第11講對數(shù)函數(shù)（9大考點）考點考點考向一．對數(shù)函數(shù)的定義【知識點歸納】一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．即ab＝N，logaN＝b．底數(shù)則要大于0且不為1．二．對數(shù)函數(shù)的定義域【知識點歸納】一般地，我們把函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R．三．對數(shù)函數(shù)的值域與最值【知識點歸納】一般地，我們把函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R．定點：函數(shù)圖象恒過定點（1，0）四．對數(shù)值大小的比較【知識點歸納】1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進行比較3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）五．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【知識點歸納】六．對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點【知識點歸納】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點：1、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性當a＞1時，y＝logax在（0，+∞）上為增函數(shù)當0＜a＜1時，y＝logax在（0，+∞）上為減函數(shù)2、特殊點對數(shù)函數(shù)恒過點（1，0）七．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系【知識點歸納】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的關(guān)系：（1）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的定義域、值域互換，圖象關(guān)于直線y＝x對稱．（2）它們都是單調(diào)函數(shù)，都不具有奇偶性．當a＞l時，它們是增函數(shù)；當O＜a＜l時，它們是減函數(shù)．（3）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：八．反函數(shù)【知識點歸納】【定義】一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x，y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若對于y在中的任何一個值，通過x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x＝g（y）就表示y是自變量，x是因變量是y的函數(shù)，這樣的函數(shù)y＝g（x）（y∈C）叫做函數(shù)y＝f（x）（x∈A）的反函數(shù)，記作y＝f（﹣1）（x）反函數(shù)y＝f（﹣1）（x）的定義域、值域分別是函數(shù)y＝f（x）的值域、定義域．【性質(zhì)】反函數(shù)其實就是y＝f（x）中，x和y互換了角色（1）函數(shù)f（x）與他的反函數(shù)f﹣1（x）圖象關(guān)于直線y＝x對稱；函數(shù)及其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y＝x對稱（2）函數(shù)存在反函數(shù)的重要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；（3）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；（4）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（當函數(shù)y＝f（x），定義域是{0}且f（x）＝C（其中C是常數(shù)），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)且有反函數(shù)，其反函數(shù)的定義域是{C}，值域為{0}）．奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數(shù)．若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)．（5）一切隱函數(shù)具有反函數(shù)；（6）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；（7）嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】；（8）反函數(shù)是相互的且具有唯一性；（9）定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆（三反）；（10）原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定（三定）（在有反函數(shù)的情況下，即滿足（2））．九．對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【知識點歸納】1、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a＞10＜a＜1圖象定義域（0，+∞）值域R定點過點（1，0）單調(diào)性在（0，+∞）上是增函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)函數(shù)值正負當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1，y＜0當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞02、由對數(shù)函數(shù)的圖象確定參數(shù)的方法已知對數(shù)型函數(shù)的圖象研究其解析式及解析式中所含參數(shù)的取值范圍問題，通常是觀察圖象，獲得函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、奇偶性、經(jīng)過的特殊點等，由此確定函數(shù)解析式以及其中所含參數(shù)的取值范圍．【解題方法點撥】1、4種方法﹣﹣解決對數(shù)運算問題的方法（1）將真數(shù)化為底數(shù)（或已知對數(shù)的數(shù)）的冪的積，再展開；（2）將同底對數(shù)的和、差、倍合并；（3）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用；（4）利用常用對數(shù)中的lg2+lg5＝1．2、3個基本點﹣﹣對數(shù)函數(shù)圖象的三個基本點（1）當a＞1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”．（2）對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象過定點（1，0），且過點（a，1），（，﹣1）函數(shù)圖象只在第一、四象限．（3）底數(shù)的大小與對數(shù)函數(shù)的圖象位置之間的關(guān)系．3、2個應(yīng)用﹣﹣對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）比較對數(shù)式的大?。孩偃舻讛?shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；若底數(shù)為同一字母，需對底數(shù)進行分類討論．②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較．③若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1，0等中間量進行比較．（2）解對數(shù)不等式：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式．考點精講考點精講一．對數(shù)函數(shù)的定義（共1小題）1．（2019秋?閔行區(qū)校級月考）對數(shù)表達式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范圍是（1，2）∪（2，5）．【分析】直接根據(jù)底數(shù)與真數(shù)滿足的條件求解即可．【解答】解：∵對數(shù)式的底數(shù)需大于0不等于1，真數(shù)大于0；故需：??x的取值范圍是：（1，2）∪（2，5）．故答案為：（1，2）∪（2，5）．【點評】本題主要考查對數(shù)表達式中底數(shù)與真數(shù)所滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題．二．對數(shù)函數(shù)的定義域（共4小題）2．（2021秋?長寧區(qū)期末）下列四組函數(shù)中，定義域相同的一組是（）A．和y＝lgx B．和 C．和y＝lgx D．和【分析】分別求出四個選項中兩函數(shù)的定義域得答案．【解答】解：A中，的定義域為[0，+∞），y＝lgx的定義域為（0，+∞），定義域不同；B中，的定義域為（0，+∞），的定義域為（0，1）∪（1，+∞），定義域不同；C中，的定義域為（0，+∞），y＝lgx的定義域為（0，+∞），定義域相同；D中，的定義域為[0，+∞），的定義域為（0，1）∪（1，+∞），定義域不同．