數(shù)學(xué)與文化:以數(shù)學(xué)小說(shuō)閱讀為進(jìn)路

從數(shù)學(xué)敘事到小說(shuō)敘事：

閱讀理解的另一種可能

說(shuō)文解字！數(shù)學(xué)敘事(mathematicalnarrative)：

Usingnarrativeasananalyticaltool,MorandNoss(2008)interpretlearner’sexpressionsasmathematicalnarratives,i.e.,“narrativeswhichareintendedtocommunicateorconstructmathematicalmeanings”.Mor,YishayandRichardNoss(2008).“Programmingasmathematicalnarrative”,Int.J.Cont.EngineeringEducationandLife-LongLearning18(2):214-233.小說(shuō)敘事(literaturenarrative)3

PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)的意義

數(shù)學(xué)素養(yǎng)：在多樣的情境之下，可以構(gòu)造(formulate)

數(shù)學(xué)、運(yùn)用（employ)

數(shù)學(xué)，以及詮釋(interpret)、應(yīng)用(apply)和評(píng)價(jià)(evaluate)數(shù)學(xué)結(jié)果的能力。它包含數(shù)學(xué)的推理以及使用數(shù)學(xué)概念、程序、事實(shí)和工具，來(lái)描述、解釋和預(yù)測(cè)現(xiàn)象，并評(píng)估其結(jié)果。它協(xié)助吾人認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)所扮演的角色，讓有建設(shè)性的、介入的和深思熟慮的公民，作出具有良好根據(jù)的判斷和決策。44數(shù)學(xué)素養(yǎng)架構(gòu)Capabilities\ProcessFormulatingsituationsmathematicallyEmployingmathematicalconcepts,facts,proceduresandreasoningInterpreting,applying,andevaluatingmathematicaloutcomes1.CommunicationF1E1I12.MathematisingF2E2I23.RepresentationF3E3I34.ReasoningandargumentF4E4I45.DevisingstrategiesF5E5I56.Usingsymbolic,formal,andtechnicallanguageandoperationsF6E6I67.UsingmathematicaltoolsF7E7I755平行性（parallelism）小說(shuō)家：小說(shuō)情節(jié)中的數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)

(mathematicalknowledgeactivitiesinplotsoffiction)數(shù)學(xué)史家：歷史脈絡(luò)中的數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)

(mathematicalknowledgeactivitiesinhistoricalcontext)數(shù)學(xué)（教育）家：真實(shí)世界中的數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)

(mathematicalknowledgeactivitiesinrealworld)科普作家：數(shù)學(xué)普及敘事中的數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)

(mathematicalknowledgeactivitiesinnarrativeofpopularmathematicalwriting)對(duì)「數(shù)學(xué)家」此一角色來(lái)說(shuō)，特別地，還有小說(shuō)情節(jié)中的數(shù)學(xué)家vs.數(shù)學(xué)家傳記中的數(shù)學(xué)家6Thomas:數(shù)學(xué)vs.敘事敘事vs.數(shù)學(xué)證明：當(dāng)吾人進(jìn)行數(shù)學(xué)證明時(shí)，首先假設(shè)某些討論的對(duì)象或物件，以及它們之間的關(guān)系，這類比了從一個(gè)已知角色出現(xiàn)開始說(shuō)故事。數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)果vs.故事的發(fā)展結(jié)果：故事的發(fā)展在于外在原因與人物的意圖，而數(shù)學(xué)則透過(guò)演繹方法，并以「若……則……」等數(shù)學(xué)慣用敘述連接。想象與演繹在敘事與數(shù)學(xué)中截然不同，在數(shù)學(xué)中，想象是為了了解結(jié)論為何被蘊(yùn)涵，而在敘事中，「演繹推論」則是為了認(rèn)識(shí)所想象的對(duì)象以及故事如何呈現(xiàn)。7Thomas：特例vs.模式

故事處理的是最終的特例（ultimatelyspecialcases），數(shù)學(xué)家則對(duì)他們據(jù)以發(fā)現(xiàn)模式（pattern,或一般式）的特例感興趣。文學(xué)的理論與研究，如同數(shù)學(xué)思維一樣，把特例看成模式的彰顯，因此，文學(xué)理論從許多特定的故事中提煉出共同的模式。8Thomas：應(yīng)用與真實(shí)無(wú)論是文學(xué)還是數(shù)學(xué)，都不能直接對(duì)應(yīng)到實(shí)在(reality），它們更不等同于實(shí)在。文學(xué)關(guān)乎想象與虛構(gòu)，卻能使讀者在真實(shí)生活中產(chǎn)生共鳴、感動(dòng)和模仿；數(shù)學(xué)在于抽象法則的思考，經(jīng)由與物理或其他學(xué)科結(jié)合的應(yīng)用而創(chuàng)造事物（例如一棟建筑）。數(shù)學(xué)物件與數(shù)學(xué)定理，都能如同故事般地被應(yīng)用，而數(shù)學(xué)的事實(shí)（亦即有效的推論或數(shù)學(xué)真理）也類比了故事之中的事實(shí)。美好的數(shù)學(xué)概念，可用以證明某些結(jié)果，最好的故事則具有不同方式的啟發(fā)力量。9布魯納：科學(xué)的敘事法理解是什么呢？就是把原本是互相競(jìng)逐、且不完全能予以檢驗(yàn)的諸命題，用訓(xùn)練有素的方式加以組織和脈絡(luò)化之后所獲得的結(jié)果。而我們得以這樣做，有個(gè)基本手段，就是敘事法：用故事來(lái)說(shuō)出某事物究竟是什么「東西」。

