6.3.1二項(xiàng)式定理（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022秋·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）若的展開式共有12項(xiàng)，則（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，求出答案.【詳解】由二項(xiàng)式定理知展開式共有項(xiàng)，所以，即．故選：A．2．（2022·高二課時練習(xí)）展開式中的第三項(xiàng)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)展開式通項(xiàng)公式寫出第三項(xiàng)即可.【詳解】由題設(shè)，展開式通項(xiàng)為，第三項(xiàng)有，則.故選：D3．（2022秋·河北保定·高二高陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若二項(xiàng)式的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則可以?。?/p>

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由通項(xiàng)公式求出，得到，其中且，通過檢驗(yàn)得到正確答案.【詳解】的通項(xiàng)公式，其中且，要想展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則，即，當(dāng)時，滿足要求，經(jīng)檢驗(yàn)，其他選項(xiàng)均不合題意.故選：A4．（2021·高二課時練習(xí)）化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將代數(shù)式進(jìn)行變形，結(jié)合二項(xiàng)式定理可得結(jié)果.【詳解】.故選：B.5．（2022春·山東濰坊·高二山東省安丘市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．160 B．140 C．160 D．140【答案】A【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)，然后根據(jù)的指數(shù)部分為確定常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，代入通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開式通項(xiàng)為，令，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：A.6．（2022春·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考階段練習(xí)）的展開式中，共有多少項(xiàng)？（

）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】A【分析】按照展開式項(xiàng)含有字母個數(shù)分類，即可求出項(xiàng)數(shù).【詳解】解：當(dāng)展開式的項(xiàng)只含有1個字母時，有3項(xiàng)，當(dāng)展開式的項(xiàng)只含有2個字母時，有項(xiàng),當(dāng)展開式的項(xiàng)含有3個字母時，有項(xiàng),所以的展開式共有45項(xiàng)；故選：A.7．（2022春·河南南陽·高二南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）（）A．3n B．2·3nC．－1 D．【答案】D【分析】根據(jù)條件結(jié)合的展開式即得.【詳解】.故選：D.二、多選題8．（2022秋·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)?？计谥校┰诙?xiàng)式的展開式中，有（）A．含x的項(xiàng) B．含的項(xiàng)C．含x4的項(xiàng) D．含的項(xiàng)【答案】ABC【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，結(jié)合所給的選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時，，知A正確；當(dāng)時，，知B正確；當(dāng)時，，知C正確；當(dāng)時，，知D錯誤．故選：ABC．9．（2022秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）若，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)等式右邊的系數(shù)為1求出；B選項(xiàng)，求出中的系數(shù)為，中的系數(shù)為，求出；CD選項(xiàng)，賦值法求解各項(xiàng)系數(shù)和與，從而判斷CD選項(xiàng)【詳解】因?yàn)榈仁接疫叺南禂?shù)為1，所以，A正確；中的系數(shù)為，中的系數(shù)為，所以，B錯誤；中，令得：，所以，令得：，所以，C錯誤；中，令得：，即，而，所以，，D正確.故選：AD三、填空題10．（2022秋·廣東東莞·高二校聯(lián)考期中）若的二項(xiàng)展開式共有8項(xiàng)，則n=___________.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式展開式中一共有項(xiàng)，所以，解得；故答案為：11．（2022·高二課時練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開______．【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】．故答案為：12．（2022秋·全國·高二期末）若展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則________；【答案】7【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得.【詳解】為常數(shù)項(xiàng)，所以.故答案為：7.13．（2022秋·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為____________（用數(shù)字作答）．【答案】15【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式直接求得.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為.要求常數(shù)項(xiàng)，只需r=2，則有.故答案為：15.14．（2021·全國·高二專題練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)為______.【答案】【分析】本題首先可以寫出二頂式的展開式的通項(xiàng)，然后令，即可得出結(jié)果.【詳解】二頂式的展開式的通項(xiàng)，令，即，，的系數(shù)為，故答案為：.15．（2023·高二單元測試）在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為______．【答案】##2.5【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可得的系數(shù).【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為令，可得的系數(shù)為.故答案為：.16．（2023·高二課時練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，第9項(xiàng)為______．【答案】【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，再求第9項(xiàng).【詳解】的二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式為：，所以第9項(xiàng)為：，故答案為：.17．（2022春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)等于_______.【答案】【分析】只可能出現(xiàn)在后三項(xiàng)中，直接利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，這一部分才會出現(xiàn)，它們展開式含有的項(xiàng)為：.故答案為：18．（2022秋·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谀┑亩?xiàng)展開式中，系數(shù)最大的是第___________項(xiàng).【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理得到展開式的通項(xiàng)公式，然后設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，列出不等式組，求出，從而得到答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，假設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有，解得：，因?yàn)椋?，則，即系數(shù)最大的是第1868項(xiàng).故答案為：186819．（2020秋·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）已知，則的值為_______．【答案】243【分析】根據(jù)題意，利用賦值法，令即可得到答案【詳解】解：因?yàn)椋粤?，則，所以，故答案為：243四、解答題20．（2022·高二課時練習(xí)）化簡：．【答案】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，逆用二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】∵，，，∴原式．21．（2023·高二課時練習(xí)）已知的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，求的最小值．【答案】2【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，結(jié)合已知條件可得，再利用基本不等式即可得解.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為．令，則，于是，得，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），即的最小值為2．【能力提升】一、單選題1．（2022秋·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（