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．3．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）函數(shù)的定義域是[2，+∞）．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【解答】解：由題意可知，解得x≥2，∴函數(shù)的定義域為[2，+∞），故答案為：[2，+∞）．【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題目．4．（2021秋?閔行區(qū)期末）函數(shù)y＝ln（x﹣1）的定義域為（1，+∞）．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定義域即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則x﹣1＞0，解得x＞1．∴函數(shù)的定義域為（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．【點評】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，比較基礎(chǔ)，要求熟練掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．5．（2021秋?金山區(qū)期末）函數(shù)y＝log2（x﹣3）的定義域為{x|x＞3}．【分析】對數(shù)的真數(shù)大于0，就是x﹣3＞0，直接求，解即可求出函數(shù)的定義域．【解答】解：函數(shù)y＝log2（x﹣3）有意義必須x﹣3＞0即：x＞3故答案為：{x|x＞3}【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，是基礎(chǔ)題．三．對數(shù)函數(shù)的值域與最值（共4小題）6．（2022?浦東新區(qū)校級開學(xué)）函數(shù)f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．【分析】直接利用對數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用及不等式的性質(zhì)的應(yīng)用求出參數(shù)的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，所以y＝2x+2﹣x+a﹣1的值域包含（0，+∞）；由于2x+2﹣x≥，當且僅當2x＝2﹣x時，即x＝0時，等號成立；所以2x+2﹣x﹣1≥1；所以a≤﹣1．故答案為：（﹣∞，﹣1]．【點評】本題考查的知識要點：對數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020秋?金山區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）＝logax（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，則a的值為．【分析】由0＜a＜1可得f（x）為減函數(shù)，求得最值代入條件可得解．【解答】解：∵0＜a＜1時，∴函數(shù)f（x）為減函數(shù)，則loga2﹣loga4＝1，即loga＝2，解得，所以實數(shù)a的值為．故答案為：．【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2021秋?普陀區(qū)校級期中）若函數(shù)y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，則a的取值范圍是1＜a＜2．【分析】先根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)g（x）＝x2﹣ax+1的單調(diào)性，進而分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論：①當a＞1時，考慮對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到x2﹣ax+1的函數(shù)值恒為正；②當0＜a＜1時，Δ＝a2﹣4＜0恒成立，x2﹣ax+1沒有最大值，從而不能使得函數(shù)y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值．最后取這兩種情形的并集即可．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①當a＞1時，y＝logax在R+上單調(diào)遞增，∴要使y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，必須g（x）min＞0，∴Δ＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②當0＜a＜1時，g（x）＝x2﹣ax+1沒有最大值，從而不能使得函數(shù)y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合題意．綜上所述：1＜a＜2；故答案為：1＜a＜2．【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的值域最值，著重考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，突出分類討論與轉(zhuǎn)化思想的考查，是中檔題．9．（2021春?浦東新區(qū)校級月考）已知集合A＝{x|log2（2x）?log2x≤0}．（1）求集合A；（2）求函數(shù)y＝42x+1+4x，x∈A的值域．【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的運算法則將已知的不等式化為關(guān)于log2x的二次不等式，通過解二次不等式求出log2x的范圍，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出x的范圍．（2）令4x＝t，則將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求出二次函數(shù)的對稱軸，判斷出二次函數(shù)的單調(diào)性，求出二次函數(shù)的值域．【解答】解：（1）由log2（2x）?log2x＝log22x+log2x≤0，得﹣1≤log2x≤0解得∴（2）令4x＝t，則t∈[2，4]y＝g（t）＝4t2+t，對稱軸為∴g（t）在[2，4]上單調(diào)遞增故ymin＝g（2）＝18，ymax＝g（4）＝68∴y＝42x+1+4x的值域為[18，68]．【點評】本題考查二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法、利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求對數(shù)不等式的解、換元法要注意新變量的范圍．四．對數(shù)值大小的比較（共4小題）10．（2020秋?黃浦區(qū)校級期末）若log3m＜log3n且logm3＜logn3，則實數(shù)m、n滿足的關(guān)系式為（）A．0＜m＜n＜1 B．0＜n＜m＜1 C．0＜m＜1＜n D．1＜m＜n【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷．【解答】解：∵log3m＜log3n，∴0＜m＜n，∵logm3＜logn3，∴0＜m＜1，n＞1，∴0＜m＜1＜n．故選：C．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11．（2021秋?寶山區(qū)校級期中）已知a，b∈R，則下列命題中正確的個數(shù)為（）（1）若0＜a＜b＜1，則aa＜bb；（2）若0＜a＜b＜1，則logab＜logba；（3）若a＞b＞1，則ab＜ba．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【分析】根據(jù)待比較式的特征構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及不等式的性質(zhì)進行比較．【解答】解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx，則f′（x）＝1+lnx，所以x∈（0，）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（，+∞）時，f（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．因為0＜a＜b＜1，所以存在0＜a＜＜b＜1，使得f（a）＝f（b），即alna＝blnb，此時aa＝bb，故（1）錯誤．（2）因為0＜a＜b＜1，所以logaa＞logab，logba＞logbb，所以logab＜1＜logba，故（2）正確，（3）舉例說明：當a＝3，b＝2時，ab＝32＝9，ba＝23＝8，ab＞ba，故（3）錯誤，故選：C．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．12．（2021秋?閔行區(qū)校級期中）若正實數(shù)a，b，c滿足，則（）A．ca＞ba B．logca＜logba C．logab＞logbc D．