（布魯納(JeromeBruner)，《教育的文化》，p.147）10布魯納：詮釋的循環(huán)對(duì)于故事結(jié)構(gòu)而言，其最有興味之處在于它所行經(jīng)之途是一條雙向的道路，而這兩個(gè)方向就是她的部份與整體。故事中所重述的事件，是從故事的整體中取得意義。但故事的整體又是由其各個(gè)部份來(lái)搭建。這「部份/整體」的關(guān)系有如蛇首在追逐它自己的蛇尾一樣，而它有個(gè)令人望之儼然的名字，叫做「詮釋的循環(huán)」(hermeneuticcycle)，因此，故事是由詮釋(interpretation)法則來(lái)管轄，而不是說(shuō)明(explanation)。對(duì)于故事，你決無(wú)法解說(shuō)，而只能對(duì)它做反覆變化的詮釋。你可以對(duì)一個(gè)落體作說(shuō)明，因?yàn)橛兄亓Φ睦碚摽裳?。但?dāng)那顆傳奇的蘋果掉到牛頓爵士頭上時(shí)，你對(duì)于他的腦袋里發(fā)生什么事情，則只能作詮釋。11布魯納：閱讀理解與敘事法對(duì)于敘事的理解與閱讀，就是「詮釋法」，那是什么意思呢？這起碼是意謂：沒(méi)有一個(gè)故事只能用單一的、獨(dú)特的方式去理解。它的意義本來(lái)是多重的。我們不能說(shuō)，有一套理性的程序可用以決定某一種特殊的「讀法」像邏輯真理一樣地必然為真；也不能說(shuō)，有一套經(jīng)驗(yàn)的方法可用以檢核任何特定的讀法。詮釋分析的目的，是要為一則故事提共一套可信服、不自相矛盾的說(shuō)明；而它的讀法，是要和故事里特定的細(xì)節(jié)座落在同樣的水平。這就構(gòu)成了著名的「詮釋循環(huán)」之說(shuō)–對(duì)某一文本做了一種閱讀，若要對(duì)此讀法的「正確性」而辯護(hù)，則其方式不是要參照可觀察的世界，也不是透過(guò)必然性的法則，而是要參照其他的閱讀。（p.209）12

NielsJahnke的HPM版的雙重詮釋學(xué)循環(huán)

H：數(shù)學(xué)史家，I：歷史詮釋，M：古代數(shù)學(xué)家，

L：數(shù)學(xué)理論，O：數(shù)學(xué)物件

13Jahnke(1994)Theteachershouldknowandunderstandsomethingaboutthehistorian’sperspectiveifhetakeshistoryofmathematicsintotheclassroom,referspreciselytotheproblemthathe/shemustawareofthistwocirclesandabouttomovewithinit.Onlythiswillenablehimandhisstudentstoacquireacertainfreedomagainstthesubjectmattertoformhypothesesandtobereadytothinkoneselfintootherpersonswhohavelivedinanothertimeandanotherculture.Theessentialthinginthisisthatdoingmathematicsintheprimarycircle(therightbottomone)isguided,initsobjectives,byotheraspectswithresultfromrelationswithinthesecondarycircle.14

詮釋學(xué)循環(huán)四面體

C1：數(shù)學(xué)敘事主環(huán)，C2：小說(shuō)敘事主環(huán)，

T/H：讀者，I：閱讀理解

15臺(tái)大通識(shí)「數(shù)學(xué)與文化：以數(shù)學(xué)小說(shuō)閱讀為進(jìn)路」

結(jié)合數(shù)學(xué)與敘事(mathematicsandnarrative)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)，以及它的可親近性(accessibility)。從數(shù)學(xué)小說(shuō)（與電影）探討數(shù)學(xué)概念或方法如何被呈現(xiàn)。探討數(shù)學(xué)概念成為文化（或文學(xué)創(chuàng)作）的隱喻(metaphor)時(shí)，數(shù)學(xué)與文化彼此的相互影響。1617

林芳玫：《達(dá)文西亂碼》

我是√5，我要尋找1，演變成Phi。(1＋√5)/2＝Phi；黃金比例。Phi是個(gè)無(wú)理數(shù)，無(wú)法用小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字來(lái)表達(dá)。但是Phi可以用幾何作圖形形成視覺再現(xiàn)，就象是海螺的螺旋，每一圈直徑跟較內(nèi)圈的直徑比例都是1.618。這樣的曲線當(dāng)然也只是模擬(simulation)。有如海螺般的曲線，但是海螺是有限的，Phi可以不斷向外擴(kuò)展至無(wú)限大，也可以向內(nèi)縮至無(wú)限小。Phi是無(wú)限寬廣與無(wú)限細(xì)膩。五芒星線條比例；人體身高與從肚臍到腳底的比例；蜂巢里雄蜂數(shù)目除以雄蜂，這些都是Phi。存在大自然的動(dòng)物植物，都顯現(xiàn)著神圣比例。萬(wàn)事萬(wàn)物不斷生長(zhǎng)繁殖，向上、向外延展；也不斷向下、向內(nèi)，趨于微渺，但不死寂消滅。我忽然想起了歌德在《浮士德》最后寫的句子：「一切無(wú)常皆是映影；不可企及者至此實(shí)現(xiàn)；無(wú)可言喻者至此完成；永恒的女性，引領(lǐng)我們向上?！篃o(wú)常就是不斷變化，有如湖面波光粼粼，又似黑暗洞穴里舉起蠟燭，燭光照出尋寶者移動(dòng)的身影。看似虛幻又難以達(dá)成，卻又可以用海螺曲線等各種方式表達(dá)，就是不能用一般理性的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明。歌德的詩(shī)篇，多么Phi！永恒不滅，永不止息。18

