重載機器人的運動學(xué)分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造目錄CONTENTS3.1重載機器人位姿分析3.2機器人工作空間分析3.3重載機器人速度分析3.4重載機器人運動性能指標(biāo)3.5誤差模型與參數(shù)辨識3.1重載機器人位姿分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造1在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，重載機器人被廣泛應(yīng)用汽車制造、航空航天和金屬加工等領(lǐng)域。與中輕載機器人相比，其設(shè)計和控制面臨更多技術(shù)挑戰(zhàn)，因此，運動學(xué)分析尤為重要。運動學(xué)分析主要研究機器人各構(gòu)件間的位置、速度及加速度關(guān)系。重載機器人的運動學(xué)分析分為正運動學(xué)和逆運動學(xué)。正運動學(xué)是在給定關(guān)節(jié)變量下求解末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)，而逆運動學(xué)則根據(jù)期望的末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)求解關(guān)節(jié)變量。戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造2重載機器人在處理復(fù)雜任務(wù)時需要高精度和可靠性的運動學(xué)分析，通常采用優(yōu)化技術(shù)進行參數(shù)辨識和誤差補償。本章將全面探討重載機器人的運動學(xué)，主要包括以下內(nèi)容：位姿表示、連桿參數(shù)與坐標(biāo)系的建立，串聯(lián)和并聯(lián)機器人的運動學(xué)模型；求解工作空間，了解操作范圍；詳述速度雅可比矩陣及其在串聯(lián)和并聯(lián)機器人中性能分析的應(yīng)用，分析關(guān)節(jié)速度到操作速度的映射關(guān)系；分析奇異性和靈巧性，評估機器人任務(wù)性能；進行誤差分析、模型標(biāo)定、參數(shù)辨識及精度補償，提升機器人操作安全性和精準(zhǔn)性。3.1重載機器人位姿分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造3在研究重載機器人運動學(xué)時，首要解決的問題是如何描述機器人末端的運動。在機器人的位姿描述和運動學(xué)分析時，坐標(biāo)系的使用是不可或缺的。為了描述機器人的位姿，主要有兩類坐標(biāo)系：一類是世界坐標(biāo)系{A}，另一類是物體坐標(biāo)系{B}，如下圖所示。用于描述機器人位姿的坐標(biāo)系兩類坐標(biāo)系3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造4世界坐標(biāo)系{A}：第一類坐標(biāo)系是與地面或機器人基座相固定的坐標(biāo)系，即世界坐標(biāo)系，也叫做固定坐標(biāo)系、全局坐標(biāo)系或慣性坐標(biāo)系。常用符號{A}或OA-xAyAzA表示，其中xA、yA、zA表示參考坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸方向的單位向量。通常情況下，世界坐標(biāo)系的原點選在機器人的基座處。3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造5物體坐標(biāo)系{B}：第二類坐標(biāo)系是與機器人末端固連并跟隨其運動的坐標(biāo)系，被稱為物體坐標(biāo)系或局部坐標(biāo)系，常用{B}或OB-xByBzB表示，其中xB、yB、zB表示物體坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸方向的單位向量。一般情況下，物體坐標(biāo)系的原點選在末端執(zhí)行器的某個重要標(biāo)志點，如質(zhì)心。無論是世界坐標(biāo)系還是物體坐標(biāo)系，都符合右手定則。3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示1.機器人的位置戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造6用Ap表示空間一點P在世界坐標(biāo)系{A}中的位置，其坐標(biāo)可以描述成三維向量的形式，即點的位置表示3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造7根據(jù)向量(與坐標(biāo)軸)點積的幾何投影意義，Ap三個分量的幾何意義為該點在三個單位坐標(biāo)軸上的投影，即式中3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造8由此可知，向量與某坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸單位向量的點積，就是向量在該坐標(biāo)系中的表達。類似地，若點P