ca﹣1＜bc﹣1【分析】由對數(shù)，指數(shù)的運算化簡可得0＜c＜0.4＜b＜1＜a，從而依次對四個選項判斷即可．【解答】解：∵，即3a＝4，∴a＞1，∵，∴0.4＜b＜1，∵，∴，∴0＜c＜0.4＜b＜1＜a，∴ca＜ba，logca＞logba，logab＜0＜logbc，∴A，B，C項錯誤；∵a﹣1＞0，c﹣1＜0，∴0＜ca﹣1＜1＜bc﹣1，D項正確．故選：D．【點評】本題考查指數(shù)、對數(shù)，冪的大小比較，同時考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）已知函數(shù)，，，且f（a）＝g（a），f（b）＝h（b），g（c）＝h（c），則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜a＜c【分析】畫出y＝f（x），y＝g（x），y＝h（x）的圖象，結(jié)合圖象可得．【解答】解：畫出y＝f（x），y＝g（x），y＝h（x）的圖象，結(jié)合圖象，以及f（a）＝g（a），f（b）＝h（b），g（c）＝h（c），可得a＞b＞c，故選：A．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．五．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（共8小題）14．（2021秋?靜安區(qū)期末）函數(shù)y＝x2+|lg（x+）|+1的圖像關(guān)于（）對稱A．原點 B．x軸 C．y軸 D．直線y＝x【分析】先求出函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可．【解答】解：函數(shù)的定義域為R，∵f（﹣x）＝（﹣x）2+|lg（﹣x+）|+1＝x2+|lg|+1＝x2+|lg|+1＝x2+|lg（x+）﹣1|+1＝x2+|lg（x+）|+1＝f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對稱，故選：C．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．15．（2021秋?長寧區(qū)期末）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x+a與對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）的圖像關(guān)系可能是（）A． B． C． D．【分析】分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．【解答】解：當a＞1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax為增函數(shù)，且一次函數(shù)y＝x+a與y軸的交點縱坐標a＞1，故排除BD，當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax為減函數(shù)，且一次函數(shù)y＝x+a與y軸的交點縱坐標0＜a＜1，故排除A．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)圖像的識別，屬于基礎(chǔ)題．16．（2021秋?長寧區(qū)校級期末）函數(shù)f（x）＝log2的圖象（）A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于直線y＝﹣x對稱 C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函數(shù)的定義域為（﹣2，2），關(guān)于原點對稱．再根據(jù)f（﹣x）＝log＝﹣f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，故選：A．【點評】本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷，奇函數(shù)的圖象特征，屬于基礎(chǔ)題．17．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）若函數(shù)y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是[4，+∞）．【分析】令（0，+∞）為函數(shù)y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組即可得出a的范圍．【解答】解：∵函數(shù)y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域為R，∴（0，+∞）為函數(shù)y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，∴，解得a≥4．故答案為[4，+∞）．【點評】本題考查了對數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．18．（2021秋?浦東新區(qū)校級期末）方程lgx+lg（x+3）＝1的解x＝2．【分析】先進行對數(shù)運算都化成同底數(shù)的對數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)的對數(shù)相等只要真數(shù)相等即可．【解答】解：∵lgx+lg（x+3）＝lg[x（x+3）]＝lg（x2+3x）＝1＝lg10∴x2+3x＝10∴x＝2或﹣5∵x＞0∴x＝2故答案為：2．【點評】本題主要考查解對數(shù)方程的問題．這里注意對數(shù)的真數(shù)一定要大于0．19．（2021秋?長寧區(qū)校級期末）設(shè)常數(shù)a＞0且a≠1，若函數(shù)y＝loga（x+1）在區(qū)間[0，1]的最大值為1，最小值為0，求實數(shù)a的值．【分析】討論a的取值分別求解即可．【解答】解：y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[0，1]上為單調(diào)函數(shù)，當a＞1時，有l(wèi)oga2＝1，且loga1＝0，解得a＝2，當0＜a＜1時，有l(wèi)oga2＝0，且loga1＝1，此時a不存在，故答案為：2．【點評】本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，熟練掌握對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．20．（2021春?寶山區(qū)期末）設(shè)函數(shù)f（x）＝logmx（m＞0且m≠1）的圖象經(jīng)過點（3，1）．（1）解關(guān)于x的方程f2（x）+（m﹣1）f（x）+1﹣m2＝0；（2）不等式[1+f（x）]?[a﹣f（x）]＞0的解集是，試求實數(shù)a的值．【分析】（1）由已知得logm3＝1，從而求得m＝3，f（x）＝log3x，代入解方程即可，（2）易知log3x∈（﹣1，2），從而可得﹣1，2是關(guān)于t的方程（t+1）?（t﹣a）＝0的兩根，從而解得．【解答】解：（1）由已知得f（3）＝1，即logm3＝1，故m＝3，f（x）＝log3x，方程f2（x）+（m﹣1）f（x）+1﹣m2＝0可化為f2（x）+2f（x）﹣8＝0，即f（x）＝2或f（x）＝﹣4，即log3x＝2或log3x＝﹣4，故x＝9或；（2）∵，∴l(xiāng)og3x∈（﹣1，2），[1+f（x）]?[a﹣f（x）]＞0可化為（log3x+1）?（log3x﹣a）＜0，∴﹣1，2是關(guān)于t的方程（t+1）?（t﹣a）＝0的兩根，∴a＝2．【點評】本題考查了函數(shù)的求法及整體思想應(yīng)用，同時考查了不等式與方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．21．（2021秋?金山區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）．（1）討論函數(shù)f（x）的定義域；（2）當a＞1時，解關(guān)于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）當a＝2時，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m對任意實數(shù)x∈[1，3]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1下面分類討論：當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0即可求得f（x）的定義域（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解答即可；（3）令g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1﹣在[1，3]上是單調(diào)增函數(shù)，只需求出最小值即可．【解答】解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0．所以f（x）的定義域是當a＞1時，x∈（0，+∞）；當0＜a＜1時，x∈（﹣∞，0）．（2）當a＞1時，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則＜，所以﹣1＜﹣1．因為a＞1，所以loga（﹣1）＜loga（﹣1），即f（x1）＜f（x2）．故當a＞1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．