結(jié)城浩：《數(shù)學(xué)女孩：費(fèi)馬最后定理》

作者在介紹復(fù)數(shù)的和與乘積時(shí)，特別指出：吾人「利用復(fù)數(shù)平面上的『點(diǎn)』來(lái)標(biāo)示出復(fù)數(shù)這種『數(shù)』，的確是相當(dāng)了不起的想法。」啊??！我心里想－這簡(jiǎn)直就象是之前在請(qǐng)教米爾迦「ω的華爾茲」時(shí)的感覺一樣。只看到實(shí)數(shù)就想說(shuō)明復(fù)數(shù)的乘積，在直覺上是無(wú)法接受的?？墒牵绻麑⑺D(zhuǎn)換為在復(fù)數(shù)平面上旋轉(zhuǎn)的印象的話，負(fù)數(shù)的乘積也就會(huì)變得協(xié)調(diào)而不突兀了。試著在心里描繪更寬廣的復(fù)數(shù)世界，這么一來(lái)，就能輕松理解那個(gè)被埋藏在里頭的實(shí)數(shù)世界了。從高次元往下俯瞰，相對(duì)地，數(shù)的結(jié)構(gòu)的探索也會(huì)變得容易的多……。19蒂蒂突然改口說(shuō)道。「米爾迦學(xué)姐……總覺得，我好像慢慢有點(diǎn)懂了！利用復(fù)數(shù)平面來(lái)讓數(shù)與點(diǎn)互相對(duì)應(yīng)。數(shù)的計(jì)算，則是透過(guò)點(diǎn)的移動(dòng)來(lái)對(duì)應(yīng)。透過(guò)這樣的方式，來(lái)不斷加深對(duì)這兩兩者的了解－對(duì)吧！」「就是這么回事！蒂德拉（按即：蒂蒂）就是讓數(shù)與點(diǎn)互相對(duì)應(yīng)，讓代數(shù)與幾何互相對(duì)應(yīng)?！姑谞栧日f(shuō)道。

代數(shù)

幾何

復(fù)數(shù)全體的集合

復(fù)數(shù)平面

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)平面上的點(diǎn)

復(fù)數(shù)的集合

復(fù)數(shù)平面上的圖形

復(fù)數(shù)的和

平行四邊形的對(duì)角線

復(fù)數(shù)的乘積

絕對(duì)值的乘積、幅角的和（放大、旋轉(zhuǎn)）

「復(fù)數(shù)平面是代數(shù)與幾何邂逅的舞臺(tái)－」米爾迦一邊說(shuō)著，一邊用手指輕輕碰著自己的嘴唇?！福谶@個(gè)名為復(fù)數(shù)平面的舞臺(tái)上，代數(shù)與幾何深情的擁吻著?！惯@句話，讓蒂蒂羞紅著臉而低下了頭。20小說(shuō)家如何轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)敘事？保羅?霍夫曼，《數(shù)字愛人：數(shù)學(xué)奇才艾狄胥的故事》(pp.191-193)e是甚么？就像π一樣，e也是一個(gè)無(wú)限非循環(huán)小數(shù)。歐拉將e的值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后的第23位：2.718281828459045235326028…，該數(shù)可由下列無(wú)窮級(jí)數(shù)產(chǎn)生：表面上看來(lái)，e這個(gè)數(shù)并不怎么「自然」，其所以有這種叫法，是因?yàn)樗谥T如生長(zhǎng)和衰亡這些基本過(guò)程的數(shù)學(xué)模型中經(jīng)常出現(xiàn)，…21《數(shù)字愛人》如果數(shù)學(xué)的成功是用揭示貌似無(wú)關(guān)的概念之間的深層聯(lián)系來(lái)衡量的話，那么歐拉應(yīng)該拿頭獎(jiǎng)。歐拉注意到e的i次方加上1等于0，這樣他大筆一揮就將π，e，i（虛數(shù)，-1的平方根）和最基本的數(shù)字0和1聯(lián)系在一起，這恐怕是數(shù)學(xué)中最精煉和最著名的公式了。請(qǐng)注意歐拉公式在表現(xiàn)形式上是多么的美，多么地簡(jiǎn)潔，它不僅充滿了數(shù)學(xué)的美感，而且還富有神秘的魅力。22小川洋子《博士熱愛的算式》(pp.162-164)對(duì)于e的部份，根據(jù)歐拉的計(jì)算：e=2.718281828459045235326028…永無(wú)止境持續(xù)下去……但計(jì)算式比數(shù)字簡(jiǎn)單多了。雖然簡(jiǎn)單，卻更加深了e的謎團(tuán)。這個(gè)所謂的自然對(duì)數(shù)，一點(diǎn)都不自然。如果不用符號(hào)表示，即使用再巨大的紙也無(wú)法寫完，用這種無(wú)法看到盡頭的數(shù)字為底，簡(jiǎn)直太不自然了。23就像螞蟻隨心所欲大排長(zhǎng)龍，嬰兒隨便亂堆的積木一樣，這個(gè)沒(méi)有規(guī)律、永無(wú)止境的數(shù)列，竟然具備了合乎情理的意志，讓人無(wú)從著手。上帝的旨意太莫測(cè)高深了，然而還是有人發(fā)現(xiàn)了上帝的旨意。但包括我在內(nèi)的所有人，并沒(méi)有對(duì)此表示出應(yīng)有的感謝。沈重的書本讓我的手麻痺了，我甩了甩手，重新翻開書本，腦海里想著這位十八世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，雷奧哈德爾?歐拉。我雖然對(duì)他一無(wú)所知，但手拿這個(gè)公式，我覺得自己可以感受到他的體溫。歐拉用了這個(gè)極不自然的概念，編織出一個(gè)公式。他從這些看似毫無(wú)關(guān)系的數(shù)字中，發(fā)現(xiàn)了彼此之間自然的關(guān)聯(lián)。e的和