在物體坐標(biāo)系{B}中的位置用Bp表示，即則Bp三個分量的幾何意義為該點在物體坐標(biāo)系{B}的三個單位坐標(biāo)軸上的投影，即3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示2.機器人的姿態(tài)戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造9機器人末端的姿態(tài)可通過描述物體坐標(biāo)系{B}相對于世界坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)來進行表示。一個簡單的方法是確定物體坐標(biāo)系{B}的三個單位坐標(biāo)軸在世界坐標(biāo)系{A}中的方位。假設(shè)兩個坐標(biāo)系的原點是重合的，{B}坐標(biāo)系的三個單位坐標(biāo)軸相對于{A}坐標(biāo)系的坐標(biāo)分別用AxB、AyB、AzB表示。其中：AxB是{B}坐標(biāo)系的xB軸在{A}坐標(biāo)系中的向量表示，AyB是{B}坐標(biāo)系的yB軸在{A}坐標(biāo)系中的向量表示，AzB是{B}坐標(biāo)系的zB軸在{A}坐標(biāo)系中的向量表示。將AxB、AyB、AzB寫成矩陣，這個矩陣被稱為旋轉(zhuǎn)矩陣或方向余弦矩陣，其矩陣的具體形式可表示為：3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示3.機器人的位姿戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造10要全面確定剛體B在空間中的位姿，必須明確其相對于某個參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。為此，假定剛體B與坐標(biāo)系{B}固接。通常，坐標(biāo)系{B}的原點位于剛體的一個特征位置，例如其質(zhì)心或?qū)ΨQ中心。在參考坐標(biāo)系{A}內(nèi)，使用位置向量ApBo來表示坐標(biāo)系{B}的原點在坐標(biāo)系{A}相對位置，使用旋轉(zhuǎn)矩陣

來表達坐標(biāo)系{B}相對于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)。因此，坐標(biāo)系{B}相對于坐標(biāo)系{A}的位姿可以通過ApB和

完整地確定則Bp三個分量的幾何意義為該點在物體坐標(biāo)系{B}的三個單位坐標(biāo)軸上的投影，即坐標(biāo)系的定義整合了對剛體位置和姿態(tài)的描述。在描述姿態(tài)時，式中的位置向量ApBo則為零向量。3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造11機器人的末端手爪可視為一個剛體，其空間位姿的描述方法與坐標(biāo)系的描述方法一致。為了定義其位姿，我們選定一個參考坐標(biāo)系{A}，并將手爪固定連接另一個坐標(biāo)系，稱為工具坐標(biāo)系{T}。該坐標(biāo)系的z軸指向手指接近物體的方向，其單位向量a稱為接近向量；y軸沿兩個手指的連線方向，其單位向量o稱為方位向量；x軸根據(jù)右手定則確定，其單位向量n稱為法向量，計算方式為n=o×a。如此一來，手爪的方位由旋轉(zhuǎn)矩陣R確定。三個單位正交矢量n，o和a共同定義了手爪的姿態(tài)。手爪的位置由位置向量p確定，該向量表示工具坐標(biāo)系原點相對于參考坐標(biāo)系的位置。綜合這些信息，手爪的位姿可以記為3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示4.坐標(biāo)變換戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造12在空間中，點p的坐標(biāo)表示依賴于所選用的坐標(biāo)系。接下來將探討點p如何從一個坐標(biāo)系的表達轉(zhuǎn)換到另一個坐標(biāo)系的表達，這個過程稱為坐標(biāo)變換。假設(shè)坐標(biāo)系{B}與{A}方向一致，但它們的原點不在同一點。位置矢量ApBo用來表示坐標(biāo)系{B}相對于{A}的位置。ApBo被稱為{B}相對于{A}的平移矢量。若點p在坐標(biāo)系{B}中的位置矢量為Bp，則其在坐標(biāo)系{A}中的位置矢量Ap可以通過矢量相加得到坐標(biāo)平移3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造13設(shè)坐標(biāo)系{B}與{A}有共同的坐標(biāo)原點，但是兩者的姿態(tài)不同。用旋轉(zhuǎn)矩陣

描述{B}相對于{A}的姿態(tài)。同一點p在兩個坐標(biāo)系{A}和{B}中的描述Ap和Bp具有以下變換關(guān)系坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造14在一般的情況下，坐標(biāo)系{B}與{A}不僅原點位置不同，而且它們的姿態(tài)也不一致。位置矢量ApBo用來描述坐標(biāo)系{B}的原點相對于{A}的位置，旋轉(zhuǎn)矩陣