∵f（x）＜f（1）；∴ax﹣1＜a﹣1，∵a＞1，∴x＜1，又∵x＞0，∴0＜x＜1；（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1﹣在[1，3]上是單調(diào)增函數(shù)，∴g（x）min＝﹣log23，∵m＜g（x），∴m＜﹣log23，即m∈（﹣∞，﹣log23）．【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、單調(diào)性、值域的問題，屬于中檔題．六．對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點（共5小題）22．（2022春?寶山區(qū)校級期末）函數(shù)y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的圖像恒過定點P，則點P的坐標是（1，3）．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)loga1＝0，求出P點的坐標即可．【解答】解：令2x﹣1＝1，解得x＝1，則y＝3，y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的圖像恒過定點P，則點P的坐標是（1，3），故答案為：（1，3）．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．23．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）函數(shù)y＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的圖像恒過定點P，則點P的坐標為（1，1）．【分析】利用loga1＝0，取x的值進行求解即可．【解答】解：因為函數(shù)y＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1），當x＝1時，y＝1，所以函數(shù)的圖象恒過定點P（1，1）．故答案為：（1，1）．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握loga1＝0，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．24．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）函數(shù)f（x）＝loga（10﹣3x）+9的圖象恒過定點A，且點A在冪函數(shù)g（x）的圖象上，則g（8）＝64．【分析】令真數(shù)等于1，求得x、y的值，可得定點A的坐標，再利用待定系數(shù)法求冪函數(shù)g（x）的解析式，g（8）的值．【解答】解：對于函數(shù)f（x）＝loga（10﹣3x）+9，令10﹣3x＝1，求得x＝3，f（x）＝9，可得它的圖象恒過定點A（3，9）．∵點A在冪函數(shù)g（x）＝xα的圖象上，∴3α＝9，∴α＝2，g（x）＝x2，則g（8）＝82＝64，故答案為：64．【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，用待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．25．（2021?寶山區(qū)校級開學(xué)）已知是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是．【分析】由函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)可得，g（x）＝（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函數(shù)h（x）＝logax在（1，+∞）單調(diào)遞減，且g（1）≥h（1），代入解不等式可求a的范圍【解答】解：由函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)可得，g（x）＝（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函數(shù)h（x）＝logax在（1，+∞）單調(diào)遞減，且g（1）≥h（1）∴∴故答案為：【點評】本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵主要應(yīng)用一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要注意在端點值1處的處理．26．（2019秋?浦東新區(qū)校級期末）已知函數(shù)（m＞0，m≠1）的圖象恒經(jīng)過與m無關(guān)的定點A．（1）求點A的坐標；（2）若偶函數(shù)g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的圖象過點A，求a、b、c的值．【分析】（1）令對數(shù)的真數(shù)等于1，求得x、y的值，可得函數(shù)的圖象恒經(jīng)過定點的坐標．（2）由題意利用偶函數(shù)的性質(zhì)求得b、c的值，再根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過定點A（1，1），可得a的值．【解答】解：（1）令+＝1，可得x＝1，y＝1，可得函數(shù)（m＞0，m≠1）的圖象恒經(jīng)過A（1，1）．（2）∵g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]，是偶函數(shù)，∴g（﹣x）＝g（x），∴b＝0．且有1﹣2c＝﹣c，求得c＝1，故g（x）＝ax2﹣1．再根據(jù)它的圖象經(jīng)過定點A（1，1），可得1＝a﹣1，∴a＝2．綜上可得，a＝2，b＝0，c＝1．【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過定點問題，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．七．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系（共1小題）27．（2021秋?廬陽區(qū)校級月考）設(shè)2a＝5b＝m，且+＝2，m＝．【分析】先解出a，b，再代入方程利用換底公式及對數(shù)運算性質(zhì)化簡即可得到m的等式，求m．【解答】解：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，由換底公式得，∴m2＝10，∵m＞0，∴故應(yīng)填【點評】考查指對轉(zhuǎn)化，對數(shù)的運算性質(zhì)，求兩對數(shù)式的倒數(shù)和，若兩真數(shù)相同，常用換底公式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)求和．八．反函數(shù)（共7小題）28．（2022?上海自主招生）f（x）＝|x|+2x+1+3x的反函數(shù)為g（x），（g（x2））2＝1的根有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由（g（x2））2＝1求得g（x2）＝±1，根據(jù)反函數(shù)的定義列方程求解即可．【解答】解：因為（g（x2））2＝1，所以g（x2）＝±1，當g（x2）＝1時，f（1）＝1+2+1+3＝7，令x2＝7，解得x＝±；當g（x2）＝﹣1時，f（﹣1）＝1﹣2+1+3﹣1＝，令x2＝，解得x＝±；所以方程（g（x2））2＝1的根有4個．故選：D．【點評】本題考查了反函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想，是基礎(chǔ)題．29．（2022?虹口區(qū)校級開學(xué)）若函數(shù)f（x）＝2x﹣7，則f﹣1（1）＝3．【分析】直接根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系求解即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝2x﹣7，∴f（x）＝2x﹣7＝1?x＝3，∴f﹣1（1）＝3．故答案案為：3．【點評】本題主要考查原函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．30．（2022春?寶山區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝f（x）的解析式為f（x）＝a?2x+b?3x.其中常數(shù)a，b滿足a﹣b≠0；（1）若a?b＞0，判斷函數(shù)f（x）是否一定存在反函數(shù)，并說明理由；（2）若a?b＜0，解不等式f（x+2）＞f（x）．