i之積的次方再加上1就變成了0。24我重新看著博士的紙條。永無(wú)止境循環(huán)下去的數(shù)字，和讓人難以捉摸的虛數(shù)畫出簡(jiǎn)潔的軌跡，在某一點(diǎn)落地。雖然沒(méi)有圓的出現(xiàn)，但來(lái)自宇宙的飄然地來(lái)到e的身旁，和害羞的i握著手。他們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了1以后，世界就毫無(wú)預(yù)警地發(fā)生了巨大的變化。一切都?xì)w于0。歐拉公式就象是暗夜中閃現(xiàn)的一道流星；也象是刻在漆黑的洞窟里的一行詩(shī)句。我被這個(gè)公式的美深深地打動(dòng)了，再度將紙條放進(jìn)票夾。走下圖書館的樓梯時(shí)，我回頭看了一下，數(shù)學(xué)書籍區(qū)仍然沒(méi)有一個(gè)人影，一片寂靜，沒(méi)有人知道那里隱藏著多么美的事物。25博士原型由于日文版的《博士熱愛的算式》附有參考文獻(xiàn)，其中包含了《數(shù)字愛人》的日文版，因此，我們可以合理猜測(cè)小川洋子塑造主角人物「博士」時(shí)，一定參考了保羅?艾狄胥（PaulErdos）的原型。

2627問(wèn)題請(qǐng)仔細(xì)閱讀這兩段文字（且必要時(shí)，請(qǐng)參閱這兩本書），回答下列問(wèn)題：簡(jiǎn)要重述這兩段文字的意涵；請(qǐng)問(wèn)它們所傳遞的數(shù)學(xué)信息是否一樣多嗎？從一個(gè)數(shù)學(xué)普及或科普讀者的身份來(lái)看，你認(rèn)為哪一段文字比較有趣？比較容易親近？或者比較容易打動(dòng)人心？又，或者沒(méi)有區(qū)別？從敘事（narrative）的觀點(diǎn)來(lái)看，你認(rèn)為這兩段文字的差異何在？28取材之證據(jù)參考《數(shù)字愛人》（保羅?艾狄胥傳記）人物原型：保羅?艾狄胥(PaulErdos)，他始終由母親照顧生活起居，寡母去世后，改由葛立恒(RonGraham)與金芳蓉夫婦接手。與人打招呼的獨(dú)特方式：初見面時(shí)，艾狄胥習(xí)慣的寒暄，是問(wèn)對(duì)方：「你什么時(shí)候到的？」亦即你什么時(shí)候出生？又，他稱小孩子為ε等等。(pp.5-6)29柏拉圖主義：主要是第1章〈出自天書〉，第5章〈上帝創(chuàng)造整數(shù)〉，還有本書其他章內(nèi)容。柏拉圖主義者哈代(G.H.Hardy)喜歡板球，「他用解數(shù)學(xué)題與打板球進(jìn)行類比來(lái)為他的數(shù)學(xué)論文添加佐料?！?p.71)魯斯－阿倫數(shù)對(duì)(pp.163-164)費(fèi)馬最后定理與谷山－志村猜想(pp.177-181)

30洞察力(insights)與聯(lián)系(connections)：

1.高斯等差級(jí)數(shù)求和公式「出自天書」(p.189)；

2.「數(shù)學(xué)就是發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，尋找特殊問(wèn)題和一般結(jié)果之間、一個(gè)概念和另一個(gè)概念貌似無(wú)關(guān)但實(shí)際上相互聯(lián)系的概念之間的關(guān)系。任何有意義的數(shù)學(xué)概念都不是孤立的?！?pp.189-190)。31小川洋子如何敘事

