1.3全等三角形的判定（1）??基礎(chǔ)知識(shí)三個(gè)基本事實(shí)兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）一個(gè)推論兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）一個(gè)補(bǔ)充旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱（翻折）前后的兩個(gè)三角形全等?基礎(chǔ)題型【題型1】用SAS證明三角形全等【題型2】用SAS間接證明三角形全等【題型3】全等的性質(zhì)和SAS綜合【題型4】用ASA（AAS）證明三角形全等【題型5】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合【題型6】用SSS證明三角形全等【題型7】用SSS間接證明三角形全等【題型8】全等的性質(zhì)和SSS??例題精講

例1：（2025·云南西雙版納·一模）如圖，，，．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．利用證全等即可．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，，∴．例2：（2425八年級(jí)上·湖南永州·期中）如圖，已知點(diǎn)，在上，，，．求證：；【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)等式的性質(zhì)得出，最后根據(jù)證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在和中，∴例3：（2025·江蘇無錫·二模）如圖，點(diǎn)在的邊上，經(jīng)過邊的中點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)1【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）利用全等三角形的判定即可證明；（2）利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，在和中，，．（2）解：由（1）得，，，，．的長(zhǎng)為1．例4：（2025·江蘇南京·一模）如圖，在四邊形中，是邊上一點(diǎn)，連接，，平分，．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判斷，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由題得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：，．．，．平分，．．在和中，，．例5：（2425七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）已知：如圖，，．(1)AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(2)你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？【答案】(1)，證明見解析(2)，【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1），理由為：連接，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由已知角相等及公共邊，利用得到三角形全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）還能得到與平行，．【詳解】（1）解：，理由如下：連接，，，在和中，，，；（2）還能確定出：，例6：（2425七年級(jí)下·上海崇明·期中）如圖，四邊形中，，，，(1)求證：；(2)求證：；【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)、用SSS證明三角形全等（SSS）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)角的和差得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，（2）證明：由（1）可知，，，在和中，，，，即．例7：（2425九年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，，，．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SSS間接證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先得到，再由證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，，∴．例8：（2223七年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，在中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)D在上，連接，，若，，，則的度數(shù)為．【答案】/度【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、用SSS間接證明三角形全等（SSS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，先證明，可得，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．例9：（2025七年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）已知：如圖，在與中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接．求證：．【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用即可證明全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求證．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，，∴，∴．課堂鞏固1．（2425七年級(jí)下·上海崇明·期中）如圖，已知，，，，求證：【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先由垂線的定義得到，則可證明，再利用即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∴，∴，又∵，，∴．2．（2425八年級(jí)上·云南楚雄·期末）如圖，，且．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定，先證明，再根據(jù)證明即可．【詳解】證明：，．在和中，．3.（2425七年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）如圖，已知B、E、C、F在同一條直線上，，且，與交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，，再利用即可證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，再由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，∴，又∵，∴（2）解：∵，∴，∴，∵，∴．4.（2425七年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，在和中，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，，則的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定，平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定定理判斷是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題中的條件推理出全等三角形的判定依據(jù)，即可求解；【詳解】解：，，在和中，，；則的依據(jù)是；故選：D5.（2025·陜西西安·三模）如圖，是的中線，，分別是和延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了三角形全等的判定、平行線的性質(zhì)、三角形的中線，熟練掌握三角形全等的判定是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中線可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，可證，即得．【詳解】證明：∵是的中線，∴，∵，∴，在和中，，∴．∴．6.（2425七年級(jí)下·四川成都·期中）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個(gè)角，如圖，在的兩邊、上分別在取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)、重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)的射線就是的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用SSS證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理．根據(jù)全等三角形的判定定理推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義得出答案即可．【詳解】解：在和中，.∴，∴，即就是的平分線，故答案為：．7.（2425八年級(jí)上·湖南永州·期中）如圖，、、、在一條直線上，與交于點(diǎn)，，，，求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SSS間接證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．首先得出，再利用證明即可．【詳解】證明：∵，∴，即在和中∴．8.（2223八年級(jí)上·浙江湖州·期中）如圖，四邊形中，，，E、F分別為、的中點(diǎn)，連接、．(1)與相等嗎？請(qǐng)說明理由；(2)求證：．【答案】(1)與相等，理由見解析；(2)證明見解析．【知識(shí)點(diǎn)】用SSS間接證明三角形全等（SSS）、用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及線段中點(diǎn)定義，（1）在和中，利用即可證明，則；（2）根據(jù)題意得，，則，結(jié)合（1）得，即可證明，有．【詳解】（1）解：與相等，理由如下：連接，在和中，，∴，∴；（2）證明：∵點(diǎn)E與F分別是、的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．9.（2425七年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，，，(1)求證：．(2)，，求當(dāng)中邊的取值范圍．【答案】(1)證明見結(jié)論(2)【知識(shí)點(diǎn)】確定第三邊的取值范圍、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．（1）由得出，再利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先利用全等三角形的結(jié)論得到，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系列出關(guān)于的不等式，最后代入數(shù)值求出取值范圍．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，，∴；（2）∵∴，在中，∵，∵，，∴，即．課后作業(yè)1．（2425七年級(jí)下·甘肅蘭州·期中）如圖，已知在中，，，在中，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．試說明：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．先證出，再利用定理即可得．【詳解】解：∵，，∴，∴，即，在和中，，∴．2．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過作，且，連接交于點(diǎn)，若，求證：．【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行同位角相等、用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，先由平行線的性質(zhì)得到，再證明，，據(jù)此可利用證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．3．（2425七年級(jí)下·全國·隨堂練習(xí)）如圖，在和中，，，，連接，．試說明：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關(guān)鍵．先證明，然后根據(jù)可證．【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以．在和中，，所以?．（2425八年級(jí)上·河南漯河·期末）如圖，在四邊形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，，，求證：．【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．先證明得出，再證明．【詳解】證明：在和中，，∴，∴，在和中，，∴．5．（2025·陜西咸陽·二模）如圖，在四邊形中，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，，且，．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，利用得到，證明，即可得到，熟練利用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：，，，在和中，，，，．6．（2425七年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知：如圖，是的中線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）先證明，結(jié)合，，從而可得結(jié)論；（2）先求解，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是的中線，∴，∵，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴；7．（1920八年級(jí)上·江西上饒·期中）小明不飽將塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（）A．第1塊 B．第2塊C．第3塊 D．第4塊【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個(gè)包含的條件符合某個(gè)判定．解題詞關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個(gè)三角形全等的判定定理：、、、、．本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證．【詳解】解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)ィ挥械?塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故選：B．8．（2425七年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，，，．(1)試說明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行同位角相等、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再證明，即可利用，證明；（2）先求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴．9．（2025·廣東廣州·一模）如圖，，．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先由得到其鄰補(bǔ)角相等，再由證明全等，則由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可說理．【詳解】證明：∵，∴．在和中，，∴，∴．10．（2025·云南昆明·一模）如圖，已知，相交于點(diǎn)E，，，求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)得出，證明，即可解答．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．11．（2425八年級(jí)下·湖南·期中）如圖，在四邊形中，，，，則°．【答案】/130度【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)、用SSS證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．連接，利用“”易得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)易得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到的度數(shù)來求解．【詳解】解：連接，如下圖在和中，，，，，．，．．故答案為：．12．（2024九年級(jí)下·云南·學(xué)業(yè)考試）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)依次在同一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SSS證明三角形全等（SS