1/12.2一次函數(shù)和二次函數(shù)新知全解：1．一次函數(shù)（1）一次函數(shù)的概念函數(shù)叫做一次函數(shù)，它的定義域是R，值域為R.一次函數(shù)的圖象是，其中k叫做該直線的，b叫做該直線在y軸上的．一次函數(shù)又叫．（2）一次函數(shù)的性質(zhì)①函數(shù)的改變量Δy＝與自變量改變量Δx＝__________的比值等于，k的大小表示直線與x軸的．②當(dāng)k>0時，一次函數(shù)是；當(dāng)k<0時，一次函數(shù)是．③當(dāng)b＝0時，一次函數(shù)為，是；當(dāng)b≠0時，它．④直線y＝kx＋b與x軸的交點為，與y軸的交點為。2．二次函數(shù)（1）函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定義域為R.（2）二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象圖象函數(shù)性質(zhì)a＞0a＜0定義域x∈R值域a>0a<0奇偶性b=0時為偶函數(shù)，b≠0時既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性a>0a<0圖象特點最值拋物線有最低點，當(dāng)時，有最小值拋物線有最高點，當(dāng)時，有最大值(3)配方法將二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c配成頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k來求拋物線的頂點和函數(shù)y的最值問題．配方法是研究二次函數(shù)的主要方法，熟練地掌握配方法是掌握二次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，對一個具體的二次函數(shù)，通過配方就能知道這個二次函數(shù)的主要性質(zhì)．（4）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：f（x）=ax2+bx+c(a≠0).②頂點式：f(x)=f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)，(k，h)為頂點坐標(biāo)．③兩根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1、x2為兩實根．3．待定系數(shù)法一般地，在求一個函數(shù)時，如果知道這個函數(shù)的一般形式，可先把所求函數(shù)寫為一般形式，其中系數(shù)待定，然后再根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù).這種通過求待定系數(shù)來確定變量之間關(guān)系式的方法叫做待定系數(shù)法。典型例題：題型一一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、已知一次函數(shù)，它的圖象在y軸上的截距為，則的值為（）A．B．2C．1D．2或1【答案】C；2、一次函數(shù)，若y隨x的增大而增大，則它的圖象經(jīng)過（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限【答案】B；3、已知函數(shù)，則其圖象的形狀為（）A．一條直線B．一條線段C．一系列點D．不存在【答案】B；4．如果ab>0，bc<0，那么ax＋by＋c＝0的圖象的大致形狀是（）【答案】A5．已知直線y＝kx＋b過點A(x1，y1)和B(x2，y2)，若k<0且x1<x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1＝y(tǒng)2D【解析】∵k＜0，∴y＝kx＋b是減函數(shù)．∴當(dāng)x1＜x2時，y1＞y2.【答案】A題型二二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如右圖所示，則()A．a(chǎn)>0，b>0B．a(chǎn)>0，c>0C．b>0，c>0D．a(chǎn)、b、c均小于0【解析】由圖象開口向下知a<0，而－b/2a>0，∴b>0又f(0)＝c>0.【答案】C2.若二次函數(shù)對任意的實數(shù)ｘ都滿足，則實數(shù)a的值為（）A．B．－C．－3D．3【答案】D【方法技巧】在解決與二次函數(shù)對稱軸有關(guān)的問題時如果能合理應(yīng)用下面的結(jié)論會簡化解題過程：若函數(shù)對任意的實數(shù)ｘ滿足，則的對稱軸是x＝m．3．已知函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1，(1)求這個函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸方程；(2)求這個函數(shù)的最小值；(3)不直接計算函數(shù)值，試比較f(－1)和f(1)的大小．【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，第(3)問首先利用函數(shù)f(x)的對稱性：f（x－h(huán))＝f(x＋h)，把要比較的兩個值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大?。部梢员容^兩個自變量離對稱軸的距離大小，從而得到它們的大小關(guān)系．本題a＝2＞0，拋物線開口向上，，離對稱軸遠(yuǎn)的函數(shù)值大，所以f(－1)＞f(1)這也是常用的方法，應(yīng)熟練掌握．【解析】（1）將函數(shù)配方化為頂點式【方法技巧】討論二次函數(shù)的性質(zhì)一定要結(jié)合二次函數(shù)的圖象，為了方便，通常畫草圖，有時可以省去y軸，利用單調(diào)性比較兩個數(shù)值的大小，關(guān)鍵是利用對稱性將它們轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及化歸等重要思想方法．4.已知二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根為________．【解析】由圖知拋物線的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標(biāo)是(3,0)，所以拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)是(－1,0)，所以關(guān)于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根為x1＝－1，x2＝3.【答案】－1,35．已知關(guān)于x的函數(shù)y=(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的圖象與x軸總有交點．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)的倒數(shù)和等于－4時，求m的值．【解析】(1)當(dāng)m＋6＝0，即m＝-6時，函數(shù)y＝－14x－5與x軸有一個交點；當(dāng)m＋6≠0時，Δ＝4(－9m－5)≥0，解得m≤，即當(dāng)m≤，且m≠－6時，拋物線與x軸有交點．綜合m＋6＝0和m＋6≠0可知，當(dāng)m≤時，此函數(shù)的圖象與x軸有交點．(2)設(shè)x1，x2是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0的兩個根，當(dāng)m＝－3時，m＋6≠0，Δ>0，符合題意，∴m的值是－3.【方法技巧】對于y=ax2+bx+c要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須認(rèn)定a≠0.當(dāng)題目條件未說明a≠0時，就要討論a=0和a≠0兩種情況.題型三二次函數(shù)的最值問題1．求函數(shù)y＝2x2－4x－3的最值．(1)x∈R；(2)x∈[－2,0]；(3)x∈[0,3]；(4)x∈[2,4]．【解析】對二次函數(shù)配方，得y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5.(1)若x∈R，當(dāng)x＝1時，ymin＝－5；無最大值．(2)若x∈[－2,0]，當(dāng)x＝－2時，ymax＝13；當(dāng)x＝0時，ymin＝－3.(3)若x∈[0,3]，當(dāng)x＝1時，ymin＝－5；當(dāng)x＝3時，ymax＝3.(4)若x∈[2,4]，當(dāng)x＝2時，ymin＝－3；當(dāng)x＝4時，ymax＝13.2．求函數(shù)＝在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.【解析】＝由于的圖象（拋物線）的對稱軸x＝a