用來表達坐標(biāo)系{B}相對于{A}的姿態(tài)。復(fù)合變換3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造15任意一點p在這兩個坐標(biāo)系{A}和{B}中的位置矢量Ap和Bp遵循特定的坐標(biāo)變換關(guān)系：上式右側(cè)所表達的操作可以視為一個包含坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和平移的組合變換。實際上，我們可以定義一個過渡坐標(biāo)系{C}，其原點與{B}重合，同時其方位與{A}的保持一致。點到過渡坐標(biāo)系的變換關(guān)系：復(fù)合變換如下：3.1重載機器人位姿分析3.1.1機器人的位姿表示戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造16描述物體坐標(biāo)系{B}相對于世界坐標(biāo)系{A}姿態(tài)的另一種方法是使用3個角度的集合。理論上，存在27種不同的組合方式來表示這三個姿態(tài)角，但實際應(yīng)用中，為了確保這些角度的獨立性，需要避免出現(xiàn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)軸的平行情況，這限制了可行的描述方法至12種（3×2×2=12），具體包括X-Y-Z、X-Z-Y、Y-X-Z、Y-Z-X、Z-X-Y、Z-Y-X、Z-Y-Z、Z-X-Z、Y-Z-Y、Y-X-Y、X-Y-X、X-Z-X，接下來，我們將重點探討這12種方法中的三種常用姿態(tài)角組合。3.1.2歐拉角與RPY角3.1重載機器人位姿分析1.Z-Y-X歐拉角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造17為描述{B}系相對于{A}系的姿態(tài)，假設(shè){B}系在初始狀態(tài)下與{A}系重合，將{B}系繞其zB軸旋轉(zhuǎn)Φ角；再繞新的yB軸旋轉(zhuǎn)θ角；最后繞新的xB''軸旋轉(zhuǎn)φ角，得到{B}系的最終姿態(tài)。繞新的xB''軸旋轉(zhuǎn)φ角繞新的yB軸旋轉(zhuǎn)θ角繞zB軸旋轉(zhuǎn)Φ角3.1重載機器人位姿分析3.1.2歐拉角與RPY角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造18在連續(xù)旋轉(zhuǎn)的過程中，每次旋轉(zhuǎn)都是相對于動態(tài)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸進行的，這意味著每次旋轉(zhuǎn)軸的方位都是基于前一次旋轉(zhuǎn)的結(jié)果確定的。如果使用旋轉(zhuǎn)矩陣來表達這些連續(xù)的旋轉(zhuǎn)，那么最終的姿態(tài)可以通過將三個旋轉(zhuǎn)矩陣按照從左至右的順序相乘來表示，即3.1重載機器人位姿分析注意：以上的旋轉(zhuǎn)順序不能隨意調(diào)換（旋轉(zhuǎn)矩陣不滿足交換律）。3.1.2歐拉角與RPY角2.Z-Y-Z歐拉角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造19假設(shè){B}系在初始狀態(tài)下與{A}系重合，將{B}系繞其zB軸旋轉(zhuǎn)Φ角（俗稱進動角，precessionangle），再繞新的yB軸旋轉(zhuǎn)θ角（俗稱章動角nutationangle），最后繞新的zB''軸旋轉(zhuǎn)φ角（俗稱自旋角，spinangle），得到{B}系的最終姿態(tài)。3.1重載機器人位姿分析繞新的zB''軸旋轉(zhuǎn)φ角繞新的yB軸旋轉(zhuǎn)θ角繞zB軸旋轉(zhuǎn)Φ角3.1.2歐拉角與RPY角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造20繞zB軸旋轉(zhuǎn)的Φ角俗稱進動角（precessionangle），繞新的yB軸旋轉(zhuǎn)的θ角俗稱章動角（nutationangle），繞新的zB''軸旋轉(zhuǎn)的φ角俗稱自旋角（spinangle）。最終的姿態(tài)可以通過三個旋轉(zhuǎn)矩陣依次從左至右相乘來獲得：3.1重載機器人位姿分析3.1.2歐拉角與RPY角3.Z-X-Z歐拉角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造21通過相似的推導(dǎo)過程，同樣可以得到Z-X-Z歐拉角所對應(yīng)的姿態(tài)矩陣，如下所示：3.1重載機器人位姿分析在歐拉角的眾多組合之中，Z-Y-Z與Z-X-Z使用更為頻繁。例如，工業(yè)機器人的末端執(zhí)行器姿態(tài)常常通過Z-Y-Z歐拉角來定義，這樣可與機器人手腕處三個垂直正交旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角直接相匹配。3.1.2歐拉角與RPY角4.R-P-Y角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造22工程實踐中還廣泛采用R-P-Y[Roll-Pitch-Yaw，即翻滾(橫滾)、俯仰、偏航(偏轉(zhuǎn))]角來描述空間姿態(tài)或三維旋轉(zhuǎn)。事實上，R-P-Y角源于對船舶在海中航行時的姿態(tài)描述方式。通常以船行進的方向為z軸(做翻滾運動)，以垂直于甲板的法線方向為x軸(做偏航運動)，y軸依據(jù)右手定則確定。3.1重載機器人位姿分析3.1.2歐拉角與RPY角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造23與歐拉角采用動軸旋轉(zhuǎn)不同，R-P-Y角采用的是基于固定坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)。為描述{B}系相對于{A}系的姿態(tài)，假設(shè){B}系在初始狀態(tài)下與{A}系重合，然后在三個旋轉(zhuǎn)算子的作用下，使{B}系依次繞{A}系的三個坐標(biāo)xA、yA、zA旋轉(zhuǎn)ψ、θ、?角，得到{B}系的最終姿態(tài)。將通過繞固定坐標(biāo)系三個軸的三次轉(zhuǎn)動得到的三個轉(zhuǎn)角(ψ，θ，?)稱為X-Y-Z固定角。3.1重載機器人位姿分析3.1.2歐拉角與RPY角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造24由于以上所有旋轉(zhuǎn)變換都是相對于固定坐標(biāo)系進行的，因此應(yīng)遵循矩陣左乘原則，即3.1重載機器人位姿分析3.1.2歐拉角與RPY角戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造25前面出現(xiàn)的上式所描述的復(fù)合變換對于點Bp是非齊次的，它可以被轉(zhuǎn)換成等價的齊次變換形式：或表示成矩陣的形式：式中，位置矢量Ap和Bp是4×1的列矢量，這兩個4×1的列矢量稱為點p的齊次坐標(biāo)。變換矩陣

