,1) B．(1,2)【答案】C【解析】對于函數(shù)f（x）=2+ax-1（a＞0，且a≠1），令x-1=0，求得x=1，y=3，可得函數(shù)圖象恒過定點（1，3），故選：C．3．若函數(shù)f(x)=2×ax+m-A．3 B．1 C．-1 D．-2【答案】C【解析】由題意，函數(shù)f(x)=2×ax所以m-1=0，且2?am-1-n=4考向七圖像問題【例7】（1）若函數(shù)y=ax+b–2（a>0且a≠1）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則A．0<a<1，且b>1B．a(chǎn)>1，且b>1C．0<a<l，且b<1D．a(chǎn)>1，且b<1（2）函數(shù)f（x）=ax–b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則loga（1–b）的取值A．恒等于0B．恒小于0C．恒大于0D．無法推斷【答案】（1）D（2）B【解析】（1）當0<a<1時，指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象經(jīng)過第一、二象限，且單調遞減；當a>1時，指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象經(jīng)過第一、二象限，且單調遞增．函數(shù)y=ax+b–2的圖象可以由函數(shù)y=ax的圖象向上或向下平移得到，∵函數(shù)y=ax+b–2的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，∴a>1；且由圖象平移可知，b–2<–1，解得b<1，故選D．（2）由圖象為減函數(shù)可知，0<a<1，令x=0，可得圖象與y軸的交點為（0，a–b），明顯a–b<1，即a–b<a0．∴–b>0，1–b>1．∴l(xiāng)oga（1–b）<0．故選B．【套路總結】【套路總結】1.對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特殊地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應留意分類探討.2.有關指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解.【舉一反三】1．若函數(shù)f(x)=(12A．(0,1)B．(-12,1)C．【答案】B【解析】因為fx=1又fa=12a2．已知函數(shù)f(x)=(12A．b<-1B．b≤-1C．b≤-2D．b<-2【答案】C【解析】∵y=(12)∴要使函數(shù)f(x)=(12)x-13．若函數(shù)f(x)=ax+b-2（a>0，且a≠1）的圖象經(jīng)過其次A．0<a<1且b<1B．a(chǎn)>1且b>1C．0<a<1且b>1D．a(chǎn)>1且b<1【答案】A【解析】由題可知，函數(shù)f(x)不過第一象限，則0<a<1；又因為函數(shù)f(x)過第三、四象限，則函數(shù)f(x)圖象為y=a即b-2<-1，解得b<1.故選A.4．在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c與函數(shù)y=()x的圖象可能是（）【答案】A【解析】因為解：依據(jù)指數(shù)函數(shù)y=(b÷a)x可知a，b同號且不相等則二次函數(shù)y=ax2+bx的對稱軸-b÷2a＜0，解除B,D，然后選項C，a-b＞0，a＜0，∴b÷a＞1，則指數(shù)函數(shù)單調遞增，錯誤，選A【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．函數(shù)fx=(2a-3)?a【答案】2【解析】函數(shù)fx=(2a-3)?ax是指數(shù)函數(shù)，∴2a-3=1，解得a=2，∴2．下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是。A．y=πxB．y=x2【答案】A【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義：形如y=ax(a>1且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，A中y=πx符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù)；B中，y=3．若函數(shù)fx=(a2【答案】3【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義：形如y=ax(a>1且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，依據(jù)函數(shù)fx=(a2-2a-2)?4．在同一坐標系中，函數(shù)y=ax+a與y=ax的圖象大致是。A．B．C．D．【答案】B【解析】∵函數(shù)y=ax橫過點（0，1）且在a＞1時遞增，在0＜a＜1時遞減，而函數(shù)y=ax+a與y軸的交點為（0，a），因此，A中、由y=ax的圖象遞增得知a＞1，由函數(shù)y=ax+a與y軸的交點（0，a）得知a＜1，沖突；C中、由y=ax的圖象遞減得知0＜a＜1，由函數(shù)y=ax+a與y軸的交點（0，a）得知a＞1，沖突；D中、由y=ax的圖象遞減得知0＜a＜1，函數(shù)y=ax+a遞減得知a＜0，沖突；故選：B．5．已知函數(shù)f(x)=(23)x，則函數(shù)y=fA．B．C．D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，可得f(x+1)=(23)x+1=同時有f(0)=23＜1，2A、D選項的圖象為增函數(shù)，不符合；C選項的圖象與y軸交點在（0，1）之上，不符合；只有B的圖象符合兩點，故選：B．6．函數(shù)y＝ax-1的定義域是(－∞，0]，則a【答案】（0，1）【解析】要使函數(shù)y=ax-1(a>0且a≠1)有意義,則當a>1時，x≥0；當0<a<1時，x≤0，因為y=ax-1的定義域為-∞,0所以可得0<a<1符合題意，∴a7．