《幾何圖形軌跡（最值）問題》答案【設(shè)計意圖】通過嘗試解決例1、例2，使學(xué)生體會：當(dāng)動點(diǎn)軌跡明確是直線（或線段，射線）時，動中求靜，找到變化過程中的不變量是解決問題的關(guān)鍵，可以利用對稱，平移，三角函數(shù)等知識，化同為異，化折為直的思維方法解決，可以回顧將軍飲馬，建橋選址，胡不歸等常見模型?！纠}精講】例1：如圖，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5，E為邊AC上的動點(diǎn)，F(xiàn)為邊A.532 B.52 C.【解答】B如圖，作點(diǎn)F關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F'，連接AF'并延長交BC的延長線于B'∴∠BA∴FE∴當(dāng)B，E，F(xiàn)'三點(diǎn)共線且與AB'垂直時，線段FE+EB的值最小，即作BD⊥例2：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM變式思考：（1）本題若求“2AM+BM”（2）本題若求“AM+BM+CM(3)若四邊形□ABCD是菱形，AB=5，對角線BD的長為45，點(diǎn)M為BD上一點(diǎn)，則【解答】2如何將12BM轉(zhuǎn)化為其他線段本題k值為12，可轉(zhuǎn)化為某一角的正弦值，即轉(zhuǎn)化為30°角的正弦思考到這里，不難發(fā)現(xiàn)，只要作MN垂直BC于點(diǎn)N，則MN=12BM，即AM+1如圖，作AN⊥BC，垂足為N，AN交∵四邊形ABCD是菱形且∠ABC∴∠DBC∴1即AM+12BM在Rt△ABN中，AN∴AM+1【變式思考答案】（1）43（2）43（3模塊一：跟進(jìn)練習(xí)解答1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，【解答】2.4∵Rt△ABC中，∴AB=5PD⊥AC于點(diǎn)D∴四邊形CDPE是矩形∴當(dāng)DE最小時，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知CP⊥AB時，∴2、如圖，□ABCD中，∠DAB=60°,AB【解答】3如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AD交AD延長線于點(diǎn)在Rt△PDE中，易得PE=32PD，∴PB+32PD=PB+PE3、如圖，△ABC中，AB=AC=10，tan?A=2，BE⊥ACA.25 B.45 C.【解答】B如圖，作DH⊥AB于點(diǎn)H，∵BE∵AB∴在Rt△ABE中，∴AE=25∵AB∵DH∴DH∴CD+DH4、如圖①,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P(1)畫出當(dāng)F從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)C時,點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡;(2)如圖②,連接PB求PB的最小值.【解答】3取DE的中點(diǎn)M，連接MP并延長，交CD于點(diǎn)N，連接BN.∵點(diǎn)M，P分別是DE，DF的中點(diǎn)，∴MP//EF，∴∠DMN=∠DEC，∴△DMN∽△DEC，∴MN為△∵在矩形ABCD中，AB=6，AD=3∴△CBE，△ADE，△BCN均為等腰直角三角形，CN=3，∴∠ADE=∠CDE=5、如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，sinA=45,BD⊥AC交AC于點(diǎn)D.【解答】165過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，首先得出BD=4，AD=3，根據(jù)sin?∠ABD=ADAB=DPBP過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CH∵BD∴∠ADB∵sin?A=BD由勾股定理得AD=∴sin∴DP∴PC即點(diǎn)C、P、D三點(diǎn)共線時，PC+35∵∴4∴CH∴PC+3故答案為：1656、如圖所示，在邊長為1的菱形ABCD中，ABC=60°，△ABC沿射線BD的方向平移得到△A'【解答】3作直線AA'，并作點(diǎn)C關(guān)于直線A'A的對稱點(diǎn)E，連接EA，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°∴∴A'C+B'C∵AC∴∠E=1∴即A'C+模塊二：動點(diǎn)軌跡是圓（?。├?：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°BC=12,AC=9，以點(diǎn)CA.315 B.410 C.55 D.63【解答】B在線段CA上截取CM，使得CM=4，連接BM易得△DCM∴DMAD=CD∵DM在Rt△CBM中，由勾股定理得BM=4例4：如圖，點(diǎn)A,B在圓O上，OA=OB=6.OA⊥OB.C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且變式思考：（1）本題若求“PC+12PD（2）本題若求“PC+32PD【解答】4如何將2PC轉(zhuǎn)化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點(diǎn)，即2倍關(guān)系，套用“阿氏圓”模型：構(gòu)造共邊共角相似連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接DE交⊙O于點(diǎn)P，此時2PC+PD∴即P，D，E在Rt△OED中，DE即2PC+PD【答案】（1）2模塊二跟蹤練習(xí)解答1、如圖所示，∠ACB=60°，半徑為2的圓O內(nèi)切于∠ACB，P為圓O上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM,PN分別垂直于∠【解答】6+2作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于&∴∠∴當(dāng)MP與⊙O?