）A． B．2 C．10 D．11【答案】C【分析】用二項(xiàng)式定理將原式化為，進(jìn)而化為，再用二項(xiàng)式定理展開，即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉槠鏀?shù)，則上式=.所以除以13的余數(shù)是10.故選：C.2．（2022春·江蘇蘇州·高二?？茧A段練習(xí)）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026【答案】D【分析】由二項(xiàng)式定理可得，結(jié)合算法新定義判斷滿足對應(yīng)b值.【詳解】若，由二項(xiàng)式定理得，則，因?yàn)槟鼙?整除，所以a除以5余，又因?yàn)椋x項(xiàng)中2026除以5余1．故選：D．3．（2022秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二項(xiàng)式定理寫出對應(yīng)的二項(xiàng)式，即可得答案.【詳解】由，所以.故選：B4．（2021春·江西撫州·高二金溪一中?？茧A段練習(xí)）將二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)重新排成一列，有理式不相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用二項(xiàng)式定理判斷其展開式中有理式的項(xiàng)數(shù)，再利用插空法進(jìn)行排列即可.【詳解】根據(jù)題意，得，因?yàn)榍遥?dāng)時，，即為有理式；當(dāng)時，，即為有理式；當(dāng)時，，即為有理式；當(dāng)時，，即為無理式；所以展開式一共有9個項(xiàng)，有3個有理式，6個無理式，先對6個無理式進(jìn)行排列，共有種方法；再將3個有理式利用“插空法”插入這6個無理式中，共有種方法；利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，一共有種方法.故選：C.5．（2022·高二課時練習(xí)）化簡多項(xiàng)式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，將多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都變成二項(xiàng)式展開式的結(jié)構(gòu)，觀察結(jié)構(gòu)變化，即可進(jìn)行合并，完成求解.【詳解】依題意可知，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都可看作，故該多項(xiàng)式為的展開式，化簡．故選：D.6．（2021·高二課時練習(xí)）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A．252 B．220 C．220 D．252【答案】A【分析】化簡二項(xiàng)式為，求得展開式的通項(xiàng)，令，求得，代入即可求解.【詳解】由，可得二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)的求解，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題7．（2022·高二課時練習(xí)）計(jì)算：________．【答案】1【分析】將整理變形為二項(xiàng)式形式，即可求得答案.【詳解】,故答案為：1三、雙空題8．（2021·高二課時練習(xí)）已知在n的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則：（1）n的值為________；（2）含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)有________個．【答案】

