No.No.PAGE1/緒 參考書目:《物理學》(第七版)第零章-第一章-質(zhì)點運動學 第二章-Newton運動定律Newton量綱與國際單位制(可不看Newton第三章-動量與能量( 第四章-剛體轉(zhuǎn)動 基本公式(必看剛體的平面平行運動(可不看第五章-靜電場Coulomb真空中的Gauss第六章-靜電場中的導體與電介 有電介質(zhì)時的Gauss第七章-恒定磁場 基本公式(必看Biot-Savart真空中磁場的Gauss真空中磁場的AmpereAmpere有磁介質(zhì)時的Ampere鐵磁質(zhì)與磁疇(可不看第八章-電磁感應(yīng)基本公式(必看Maxwell方程組(可不看有大小和方向的量未必是矢量,如電流強度是標量,但它有方向,如上圖,在空間直角坐標系中,設(shè)軸的單位矢量分別,.這稱為三維矢量的正交分解稱與軸的夾角分別為,稱其為方向角,則,稱與,,,設(shè)矢量函數(shù),則,矢量函數(shù)導數(shù)的性質(zhì)①;② , ,兩邊同時對積分得 , .,矢量函數(shù)積分的性質(zhì),①;②,其中是常數(shù)③,其中是常矢量;④,其中是常矢量 在區(qū) 上連續(xù), 在其上存在原函 上Riemann .一個矢量場通過面元 ,通過面的通量 ,通過閉合面的通量?事實上,穿過閉合曲面的通量與閉合曲面包圍的體積有關(guān)散度:設(shè)閉合曲面所包圍的體積為,則

稱為矢量 在中單位體積的平均通量或均發(fā)散量.

?,存在,則稱其為該矢量場的散度,,散度用于表征空間的體積中各點矢量場的強弱程度:①時,該點有散發(fā)通量的正源;②時,該點有散發(fā)通量的負源;③時,該點為無源場.

,其中是對閉合曲面積分,是對體積積分,則Gauss定理將一閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)化為該曲面所包圍的體積的體積分矢量場沿一條有向閉合曲線的線積分 稱為該矢量場沿曲線的環(huán)量設(shè)閉合曲線包圍的面積為,若極限 Stoke定理] ,它將沿任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為以該閉合曲線為界的任曲面的面積分.梯度表征標量場在空間各點處沿不同方向的變化快慢對標量場求微分:則的梯度No.No.PAGE1/位矢的性質(zhì):①矢量性;②瞬時性 是時刻的函數(shù);③相對性:與參照點的位置相關(guān)設(shè)質(zhì)點的坐標分量與的關(guān)系分別 ,消去得到質(zhì)點運動的軌跡方程位移是位矢的增量,是矢量設(shè)質(zhì)點在時刻的位矢分別 ,則它在這段時間內(nèi)的位,位移的 路程是質(zhì)點實際運動軌跡的長度,是標量兩點間的位移唯一,但路程不唯一位移的 路程的變化量,以下兩種情況取等:①單向直線運動;②時 如上圖 是時刻到時刻的位矢;②是徑向增量, 是位移的模;④是路程寫成分量的形式 ;②一般地 .當時,上述四個物理量依次變?yōu)? .速度是質(zhì)點位矢隨時間的變化率,設(shè)質(zhì)點在時間內(nèi)的位移為 得瞬時速度,,,對直線運動,速度沿直線方向;對曲線運動,速度沿曲線的切線方向設(shè)質(zhì)點在時間內(nèi)的路程為,則它在這段時間內(nèi)的平均速率 ,令得瞬時速.考察時質(zhì)點的瞬時速度的大