切時，MF取①連接OP，OG，OC可得：四邊形OPMG為正方形，∴在Rt△COG中，∴在Rt△CMF中，MF∴2、已知半圓直徑為8，P點(diǎn)是圓弧上的一動點(diǎn)，連接PA，PB，求【解答】823、點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2）點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC=1，點(diǎn)M為線段AC上的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（A.2+1 B.2+12【解答】B∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，∴點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心、1為半徑的圓上.如圖，在x軸上取O當(dāng)A'，B，C三點(diǎn)共線時，A'C4、如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，P為⊙B上的動點(diǎn)，則PD【解答】5如圖，在BC上截取BE=1，連接∵正方形ABCD的邊長為4，⊙B∴∵.∴∴∴∴當(dāng)D，P，E三點(diǎn)共線時，PD∴PD+12PC5、正方形ABCD邊長為4，P為內(nèi)切圓周上動點(diǎn)，求2PA+PB的最小值【解答】如解圖，連接OP，OB設(shè)⊙O的半徑為r，則OP=r=12BC=2，OB=2r=22，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI=6、菱形ABCD邊長為2，∠ABC=60°，圓A的半徑為3，BC與圓相切于點(diǎn)E，點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動，求PB【解答】37模塊三：隱形軌跡問題例5：如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，DF你能畫出點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡嗎？【解答】1找到點(diǎn)F的軌跡是本題的首要任務(wù)，直線型軌跡的常用尋找方法都是尋找定點(diǎn)定角，即找到過某一定點(diǎn)的定角，點(diǎn)的軌跡即可確定.如圖本題中易得△AEC?△BFC，則不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F的軌跡為直線l.再根據(jù)垂線段最短，可得例6如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，E,F分別是邊AC,BC上的動點(diǎn)，且AE=CF,連接BE，AF交于點(diǎn)P你能畫出點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡嗎？【解答】2易證△ABE如圖3-3-13，過點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)B作⊙O，連接∴點(diǎn)P在AB上運(yùn)動.∵∴當(dāng)點(diǎn)P在CO上時，CP有最小值，CP的最小值=43模塊三跟蹤練習(xí)解答1、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，【解答】13-2軌跡描述：點(diǎn)P在以（利用同角的余角相等得到定角，再根據(jù)模型解題就清晰明了了）∵∠BAP=∠PBC，∴∠PAB+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°2、如圖①，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，PD=3，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90（1）畫出求Q的運(yùn)動軌跡。（2）如圖②，連接DQ，求DQ的最大值【解答】3+4（1）如解圖①，虛線⊙B即為點(diǎn)Q（2）如解圖②，連接BQ.∵將線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AQ∴∠∴點(diǎn)Q在以點(diǎn)B為圓心，3為半徑的⊙B上運(yùn)動，當(dāng)Q、B∵∴DQ的最大值為3+43、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，點(diǎn)D在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)BC重合），過點(diǎn)D作DE⊥AD，交射線【解答】4取AE的中點(diǎn)G，連接DG，如圖.在△ADE中，∠ADE=90°，DG是斜邊上的中線，∴AE=2DG，DG=∵∠4、△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F，如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF=_______；現(xiàn)將△DCE【解答】80°；4∵△ACB，△∴∠在∴△如圖，設(shè)BF交AC于點(diǎn)T.同法可證△BCD?△ACE，∴∠CBD=∠CAF.∵∠BTC=∠ATF∴∵5、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)D是以A為圓心，4為半徑的圓上一點(diǎn)，連接【解答】7如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接EM，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10.因為E是AB的中點(diǎn)，所以CE=12AB=5.因為M是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，所以ME=12AD6、如圖，已知點(diǎn)A(2,4)，點(diǎn)E(1,0)，B為y軸正半軸上一動點(diǎn)，以A為直