上帝筆記本(pp.57-61)造物主創(chuàng)造了數(shù)字。(p.31)針對(duì)管家問(wèn)他數(shù)論研究是發(fā)現(xiàn)正整數(shù)之間的關(guān)系嗎？博士回答：「沒(méi)錯(cuò)是發(fā)現(xiàn)，不是發(fā)明。我要找出在我還沒(méi)有出世的遙遠(yuǎn)過(guò)去，就已經(jīng)不為人知地在某個(gè)地方存在的定理。就好像一字一句地抄下記錄在上帝筆記本中真理一樣。誰(shuí)都沒(méi)有辦法預(yù)知這本筆記本到底在哪里，什么時(shí)候會(huì)打開。在我想象的世界中，宇宙的造物主在遙遠(yuǎn)的天際編織著蕾絲。是用上等真絲編織的，可以穿透任何微弱光線的蕾絲。只有造物主知道蕾絲的圖案，誰(shuí)都無(wú)法搶走，也無(wú)法預(yù)測(cè)下一個(gè)圖案?！?p.164)32柏拉圖主義：「我在和數(shù)字相愛的時(shí)候，你這樣魯莽地闖進(jìn)來(lái)，比偷看人家上廁所更沒(méi)有禮貌。」（p.17）我可以感受到自己站著地面是由更深層的世界所支撐著，也為此感到驚嘆。唯有順著數(shù)字的鐵鍊前進(jìn)，才能進(jìn)入深層的世界，言語(yǔ)似乎已經(jīng)失去了意義。（p.111）「真正的直線在哪里？只有在這里?！共┦堪咽址旁谛乜?，和教我虛數(shù)一樣?！赣篮愕恼鎸?shí)是肉眼看不見的，也不會(huì)受到物質(zhì)、自然現(xiàn)象和感情的影響，但數(shù)學(xué)可以解開真實(shí)的奧秘，也可以用數(shù)學(xué)來(lái)表現(xiàn)真實(shí)，任何東西都無(wú)法阻擋?！梗ㄐ〈ㄑ笞樱?004，頁(yè)153）33有關(guān)魯斯－阿倫數(shù)對(duì)當(dāng)發(fā)現(xiàn)他（按：即博士）和根號(hào)的座位分別是7-14和7-15時(shí)，就立刻說(shuō)起這兩個(gè)數(shù)字的意義，根本忘了坐下來(lái)?！?14是貝比?羅斯在一九三五年創(chuàng)下得全壘打紀(jì)錄。一九七四年四月八日，漢克?亞倫從道其隊(duì)的阿爾?道手上擊出第715支全壘打，打破了這個(gè)紀(jì)錄。714和715的積等于最小七個(gè)質(zhì)數(shù)的積。714×715＝2×3×5×7×11×13×17＝510510還有，714的質(zhì)因數(shù)的和，與715質(zhì)因數(shù)的和相等。714＝2×3×5×7×17715＝5×11×132＋3＋7＋17＝5＋11＋＋13＝2934具有這種性質(zhì)的連續(xù)正整數(shù)很罕見。20000以下只有二十六組，叫做魯斯－亞倫數(shù)對(duì)。和質(zhì)數(shù)一樣，當(dāng)數(shù)字越大時(shí)，出現(xiàn)的機(jī)率就越小。最小的數(shù)對(duì)就是6和5。要證明這種數(shù)對(duì)是否有無(wú)數(shù)個(gè)，又是另一個(gè)傷腦筋的問(wèn)題。但最重要的是，我的座位是7-14，根號(hào)的座位是7-15絕對(duì)不能換位置，因?yàn)樾氯艘蚱萍o(jì)錄，這是世間的邏輯。你同意嗎？」35高斯等差級(jí)數(shù)求和公式小川運(yùn)用了兩種方法講解，其一是經(jīng)由博士運(yùn)用三角數(shù)（pp.91-95），其二是管家和根號(hào)共同提出解法（pp.49-65,68-73,76-78）。博士問(wèn)根號(hào)1加到10如何運(yùn)算？一般的作法是(1＋10)=11，11×5=55。管家花很多天來(lái)思考。兒子告訴她，學(xué)校里上體育課時(shí)，老師喊出「各排，向中間靠攏」。管家想到了「中間」的概念：36管家的中庸之道我把10寫在角落，將1到9寫成一排，并在5上畫了圈。毫無(wú)疑問(wèn)，5成為這九個(gè)數(shù)字的中心。前面有四個(gè)數(shù)字，后面也有四個(gè)數(shù)字追隨著。5昂首挺胸，自豪地向空中伸出雙手，似乎在向世人宣告，自己才是正確的目標(biāo)。

(小川洋子，2004，頁(yè)72-73)管家把10拿掉—跟別的數(shù)字不一樣的兩位數(shù)—然后求取中間值（平均數(shù)），最后再把10加進(jìn)來(lái)。她對(duì)待自己的人生亦復(fù)如此，差異與極端的部分且擱置一旁，先求取中間值：「向中間靠攏」。她不強(qiáng)調(diào)也不抱怨單親份，而是訴諸于普遍性的母愛。37小川洋子的數(shù)學(xué)教育關(guān)懷藤原正彥(MasahikoFujiwara)/小川洋子(YokoOgawa)(2005/2007).《世にも美しい數(shù)學(xué)入門》，東京：筑摩書房?！恫┦繜釔鄣乃闶健酚⒆g版書末（未編頁(yè)碼）的「問(wèn)題討論」(DiscussionQuestions)（共有11則，由英譯者StephenSnyder所提供）第7則：1到10的總和不難求出，然而，博士堅(jiān)持要根號(hào)找出特別的方法。最后，根號(hào)與管家攜手獲得答案。請(qǐng)問(wèn)他們的解法具有主題式的重要性(thematicimportance)嗎？一般來(lái)說(shuō)，小川洋子如何利用數(shù)學(xué)例證來(lái)說(shuō)明一個(gè)整體的世界觀(awholeworldview)？第10則：小川洋子選擇書寫實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而不是抽象地書寫數(shù)學(xué)。在某個(gè)意義上，她邀請(qǐng)讀者順著書中人物學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。你認(rèn)為她為何這樣書寫？或許這是為了增強(qiáng)你對(duì)這些人物的同理心？