是4×4的方陣，具有下面的形式：

稱為齊次變換矩陣，其特點是最后一行元素為[0001]。它綜合地表示了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換兩者的復(fù)合。3.1.3齊次坐標(biāo)和齊次變換3.1重載機器人位姿分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造26齊次變換式的優(yōu)勢在于其表達的簡潔性和緊湊性，使得書寫和表述更為高效。然而，將這種變換應(yīng)用于編程時可能會遇到不便，因為在執(zhí)行乘法操作時，所包含的1和0可能會導(dǎo)致耗費大量無用機時。位置矢量Ap和Bp究竟是3×1的列矢量(直角坐標(biāo))，還是4×1的列矢量(齊次坐標(biāo))，應(yīng)根據(jù)與它相乘的矩陣是3×3的還是4×4的而定。在計算機視覺和計算機圖學(xué)等領(lǐng)域，齊次變換有著廣泛的應(yīng)用。

若空間一點p的直角坐標(biāo)為則它的齊次坐標(biāo)可表示為3.1重載機器人位姿分析3.1.3齊次坐標(biāo)和齊次變換戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造27值得注意的是，齊次坐標(biāo)的表示具有多樣性。如果將這些坐標(biāo)的每個元素乘以同一個非零因子?后，仍然能夠表示相同的點p，即式中，a=ωx，b=ωy，c=ωz。例如，點p=2i+3j+4k的齊次坐標(biāo)可以表示為3.1重載機器人位姿分析3.1.3齊次坐標(biāo)和齊次變換戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造28規(guī)定：列矢量[abc0]T(其中a2+b2+c2≠0)表示空間的無窮遠點。把包括無窮遠點的空間稱為擴大空間，而把第4個元素為非零的點稱為非無窮遠點。無窮遠點[abc0]T的三元素a，b，c稱為該點的方向數(shù)。下面三個無窮遠點分別代表x，y，z軸上的無窮遠點，可用它們分別表示這三個坐標(biāo)軸的方向。而非無窮遠點[0001]T代表坐標(biāo)原點。這樣，利用齊次坐標(biāo)不僅可以規(guī)定點的位置，還可規(guī)定矢量的方向。當(dāng)?shù)谒膫€元素非零時，齊次坐標(biāo)代表點的位置；第四個元素為零時，齊次坐標(biāo)代表方向。3.1重載機器人位姿分析3.1.3齊次坐標(biāo)和齊次變換戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造29利用這一性質(zhì)，可以賦予齊次變換矩陣又一物理解釋：齊次變換矩陣