【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況討論，分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由反函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案；（2）根據(jù)題意，由f（x+2）＞f（x）變形可得：3a?2x+8b?3x＞0，分與兩種情況討論，求出不等式的解集，綜合可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，若a?b＞0，即或，當時，因為y＝a?2x和y＝b?3x都在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；故函數(shù)有反函數(shù)，當時，因為y＝a?2x，y＝b?3x都在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，故函數(shù)有反函數(shù)，綜合可得：若a?b＞0，函數(shù)f（x）一定存在反函數(shù)；（2）根據(jù)題意，若a?b＜0，則或，f（x+2）＞f（x）即（a?2x+2+b?3x+2）﹣（a?2x+b?3x）＞0，變形可得：3a?2x+8b?3x＞0，當時，則有（）x＞﹣，解可得x＞（﹣），不等式的解集為（（﹣），+∞）；當時，則有（）x＜﹣，解可得x＜（﹣），不等式的解集為（﹣∞，（﹣））；故當時，不等式的解集為（（﹣），+∞）；當時，不等式的解集為（﹣∞，（﹣））．【點評】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及反函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．31．（2021秋?浦東新區(qū)校級期末）設(shè)a∈R，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且．（1）試求f（x）的反函數(shù)f﹣1（x）的解析式及f﹣1（x）的定義域；（2）設(shè)，若時，f﹣1（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【分析】（1）由已知結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)f（0）＝0可求a，代入檢驗即可求解f（x），然后反解可求反函數(shù)，進而可求定義域；（2）由已知不等式恒成立代入進行轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)函數(shù)的最值，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可求．【解答】解：（1）因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝＝0，所以a＝1，此時f（x）＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），滿足題意，令y＝f（x）＝，則，所以x＝log2，所以f﹣1（x）＝log2，由＞0，得﹣1＜x＜1，所以f﹣1（x）的定義域（﹣1，1）；（2）因為時，f﹣1（x）≤g（x）恒成立，所以log2≤log＝log2×恒成立，所以≤×恒成立，即k2≤1﹣x2在[]上恒成立，令h（x）＝1﹣x2，x∈[]，則h（x）在[]上單調(diào)遞減，h（x）min＝h（）＝，所以k2所以0＜k，故k的取值范圍為{k|0＜k}．【點評】本題主要考查了奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)反函數(shù)的求解，不等式的恒成立求解參數(shù)問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．32．（2021秋?普陀區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝f（x）是函數(shù)的反函數(shù)．（1）求函數(shù)y＝f（x）的表達式，寫出定義域D；（2）判斷函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性，并加以證明．【分析】（1）由已知反解出3x，然后結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化可求x，進而可求反函數(shù)的表達時及函數(shù)的定義域；（2）先根據(jù)定義判斷t（x）＝的單調(diào)性，然后結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷．【解答】解：（1）由，得，所以x＝log3，所以f（x）＝log3，D＝（﹣1，1），（2）f（x）單調(diào)遞增，證明如下，設(shè)t（x）＝＝﹣1﹣，設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，則x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，x1﹣x2＜0，則t（x1）﹣t（x2）＝﹣＝＜0，所以t（x1）＜t（x2），所以log3t（x1）＜log3t（x2），所以y＝f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增．【點評】本題主要考查了函數(shù)的反函數(shù)解析式的求解，還考查了利用函數(shù)單調(diào)性定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．33．（2021秋?寶山區(qū)校級期中）已知函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)為y＝f﹣1（x），且f（x）＝2x．（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）＝1，求實數(shù)x的值；（2）若關(guān)于x的方程f（x）+f（1﹣x）＝m在區(qū)間[0，1]內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）易得f﹣1（x）＝log2x，然后解關(guān)于x的對數(shù)方程可得；（2）易得m的范圍即為函數(shù)y＝2x+21﹣x在[0，1]的值域，然后結(jié)合“對勾函數(shù)”的單調(diào)性，求出m的范圍．【解答】解：（1）f（x）＝2x的反函數(shù)為f﹣1（x）＝log2x，由f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）＝1，可得log2x﹣log2（1﹣x）＝1，∴l(xiāng)og2＝1，∴＝2，解得x＝，經(jīng)檢驗符合題意；（2）∵關(guān)于x的方程f（x）+f（1﹣x）＝0在區(qū)間[0，1]內(nèi)有解，∴2x+21﹣x＝m在區(qū)間[0，1]內(nèi)有解，∴m的范圍即為函數(shù)y＝2x+21﹣x在[0，1]的值域，函數(shù)y＝2x+21﹣x＝2x+在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，∴當x＝時，函數(shù)取最小值2，當x＝1時，函數(shù)取最大值3，∴實數(shù)m的取值范圍為[2，3]．【點評】本題考查反函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬中檔題．34．（2021春?寶山區(qū)校級期末）對于給定的函數(shù)y＝f（x），記A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．（1）若f（x）＝，用列舉法表示集合A、B；（2）若f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求證：A＝B；（3）若f（x）＝，記函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)為y＝f﹣1（x），若關(guān)于x的方程f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)f（x）＝，得出方程，即可求解．（2）任取x1∈A，f（f（x1））＝f（x1）＝x1，進而可得x1∈B，可得A?B；任取x2∈B，則f（f（x2））＝x2，利用反證法的思想，證明f（x2）＝x2，得到x2∈A，所以B?A，即可證得A＝B．（3）由y＝f﹣1（x）﹣a與y＝f（x+a）互為相反數(shù)，得到g（g（x））＝x，根據(jù)g（x）的解析式得到函數(shù)g（x）單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)（1）轉(zhuǎn)化為g（x）＝x，得到方程＝x有實數(shù)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）由f（x）＝，令＝x，即x2+4x﹣13＝0，解得x＝﹣2+，即集合A＝{﹣2+}，由f（f（x））＝f（）＝x，即＝x，整理得（x2+4x﹣13）（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣2+或x＝1或x＝3，即集合B＝{1，3，﹣2+}．（2）證明：任取x1∈A，可得f（x1）＝x1，則f（f（x1））＝f（x1）＝x1，所以x1∈B，可得A?B，任取x2∈B，則f（f（x2））＝x2，下面證明：f（x2）＝x2，若f（x2）＞x2，則f（f（x2））＞f（x2）＞x2，若f（x2）＜x2，則f（f（x2））＜f（x2）＜x2，這與f（f（x2））＝x2矛盾，所以f（x2）＝x2，即x2∈A，所以B?A，綜上可得A＝B．