,注意到

,速度的大小 , ,[例1.2.1]如下圖,和兩物體由一長為的剛性細桿相連,、在光滑軌道上滑行.若以恒定速率向左滑行,求時的速率.[解]注意到,兩邊對求導得 , [例1.2.2]一沿軸做直線運動的質(zhì)點的加速度大小,其中是常量.已知時質(zhì)點的初速度大小為,求質(zhì)點速度的大小與時間的關(guān)系.[解]兩邊對積分得: ,其中是常數(shù),則 .故 .加速度是描述速度隨時間變化快慢的物理量設(shè)質(zhì)點在時刻的位矢分別為,速度分別為,則它在這段時間內(nèi)的平均加速度 令得瞬時加速 ,,其大小直線運動中,加速度沿直線方向;曲線運動中,加速度指向曲線凹側(cè) , ,積分:,兩邊對積分得,,,兩邊對積分得,特別地,勻變速直線運動中,是恒矢,則[例1.3.1]有一小球在液體中豎直下落,其初速度 [解]以向下為正方向,兩邊積分得:,則.,兩邊積分得 ,則 故時,經(jīng)過的路程約在已知質(zhì)點的運動軌跡方程時可選用自然坐標系,它是隨體坐標自然坐標系的單位矢量中,切向單位矢和法向單位矢量的模為,方向隨物體的運動而改變,其指向物體運動的切線方向垂直指向運動軌跡的凹側(cè).若質(zhì)點圍繞某一定點作圓周運動,則它與圓心的距離不變,在平面極坐標系中只需用極角即可描述該圓周運動,稱其角坐標設(shè)作圓周運動的質(zhì)點在時刻的角坐標分別為,則它在這段時間內(nèi)的角位移,是標量,時, ,運動的軌跡的弧長為,則.兩邊除以并令得: ,則瞬時速度.設(shè)作圓周運動的質(zhì)點 時刻的角坐標分別為,速度分別為,則總加速 第一 沿方向,稱為切向加速度,其大小 .速率對的導數(shù)是切向加速度,其大小;速度對的導數(shù)是總加速度,其大小 設(shè)作圓周運動的質(zhì)點在時刻的角坐標分別 ,速度方向的單位矢量分別為,.時,其大 ,方向指向 . 第二項垂直于方向,稱為法向加速度(向心加速度),其大小 故總加速 ,它指向曲線的凹側(cè).與共線,改變速率的大小;垂直于,改變速度的方向①時,速率大小不變,質(zhì)點作勻速圓周運動②時,速率均勻改變,質(zhì)點作勻變速圓周運動設(shè)作圓周運動的質(zhì)點 這段時間內(nèi)走過的弧長為,轉(zhuǎn)過的角度為,則,兩邊除以得:兩邊同時對求導得 , 勻速率圓周運動中,不變,不變,不變,,兩邊積分得:,則,即.時, 勻變速率圓周運動中,不變,,兩邊積分得 ,則 , ,兩邊積分得 ,則 , 時 ,類似于勻變速直線運動中[例1.4.1]某時刻以速率,拋射角將一物體拋出,求 [解]物體在方向不受力,則不變;在方向受重力, 。時,,此時速度與軸正方向的夾角為,速度與加速度的夾角 .故[例1.4.2]一質(zhì)點作半徑為的圓周運動,其運動方程,其中以弧度計,以秒計.(1)時,求質(zhì)點的總 .(1)(2)因,即,解得 .故 經(jīng)典力學的絕對時空觀:經(jīng)典力學中,對不同的參考系,時間和空間的測量都是絕對的,與參考系無關(guān),的絕對性.物體運動的軌跡依賴于觀察者所處的參考系.相對運動指在不同的參考系中觀察同一物體的運動如下圖,設(shè)一輛小車以的速度沿水平地面運動,車上有一個人向前方跳起,討論人相對于車的運動、車相對于地面的運以地面為基本參考系(系),小車為運動參考系(系),沿水平和豎直方向建立坐標軸和顯然,兩邊同除以并令得: .稱人相對于地面的速度為絕對速度,人相對于小車的速度為相對速度,小車相對于地面的速度為牽連速度,則 兩邊對求導得 ,即絕對加速度相對加速度牽連加速度說明①Galileo速度變換是在絕對時空觀下得出的,即只有假定長度的測量不依賴于參考系(空間的絕對性)才能給出位移關(guān)系;只有假定時間的測量不依賴于參考系(時間的絕對性)才能給出速 和加速度②速度的合成是在同一參考系中進行的,恒成立;Galileo速度變換是在兩個參考系之間進行的,僅在時成立 僅適用于相對運動為平動的情形No.No.PAGE10/ Newton運動定律只適用于宏觀、低速(速度遠小于光速)的情況[Newton第一定律,慣性定律]任何物體都要保持靜止或勻速直線運動狀態(tài),直至外力迫使它改變運動狀態(tài),,則為恒矢慣性系:Newton第一定律成立的參考系非慣性系:Newton第一定律不成立的參考系若物體在一參考系中不受其他外力作用,保持靜止或勻速直線運動狀態(tài),則該參考系稱為慣性參考系如下圖,若認為地球系是慣性系,小車以速度做勻速直線運動,則小車的參考系系是慣性系在甲和乙看來,木塊水平方向都受彈簧拉力和摩擦力,且它們平衡,符合Newton第一定律和Newton第二定律相對于慣性系靜止或做勻速直線運動的參考系是慣性系,相對于慣性系做變速直線運動的參考系是非慣性系如下圖,小車以加速度做勻變速直線運動在甲看來,木塊水平方向受彈簧拉力和摩擦力,且它們不平衡,木塊隨車做變速運動,符合Newto第一定律和第二定律在乙看來,木塊水平方向受彈簧拉力和摩擦力,且它們不平衡,但木塊相對于車靜止,不符合Newto第一定律和第二定律動 是狀態(tài)量,與時刻有關(guān).特點:①矢量性;②瞬時性;③相對性[Newton第二定律]動量為的物體在合外力 力,即 .當物體質(zhì)量不隨時間變化時,,此時[注1]Newton第二定律只適用于質(zhì)點.若多個物體可看作系統(tǒng),也可用Newton第二定律求解.[注2]Newton第二定律描述力、質(zhì)量和加速度的瞬時對應(yīng)關(guān)系.①求導問題 ;②積分問題[注3]總加速度等于各分力產(chǎn)生的加速度的矢量和①直角坐標②自然坐標:[注4]Newton第二定律只適用于慣性系[Newton第三定律,作用力與反作用力定律]兩物體間的作用力和反作用力沿同一直線,大小相等,方向相反,分別作用在兩個物體上,即.[注]作用力與反作用力:①作用在不同物體上,不能相互抵消;②相互依存,同生同滅;③是同種性質(zhì)的力相對于慣性系靜止或做勻速直線運動的參考系都是慣性系對不同的慣性系,Newton運動定律有相同的形式,與慣性系的運動無關(guān)由Galileo速度變換:絕對速度相對速度牽連速度, ,其中為恒矢兩邊對求導得 這表明:在慣性系系和相對于慣性系靜止或做勻速直線運動的系中對物體做受力分析,得到的結(jié)果相同.國際單位制的七個基本物理量:長度、質(zhì)量、時間、熱力學溫度、電流強度、光強度、物質(zhì)的量由基本物理量的單位產(chǎn)生導出單位,如速率 的單位, 的單位力學輔助單位:弧度量綱:表示一個物理量如何由基本量的組合所形成的式子,即將一個導出量用若干基本量的冪次之積表示力學中,長度的量綱為,質(zhì)量的量綱為,時間的量綱為,則力學物理量的量綱,或記作如速率 的量綱, 的量綱量綱的應(yīng)用如萬有引力,則引力常量其量綱,單位 (3)判斷計算結(jié)果的正確性考察單擺的運動周.猜想它可能與物體質(zhì)量、細繩長度、重力加速有關(guān).,其中為常數(shù),則 ,進 ,即實際結(jié)果 ,與量綱分析的結(jié)果只相差一個常數(shù)以指向的方向為徑向建立極軸,則,其中引力常量則萬有引力是一種非接觸力重力:地球表面的物體受到的地球的引力,是地球?qū)ξ矬w的萬有引力的一個分力重力 ,大小:,方向豎直向下.在地表附近,,則(強度以兩質(zhì)子相距時的相互作用為)電弱相互作用理論統(tǒng)一了弱相互作用和電磁相互作用,電弱相互作用、強相互作用與引力作用的大統(tǒng)一還未實現(xiàn)形變:在外力作用下物體內(nèi)兩質(zhì)點的相對位置發(fā)生變化彈性形變:在外力作用下物體發(fā)生形變,撤去外力后物體能恢復原狀彈性力:作用在相互作用的物體間的,由物體的彈性形變產(chǎn)生的彈性恢復力,是一種接觸力常見的彈性力:張力(內(nèi)部的彈性力 [例2.3.1]質(zhì)量為、長為的柔軟細繩,一端系著放在光滑桌面上質(zhì)量為的物體,在繩另一端施加力.設(shè)繩長不變繩質(zhì)量分布均勻.求:(1)繩作用在物體上的力;(2)繩任一點處的張力[解](1).(連接體問題忽略繩重,即時, ,相當于外力直接作用在物體上考慮繩重時,.取質(zhì)元,其中質(zhì)量線密度 ,則 兩邊積分得:,則 當時,,且繩上的張力大小線性變化滑動摩擦 靜摩擦 一般[例2.3.2]如下圖,繩索繞在圓柱上,繩繞圓柱的張角為,繩與圓柱間的靜摩擦因數(shù)為.求繩處于滑動邊緣時繩兩端的張力和間的關(guān)系,忽略繩重.[解]不妨設(shè),則圓柱有順時針轉(zhuǎn)動的趨勢,繩與圓柱的接觸面的摩擦力的方向為接觸點處的切線方向,指向軸 , 軸 , ,其中為二階無窮小量,可忽略進而,兩邊積分得.[注]時:結(jié)論:纏得越多圈越省力設(shè)系為慣性系,非慣性系系相對于系做加速度的勻變速直線運動, 地系:,斜面系:因與系的Newton運動定律有相同的形式,可將系中的移到則 質(zhì)點所受的慣性力的大小等于其質(zhì)量與非慣性系整體相對于慣性系的加速度(牽連加速度)的乘積,相反,.慣性力是參考系變速運動引起的附加力,本質(zhì)上是物體慣性的體現(xiàn).它不是物體間的相互作用,無施力物體,無反作用力但有真實的作用效果.甲(系 ,木塊相對于系勻變乙(系 ,木塊相對于系靜[例2.4.1]三棱柱以加速度沿水平向右運動,其斜面光滑.設(shè)質(zhì)量為的物體恰能靜止在斜面上,求物體對三棱柱的力[解]系 ,解出即可觀察者(慣性系):,質(zhì)點受繩子拉力提供向心力,做勻速圓周運動觀察者(非慣性系):,質(zhì)點受繩子拉力,但相對靜止物體相對于勻速轉(zhuǎn)動的參考系時,物體受慣性離心力和Coriolis力的作用如上圖,一帶有徑向光滑溝槽的圓盤以恒定角速度繞過盤心且垂直于盤面的軸做定軸轉(zhuǎn)動,處于溝槽中的質(zhì)量為的小球以速度沿溝槽相對于盤做勻速運動,則Coriolis力.步驟:①選擇研究對象,隔離物體;②受力分析;③建立合適的坐標系;④列方程,先列矢量式,再展開為標量式;⑤解方程結(jié)果討論.[例2.5.1][Atwood機](1)如左圖,滑輪和繩子質(zhì)量不計,忽略所有摩擦.設(shè),求重物釋放后物體的加速度和繩[解] ,且即 ,且.解得.這表明:物體做勻加速直線運動,且繩的拉力為恒力 ,且 ,且其中是物體相對于繩的加速度,是物體相對于地面的加速度 ,即,解出即可[注](2)中兩物體相對于繩的加速度相同,但相對于地面的加速度不同[例2.5.2]如圖,長為的輕繩一端系著質(zhì)量為的小球,另一端固定于點.時小球位于豎直平面內(nèi)的最低位置,且[解], ,兩邊同乘得:,解得 ,代入解 [注]當 時 時,[例2.5.3]如圖,擺長為的圓錐擺的一端固定在天花板上,另一端懸掛質(zhì)量為的小球,小球在水平面內(nèi)繞通過圓心的[解 , [注],利用此原理制成蒸汽機的調(diào)速器[例2.5.4]一水平木制圓盤繞過其中心且垂直于盤面的軸勻速轉(zhuǎn)動.在盤上離中心處放一鐵塊.若鐵塊與木板間的靜摩[解]注意轉(zhuǎn)動的圓盤是非慣性系.其中為鐵塊相對于盤的加速度, [例2.5.5][有空氣阻力時的拋體問題]設(shè)質(zhì)量為的炮彈,以初速度、與水平面成仰角射出.若空氣阻力與速度成正 [解](1)無空氣阻力時:設(shè) 解得 ,消去所得的軌跡方程是拋物線(2)有空氣阻力時:, 亦 兩邊積分 進 消去得軌跡方程 [例2.5.6]一質(zhì)量為、半徑為的球體在水中靜止釋放沉入水底.已知阻力,其中為粘滯系數(shù). [解]令,則.因重力與浮力的合力是恒力,令,,,,進而,兩邊積分得 ,解得時,極限速度 .而 時,,一般認為 [注]如下圖,若球在水面上有豎直向下的速率,且在水中,則球的在水中的合外力為阻力.,即,兩邊積分得,解得,球做變減速直線運動,[例2.5.7]設(shè)質(zhì)量為的質(zhì)點受力的作用,且時該質(zhì)點以 ,[解] 結(jié)合初始條件時,,解 解 ,故位No.No.PAGE10/ 動量與能 動量定理只適用于慣性系,且討論的速度需相對于同一參考系[動量[沖量]力在一段時間內(nèi)持續(xù)作用的效果,是力對時間的積累,由力和力的作用時間決定.圖2:[注]沖量是過程量,動量是狀態(tài)量[質(zhì)點的動量定理]一段時間內(nèi)合外力作用在質(zhì)點上的沖量等于質(zhì)點在此時間內(nèi)動量的增量[證]由牛 :動量定 [注1]動量定理表明:過程量=狀態(tài)量的增量.這可用于求做曲線運動且受變力的質(zhì)點的沖量.[注2]沖量的方向為動量增量的方向.[注3]分量表示[例3.1.1]一質(zhì)量為、速率為的鋼球以與鋼板成角的方向撞擊鋼板后以相同的速率和角度彈回.設(shè)碰撞時間,求此時間內(nèi)鋼板所受的平均沖力[解 ,其中 ,將相互作用的若干個質(zhì)點視為一個整體,稱該組質(zhì)點為質(zhì)點系[質(zhì)點系的動量定理]作用于系統(tǒng)的外力的矢量和(不稱"合外力")的沖量等于系統(tǒng)動量的增量