對于[0,2]的位置有四種可能.

當(dāng)a＜0時，＝＝，當(dāng)0≤a＜1時,＝＝，當(dāng)1≤a＜2時,＝＝－1，當(dāng)a≥2時,，＝＝－1，＝＝

【方法技巧】(1)利用單調(diào)性求最值或值域應(yīng)先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性;(2)求解二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，應(yīng)判斷它的開口方向、對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，若含有字母應(yīng)注意分類討論，解題時最好結(jié)合圖象解答．題型四由特殊值求待定系數(shù)1．已知一次函數(shù)y＝kx＋b，x＝1時，y＝－2，且在y軸上的截距為－5，那么它的解析式是（）A．y＝3x＋5B．y＝－3x－5C．y＝－3x＋5D．y＝3x－5【答案】D2．過點A(－2,3)的反比例函數(shù)的解析式是（）【答案】B3．二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(2，－1)，且過點(3,1)，則解析式為________．【答案】y＝2x2－8x＋74．一次函數(shù)y＝3x＋b的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，則一次函數(shù)的解析式為________．【解析】即b2＝144，∴b＝±12.∴解析式為y＝3x±12.【答案】y＝3x±125．已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x＝2，又經(jīng)過點（2，3），且與一次函數(shù)的圖象交于點（0，－1），求過一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的另一個交點的坐標(biāo)．【解析】已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=2，且又經(jīng)過點（2，3），則二次函數(shù)圖象的頂點為（2，3），設(shè)二次函數(shù)為ｙ＝；以（0，－1）代入，得a＝－1，∴ｙ＝①再以（0，－1）代入，得b＝1，∴y＝x－1②，聯(lián)立①，②消去y，得x2－x＝0，方程組的解為或，所求另一個交點坐標(biāo)為（1，2）題型五由恒等式求待定系數(shù)1．若，則A，B.【解析】2．已知二次函數(shù)滿足＝１，－＝2x，則＝（）A．B．C．D．【答案】C3．已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的二次函數(shù)為y＝x2－2x＋1，求該二次函數(shù)的解析式．【解析】將y＝x2＋bx＋c的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位得解析式為y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3＝x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7.令x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7＝x2－2x＋1，題型六二次函數(shù)三種解析式的靈活運用【方法技巧】二次函數(shù)解析式有三種表達形式，1.一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0,a,b,c為常數(shù)2.頂點式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0,a,h,k為常數(shù)，（h,k）為頂點坐標(biāo)。3.交點式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0,a,x1,x2為常數(shù)，x1,x2是拋物線與橫軸兩交點的橫坐標(biāo).每種形式都有三個待定的系數(shù)，所以用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式應(yīng)注意以下幾點：（1）根據(jù)題目給定的條件注意選擇適當(dāng)?shù)谋磉_形式，一般已知拋物線的頂點，用頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0)；已知拋物線與x軸的兩個交點（或與x軸的一個交點及對稱軸），用兩點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)；（2）解題過程中待定的系數(shù)越少，需構(gòu)造的方程也越少，這樣可以大大簡化計算過程，故盡量由已知直接確定某些系數(shù)；（3）若題目給定二次函數(shù)解析式的某種形式（如y=ax2+bx+c=0(a≠0)），那么最后的結(jié)果必須寫成此種形式。1．已知拋物線與x軸交于點(－1,0)，(1,0)，并且與y軸交于點(0,1)，則拋物線的解析式為A．y＝－x2＋1B．y＝x2＋1C．y＝－x2－1D．y＝x2－1【解析】由題意拋物線對稱軸是y軸且開口向下，頂點(0,1)故拋物線為y＝－x2＋1.【答案】A2.拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-3，0），對稱軸x=-1,頂點C到x軸的距離為2，求此拋物線的解析式。解法1：依題意，得解得∴即所求.解法2:∵拋物線對稱軸x=-1,頂點到x軸的距離為2，∴頂點（-1，±2）設(shè)y=a(x+1)2±