（3）由y＝f﹣1（x）﹣a與y＝f（x+a）互為相反數(shù)，令g（x）＝f（x+a），即函數(shù)y＝g（x）的反函數(shù)為y＝g﹣1（x），則f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）?g﹣1（x）＝g（x）?g（g（x））＝x，因為g（x）＝在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，由（2）知g（g（x））＝x，可得g（x）＝x，即方程＝x有實數(shù)解，即x+a﹣2＝x2在[0，+∞）上有實數(shù)解，可得a＝x2﹣x+2＝（x﹣）2+在[0，+∞）有實數(shù)解，所以a≥，即實數(shù)a的取值范圍為[，+∞）．【點評】本題考查集合與函數(shù)的關(guān)系，解題中需要理清思路，屬于中檔題．九．對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（共4小題）35．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）設(shè)f（x）＝|ln（x+1）|，已知f（a）＝f（b）（a＜b），則（）A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)+b＞1 C．2a+b＞0 D．2a+b＞1【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)與絕對值可得﹣ln（a+1）＝ln（b+1），從而可得ab+a+b＝0；從而由基本不等式可得（a+b）（a+b+4）＞0，從而判斷．【解答】解：易知y＝ln（x+1）在定義域上是增函數(shù)，而f（x）＝|ln（x+1）|，且f（a）＝f（b）；故﹣ln（a+1）＝ln（b+1），即ab+a+b＝0．，即（a+b）（a+b+4）＞0，顯然﹣1＜a＜0，b＞0，∴a+b+4＞0，∴a+b＞0，故選：A．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)與絕對值函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了基本不等式與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．36．（2021秋?金山區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x（1）如果x∈[1，2]，求函數(shù)h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；（2）求函數(shù)M（x）＝的最大值．（3）如果對任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k?g（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【分析】（1）令t＝log2x，則h（x）＝﹣2（t﹣1）2+2．由x∈[1，2]，可得t∈[0，1]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得h（x）的值域．（2）根據(jù)函數(shù)M（x）＝，f（x）﹣g（x）＝3（1﹣log2x），分類討論求得M（x）的最大值．（3）由題意可得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞klog2x，根據(jù)t∈[0，1]，可得（3﹣4t）（3﹣t）＞kt，對一切t∈[0，1]恒成立．再分①當t＝0和②當t∈[0，1]兩種情況，求得k的取值范圍．【解答】解：（1）令t＝log2x，則f（x）＝3﹣t，g（x）＝t，h（x）＝（4﹣2log2x）?log2x＝﹣2（t﹣1）2+2．∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，故當t＝1時，h（x）取得最大值為2，當t＝0時，函數(shù)取得最小值為0，∴h（x）的值域為[0，2]．（2）函數(shù)M（x）＝＝，∵f（x）﹣g（x）＝3（1﹣log2x），∴當x∈（0，2]時，f（x）≥g（x），M（x）＝log2x．當x∈（2，+∞）時，f（x）＜g（x），M（x）＝3﹣2log2x．即M（x）＝．當0＜x≤2時，M（x）最大值為1；當x＞2時，M（x）＜1．綜上：當x＝2時，M（x）取到最大值為1．（3）∵對任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k?g（x）恒成立，即（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞klog2x．∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞kt對一切t∈[0，1]恒成立．①當t＝0時，k∈R．②當t∈（0，1]，k＜+4t﹣15，∵h（t）＝+4t﹣15在（0，1]上是減函數(shù)，∴h（t）min＝﹣2，（t＝1時），∴k＜﹣2．綜述，k的取值范圍為（﹣∞，﹣2）．【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．37．（2021秋?靜安區(qū)校級月考）已知x滿足，求的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．【分析】由條件求得，化簡函數(shù)y的解析式為，由此可得y最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．【解答】已知x滿足，求的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．解：由題意，解得，∴．又∵＝（log2x﹣1）（log2x﹣2）＝＝，∴當時，，當log2x＝3時，ymax＝2，即當時，；當x＝8時，ymax＝2．【點評】本題主要考查二元一次不等式、對數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．38．（2021秋?黃浦區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝log4（ax2+2x+3）．（1）若f（1）＝1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)f（1）＝1代入函數(shù)表達式，解出a＝﹣1，再代入原函數(shù)得f（x）＝log4（﹣x2+2x+3），求出函數(shù)的定義域后，討論真數(shù)對應(yīng)的二次函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）先假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）的最小值為0，根據(jù)函數(shù)表達式可得真數(shù)t＝ax2+2x+3≥1恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，再結(jié)合二次函數(shù)t＝ax2+2x+3的性質(zhì)，可列出式子：，由此解出a＝，從而得到存在a的值，使f（x）的最小值為0．【解答】解：（1）∵f（x）＝log4（ax2+2x+3）且f（1）＝1，∴l(xiāng)og4（a?12+2×1+3）＝1?a+5＝4?a＝﹣1可得函數(shù)f（x）＝log4（﹣x2+2x+3）∵真數(shù)為﹣x2+2x+3＞0?﹣1＜x＜3∴函數(shù)定義域為（﹣1，3）令t＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4可得：當x∈（﹣1，1）時，t為關(guān)于x的增函數(shù)；當x∈（1，3）時，t為關(guān)于x的減函數(shù)．∵底數(shù)為4＞1∴函數(shù)f（x）＝log4（﹣x2+2x+3）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，3）（2）設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）的最小值為0，由于底數(shù)為4＞1，可得真數(shù)t＝ax2+2x+3≥1恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，即a為正數(shù)，且當x＝﹣＝﹣時，t值為1．∴??a＝因此存在實數(shù)a＝，使f（x）的最小值為0．【點評】本題借助于一個對數(shù)型函數(shù)，求單調(diào)性與最值的問題，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上?！げ軛疃懈咭黄谀┖瘮?shù)與在同一坐標系中的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】分別討論和時函數(shù)與在的單調(diào)性和所過定點，利用排除法即可求解.【詳解】由對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，當時，過點在上單調(diào)遞減，過點在單調(diào)遞減，所以排除選項C，當時，過點在上單調(diào)遞增，過點在單調(diào)遞增，所以排除選項AD，故選：B.2．（2022·上?！ね瑵髮W(xué)第二附屬中學(xué)高一期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)、在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào).故選：B.3．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是對數(shù)函數(shù)的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的特征判斷即可得答案.