[證]如下圖,設(shè)和所受的外力分別為和,相互作用的內(nèi)力為和.[注1]質(zhì)點系的動量定理與質(zhì)點的動量定理形式相同,但物理量的含義不同[注2]質(zhì)點系的動量定理表明:一個系統(tǒng)總動量的變化只與系統(tǒng)所受的外力有關(guān),與系統(tǒng)內(nèi)力無關(guān).只有外力的沖量能改[例3.1.2]一柔軟鏈條長為,單位長度的質(zhì)量為.鏈條放在一有小孔的桌上,鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周圍.因某種擾動,鏈條因自身重量開始下落.求鏈條下落速度與下落高度的關(guān)系.忽略所有摩擦,認為鏈條可自由伸開.,,[解,,.兩邊同乘得 , 兩邊同乘得:.兩邊積分得:,解得動量守恒只適用于慣性系,且討論的速度需相對于同一參考系.若動量在某一參考系中守恒,則它在其他慣性系中也守恒[質(zhì)點的動量守恒定律]若質(zhì)點所受合外力為零,則質(zhì)點的動量不變, 為恒矢[注]質(zhì)點所受的合外力的沖量為零不能推出動量守恒.如外力拉著質(zhì)點做圓周運動,運動一周回到起點. ,但隨的方向的改變而改變.[質(zhì)點系的動量守恒定律]若質(zhì)點系所受的外力矢量和為零,則該質(zhì)點系的總動量不變,即[注1]系統(tǒng)的總動量不變指系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的動量的矢量和不變,個別質(zhì)點的動量可能改變.[注2]外力與內(nèi)力相比很小(如爆炸)時可忽略外力,認為動量守恒.[注3]動量守恒是Newton定律的必然推論,但動量守恒比Newton定律應(yīng)用更廣,是比Newton定律更普遍更基本的定[注4]若外力矢量和沿某一方向為零,則該方向上動量守恒[例3.2.1]設(shè)一靜止的原子核衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核.已知電子和中微子的運動方向 [解],其 [例3.2.2]設(shè)火箭以速度相對慣性系沿水平方向飛行,不計空氣阻力.現(xiàn)火箭分離為兩部分,前方儀器艙的質(zhì)量為后方火箭的質(zhì)量為,儀器艙相對于火箭容器的水平速度為.求儀器艙和火箭容器相對于慣性系的速度[解]注意將轉(zhuǎn)化為相對于慣性系的速度水平方向由動量守恒:,解出即可若質(zhì)點在力的作用下發(fā)生了一段位移 (1)恒力做功:,,[注1]功是標量,但有正負.① 時,;② 時,;③ 時,[注2]功是過程量,與路徑有關(guān)[注3]力作用于質(zhì)點時,功可能為零,但沖量不可能為零[注4]合力的功等于各分力的功的代數(shù)和.設(shè)合力 .[注5]直角坐標系下功的分量表示:元功 .功平均功率 ,瞬時功率[注1]功率描述力做功的快慢[注2]質(zhì)點在力的作用下做勻速運動,合力的功率為零,但分力的功率未必為零.[注3]某機械的功率指其額定功率,即其正常工作時的最大瞬時功率.兩邊積分得: 對質(zhì)量為、速度為的質(zhì)點,定義其動能 [注1]動能是狀態(tài)量,是標量,且[注2]物體的速度與參考系的選擇有關(guān),同一運動的物體相對于不同參考系可能有不同的動能[質(zhì)點的動能定理]合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量, .[注1]過程量=狀態(tài)量的增量[注2]若外力對質(zhì)點做正功,則動能增加;若外力對質(zhì)點做負功,即質(zhì)點克服外力做功,則動能減少.[注3]做功可以改變質(zhì)點的動能,質(zhì)點動能的改變靠做功量度.[注4]不同慣性系中動能定理形式不變[例3.4.1]一質(zhì)量為的小球系在長為的細繩下端,繩上端固定在天花板上.將繩子放在與豎直方向成角處靜止釋放,求繩子與豎直方向成角時小球的速率.[解 .*負號因為,解出即可彈簧彈力做功彈 .功,即彈力做正功,且只與始末位置有關(guān)萬有引力做功萬有引力,元功功 ,只與始末位置有關(guān)重力做功重 ,只與始末位置有關(guān).若力所做的功只與物體的始末位置有關(guān),而與路徑無關(guān),則稱這樣的力為保守力常見保守力:重力、萬有引力、靜電力、彈性力.保守力的特點①做功只與始末位置有關(guān).,②質(zhì)點沿任意閉合路徑運動一周,保守力對其所做的功為零,即這也是保守力的數(shù)學定義 .做功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力常見的非保守力:①摩擦力(耗散力):做負功;②爆炸力:做正功與位置有關(guān)的能量稱為勢能.質(zhì)點在空間某點處的勢能等于將其從該點沿任意路徑移動到勢能零點保守力所做的功,,若點為勢能零點,即,[注1]勢能零點的選取不同,勢能的表示可能不同,各點的勢能可能不同,但任意兩點的勢能差相同.[注2]勢能屬于相互作用的系統(tǒng),不屬于某一質(zhì)點,實際上是一種相互作用的能.[注3]勢能是標量,是狀態(tài)的函數(shù)[注4]只有對保守力才能引入勢能.[注5]勢能不依賴于參考系的選擇取處為重力勢能零點,則取彈簧原長處為彈性勢能零點,則 取無窮遠點處為引力勢能原點,則 保守力所做的功等于勢能增量的負值,即.[注1]過程量=狀態(tài)量的增量.[注2]保守力做正功,勢能減少已知勢能求保守力彈簧彈 ,彈力做功一維:三維:即保守力等于勢能的負梯度如下圖,對質(zhì)點系,以為系統(tǒng),其余質(zhì)點為外界由質(zhì)點動能定理 .令 [質(zhì)點系的動能定理]作用于質(zhì)點系的一切外力和內(nèi)力做功之和等于質(zhì)點系動能的增量,即[質(zhì)點系的功能原理]質(zhì)點系的機械能增量等于所有外力和非保守內(nèi)力做功之和,即.[證],其中.由質(zhì)點系的動能定理:,即定義機械能,則,即[機械能守恒定律]只有保守內(nèi)力做功時,質(zhì)點系的機械能守恒,即時,為常量.[證注].[注 不能推出為常量不受外力作用的系統(tǒng)稱為孤立系統(tǒng)[能量守恒定律]孤立系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量(熱能、化學能、光能等)的總和守恒[注1]能量守恒定律是生產(chǎn)實踐和科學實驗的經(jīng)驗總結(jié),是自然界最普遍的規(guī)律之一.[注2]能量是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù).[注3]系統(tǒng)總能量不變,但各種形式的能量可相互轉(zhuǎn)化,或在物體間相互轉(zhuǎn)移(通過做功實現(xiàn)).[注4]做功可導致能量變化,能量變化由做功量度.[例3.5.1]雪橇從高的山頂沿斜面靜止下滑,斜面傾角為.平滑通過點后,沿水平面滑行若干米后停在處.設(shè)雪橇與地面的摩擦都為,求雪橇沿水平冰道滑行的距離.[解1](動能定理)以質(zhì)點為研究對象,則外力為重力、摩擦力,無內(nèi)力即,解出即可.[解2](功能原理)以質(zhì)點和地球為系統(tǒng),則無外力,內(nèi)力為非保守的摩擦力,即,解出即可.[例3.5.2]一輕彈簧的一端系在鉛直放置的光滑圓環(huán)的頂點處,另一端系著一質(zhì)量為的小球,小球穿過圓環(huán)并在環(huán)上運動.初始時球靜止于點,彈簧處于自然狀態(tài),其長為環(huán)半徑.當球運動到環(huán)底端點時,球?qū)Νh(huán)無壓力.求彈簧的勁度系[解]以小球、彈簧、圓環(huán)、地球為系統(tǒng),則無外力和非保守內(nèi)力做功,機械能守恒彈重彈 重 ,解出即可[例3.5.3]一質(zhì)量為的卡車載有一質(zhì)量為的木箱,以速度沿平直路面行駛.因故突然剎車,卡車向前滑行一段距離,同時木箱在卡車上向前滑行距離后停下.設(shè)木箱與卡車間的滑動摩擦系數(shù)為,卡車在地面滑動時所受阻力為總重的倍.求.[解