函數(shù)f(x)=(1【答案】(0,3]【解析】令t=x2+2x=x+12-1，則t≥-1，則y=∵函數(shù)y=(13)t為減函數(shù)，故當t≥-1,0<8．已知函數(shù)y=b+ax2+2x（a,b是常數(shù)，且0<a<1）在區(qū)間[-32【答案】1【解析】令u=x2+2x=則y=b+當0<a<1時，y=b+au單調遞減.所以b+a-1=39．已知a=20.4，b=90.2【答案】a<b<c【解析】a=20.4,b=9冪函數(shù)f(x)=x0.4在0,+∞上單調遞增，則a=指數(shù)函數(shù)g(x)=3x在0,+∞上單調遞增，則b=10．函數(shù)y=a2x-1【答案】1【解析】可令2x﹣1＝0，解得x=12，則y＝a可得函數(shù)y＝a2x﹣1+1（a＞0，a≠1）過定點（12，2）．故答案為：（111．若函數(shù)y=ax-m+n-3（a>0且a≠1）的圖象恒過定點(3,2)【答案】7【解析】∵函數(shù)y=ax-m+n-3（a>0且a≠1）的圖象恒過定點，令x-m=0，可得x=m可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(m,n-2).再依據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(3,2∴m=3，n-2=2，解得m=3，n=4，則m+n=7，故答案為：7．12．已知函數(shù)y=2ax-1+1(a>0且a≠1)恒過定點A【答案】4【解析】當x=1時，y=3可知函數(shù)恒過A1,3則：m+n=4本題正確結果：13．函數(shù)y=3?ax-2+1(a>0【答案】(【解析】對于函數(shù)y=3?ax-2+1(a>0且a≠1)，令x-2=0，求得x=2可得它的圖象經(jīng)過定點(2,4)，故答案為：14．函數(shù)f(x)＝ax－3＋m(a＞1)恒過點(3,10)，則m＝______.【答案】9【解析】由圖象平移學問及函數(shù)f(x)＝ax過定點(0,1)知，m＝9.15．已知f（x）=3x【答案】[-1，0]【解析】∵f（x）=3x2+2ax-a-1的定義域為R，∴即3x2+2ax-a≥1=30恒成立，即x2+2ax﹣a≥0對隨意x∈R恒成立，∴△＝4a故答案為：[﹣1，0]．16.若函數(shù)y＝|4x－1|在(－∞，k]上單調遞減，則k的取值范圍為____________．【答案】(－∞，0]【解析】函數(shù)y＝|4x－1|的圖象是由函數(shù)y＝4x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．由圖象知，其在(－∞，0]上單調遞減，所以k的取值范圍是(－∞，0]．17.若－1<a<0，則3a，a，a3的大小關系是．(用“>”連接)【答案】3a>a3>a【解析】易知3a>0，a<0，a3<0，又由－1<a<0，得0<－a<1，所以(－a)3<(－a)，即－a3<－a，所以a3>a，因此3a>a3>a.18.已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為．【答案】eq\f(1,2)【解析】當a<1時，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；當a>1時，代入不成立．故a的值為eq\f(1,2).19.若偶函數(shù)f(x)滿意f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為．【答案】{x|x>4或x<0}【解析】∵f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x<0，))當f(x－2)>0時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,2x－2－4>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2<0，,2－x＋2－4>0，))解得x>4或x<0.∴不等式的解集為{x|x>4或x<0}．20.已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調遞增，則m的取值范圍是．【答案】(－∞，4]【解析】令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上單調遞增，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上單調遞減．而y＝2t在R上單調遞增，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調遞增，則有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．21.若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))有最大值3，則a＝.【答案】1【解析】令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即當f(x)有最大值3時，a的值為1.22．化簡下列各式：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))0.5＋0.1－2＋－3π0＋eq\f(37,48)；(2)（3）2×（4）（-x13y-1（5）2x14（-3x1【答案】見解析【解析】(1)原式＝＋eq\f(1,0.12)＋－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.(2)原式＝＝eq\r(3,a2)÷eq\r(3,a－2)＝.（3）原式=2(213×312)6+(234)43?4×（4）（-x13y-13）（3x-12y23（5）2x14（-3x14y-13）÷（-623．若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求eq\f(x,y)的值．【答案】2【解析】由已知得lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)