38電影片段欣賞3940杰瑞?金(JerryKing)的評(píng)論《社會(huì)組也學(xué)得好的數(shù)學(xué)十堂課》：「我該怎么談歐拉方程式而不只破壞它的美呢？就讓我只陳述事實(shí)：這個(gè)方程式含有數(shù)學(xué)五個(gè)最重要的數(shù)：1、0、e、π和

i最重要個(gè)關(guān)系：相等三種最重要的運(yùn)算：加、乘、取冪此外，這個(gè)方程式不含任何與它不相干之物，簡(jiǎn)潔得令人屏息，就像佛絡(luò)斯特(Frost)的詩(shī)一樣。當(dāng)然，這個(gè)方程式棲居復(fù)變分析范疇。那里面有許許多多美的事物棲身。白天，優(yōu)美在整個(gè)數(shù)學(xué)界游蕩。不過(guò)每到晚上，它都回家進(jìn)入復(fù)數(shù)屋宇休眠。」41

歐拉公式

42問(wèn)題請(qǐng)仔細(xì)閱讀這兩段文字（且必要時(shí)，請(qǐng)參閱這兩本書），回答下列問(wèn)題：簡(jiǎn)要重述這兩段文字的意涵；請(qǐng)問(wèn)它們所傳遞的數(shù)學(xué)信息是否一樣多嗎？從一個(gè)數(shù)學(xué)普及或科普讀者的身份來(lái)看，你認(rèn)為哪一段文字比較有趣？比較容易親近？或者比較容易打動(dòng)人心？又，或者沒(méi)有區(qū)別？從敘事（narrative）的觀點(diǎn)來(lái)看，你認(rèn)為這兩段文字的差異何在？43結(jié)果與討論總共回收26份（三人一組寫成一份）針對(duì)前述三個(gè)問(wèn)題之報(bào)告。針對(duì)第1題：「簡(jiǎn)要重述這兩段文字的意涵；請(qǐng)問(wèn)它們所傳遞的數(shù)學(xué)信息是否一樣多嗎？」有22組認(rèn)為「一樣多」、「差不多」或「相當(dāng)」，其他4組則認(rèn)為前一段所附載之信息較多。44第1題回答「一樣多」的心得報(bào)告舉例：IIA：〔相對(duì)于第一段〕第二段的文字則是用各種譬喻與聯(lián)想以發(fā)抒歐拉公式所引起的感觸。對(duì)歐拉公式的介紹，如同上一段文字有e符號(hào)的意義、型態(tài)（永無(wú)止境的持續(xù)下去）、性質(zhì)（一點(diǎn)都不自然）及產(chǎn)生方式。這段文字花較多的篇幅于抒情，……，除了未提到自然對(duì)數(shù)名稱的原由及補(bǔ)注i等于-1的平方根外，此段文字提共了相當(dāng)于第一段的數(shù)學(xué)信息。45第1題回答「一樣多」的心得報(bào)告舉例：IID：這兩段文字雖然敘事的方式不同，但是內(nèi)含的數(shù)學(xué)信息是一樣多的。相對(duì)于保羅?霍夫曼直白的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，小川洋子利用此較迂回的文學(xué)描述來(lái)表達(dá)相同的數(shù)學(xué)概念，比方說(shuō)霍夫曼直接告訴我們「e也是一個(gè)無(wú)限非循環(huán)小數(shù)」時(shí)，小川洋子說(shuō)的是「永無(wú)止境持續(xù)下去……如果不用符號(hào)表示，即使再巨大的紙也無(wú)法寫完，用這種無(wú)法看到盡頭的數(shù)字為底，簡(jiǎn)直太不自然了?！埂瓘臄?shù)學(xué)信息的呈現(xiàn)來(lái)說(shuō)，兩者是一樣多的，不同之處在于小川洋子賦予了她所要提到的事物各種想象，將訊息藏匿在她的文字中，讓讀者忘了自己在閱讀的，其實(shí)也是數(shù)學(xué)！46第1題回答第一段較多IIB：兩段文字說(shuō)明的是相同的數(shù)學(xué)公式就各自?shī)A帶的數(shù)學(xué)知識(shí)而言，保羅霍夫曼《數(shù)字愛人：數(shù)學(xué)奇才艾狄胥的故事》的分量較小川洋子《博士熱愛的算式》稍多，因其不但說(shuō)明