塊 車,解出即可碰撞時,因,則動量守恒碰撞分為三類:①完全彈性碰撞:機械能守恒;②非彈性碰撞,機械能不守恒;③完全非彈性碰撞,機械能不守恒[例3.6.1]設(shè)宇宙中有密度為的塵埃,這些塵埃相對于慣性系靜止.一質(zhì)量為、橫截面積為的圓柱形宇宙飛船以初[解]時間內(nèi)附著在飛船表面的塵埃質(zhì)量由動量守恒:,即則,即,兩邊積分求得如上圖,板上的點的運動軌跡為拋物線,其余點的運動可分解為隨點的平動和繞點的轉(zhuǎn)動質(zhì)點系的質(zhì)心是以質(zhì)量為權(quán)重取平均值的特殊點如上圖,設(shè)質(zhì)點系有個質(zhì)點,各質(zhì)點質(zhì)量分別為,位矢分別為.設(shè)質(zhì)點系總質(zhì)量為定義質(zhì)心的位矢 [注1]密度均勻、形狀對稱的物體的質(zhì)心在其幾何中心[注2]質(zhì)心位矢與坐標系的選取有關(guān),但質(zhì)心相對于各質(zhì)點的相對位置不隨坐標系的選擇而變化.[注3]直角坐標系中,①質(zhì)量離散分布時: ②質(zhì)量連續(xù)分布時: [例3.7.1]水分子的結(jié)構(gòu)如下圖.每個氫原子和氧原子間的距離為,氫原子與氧原子兩連線的夾角.求水分[解]以氧原子中心為原點、氫原子與氧原子所成角的角平分線為軸.由對稱性:[例3.7.2]求半徑為、質(zhì)量為、圓心角為的圓弧的質(zhì)心[解]由對稱性:.取質(zhì) .[例3.7.3]求半徑為的勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心[解]由對稱性:.取質(zhì)元 設(shè)質(zhì)點系中每個質(zhì)點的質(zhì)量不隨時間變化[質(zhì)心運動定律]作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量乘質(zhì)心的加速度,即[證] ,則.兩邊對時間求導得:系統(tǒng)總動量.由牛二:[注]合外力 [例3.7.4]設(shè)一質(zhì)量為的彈丸從地面斜拋出,在飛行至最高點處爆炸為質(zhì)量相等的兩碎片,其中一個豎直自由下落,另[解].設(shè)為彈丸碎片落地時質(zhì)心離原點的距離.[例3.7.5]一長為、密度均勻的柔軟鏈條的單位長度的質(zhì)量為.將其卷成一堆放在地面.若手持鏈條的一端將其以勻速[解]只需質(zhì)心坐標的分量. .,則 ., No.No.PAGE10/ 剛體轉(zhuǎn) 位移、路程角位移,弧 力若質(zhì)量不變, 微分形式 剛 功功 剛體:在外力作用下形狀和大小都不變的物體(任意兩質(zhì)點間距離保持不變的物體是一種理想模型剛體的運動可分解為平動和轉(zhuǎn)動. 、、都相同. 因轉(zhuǎn)軸固定,則與要么同向,要么反向,可用標量和表示.因各質(zhì)元都做圓周運動,故只需用角坐標即可描述運動②定點轉(zhuǎn)動:運動中剛體上只有一點固定不動,整個剛體繞該定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動平面平行運動:剛體上各點的運動都平行于某一固定平面,它可看作平動和定軸轉(zhuǎn)動的合成,如行駛的汽車的車輪的運動[例4.1.1]在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動機里,有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn).起動時角速度為零,起動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為,其中.求:(1)時電動機的轉(zhuǎn)速;(2)起動后,電動機在內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù);(3)角加速度隨時間的變化規(guī)律.[解]注意此處的單位是轉(zhuǎn),要乘轉(zhuǎn)化為常規(guī)單位即求轉(zhuǎn)過的圈數(shù)即求轉(zhuǎn)過的角度,已知 ,則兩邊積分即可對求導即可[例題4.1.2]一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn).起動時角速度為零,經(jīng)后轉(zhuǎn)速達,轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比.求這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少圈.[解]注意此處的單位是轉(zhuǎn),要乘再除以轉(zhuǎn)化為常規(guī)單位設(shè) ,由此解出,再對求導求得,兩邊積分求得,除以得到圈數(shù) ,其中是作用點位矢,它與參考點的選取有關(guān),即與轉(zhuǎn)軸有關(guān).垂直于和所在平面.若不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),則將其分解為在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量和垂直于轉(zhuǎn)動平面的分量則,其中是對剛體轉(zhuǎn)動有貢獻的力矩,的方向合力矩等于各分力矩的矢量和.設(shè),則若各分力作用點相同, ,其中合力剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩大小相等、反向相反,故它們的矢量和為,故討論剛體定軸轉(zhuǎn)動時只需考慮外力矩轉(zhuǎn)動慣量,量度剛體的轉(zhuǎn)動慣性①質(zhì)量離散分布:,用于求連接體的轉(zhuǎn)動慣量②質(zhì)量連續(xù)分布:.若,則影響剛體轉(zhuǎn)動慣量的因素:①剛體的線密度、面密度、體密度;②剛體的幾何形狀及密度分布;③轉(zhuǎn)軸位置.[例4.3.1]①質(zhì)量主要集中在邊緣的圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量最大,如汽車的輪胎的質(zhì)量主要集中在邊緣.②"頂桿"雜技表演用較長的桿,則桿與在桿頂端的雜技演員構(gòu)成的系統(tǒng)的質(zhì)心靠上.當桿偏離平衡位置,如左右晃動時,在桿底端的雜技演員通過調(diào)整支撐點的位置,增大恢復力的力矩,易保持桿穩(wěn)定,即保持重力作用線沿桿,矩為矩為常用轉(zhuǎn)動慣量①質(zhì)量為、半徑為的均勻圓環(huán)對中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量:②質(zhì)量為、半徑為的均勻薄圓盤或圓柱體對中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量:③質(zhì)量為、長度為的均勻細桿對中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量: ④質(zhì)量為、長度為的均勻細桿對邊緣轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量: .(③和④可只記一個,另一個用平行軸定理計算[平行軸定理]若質(zhì)量為的剛體對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為,則它對任一與該軸平行、相距為的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣,用于求已知對一個轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,求對另一個轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量[垂直軸定理,正交軸定理]一薄片對一各坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量等于其對另外兩個坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量的和,,用于求薄片的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動定律適用于剛體,描述了剛體轉(zhuǎn)動的力矩與角加速度的瞬時對應(yīng)關(guān)系例4.4.]如下圖,質(zhì)量為的物體靜止在光滑水平面上,與一輕繩相連,輕繩跨過一半徑為、質(zhì)量為的圓柱形滑輪并系在一質(zhì)量為的物體上,豎直懸掛,滑輪與輕繩間無滑動,忽略滑輪與軸承間的摩擦力.求:(1兩物體的線加速度;(2水平和豎直兩段輕繩的張力;(3物體從靜止落下距離時的速率.[解]對,因其重力和墻面對其的支持力都過轉(zhuǎn)軸,則它們無力矩.以水平向右、豎直向下分別為、軸正向, ,其中因和連在同一細繩上,則.又,解 角動量,它是一個狀態(tài)量,具有瞬時性;與參考點有關(guān),具有相對性垂直于和所在平面角動量等于各分角動量的矢量和, .直角坐標系中 , ,.質(zhì)量為的質(zhì)點做半徑為的圓周運動時的角動量,,兩邊左叉乘得:.注意到,其,[質(zhì)點的角動量定理 [質(zhì)點的角動量守恒定律]對同一參考點,若質(zhì)點所受的合外力矩為零,則它對該參考點的角動量是恒矢.①質(zhì)點與參考點重合, 時時 是恒矢,即是恒矢,亦即質(zhì)點做勻速直線運動,此時和變化,但力臂時③為有心力(如萬有引力、電場力等),即時 .例:地球繞太陽公轉(zhuǎn)時角動量不變[例4.5.1][Kepler第二定律]太陽系中太陽和運動中的行星的連線(矢徑)在相等時間內(nèi)掃過的面積相等[證] , ,因是常量,故證[例4.5.2]一半徑為的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi),一質(zhì)量為的小球穿在圓環(huán)上并可在圓環(huán)上滑動.初始時小球靜止于圓環(huán)上的點(與環(huán)心點在同一水平面上),后從點開始下滑,忽略所有摩擦.求小球滑到點時對環(huán)心的角動量和角速,[解] .,則,求得后再用 求得[例4.5.3]在光滑桌面上開一個小孔,將系在輕繩一端的小球放在桌面上,繩另一端穿過小孔執(zhí)于手中.設(shè)開始時小球以速率做半徑為的圓周運動.現(xiàn)向下緩慢拉繩使小球轉(zhuǎn)動半徑減為,求此時小球的速率.[解]注意到水平方向與平行,則,進而角動量守恒.,即,解得.角動 , ,進而 [剛體的角動量定理]剛體繞某定軸轉(zhuǎn)動時作用于剛體的合外力矩等于該剛體繞此定軸的角動量隨時間的變化率,

.若剛體繞定軸轉(zhuǎn)動,

;若剛體繞非定軸轉(zhuǎn)動, [證],其 .而則 時[剛體的角動量守恒定律時守恒條件①都不變時,如剛體繞定軸勻速轉(zhuǎn)動②剛體不受外力③剛體所受外力與位矢平行