【詳解】①②不是對數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量x；③不是對數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對數(shù)函數(shù)．故選:A.4．（2021·上?！じ咭粏卧獪y試）若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用圖像的平移變換即可得到答案.【詳解】當時，把函數(shù)的圖象向左平移5個單位得到函數(shù)的圖象，如圖所示，∴函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，故選A【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象，考查平移變換，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于簡單題型.5．（2021·上海市金山中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則下列命題中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、C，利用特殊值判斷D；【詳解】解：因為，所以，即，對于A：因為在定義域上單調(diào)遞減，又，所以，故A正確；對于B：因為在單調(diào)遞減，又，所以，故B正確；對于C：因為在單調(diào)遞減，又，所以，故C正確；對于D：當（或）時（），此時（或）無意義，故D錯誤；故選：D6．（2022·上海市延安中學(xué)高一期末）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)在時取得最小值．【詳解】，因為是增函數(shù)，因此當時，，，當時，，，而時，，所以時，．故選：C．7．（2022·上海虹口·高一期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，再結(jié)合分段函數(shù)在R上單調(diào)的性質(zhì)列式計算作答.【詳解】因函數(shù)在R上是嚴格減函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，并且有，于是得，解得：，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：D【點睛】方法點睛：對于分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法：一保證各段上同增(減)時，要注意上、下段間端點值間的大小關(guān)系；二是畫出這個分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進行直觀的判斷．8．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）已知a、，有以下3個命題：①若，則；②若，則；③若，則．其中真命題的個數(shù)是（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】C【分析】取值驗證判斷命題①、③；利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析判斷命題②作答.【詳解】當時，取，則，即命題①不正確；當時，函數(shù)，在都是減函數(shù)，于是得，即命題②正確；當時，取，則，，即不成立，命題③不正確，所以真命題個數(shù)是1.故選：C二、填空題9．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）對于任意不等于1的正數(shù)，函數(shù)的圖像都經(jīng)過一個定點，這個定點的坐標是_______.【答案】【分析】根據(jù)求得正確結(jié)論.【詳解】依題意，當，即時，，所以定點為.故答案為：10．（2022·上海·同濟大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期末）對數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則此函數(shù)的解析式________．【答案】【分析】將點的坐標代入函數(shù)解析式，求出的值，由此可得出所求函數(shù)的解析式.【詳解】由已知條件可得，可得，因為且，所以，.因此，所求函數(shù)解析式為.故答案為：.11．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）若代數(shù)式有意義，則其中實數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】代數(shù)式有意義，則，解得.故答案為：.12．（2022·上海市吳淞中學(xué)高一期末）函數(shù)（且）的圖像恒過定點，則點的坐標是________.【答案】【分析】令對數(shù)的真數(shù)為1，求出所對應(yīng)的的值，再求出，即可得解；【詳解】解：因為函數(shù)（且）的圖像恒過定點，所以令即時，所以點坐標為；故答案為：13．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）函數(shù)的定義域為___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法，即可求解.【詳解】解：,解得,故函數(shù)的定義域為:.故答案為：.14．（2021·上海市楊浦高級中學(xué)高一期末）函數(shù)，的最小值是______________.【答案】【解析】令，可得，即可求出最小值.【詳解】，令，，，則，當時，.故答案為：2.【點睛】本題考查與對數(shù)函數(shù)復(fù)合的二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是換元令，得出二次函數(shù)求最值.15．（2021·上海·格致中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大，則的值為________.【答案】【分析】分析函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，由已知條件可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得實數(shù)的值.【詳解】因為，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，，所以，，因為，因此，.故答案為：.16．（2022·上海閔行·高一期末）如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解為___________.【答案】##【分析】先作函數(shù)圖象，再求交點，最后根據(jù)圖象確定解集.【詳解】因為經(jīng)過，所以時，令，當時，可得，所以的解集為.故答案為：.17．（2022·上?！げ軛疃懈咭黄谀┮阎獙崝?shù)x、y滿足，則的最小值為______．【答案】##【分析】根據(jù)給定等式可得，再借助“1”的妙用計算作答.【詳解】因?qū)崝?shù)x、y滿足，則，且，則有，即，且，因此，，當且僅當，即時取“=”，由解得：，所以當時，取最小值.故答案為：18．（2022·上海·高一單元測試）已知函數(shù)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是___．【答案】【分析】問題轉(zhuǎn)化為ax＞對于任意實數(shù)x恒成立，然后對x分類，再由配方法求最值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)的定義域是R，∴+ax＞0對于任意實數(shù)x恒成立，即ax＞對于任意實數(shù)x恒成立，當x＝0時，上式化為0＞﹣1，此式對任意實數(shù)a都成立；當x＞0時，則a＞＝，∵x＞0，∴，則≥，則≤，可得a＞；當x＜0時，則a＜，∵x＜0，∴，則＞1，則＞1，可得a≤1．綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．19．（2021·上?！ど贤馄謻|附中高一期末）如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．【答案】{x|－1<x≤1}【分析】先作函數(shù)圖象，再求交點，最后根據(jù)圖象確定解集.【詳解】令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)的圖象如圖．由得∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}．【點睛】本題考查函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析求解能力.20．（2021·上?！じ咭粏卧獪y試）已知為偶函數(shù)，且在上遞減，則________（選填“”或“”）.【答案】【分析】先根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得出的值，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得出實數(shù)的取值范圍，并比較和的大小關(guān)系，然后利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出和的大小關(guān)系.