e是什么，還進(jìn)一步說(shuō)明為什么e

叫做自然對(duì)數(shù)……。47第1題回答第一段較多IIC：這兩段敘述皆為釋歐拉公式的數(shù)學(xué)創(chuàng)舉，但在其中一部份卻各有出入。1.兩者解釋了e是什么：……。在這一點(diǎn)上兩者的信息量可以說(shuō)完全相等。2.兩者都解釋了e的特性：「很不自然，無(wú)法寫完」，但其中，前者提及e為一個(gè)無(wú)限非循環(huán)小數(shù)，但后者沒(méi)有提到，只說(shuō)用再巨大的紙都無(wú)法寫完，甚至在后文還出現(xiàn)「永無(wú)止境循環(huán)下去」－本組認(rèn)為可能甚至?xí)a(chǎn)生誤導(dǎo)效果的語(yǔ)句。48第1題IIC續(xù)：3.前者特別提了e在生長(zhǎng)和衰亡這些基本過(guò)程的數(shù)學(xué)模型中經(jīng)常出現(xiàn)，這是這個(gè)符號(hào)的使用背景，也是后者沒(méi)有提到的。4.兩者都提及了〔歐拉〕公式…的美以及將看似毫無(wú)關(guān)連的事物作連結(jié)的不可思議。但前者順帶提及了，數(shù)學(xué)的成功可以用貌似無(wú)關(guān)的概念之間的深層聯(lián)系來(lái)衡量，后者則沒(méi)有提到，而更專注于以文字描寫這個(gè)公式的藝術(shù)性。結(jié)論是，本組認(rèn)為《數(shù)字愛人：數(shù)學(xué)奇才艾狄胥的故事》……除了一兩句話提到美感等等的語(yǔ)匯之外，大多都還是停留在介紹這個(gè)公式，數(shù)學(xué)相關(guān)的信息也比較多?！恫┦繜釔鄣乃闶健返囊龆温鋭t相對(duì)篇幅長(zhǎng)許多……這些相對(duì)于數(shù)學(xué)信息而言，毋寧說(shuō)是更讓人能夠共感「公式的美」的文學(xué)信息，數(shù)學(xué)信息則稍微少了一點(diǎn)點(diǎn)。49第2題從一個(gè)數(shù)學(xué)普及或科普讀者的身份來(lái)看，你認(rèn)為哪一段文字比較有趣？比較容易親近？或者比較容易打動(dòng)人心？又，或者沒(méi)有區(qū)別？27份報(bào)告認(rèn)為第二段文字比較有趣、容易親近，以及打動(dòng)人心。不過(guò)，也有報(bào)告（編號(hào)IIJ）并未完全認(rèn)同。50第2題IID（《數(shù)》）帶刺的冰封薔薇vs.（《博》）含著露水的搖曳薔薇IIK：「一樣的數(shù)學(xué)概念，取代了知性筆觸的文學(xué)性筆法在枯燥中帶來(lái)了斑斑生機(jī)，一樣的無(wú)盡性，她用意象性的的描述超越超越了現(xiàn)實(shí)的定義；一樣的特殊連結(jié)，上帝走入了數(shù)學(xué)之森，祂的存在便反襯出直書神秘的庸俗；一樣的〔歐拉公式〕，成了e與π，i和1，0的深情華爾茲，這些都在為數(shù)學(xué)的美麗添上幾分神話色彩。小川選擇了管家的陳述角度，合理化了這些狂野的想象，在平淡的數(shù)學(xué)世界造出不平凡的文章，也是由于這種活化萬(wàn)物的筆觸，我們的思緒才能與冰冷的數(shù)學(xué)理論深情擁抱，也唯有如此，我們才能真正為我們錯(cuò)過(guò)一個(gè)神秘世界深深惋惜?！?1第2題IIP：有趣面向：《博士熱愛的算式》用了許多精彩的譬喻和擬人的修辭。容易親近：《博》中的第一人稱「我」是個(gè)數(shù)學(xué)底子一般的平凡單親媽媽，是個(gè)生活中常出現(xiàn)在你我身旁的普通人。因此，在容易打動(dòng)人心方面，《博》中出現(xiàn)許多「我」對(duì)數(shù)于由衷地贊嘆的描述，讓讀者感同身受IIW：「關(guān)于這第二段文字，我們這組有兩種截然不同的想法。首先，這段文字使用了較多文學(xué)筆法來(lái)形容看似無(wú)理卻十分迷人的e，以及歐拉公式…的魅力，不過(guò)對(duì)于公式的美麗與獨(dú)特似乎著墨過(guò)多，而忽略應(yīng)以更精鍊的語(yǔ)言來(lái)解釋，以致于無(wú)法聚焦。然而，組內(nèi)另一種聲音卻認(rèn)為，小川洋子將數(shù)學(xué)概念以角色的意識(shí)帶出，自然地融入故事架構(gòu)中，數(shù)學(xué)感減少，但似乎多了人性，以靈活的擬人手法和各種形象化的比喻傳達(dá)出在復(fù)雜無(wú)規(guī)律的事物中，定會(huì)帶有一定的順（〔秩〕）序法則。尤其對(duì)于歐拉公式的描寫，整段文字看來(lái)無(wú)疑是場(chǎng)舞臺(tái)劇，就像在壯麗的空中飛舞后，悄然落地然后謝幕，一切是那么的自然、寧?kù)o，能引領(lǐng)讀者隨著敘事者的思緒，一起發(fā)現(xiàn)并分享紙條上數(shù)學(xué)的美好?！?2第2題IIJ：「《數(shù)字愛人》比較容易親近也比較有趣，因其以較精簡(jiǎn)的方式描述這個(gè)化簡(jiǎn)為繁的公式。其也明確提出了評(píng)比比較數(shù)學(xué)美感的標(biāo)準(zhǔn)：「如果數(shù)學(xué)的成功是用揭示貌似無(wú)關(guān)的概念之間的深層連系來(lái)衡量的話，那么歐拉應(yīng)該拿到首獎(jiǎng)」，以此標(biāo)準(zhǔn)審視歐拉公式如何契合這種美感。相較之下，《博士熱愛的算式》使用許多不同的類比堆積出繁復(fù)的概念，雖然意象較為豐富，文字帶給人的感動(dòng)卻非單純地來(lái)自數(shù)學(xué)之美，稍嫌可惜?！?3IIJ不過(guò)，IIJ也指出：「《博士熱愛的算式》的文字對(duì)我來(lái)說(shuō)較有吸引力。雖然兩段文字所傳達(dá)的訊息是相同的，但小川洋子用了一種不同于科普讀物的文字風(fēng)格去描寫數(shù)學(xué)之美，比較能使讀者融入小說(shuō)情境，自然地接受其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)。與其說(shuō)是科普文字，倒不如說(shuō)是對(duì)于美本身所發(fā)出的的驚呼，一連串精致的遐想，將數(shù)學(xué)所帶有的距離感消除，就像一顆頻果被剖開之后，我們能品嘗最真實(shí)的滋味，關(guān)于數(shù)學(xué)的甜美，這是我在《數(shù)字愛人》所無(wú)法感受的。同樣歌頌數(shù)學(xué)之美，《數(shù)字愛人》采取了較為冷靜理性的態(tài)度，簡(jiǎn)潔地指出數(shù)學(xué)的干凈利落；《博士熱愛的算式》則使用了更熱情的筆法，每個(gè)數(shù)字似乎都是一個(gè)獨(dú)立而有思想的生命體，在宇宙中有一套完美而不易被發(fā)現(xiàn)的秩序，兀自運(yùn)作。」54第3題從敘事（narrative）的觀點(diǎn)來(lái)看，你認(rèn)為這兩段文字的差異何在？IIW：「我們認(rèn)為，兩段文字最大的差別在敘事觀點(diǎn)的不同?！乖谝环矫妫琁IW認(rèn)為《數(shù)字愛人》雖是傳記，但「似乎數(shù)學(xué)主題才是這本書的主干。敘事者英是偏向平鋪直敘的全知觀點(diǎn)，早已掌握e和歐拉公式的許多特性，清楚地舉例