為恒矢④某個方向上合外力矩為零時,該方向上角動量守恒⑤碰撞時,內(nèi)力矩遠大于外力矩,此時可忽略外力矩,認為角動量守恒[例4.5.4]討論如下兩種情況中,子彈與物體碰撞瞬間角動量、水平方向的動量、系統(tǒng)總機械能是否守恒[解]若碰撞是完全彈性碰撞,則機械能守恒,否則機械能不守恒A為質(zhì)點碰質(zhì)點.碰撞時,繩子可發(fā)生形變,故點不會受到水平方向的力進而不會給水平方向的力,故水平方向內(nèi)力遠大于外力,動量守恒,即是恒矢. B為質(zhì)點碰剛體,碰撞瞬間子彈撞擊的力瞬間傳導到點而桿是剛體,則點會收到一個向左的作用力,故水平方向合外力不為零,水平方向動量不守恒.考察、和桿組成的系統(tǒng).因碰撞時作用力作用于轉(zhuǎn)軸,故力矩為零,角動量守恒.[例4.5.5]一雜技演員由距水平蹺蹺板高為處自由下落到點,并將另一端的演員彈起.求能彈起多高[解]落到的速度.若能求出彈起的初速度,則他能彈起的高度 .下面求注意到與蹺蹺板碰撞屬于質(zhì)點碰剛體,角動量守恒初角動量 ,末角動量、、蹺蹺板構(gòu)成的系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量 由 求得元功 ,則質(zhì)元的動能,其中剛體轉(zhuǎn)動動 [剛體的轉(zhuǎn)動動能定理] [證]元功則 有限體積剛體的重力勢能等于各質(zhì)元重力勢能之和,即,其中是剛體有限體積剛體的機械 [剛體的功能原理]作用于剛體的合外力矩的功與非保守內(nèi)力矩的功之和等于剛體機械能的變化量,,其中動能未必只有轉(zhuǎn)動動能,如剛體的平面平行運動中既有平動動能,又有轉(zhuǎn)動動能,.若剛體做定軸轉(zhuǎn)動,則動能只含轉(zhuǎn)動動能[剛體的機械能守恒定律]時,為常量[例4.6.1]如下圖的圓錐擺做勻速圓周運動.討論動量、角動量、機械能是否守恒[解](1)轉(zhuǎn)動過程中方向改變,故動量不守恒方向顯然不變,大小不變,故角動量守恒.轉(zhuǎn)動中與重力勢能零勢能面的高度差不變,又因做勻速圓周運動,則轉(zhuǎn)動動能不變,故機械能守恒剛體上各點的運動都平行于某一固定平面的運動稱為剛體的平面平行運動,它可分解為質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心軸的動,其中 分別是相對與質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量和力矩 [例4.7.1]一輕繩纏繞在半徑為、質(zhì)量為的均勻圓盤的圓周上,繩的一端懸掛在天花板上.求:(1)圓盤質(zhì)心的加速度; [解 , 由②知: ,結(jié)合①知:,解得,代入②求得 [例4.7.2]質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤由靜止從斜面頂端沿斜面做純滾動.求圓盤到達斜面底部的速度[注]設(shè)小球在水平平面上做純滾動,它沿水平方向的的速度大小為.考察小球與地面的接觸點的速度.因小球[解] .代入,解得 No.No.PAGE1/ 靜電 電荷分為正電荷和負電荷,同號相斥、異號相吸描述帶電體帶電量的多少:電量或,單位庫倫(C),簡稱庫電荷的量子性:電荷總以一個基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn),即,其中是元電荷,點電荷:帶電體本身的線度小于討論的幾何距離時,可忽略帶電體的形狀與電荷在其上的分布,的點.當帶電體不能視為點電荷時將其分割為電荷元:①帶電線:分割為線元,設(shè)線密度為,則,進而;②帶電面:;③帶電體:[電荷守恒定律]孤立系統(tǒng)(不與外界發(fā)生電荷交換的系統(tǒng))中,無論電荷如何遷移,系統(tǒng)的電荷的代數(shù)和保持不變.正負電子相遇會發(fā)生湮滅并產(chǎn)生兩個光子,即,電荷.[電荷的相對論不變性]與質(zhì)量不同,一個電荷電量與其運動狀態(tài)無關(guān),則可認為不變[Coulomb定律]真空中,兩靜止點電荷(不能視為點電荷的帶電體不能用Coulomb定律計算)間的作用力與兩點電荷的以為原點、、連線建立坐標軸,設(shè)指向的位矢為,則指向的單位矢量 對的庫侖力,其中 ①、同號時,從指向,為排斥力;②、異號時,從指向,為吸引力[電場力的疊加原理]兩點電荷間的庫侖力不因第三個點電荷的存在而有所改變,則討論多個電荷對一個電荷的庫侖力No.No.PAGE2/如上圖,電荷系對電荷的庫侖力 .場是一種特殊的物質(zhì),看不見摸不著電場:存在于電荷周圍能傳遞電荷與電荷間的相互作用的場,作為媒介.電荷A與B間有庫侖力的原因:其中的B有力的作用.因力的作用是相互的,也可表述為:產(chǎn)生的電場對放入其中的A有力的作用.要求:與場源電荷相比,①線度足夠小,可視為點電荷;②電量足夠小,不改變原電場 ,單位、,它反映場本身的性質(zhì),與試驗電如上圖,設(shè)場源電荷、試驗電荷.激發(fā)的電場的場影響場強大小的因素:①場源電荷的電量,越大,越大;②場點與場源電荷的距離,越大,越小.時,場強的方向:①正場源電荷的場強方向指向無窮遠;②負場源電荷的場強的反向指向場源電荷靜電場的場強是關(guān)于場源電荷到場點的位矢的函數(shù),三維坐標可寫作.[場強的疊加原理離散分布的點電荷激發(fā)的電場如上圖,考察點電荷系激發(fā)的電場.由電場力的疊加原理知: 電荷連續(xù)分布的帶電體激發(fā)的電場電荷元激發(fā)的場強, .,,①帶電線:設(shè)線密度,則;②帶點面:設(shè)面密度,則;③帶電體:設(shè)體密度,則[例5.3.1]討論如下圖所示的電偶極子產(chǎn)生的場強.設(shè)電偶極子的軸為(方向由負電荷指向正電荷),電偶極矩(電矩[解]以兩電荷連線的中點為原點建立坐標軸軸線延長線上一點的場強,,時,電偶極子可視為點電荷,此 軸線中垂線上一點的場強No.No.PAGE10/,,方向沿時,電偶極子可視為點電荷,此時 [例5.3.2]設(shè)均勻帶電細棒長為,電量為.求細棒延長線和中垂線上場強的分布.[解](1)中垂線:,則在沿中垂線對稱的位置取一個電荷元,則它對點的場強指向右上方.由對稱性:,進而下面計算 點離棒充分近時,棒可視為無限長,此時,則 ,方向指向(2)延長線,則 [例5.3.3]正電荷均勻分布在半徑的圓環(huán)上.求通過環(huán)心且垂直于圓環(huán)平面的軸上任一點處的場強[解].由對稱性. .時,帶電圓環(huán)可看作點電荷,此時 . 時,場點在環(huán)心處,由對稱性知:如上圖, 時取得極值[例5.3.4]設(shè)半徑為、電荷均勻分布的薄圓盤的電荷面密度為.求過盤心且垂直于盤面的軸線上任一點處的場強[解]由圓環(huán)的場強 知: 故 場點離圓盤充分近時,圓盤可看作無限大,此時 電場線是為形象描述場強分布而引入的一族空間曲線,是假想的曲線,實際并不存在①電場線切線方向表示場強方向②電場線疏密表示場強的大小,即電場中某點的場強等于該點處電場線數(shù)密度.電場線密集的地方場強大,的地方場強小.電場線始于正電荷(或無窮遠處終于負電荷(或無窮遠處不在無電荷處間斷,在間斷處必有電荷電場線不閉合.無電荷處,任兩條電場線不相交,否則交點處場強方向不唯一電場強度通量(電通量):通過電場中某個面的電場線數(shù),它是標量,有正負

規(guī)定非閉合曲面的方向為其法線方向,閉合曲面的方向為其外法線方向勻強電場中,垂直于平面時,勻強電場中,不垂直于平面時,設(shè)與所成角為,① 時, 時,;③ 時 ,無電場線穿過,此時非勻強電場中的曲面:對作分割,分割足夠小時,每一塊中可視為在勻強電場中,,非勻強電場中的閉合曲面,穿入的電場線與的夾角,則;穿出的電場線與的夾角,則,穿過(有進有出)的電場線對電通量的貢獻為.[例5.4.1]求均勻靜電場中的半徑為的上半球面的電通量[解]若用定義求解,即將上半球面分割為面元,這樣不同面元的不同,積分不方便計算.由穿過閉合曲面的電通量為知

底球,則球底Gauss定理回答了靜電場是否是有源場的問題,是反映靜電場的性質(zhì)的基本定理[Gauss定理的積分形式]真空中的靜電場內(nèi),通過任意封閉曲面(Gauss面)的代數(shù)和的倍,即 [證明](1)點電荷激發(fā)的電場通過閉合球面的電通量點電荷激發(fā)的電場的場 穿過閉合球面的電通量點電荷激發(fā)的電場通過任意閉合曲面的電通量若用定義求解, 與的方向不確定,積分不方便作以點電荷為球心,閉合曲面的內(nèi)切球面和外接球面注意到穿過的電場線也穿過和,則、、三者的電通量相等,故點電荷系激發(fā)的電場通過任意閉合曲面的電通量(點電荷系在曲面內(nèi)點電荷系 激發(fā)的電場通過任意閉合曲面的電通量(點電荷系在曲面外入出,這表明:在閉合曲面外的電荷對穿過閉合曲面的電通量的貢獻為點電荷系 激發(fā)的電場通過任意閉合曲面的電通量[注1]Gauss定理可由Coulomb定律嚴格導出,也適用于運動電荷的電場[注2]時,閉合曲面上的場強未必為零,閉合曲面內(nèi)也未必無電荷(如有一正一負[Gauss定理的微分形式].(不常用用Gauss定理求場強的步驟根據(jù)電荷分布的對稱性分析電場分布的對稱性根據(jù)對稱性選擇Gauss面①讓Gauss面與處處垂直,這樣②讓Gauss面上任一點處的場強相等,這樣 用Guass定理求解[例5.5.1]設(shè)有一半徑為的均勻帶電的球面.求球面內(nèi)外任一點的場強[解]作以大球球心為球心、以為半徑的Gauss球面.顯然Gauss面與處處垂直,且其上任一點處相等時,時,形式相同總圖象

