高等數(shù)學(xué)a1第一章試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sqrt{1-x^2}$的定義域是（）A.$[-1,1]$B.$(-1,1)$C.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，與$x$等價(jià)無窮小的是（）A.$sin2x$B.$x^2+x$C.$ln(1+x)$D.$1-\cosx$3.極限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在4.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$有定義是$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.無關(guān)條件5.設(shè)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，則$\lim_{x\to\infty}f(x)=$（）A.1B.0C.-1D.不存在6.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.無間斷點(diǎn)7.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^3+x$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但不等價(jià)無窮小D.等價(jià)無窮小8.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，則對(duì)任意給定的$\varepsilon>0$，總存在（）A.$\delta>0$，使得當(dāng)$0<|x-x_0|<\delta$時(shí)，有$|f(x)-A|<\varepsilon$B.$\delta>0$，使得當(dāng)$|x-x_0|<\delta$時(shí)，有$|f(x)-A|<\varepsilon$C.$N>0$，使得當(dāng)$x>N$時(shí)，有$|f(x)-A|<\varepsilon$D.$N>0$，使得當(dāng)$|x|>N$時(shí)，有$|f(x)-A|<\varepsilon$9.極限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.eD.不存在10.函數(shù)$y=\arcsinx$的定義域是（）A.$[-1,1]$B.$(-1,1)$C.$[0,1]$D.$[0,\pi]$答案：1.A2.C3.C4.D5.B6.B7.C8.A9.B10.A多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2+1$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=x^3$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$3.當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列哪些是無窮小量（）A.$x^2$B.$\tanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$4.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=x^2+1$C.$y=\ln(x+1)$D.$y=\sqrt{x}$5.極限運(yùn)算法則包含（）A.加法法則B.乘法法則C.除法法則（分母不為0）D.復(fù)合函數(shù)法則6.下列與$x$是同階無窮小的有（）A.$2x$B.$x^2+x$C.$\sinx$D.$1-\cosx$7.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)的條件是（）A.$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在B.$f(x_0)$有定義C.$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$D.$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)8.下列說法正確的是（）A.無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小B.兩個(gè)無窮小的和是無窮小C.無窮大的倒數(shù)是無窮小D.無窮小的倒數(shù)是無窮大（無窮小不為0時(shí)）9.計(jì)算極限的方法有（）A.利用極限運(yùn)算法則B.利用等價(jià)無窮小替換C.利用兩個(gè)重要極限D(zhuǎn).洛必達(dá)法則10.函數(shù)的間斷點(diǎn)類型有（）A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無窮間斷點(diǎn)D.振蕩間斷點(diǎn)答案：1.AB2.ABD3.ABCD4.BCD5.ABCD6.ABC7.ABC8.ABCD9.ABC10.ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=x^3$是奇函數(shù)。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，那么$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）3.無窮小量就是非常小的數(shù)。（）4.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$與$3x$是等價(jià)無窮小。（）5.函數(shù)$y=\tanx$在其定義域內(nèi)處處連續(xù)。（）6.極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}$存在。（）7.若$f(x)$在$x_0$處有定義，則$\lim_{x\tox_0}f(x)$一定存在。（）8.函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$在$x=0$處是無窮間斷點(diǎn)。（）9.兩個(gè)無窮大的和一定是無窮大。（）10.利用等價(jià)無窮小替換求極限時(shí)，可以對(duì)式子中任何部分進(jìn)行替換。（）答案：1.√2.×3.×4.×5.×6.×7.×8.√9.×10.×簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的定義。答案：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$0<|x-x_0|<\delta$時(shí)，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$，則稱$A$為函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時(shí)的極限。2.簡(jiǎn)述無窮小量的性質(zhì)。答案：無窮小量有以下性質(zhì)：有限個(gè)無窮小量的和、差、積仍是無窮小量；無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量。3.簡(jiǎn)述判斷函數(shù)連續(xù)的步驟。答案：先看函數(shù)在該點(diǎn)有無定義；再求函數(shù)在該點(diǎn)的極限是否存在；最后判斷極限值是否等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，若三者均滿足，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。4.舉例說明兩個(gè)重要極限。答案：第一個(gè)重要極限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，例如計(jì)算$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$可變形利用此極限；第二個(gè)重要極限：$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$，如$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x$可變形求解。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x-1,&x>0\end{cases}$在$x=0$處的連續(xù)性。答案：首先，$f(0)=0^2+1=1$。$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+1)=1$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2x-1)=-1$。因?yàn)?\lim_{x\to0^-}f(x)\neq\lim_{x\to0^+}f(x)$，即$\lim_{x\to0}f(x)$不存在，所以函數(shù)在$x=0$處不連續(xù)。2.討論等價(jià)無窮小替換在極限計(jì)算中的應(yīng)用條件。答案：等價(jià)無窮小替換只能在乘除運(yùn)算中使用，在加減運(yùn)算中一般不能隨意使用。只有當(dāng)式子整體是乘積形式且要替換的部分與其他部分是乘除關(guān)系時(shí)，才可放心用等價(jià)無窮小替換，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果。3.討論函數(shù)間斷點(diǎn)的類型及判斷方法。答案：間斷點(diǎn)類型有可去、跳躍、無窮