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，即，即，，等式兩邊平方并化簡得，所以，，則.當時，為減函數(shù)，則，所以，，因此，.故答案為.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，同時也考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)以及利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題21．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為－2，求a的值．【答案】(1)見解析；(2)﹒【分析】(1)由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)的定義域，再由，能求出函數(shù)的值域．(2)由題設(shè)知：當時，函數(shù)有最小值，由此能求的值．（1）由，得，函數(shù)的定義域，，設(shè)，，又，則．當時，，值域為．當時，，值域為．（2）由題設(shè)及(1)知：當時，函數(shù)有最小值，，解得．22．（2021·上?！とA師大二附中高一期末）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)條件分析出的值域包含，由此根據(jù)與的關(guān)系分類討論，求解出結(jié)果；（2）根據(jù)兩種情況結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法進行分類討論，然后求解出的取值范圍.【詳解】（1）當時，滿足題意；當時，要使得的值域為，只需要滿足，解得，綜上（2），當時，外層函數(shù)為嚴格增，所以只需滿足；當時，外層函數(shù)為嚴格減，所以只需滿足，此時不存在，舍去；綜上．【點睛】思路點睛：形如的函數(shù)，若函數(shù)的定義域為，則有；若函數(shù)的值域為，則有.23．（2021·上海·高一專題練習(xí)）比較下列各組中兩個值的大?。孩賚og31.9，log32；②log23，log0.32；③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)；④log50.4，log60.4.【答案】（1）log31.9<log32；（2）log23>log0.32；（3）答案見解析；（4）log50.4<log60.4.【分析】（1）根據(jù)y＝log3x在上嚴格遞增即可求解；（2）判斷與中間值0的大小關(guān)系即可求解；（3）對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，然后根據(jù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性即可求解；（4）在同一直角坐標系中，作出y＝log5x，y＝log6x的圖像，再作出直線x＝0.4，觀察圖像即可求解.【詳解】解：（1）因為y＝log3x在上嚴格遞增，所以log31.9<log32.（2）因為log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.（3）當a>1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上嚴格遞增，所以logaπ>loga3.14；當0<a<1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上嚴格遞減，所以logaπ<loga3.14.綜上，當a>1時，logaπ>loga3.14；當0<a<1時，logaπ<loga3.14.（4）在同一直角坐標系中，作出y＝log5x，y＝log6x的圖像，再作出直線x＝0.4，觀察圖像可得log50.4<log60.4.24．（2022·上海市七寶中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，.（1）設(shè)集合，求集合A；（2）當時，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）由可得，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解指數(shù)不等式即可求得集合；（2）把變形，再由的范圍求得的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）由，得，即，則，求得．，；（2）．，，，當時，，當時，．故的最大值為，最小值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答（1）的關(guān)鍵是求出，解答（2）的關(guān)鍵是先求出，再利用配方法求解.25．（2021·上?！じ咭唬┰O(shè)其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍.【答案】.【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對恒成立，令，得到，其中，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當時，恒有意義，即，對恒成立，即，對恒成立，令，可得，因為，可得，所以對恒成立，又因為在上為減函數(shù)，可得，所以，即實數(shù)的取范圍是.26．（2021·上?！じ咭唬┖瘮?shù)對任意的實數(shù)、有，且當時有.（1）求證：在上為增函數(shù)；（2）若，解不等式【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取且，根據(jù)結(jié)合條件判斷正負即可；（2）根據(jù)條件可得，又單調(diào)性可得，解不等式即可得解.【詳解】（1）證明：取且，則，故，，，函數(shù)在上為增函數(shù).（2），，，由（1）知函數(shù)在上為增函數(shù)，故，，即或，原不等式的解集是27．（2021·上?！げ軛疃懈咭黄谀┮阎獙崝?shù)滿足.（1）求的取值范圍；（2）若函數(shù)，求的是大值和最小值，并求此時的值.【答案】（1）；（2）當或2時，；當時，.【解析】（1）令，原不等式等價于，解得的范圍，進而可得的取值范圍；（2）對函數(shù)化簡可得，令，由可得，計算二次函數(shù)，的最值即可.【詳解】（1）令，則，所以，解得：，即，解得，所以的取值范圍是，（2）令，由可得，則，所以即時，，當或即或時，，綜上所述：當或2時，；當時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求對數(shù)復(fù)合型函數(shù)值域的關(guān)鍵點是利用換元法令，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)，求二次函數(shù)的值域即可，注意的取值范圍.28．（2021·上海·高一）設(shè)函數(shù)（，且），判斷是否存在大于1的實數(shù)，使得對任意，都有，滿足等式，且滿足該等式的常數(shù)的取值唯一？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.【答案】存在，2.【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出在上的值域，在上的值域，根據(jù)求出的范圍，再根據(jù)值的唯一性可得解.【詳解】令，由題意知，所以，所以單調(diào)遞增，故在上的值域為，又單調(diào)遞減，故在上的值域為，要使得對任意，都有，滿足等式，即，則，則，解得，要使?jié)M足不等式的常數(shù)唯一，必須，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)在上的值域是在上的值域的子集列式求解是解題關(guān)鍵.29．（2021·上?！じ咭粏卧獪y試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，定義域為區(qū)間D（使表達式有意義的實數(shù)x的集合）．（1）求實數(shù)m的值，并寫出區(qū)間D；（2）若底數(shù)a滿足，試判斷函數(shù)在定義域D內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3）當（，a是底數(shù)）時，函數(shù)值組成的集合為，求實數(shù)a、b的值．【答案】（1），；（2）單調(diào)遞增，理由見解析；（3）．【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，代入函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上恒成立，進而求解；（2）令，先求出該函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出的單調(diào)性．（3）首先由，求出、的范圍，進而結(jié)合（2）中的結(jié)論，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，結(jié)合已知，解方程求出，排除的情況，最終確定的值．【詳解】解（1）是奇函數(shù)，對任意，有，即．化簡此式，得．又此方程有無窮多解是區(qū)間），必有，解得．令解得所以．（2）當時，函數(shù)上是單調(diào)增函數(shù)．理由：令．易知在上是隨增大而增大，在上是隨增大而減小，故在上是隨增