.由Gauss定理 ,故,與點電荷產(chǎn)生的電場[例5.5.2]設(shè)有一無限長均勻帶電直線,電荷線密度(單位長度上的電荷)為.求距離直線處的場強.[解]如下圖,對任一點,由對稱性:點場強沿指向無窮遠,故帶電線的場強從中心指向四面八方.以帶電線中心為柱心、以為半徑(過)作Gauss圓柱面.顯然Gauss面與處處垂直,且其上任一點處相等上下側(cè),其中上下 [例5.5.3]設(shè)有一無限大的均勻帶電平面,電荷面密度為.求距平面處的場強[解]顯然平面左側(cè)的點處的場強垂直于平面向左,平面右側(cè)的點處的場強垂直于平面向右如下圖,作Gauss圓柱面注意到側(cè), 上 . [注1]帶正電和帶負電的平面場強大小相同,方向相反[注2]無限大帶電平面的電場疊加其中后者是平行板電容器間的場強 [例5.5.4]求帶電量、半徑為的帶電球體的電場分布.時, ,則時, ,則[例5.5.5]設(shè)無限長均勻帶電圓柱面的半徑為,單位長度帶電量為.求其電場分布.時, 時, .單個場源電荷的靜電場對試驗電荷做的功電場力.將弧分割得足夠細時,每一段上的可視為恒力元功,其中,即徑向增量電場力做功 ,這表明:電場力做功只與始末位置有關(guān),是保守力任意帶電體的靜電場對試驗電荷做的功總場強,元功 [靜電場環(huán)路定理的積分形式]靜電場中沿任意閉合路徑運動一周電場力做功為, .[注]該定理表明:靜電場是保守場[靜電場環(huán)路定理的微分形式 [注]該定理表明:靜電場是無旋場,故電場線不閉合因靜電場是保守場,則可定義只與位置有關(guān)的勢能,即電勢能電場力所做的功等于電勢能增量的負值, .將試驗電荷沿電場線方向移動:若,則電場力做正功,電勢能減小;若,則電場力做負功,電勢能增大電荷在電場中某點的電勢能等于將其從該點沿任意路徑移動到電勢能零點靜電力所做的功以點為參考點,的電勢能 電勢能是標量,有正有負.電勢能是相對的,與電荷的位置和電性有關(guān)①正電荷的電場線指向無窮遠點,釋放正電荷它將沿電場線方向移動.因無窮遠點電勢能為零,則起點的電勢能為正②負電荷的電場線從無窮遠點指向負電荷,釋放負電荷它將沿逆電場線方向移動.因無窮遠點電勢能為零,勢能為負.[注1]電勢能是電荷和產(chǎn)生電場的電荷系所共有的[注2]電勢能和試驗電荷的選取有關(guān),不能用于描述電場[注3]電勢能的SI單位是焦耳(),常用單位是電子伏特(),;兆電子伏特(),.場 從力的角度描述電場,電勢 從能量的角度描述電場電場中任一點的電勢等于將單位正電荷從該點沿任意路徑移動到電勢零點(通常取無窮遠點,但有些問題中不能以無遠點為電勢零點)電場力所作的功,等于該點沿任一路徑到電勢零點的線積分. 兩邊同除以得 .若為無窮遠點,[注1]理論計算有限帶電體電勢時通常取無窮遠點作電勢零點,但計算無限帶電體(如無限長的帶電線、無限大的帶電[注2]實際應(yīng)用或研究電路問題時取大地、儀器外殼等作電勢零點,其中接地相當于將該點與無窮遠點相連,使得該點[注3]電勢的SI單位時伏特(),它不是電學的基本單位.[注4]電勢描述電場的能量性質(zhì),與試驗電荷無關(guān).電場中單位正電荷在、兩點的電勢能之差稱為、兩點的電勢差(電壓,即將單位正電荷從點移動到點時電場力所做的功,亦即電勢與電勢能的關(guān)系①點電荷在靜電場中的電勢能,這表明:電勢零點也是電勢能零點,反之亦然②將電 從點沿任意路徑移動到點靜電力做[電勢的疊加原理證明:以無窮遠點為電勢零點如下圖,考察點電荷激發(fā)的電場中點的電勢 ①時,,這表明:正電荷的附近電勢為正;②時,,這表明:負電荷的附近電勢為負;如下圖,考察點電荷系激發(fā)的電場中點的電勢.如下圖,考察任意帶電體激發(fā)的電場中點的電勢 [注]場強和電勢都是的函數(shù).注意到,這是對矢量的積分,而是對標量的積分,顯然計算更簡單.后續(xù)將討論電勢與場強的關(guān)系.[計算電勢的方法定義:電勢疊加原理: 適用情況:帶電體不規(guī)則或難求步驟:①選勢能零點;②取電荷元求出;③用電勢疊加原理積分[例5.8.1]設(shè)有均勻帶電的半徑為的細圓環(huán).求環(huán)軸線上距環(huán)心的點處的電勢[解]以無窮遠點為電勢零點.電荷線密度.取電荷 ①時,帶電圓環(huán)可視為點電荷,此時 ②,即環(huán)心處, ,而該點處場強為零,這表明:場強為零的點電勢未必為零.[例5.8.2]設(shè)有均勻帶電的半徑為的圓盤.求過盤心且垂直于盤的軸線上距離盤心的點處的電勢[解]取面元環(huán)帶,則電荷面密度 時,帶電圓盤可視為點電荷,此時 ,分子分母同乘得: [例5.8.3]設(shè)真空中有一均勻帶電的半徑為的球面.求:(1)球面外任一點的電勢;(2)球面內(nèi)任一點的電勢[解]如上圖,先用Gauss定理求出區(qū)域I、II的場強: 時,Gauss球面內(nèi)不含電荷,故 時,Gauss球面包含整個帶電球面, 以無窮遠點為電勢零點時, .時,將球面內(nèi)的點移動至無窮遠需跨過球面,則需分兩段積分. ,則 ,則 是等勢體均勻帶電球面帶電球面的電勢分布:時,是非零定值

[例5.8.4]求距離電荷線密度為的無限長帶電直導線處的點的電勢[解]作Gauss圓柱面,由Gauss定理求得點處的場強 因該帶電直導線無限長,則不能選取無窮遠點為勢能零點(否則計算結(jié)果為,無意義.不妨取距導線處的點為電勢零點. .電荷沿等勢面移動時電場力不做功.[證].靜電場中,某點的場強(電場線)與過該點的等勢面垂直,即電場線與等勢面處處垂直.場強指向電勢降低的方向.[證],這表明:將正電荷從等勢面移動到等勢面時,電場力做正功,則不同電勢的等勢面不相交,否則交點處電勢不唯一等勢面的疏密表示場強的大小,等勢面越密的地方場強越大,因為等勢面越密的地方電場線也越密相鄰兩等勢面間的電勢差相等如下圖,考察將電荷從等勢面移動到等勢面電場力所做的功,其中,則,其中是 在法向(梯度的方向)上的投影,這表明:場強是電勢在梯度方向上的導數(shù)的負值注意到,則沿梯度方向電勢降低最快場強與電勢的關(guān)系]值.通俗地說,要求場強沿哪個方向的分量就求電勢沿該方向的導數(shù),再加個負號..因,則.場 ,方向由高電勢指向低電勢推廣到三維:電場中任一點的場強等于該點處的負梯度,[求場強的方法場強疊加原理: .Gauss定理:場強與電勢的關(guān)系:[例5.9.1]求均勻帶電細圓環(huán)產(chǎn)生的電場中任一點的場強[解]先求出電勢,顯然場強無、方向的分量,故 [例5.9.2]求電偶極子激發(fā)的電場中任一點處的電勢和場強.[解] ,則.因, ,則 ,進而 如下圖,考察一對電偶極子在靜電場中所受的合外力和合外力矩 ,即合力為零,則,方向垂直紙面向里;,則,方向垂直紙面向里故合力矩,方向垂直紙面向里,[注]系統(tǒng)所受的合外力矩為零時,合外力未必為零.如如下圖,在勻強電場中放入兩電偶極子,初始時它們平衡它們所受的合外力矩中電偶極子受到的合外力矩使其轉(zhuǎn)回平衡位置,這稱為穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡類似于在曲面底部有一個小球,擾動使其稍微偏離平衡位置,則它將在平衡位置附近振動后回到平衡位置中電偶極子收到的合外力矩使其轉(zhuǎn)到的方向,這稱為不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡類似于在山上放一個小球,擾動使其稍微偏離平衡位置,則它將滾下山No.No.PAGE10/ 靜電場中的導體與電介 如上圖,將一塊矩形的金屬導體放入勻強電中,在電場作用下,負電荷堆積在金屬導體的左端,正電荷堆積在金屬導體的右端,金屬導體內(nèi)部產(chǎn)生附加電.金屬導體中任一點處的場強.,時,導體內(nèi)和表面不再有電荷的定向移動,此時金屬導體達靜電平衡狀態(tài).靜電平衡的條件.,[證]考察靜電平衡時金屬導體內(nèi)兩點、的電勢 ..,導體表面處的場強方向與導體表面處處垂直.,[證]在導體內(nèi)部取一個Gauss面,考察場強對的通量.由Gauss定理: ,進而,即Gauss面內(nèi)部無電荷,進而電荷只分布在導體表面..,靜電平衡時導體上的電荷分布空腔導體①空腔內(nèi)無帶電體時,電荷分布在導體的外表面,內(nèi)表面無電荷]②空腔內(nèi)有電荷時:如下圖,空腔內(nèi)有正電荷時,任取Gauss面,它包圍的電荷滿足,而空腔內(nèi)有,則導體內(nèi)表面感應(yīng)出負電荷,進而導體外表面感應(yīng)出正電荷.如下圖,在達到靜電平衡的、帶電的球形金屬導體外部套一個空心的球形金屬導體,則的內(nèi)表面感應(yīng)出外表面感應(yīng)出如下圖,若本身帶電,則達到靜電平衡后的外表面帶電靜電平衡時導體表面的場強如下圖,作圓柱形Gauss面使得它只包含一條電場線下側(cè)上