10

6【分析】（1）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，根據(jù)第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)求出n的值；（2）要使2nk，即為整數(shù)，得出k的取值.【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk+1==．（1）因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)k=8時，2n－k=0，解得n=10．（2）要使2n－k，即為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開式的第1，3，5，7，9，11項(xiàng)．故答案為：10；6.四、解答題9．（2022·高二課時練習(xí)）求證：當(dāng)時，為偶數(shù)．【答案】證明見解析【分析】首先寫出與的展開式，再對分奇、偶兩種情況討論，分別證明即可；【詳解】證明：，，當(dāng)為正奇數(shù)時，，而顯然為正整數(shù)，所以為偶數(shù)；當(dāng)為正偶數(shù)時，，而顯然為正整數(shù)，所以為偶數(shù)．綜上，當(dāng)時，為偶數(shù)．10．（2022·高二課時練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）直接利用二項(xiàng)式定理求解；（2）先化簡原式為，再利用二項(xiàng)式定理求解.(1)解：．(2)解：．11．（2021·高二課時練習(xí)）化簡：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）由二項(xiàng)式定理可化簡；（2）由二項(xiàng)式定理可化簡.(1)；(2).12．（2023·高二課時練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）猜想的值，并證明你的結(jié)果．【答案】（1）4；（2）8；（3），證明見解析.【分析】對（1）（2）直接求解；猜想出，利用二項(xiàng)式定理，進(jìn)行賦值即可證明.【詳解】（1）；（2）；（3）猜想：.下面進(jìn)行證明：由二項(xiàng)式定理得：令得：，即.13．（2023·高二課時練習(xí)）已知．求證：當(dāng)為偶數(shù)時，能被64整除．【答案】證明見解析【分析】由題意得，因?yàn)闉榕紨?shù)，設(shè)可表示出，即，利用二項(xiàng)式定理展開，即可證明結(jié)論.【詳解】證明：,因?yàn)闉榕紨?shù)，設(shè)，所以當(dāng)時，（*）,當(dāng)時，，顯然能被64整除；當(dāng)時，（*）式能被64整除,所以為偶數(shù)時，能被64整除．14．（2022·高二單元測試）（1）證明：；（2）計(jì)算：.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算可得；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論及二項(xiàng)式定理計(jì)算可得.【詳解】解：（1）.（2）.其中.15．（2022秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）在的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64．(1)求的值；(2)求展開式的常數(shù)項(xiàng)．【答案】(1)(2)240【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為，即可求出的值；（2）利用二項(xiàng)式定理展開式令的指數(shù)為零，得出參數(shù)的值，即可得出所求的常數(shù)項(xiàng).(1)在的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即，解得．(2)由（1）知，的展開通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為．16．（2023·高二課時練習(xí)）求的二項(xiàng)式展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng)．【答案】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：的二項(xiàng)展開式中共有11項(xiàng)，倒數(shù)第4項(xiàng)為第8項(xiàng)，所以．17．（2022春·江西撫州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開式中，______．給出下列條件：①所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256；②前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于46．試在上面兩個條件中選擇一個補(bǔ)充在橫線上，并解答下列問題：(1)求展開式的常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，結(jié)合條件算出的n值，常數(shù)項(xiàng)即，可得k的值，即得常數(shù)項(xiàng)；（2）寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，結(jié)合條件算出的n值，解不等式可得r的值，即得系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)【詳解】（1）的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為．選①，所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得．選②，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得．由上知，展開式的通項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)即當(dāng)時，，∴常數(shù)項(xiàng)為．（2）由（1）得，的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，故第項(xiàng)的系數(shù)的絕對值為：．由題設(shè)，令，解得，∴，即第7項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，且系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為．18．（2022秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎恼归_式中，第4項(xiàng)為．(1)求正整數(shù)n的值；(2)求的展開式中的系數(shù)．【答案】(1)5(2)10【分析】（1）由二項(xiàng)式定理求得第4項(xiàng)，由已知第4項(xiàng)的系數(shù)與指數(shù)列方程組可得；（2）寫出展開式通項(xiàng)公式，確定所在項(xiàng)數(shù)，從而得結(jié)論．(1)的展開式中，第4項(xiàng)為，可得，解得，故正整數(shù)n的值為5．(2