e

是什么、出現(xiàn)的地方、算式、定義，也對(duì)歐拉公式的形式及意義做了簡(jiǎn)單扼要的介紹，似乎預(yù)設(shè)讀者對(duì)各方面數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)已有基本的涉獵?！?5IIW「第二段文字運(yùn)用了小說(shuō)中極受歡迎也十分普遍的第一人稱，藉由角色人物對(duì)于這張紙上所寫的東西，也就是這個(gè)數(shù)學(xué)概念的觀點(diǎn)切入，讓看似復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)記號(hào)，活靈活現(xiàn)的具現(xiàn)在讀者的眼里。敘事者（管家）和許多對(duì)數(shù)學(xué)相當(dāng)陌生的人一樣之前幾乎沒(méi)有聽過(guò)e和歐拉公式，因此，藉由管家在圖書館發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)的情節(jié)，象是對(duì)讀者發(fā)出一種邀請(qǐng)，一同探討e

和〔歐拉公式〕?！?6IIA「《數(shù)字愛人：數(shù)學(xué)奇才艾狄胥的故事》這本書是以艾狄胥為主軸的一本數(shù)學(xué)史故事，敘述方式顯的冷靜而有距離感，以這段擷取的文字為例，他說(shuō)：『請(qǐng)注意』歐拉公式在形式上是多么的美，多么的簡(jiǎn)潔，它不僅充滿了數(shù)學(xué)的美感，而且還富有神秘的魅力。簡(jiǎn)潔有力的，以數(shù)學(xué)家的口吻，道出一項(xiàng)他認(rèn)知上的美?！恫┦繜釔鄣乃闶健肪惋@得平易近人許多，以管家來(lái)當(dāng)做第一人稱敘述者，讓人更能對(duì)數(shù)學(xué)的美產(chǎn)生共鳴?！何译m然對(duì)他一無(wú)所知，但手拿這個(gè)公式我覺得我自己可以感受到他的體溫……』知道主角和我們一樣不熟悉雷奧哈德爾?歐拉，讓人松了一口氣，你覺得你和主角站在同一個(gè)水平上，而不是上下的階級(jí)關(guān)系（《數(shù)字愛人：數(shù)學(xué)奇才艾狄胥的故事》及給人如此感受）。如此一來(lái)，后面一整串小川洋子對(duì)歐拉公式的奇想，就不會(huì)顯得無(wú)厘頭，而可以感覺到一個(gè)普通人真正受到了感動(dòng)。我認(rèn)為這是此兩本書之間最大的差異?！?7結(jié)論呼應(yīng)Horng(2012PME36大會(huì)演講)：通過(guò)數(shù)學(xué)小說(shuō)的閱讀，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)連結(jié)（connections)的意義！參照PISA指標(biāo)：I1&I3小川的美學(xué)進(jìn)路：完全以數(shù)學(xué)知識(shí)的有趣（結(jié)構(gòu)的美）面向?yàn)橹?，而不論其有用面向。至于學(xué)生（讀者）有關(guān)數(shù)學(xué)的閱讀理解，或可運(yùn)用下列詮釋學(xué)四面體來(lái)協(xié)助解說(shuō)吧！58Horng,Wann-Sheng(2012)“Narrative,“DiscourseandMathematicsEducation:AnHistorian’sPerspective”,plenaryspeechpresentedtoPME36,July18,WesleyGirlHighSchool,Taipei.

59參考資料林芳玫、洪萬(wàn)生(2009).〈數(shù)學(xué)小說(shuō)初探：以結(jié)構(gòu)主義敘事分析比較兩本小說(shuō)〉，《科學(xué)教育學(xué)刊》

17(6):531-549。林芳玫、洪萬(wàn)生(2009).〈數(shù)學(xué)與敘事在教育上的應(yīng)用：以通識(shí)教育和H