,則 ,進而孤立帶電導體的電荷分布的定性規(guī)律在表面凹進的部分電荷面密度最小[證]如下圖,

小的、半徑為的小球形導體和電荷面密

大的、半徑為的大球形導體,用導線相連 代入大

小得

靜電屏蔽的應(yīng)用[例6.2.1]有一外半徑 、內(nèi)半徑的金屬球殼.在球殼中放入一個半徑為的同心金屬 ]球殼和球?qū)⒖臻g分為四個區(qū)域,分別取四個代表點、、、顯然.由Gauss定理易求得 [引理]如下圖,有一個半徑為、帶電量的球殼.當它達到靜電平衡時外 內(nèi) ] 設(shè)接地后球殼外表面帶電,則達到靜電平衡時,球殼外表面帶電,解得:.由(1)知:接地后球殼外表面帶電.設(shè)接地后帶電,則達到靜電平衡時球殼外表面帶電電介質(zhì)的分類 故無極分子和有極分子在無外場作用時都無極性現(xiàn)分別給無極分子和有極分子外加電場 ,其中是電偶極矩,是導體的體積此時,即數(shù)值上等于.設(shè)導體外法線方向的單位矢量為,則作上底面在上極板中、下底面過點的底面積為的Gauss圓柱面 不同如上圖,源場,附加電場,兩者的和矢量.金屬導體中,會逐漸增大直至與相等,此時;電介質(zhì)中,不能增,其中稱為相對電容率.真空中,空氣中.定義電容率附加電場與源電場的關(guān)系:.代入 得:,兩邊同乘極板面積得:.,則.即方向與方向相同定義電極化率,],其中電位移,其單位為.對電介質(zhì)內(nèi)一點,作上底面在上極板中、下底面過點的底面積為的Gauss圓柱面Gauss面包含的電量 .由真空中的Guass定理 ,將和移到得 , [注2]無電介質(zhì),即真空時,,則,進而.故有電介質(zhì)時的Gauss定理是真空中的Gauss定理的推廣.[注3]有電介質(zhì)時的Gauss定理是普遍成立的.在有對稱性時,可按的順序求解.[例6.4.1]將一塊相對電容率的電介質(zhì)放在相距的兩平行帶電板間,放入前兩極板的電勢差為求兩極板間電介質(zhì)內(nèi)的場強、電極化強度、板和電介質(zhì)的電荷面密度、電介質(zhì)內(nèi)的電位移真空時由真空中的Gauss定理: .有電介質(zhì)時由有電介質(zhì)時的Gauss定理 .[例6.4.2]如下圖,設(shè)有半徑為的長直圓柱導體和同軸的半徑為的薄導體圓筒,其間充滿電容率為的電介質(zhì).設(shè)直導體和圓筒單位長度上的電荷分別為和,求:(1)電介質(zhì)中的場強、電位移和電極化強度;(2)電介質(zhì)內(nèi)外表面的極化電荷面[解]作同軸Gauss柱面由有電介質(zhì)時的Gauss定理 內(nèi)內(nèi) 外外 [解].內(nèi) 以無窮遠點為電勢零點孤立導體的電容定義為其帶電荷與電勢之比,即,它是描述導體電學性質(zhì)的物理量,只與幾何因素和介質(zhì)有關(guān) 如上圖,以無窮遠點為零電勢點,考察帶電、半徑為的球形孤立導體的電容: ,故 計算電容器的電容 計算計算電容器電容的步驟:①因電容與兩極板帶電量無關(guān),不妨設(shè)兩極板分別帶電,或設(shè)電荷線密度或面密度或體密度;②根據(jù)兩極板間是否由電介質(zhì),用Gauss定理求兩極板間的場強;③用 求兩極板間的電勢差;④用求,最后結(jié)果與、、、無關(guān).[例6.5.1]如下圖,分別計算兩極板間有無電介質(zhì)時平行板電容器的電容.設(shè)極板面積為,則時,可視為無限大的[解]設(shè)電荷面密度 無電介質(zhì)時由真空中的Gauss定理: ..有電介質(zhì)時由有電介質(zhì)時的Gauss定理 ..[解]設(shè)正極板、負極板的電荷線密度分別為、 [解]設(shè)正極板、負極板分別帶電、..[解]顯然兩導線在中間產(chǎn)生的場強都向右建立水平的軸.注意導線內(nèi)部靜電平衡,是兩導線中心的間距,則真正存在場的區(qū)域是到因,則 ..[解][注]并聯(lián)時總電容增大,但電容器組的耐壓能力取決于其中耐壓能力最低的電容 [注]串聯(lián)時總電容減小,但電容器組的耐壓能力提高[例6.5.7]如下圖,在兩極板間距為的平行板電容器中填充介電常數(shù)分別為、的兩種電介質(zhì),其中第一種填充的厚度為.求該電容器的電容.[解]視為兩電容串聯(lián). 解出[例6.5.8]如下圖,在兩極板間距為的平行板電容器中填充介電常數(shù)分別為、的兩種電介質(zhì),其中第一種電介質(zhì)的正對面積為,第二種電介質(zhì)的正對面積為.求該電容器的電容.[解]視為兩電容并聯(lián). ,代入解出因 , ,進而 事實上,一般電場的能量密度也滿足 ,則電場空間存儲的能量[例6.6.1]如下圖,球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為和,帶電.若在兩球殼間充電容率為的電介質(zhì),求此電容器貯[解]體積元取過場點的一個厚度為的球殼,則.[例6.6.2]如下圖,圓柱形空氣電容器中,空氣的擊穿場強.設(shè)導體圓筒外半徑.在空氣 .注意到,則應(yīng)取.由 解出體積元取半徑為、厚度為、高度為的圓柱殼,則,解出即可No.No.PAGE10/ 恒定磁 磁極:S極、N同向電流相互吸引,點電荷單個載流子無限長均勻帶電細棒無限長載流長直導線均勻帶電圓環(huán)圓形載流導線軸線上無限大帶電面無限大載流平面磁偶極子左端S極,右端N極磁偶極子在延長線一點的場 電場是有源場,Ampere環(huán)路定理合外力矩磁力矩 有極分子取向極化,無極分子位移極化磁導率 磁化率 電位移有電介質(zhì)時的auss定理場強與電位移的關(guān)系有磁介質(zhì)時的Ampere環(huán)路定理磁感強度與磁場強度的關(guān)系載流子:提供電流的帶電粒子根據(jù)載流子運動的不同,電流分為:①傳導電流:在外場作用下載流子做定向移動,如電路中的電流;②運流電流:機械運動,如水平地面上一個人抱著帶電體運動、一個帶電的圓盤轉(zhuǎn)動.電流強度:通過截面的電荷量隨時間的變化率,即.電流強度是標量,但有方向,規(guī)定正電荷從高電勢向低電勢電流強度的缺陷:只能宏觀上表示電流的方向,不能微觀上描述載流子在某一點處的運動方向電流密度矢量描述導體內(nèi)各點電流分布的情況,其方向指向該點處正電荷運動的方向,大小是單位時間內(nèi)過該點且垂于正電荷運動方向的單位面積的電荷,即 ,其為面的法線方向. 系.同理,若為閉合曲面,則 設(shè)電子的電量為,漂移速度,數(shù)密度為.考察時間內(nèi)從經(jīng)過的電量.時間內(nèi)穿過該面的電子是一個圓柱體,其體積.,則 類比:下課時,同學們從教室的一個門走出.考察單位時間內(nèi)通過門的人數(shù).這與單位體積內(nèi)的學生數(shù)量有關(guān),數(shù)密度越大單位時間內(nèi)通過門的人數(shù)越多;與學生的走路速度有關(guān),學生走的越慢,單位時間通過門的人數(shù)越少;與學生的體積有關(guān),學生越胖,單位時間通過門的人數(shù)越少.電流線用于形象地刻畫電流分布.電流線上某點的切向與該點處的方向一致. [電流的連續(xù)性方程的積分形式]單位時間內(nèi)通過閉合曲面向外流出的電荷等于此時間內(nèi)閉合曲面電荷的減少量,設(shè)閉合曲面內(nèi)的電量為,則 ,[電流的連續(xù)性方程的微分形式 ,即 恒定電流條件:閉合曲面內(nèi)的電荷不隨時間變化, ,亦即.[Kirchhoff第一定律]流入節(jié)點的電流總量等于流出節(jié)點的電流總量, .恒定電流的特點:①電荷分布不隨時間變化;②磁場恒定,即無感應(yīng)電場恒定電場:在恒定電流下,不隨時間變化的電荷分布所產(chǎn)生的不隨時間變化的電場恒定電場的性質(zhì):①服從Gauss定理(事實上任何電場都服從):? ;③恒定電場可引入電勢;④恒定電場的存在伴隨能量的轉(zhuǎn)化.

;②服從環(huán)路定理(靜電場與恒定電場的不同靜電場:①電荷靜止,不激發(fā)磁場;②靜電平衡,導體內(nèi)部場強為零;③維持靜電場無需能量轉(zhuǎn)化恒定電場:①電荷運動,激發(fā)(恒定)磁場;②導體內(nèi)部有非零的恒定電場;③維持恒定電場伴隨能量轉(zhuǎn)化電源:提供非靜電力,克服電場力做功將正電荷送回正極板的裝置非靜電力:能不斷分離正負電荷,使正電荷逆電場力方向運動的力因電場力,則非靜電力也可定義某種"場,即.非靜電電場強 :單位正電荷所受的非靜電力,只存在電源內(nèi)部電源電動勢:將單位正電荷從負極經(jīng)電源內(nèi)部移至正極時非靜電力所做的功,即 對閉合電路,若同時考慮電源內(nèi)外非靜電力所作的功,

磁鐵的磁場:N、S極同時存在,同名磁極相斥,異名磁極相吸目前未在自然界中發(fā)現(xiàn)磁單極子,即沒有單獨的N極或單獨的S極帶電粒子在磁場中運動所受的力與運動方向有關(guān)實驗發(fā)現(xiàn)帶電粒子在磁場中沿某一特定直線方向運動時不受力,此直線方向與電荷無關(guān),稱此方向為零力線方向.方向與帶電粒子無關(guān),定義該方向為磁感強度的方向.改變帶電粒子的入射方向,測量帶電粒子所受的力什么時候最大.實驗發(fā)現(xiàn)帶電粒子垂直于磁感強度方向入射時所受力最大,此時,則 .若帶電粒子入射方向與磁感方向成角,則 磁感強度的單位:①(SI)單位:特斯拉(), ;②常用單位:高斯(),時,運動電荷在磁場中所受力(洛倫茲力):時,

同向;②Biot-Savart時,反向電荷元是標量,電流 是矢量時,反向[證]取電流 .類似于Coulomb定律 [例7.4.1]判斷下面各點磁感強度的方向[例7.4.2]求下圖載流有限長的長直導線產(chǎn)生的磁場無限長載流長直導線產(chǎn)生的磁感強度方向(右手螺旋定則[解]顯然電流元在場點處產(chǎn)生的磁場都垂直紙面向里,則 進而 .[注1]若場點與導線的垂直距離很近,則導線可視為無限長的長直導線,此時,則 [注2]若為半無限長的長直導線,此時 ,則.[注3]無限長的帶電細棒產(chǎn)生的場強 定義閉合線圈的極距,其中與滿足右手螺旋定則只有圓形電流的面積很小或場點離圓形電流很遠時,才能將圓電流視為磁偶極子磁偶極子可視為左端是S極、右端是N極的條形磁鐵,與電偶極子左端是負電荷、右端是正電荷類似[例7.4.3]求下圖圓形載流導線軸線上的磁場 .[解]由對稱性:場點處的磁感強度垂直于軸的分量相互抵消,故只需計算沿軸方向的分量.,則 ,其中 .,則.[注1]若線圈有匝,則 [注2],即環(huán)心處, [注3]時,可視為點電荷, .分子分母同乘得 以電偶極子的中點為原點建立軸,在延長線上一點處的場 [注4]在環(huán)心處的磁感強度:(1)圓形載流導線 圓: 圓: 一般地,圓心角為的載流圓弧在環(huán)心處的磁感強度 [例7.4.4]求兩段半無限長的長直載流導線在場點處的磁感強度[解]注意點在橫的導線的延長線上,則橫的導線在點處產(chǎn)生的磁場的磁感強度為.故 [例7.4.5]求如下的載流長直導線在圓心處的磁感強度[解]①和③都過,不貢獻.注意到②和④在點處產(chǎn)生的場強方向相反,不妨規(guī)定垂直版面向里為正方向[例7.4.6]如下圖,有一長為、半徑為的載流密繞直螺線管,螺線管的總匝數(shù)為,通有電流.設(shè)將螺線管放在真空中求管內(nèi)軸線上一點的磁感強度[解]載流密繞直螺線管可視為多個載流圓形導線緊密排列,匝數(shù)密度 取線元,則長度的線圈有匝.因各線圈串聯(lián),則中的電流因單匝線圈的磁感強度,則上式有多個積分變量.注意到 ,則 ,則[注]當螺線管長度半徑時可視為無限長,此時,則半無限長的螺線管, ,則 設(shè)螺線管的中心為,則磁感強度大小分布如下圖.螺線管內(nèi)部是勻強磁場,在端點處降為原來的一半磁場由電流產(chǎn)生,電流由運動的電荷產(chǎn)生,則運動的電荷也能產(chǎn)生磁場設(shè)漂移速度,電流密度矢 .取電流元注意到體積元,其中載流子的數(shù)量,則,則單個載流子的磁場[注]點電荷的場 ,兩者形式上相似,但磁場與有關(guān),因為靜止的電荷不能產(chǎn)生磁場[例7.4.7]設(shè)半徑為的帶電薄圓盤的電荷面密度為,其以角速度繞盤心垂直于盤面的軸轉(zhuǎn)動.求圓盤中心的磁感度[解1]用運動電荷的磁場.顯然每個點電荷在圓盤中心產(chǎn)生的磁場都垂直紙面向外,故只需算標量和取電荷元由單個載流子的磁感強度 ..[解2]用圓電流的磁場, 取電荷面元,則電流元,則 磁感線用于形象地描述磁場繪制方法:①磁感線上任一點處的切線方向為該點處的磁感強度方向;等于該點處的磁感強度大小,即磁感線的疏密程度反映磁感強度的大小.磁感線與電場線的異同:①電場線有起點有終點,不閉合;而磁感線沒有起點和終點,是閉合曲線;②任意兩條場線不相交通電直導線的磁感線通電圓線圈的磁感線螺線管的磁感線磁通量定義為通過某曲面的磁感線條數(shù),單位韋伯(,對均勻磁場和平面,磁通,對非均勻磁場和一般曲面磁通量是標量,但有正負,正負又決定:①時;②時;③時[真空中的Gauss定理的積分形式]通過任意閉合曲面的磁通量為零,即[證]以曲面的外法線方向為正.①穿入:;②穿過:;③穿出: [注1]這表明:磁場是無源場.[注2]對任意閉合的Gauss面 ,則面內(nèi)不可能存在單獨的磁極,這表明:磁單極子不存在.[真空中的Gauss定理的微分形式][例7.5.1]如下圖,設(shè)載流長直導線通過電流.求通過矩形的磁通量[解]注意到,即矩形內(nèi)場不均勻在處取寬度為的面元,在其上可視為恒矢, [真空中的Ampere環(huán)路定理的積分形式]在穩(wěn)恒電流的磁場中,磁感強度沿任一閉合環(huán)路的線積分等于穿過該環(huán)路的[證](1)如下圖,無限長載流直導線,圓形閉合回路內(nèi)(回路與電流成右螺旋由: .如下圖,無限長載流直導線,圓形閉合回路內(nèi)(回路與電流成左螺旋無限長載流直導線在任意閉合回路內(nèi)其 在切線方向的投影.因很小,弧長近似等于弦長, 閉合回路外的無限長載流直導線,則 ,即閉合回路外的載流直導線對閉合回路的環(huán)流無貢獻.多條無限長載流長直導線,在任意閉合路徑內(nèi)、外顯然只需考慮、對回路的環(huán)流.因方向與環(huán)流符合右手螺旋定則,則規(guī)定 [注1]Ampere環(huán)路定理只適用于穩(wěn)恒電流(閉合或沿伸到無窮遠).[注2]對穿過閉合回路的電流,與繞向滿足右手螺旋定則的電流為正,否則為負[注 表明:磁場是非保守場(渦旋場),因而不能定義勢能.[注4]若,則回路上各處的不一定都為,也未必無電流穿過回路,只能推出穿過的電流的代數(shù)和零[注5]Ampere環(huán)路定理是反映磁場性質(zhì)的基本定理[注 由空間中所有電流激發(fā),但的環(huán)流只由閉合環(huán)路包圍的電流決定[注7]內(nèi)是閉合穩(wěn)恒并與閉合回路相鉸鏈的電流[注8]如下圖,若多匝電流與回路相鉸鏈,則,[真空中的Ampere環(huán)路定理的微分形式,[例7.6.1]如下圖,求閉合環(huán)路的環(huán)流[解][例7.6.2]如下圖,求閉合環(huán)路的環(huán)流[解]對某些對稱分布的電流,可通過取合適的環(huán)路,利用Ampere環(huán)路定理求解步驟:①分析磁場對稱性;②建立合適的Ampere環(huán)路,要求環(huán)路與同向或垂直,且環(huán)路上各點相等[例7.6.3]如下圖,求載流螺線環(huán)內(nèi)的磁場[解]顯然螺線環(huán)內(nèi)的磁場順時針.建立與同向的Ampere環(huán)路[注]這表明:載流螺線環(huán)內(nèi)部的磁場的磁感強度大小相等[例7.6.4]如下圖,求無限長載流圓柱體的磁場[解]時 . 時,電流密度 ,回路包圍的電流 .[例7.6.5]如下圖,求無限長載流圓柱面的磁場[解]時 時 .[例7.6.5]如下圖,設(shè)無限大的載流平面上電流的線密度為(平面內(nèi)通過垂直于電流方向的單位長度的電流強度).求空[解]由對稱性:點處場強平行于平面向右.如上圖建立矩形Ampere環(huán)路.[注]無限大帶電面的場強 電場 ,磁場力(Lorentz力),則運動電荷所受合力如上圖,帶電粒子以速度垂直射入勻強磁場,則 .,但不變.如上圖,粒子在垂直方向做勻速圓周運動,在水平方向做勻速直線運動,粒子軌跡為螺線形在側(cè)視圖,相鄰兩個周期粒子到達同一位置之間的距離稱為螺