描述了坐標(biāo)系{B}相對于{A}的位置和姿態(tài)。

的第四個列矢量ApBo描述{B}的坐標(biāo)原點相對于{A}的位置；其他三個列矢量分別代表{B}的三個坐標(biāo)軸相對于{A}的方向。坐標(biāo)系{B}相對于{A}的位姿如下圖3.1重載機器人位姿分析3.1.3齊次坐標(biāo)和齊次變換1.連桿參數(shù)戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造30右圖表示連桿i-1和連桿i的連接關(guān)系。ai-1是連接連桿i-1的兩關(guān)節(jié)軸線的公垂線，ai是連接連桿i的兩關(guān)節(jié)軸線的公垂線。表示連桿i與連桿i-1連接關(guān)系的第一個參數(shù)是連桿偏距di，第二個參數(shù)是關(guān)節(jié)角θi。di和θi都帶正負(fù)號。di表示ai-1與軸線i的交點到ai與該軸線交點的距離，沿軸線i測量。如果關(guān)節(jié)i是移動關(guān)節(jié)，則偏距di是關(guān)節(jié)變量。θi表示ai-1與ai的延長線間的夾角，可繞關(guān)節(jié)i的軸線測量。如果關(guān)節(jié)i是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，則θi是關(guān)節(jié)變量，di固定不變。3.1.4連桿參數(shù)與坐標(biāo)系建立3.1重載機器人位姿分析2.前置坐標(biāo)系戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造31(1)連桿i-1的長度ai-1連桿i-1的長度ai-1定義為關(guān)節(jié)i-1軸線si-1與關(guān)節(jié)i軸線si的公垂線(或公法線)長度，它實際反映的是相鄰兩關(guān)節(jié)軸線之間的最短距離。顯然，當(dāng)兩軸線相交時，ai-1=0。(2)連桿i-1的扭角αi-1連桿i-1的扭角αi-1定義為關(guān)節(jié)i-1軸線si-1與關(guān)節(jié)i軸線si之間的夾角，其取值范圍為-90°~+90°；方向則遵循右手定則，從軸si-1轉(zhuǎn)到軸si為正。若關(guān)節(jié)軸線平行，則αi-1=0°。3.1重載機器人位姿分析3.1.4連桿參數(shù)與坐標(biāo)系建立戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造32(3)連桿i的偏距di連桿i的偏距di定義為從ai-1與軸線si的交點到ai與軸線si的交點的有向距離。對于移動關(guān)節(jié)，di為變量；而對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，di則為結(jié)構(gòu)參數(shù)(常值)。(4)關(guān)節(jié)i的轉(zhuǎn)角θi關(guān)節(jié)i的轉(zhuǎn)角θi定義為兩連桿公法線ai-1與ai之間的夾角，其方向是以di方向為轉(zhuǎn)軸方向，遵循右手定則繞si旋轉(zhuǎn)，從ai-1到ai為正。關(guān)節(jié)角θi實質(zhì)反映的是連桿i相對連桿i-1的轉(zhuǎn)角。因此，對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，θi為變量；而對于移動關(guān)節(jié)，θi則為結(jié)構(gòu)參數(shù)(常值)。3.1重載機器人位姿分析3.1.4連桿參數(shù)與坐標(biāo)系建立3.后置坐標(biāo)系戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造33在標(biāo)準(zhǔn)D-H參數(shù)法中，連桿坐標(biāo)系{i}置于連桿的后端或遠端，因此，又稱其為后置坐標(biāo)系下的D-H參數(shù)法。關(guān)節(jié)角θi：繞zi-1軸，xi-1旋轉(zhuǎn)到xi的角度；偏置距離di：沿zi-1軸，xi-1移動到xi的距離；連桿長度ai：從xi軸，zi-1移動到zi的距離；連桿扭角αi：繞xi軸，zi-1旋轉(zhuǎn)到zi的角度；對于連桿i-1，首先將連桿i-1的遠端軸線(即關(guān)節(jié)軸i)作為zi-1軸，關(guān)節(jié)軸i-1與i軸的公垂線作為xi-1軸，右手定則確定yi-1軸。xi-1軸繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi角度，Si-1沿zi-1軸移動di，Si-1沿xi軸移動ai，zi-1軸繞xi軸旋轉(zhuǎn)θi角度。3.1重載機器人位姿分析3.1.4連桿參數(shù)與坐標(biāo)系建立戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造34通過以上變換就可以將坐標(biāo)系Si-1轉(zhuǎn)換到Si。通過依次右乘四個運動矩陣就可得到變換矩陣3.1重載機器人位姿分析3.1.4連桿參數(shù)與坐標(biāo)系建立1.重載串聯(lián)機器人正解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造35對于n自由度的串聯(lián)機器人，在建立了各連桿坐標(biāo)系及其對應(yīng)的D-H參數(shù)后，便得到了相應(yīng)的n個D-H矩陣，將所有矩陣按順序相乘，即可計算出末端工具坐標(biāo)系{n}相對于基坐標(biāo)系{0}的位形。對于具有n個關(guān)節(jié)的串聯(lián)機器人而言，其位移求解的一般計算公式為式中，

為機器人末端執(zhí)行器的位姿，且滿足3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型3.1重載機器人位姿分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造36利用D-H參數(shù)法對PUMA560機器人進行正向位移分析。首先建立各連桿坐標(biāo)系，相關(guān)連桿參數(shù)及其幾何參數(shù)的取值見表所示。機構(gòu)示意圖結(jié)構(gòu)參數(shù)圖3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造37連桿坐標(biāo)系示意圖3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造38根據(jù)所列的連桿參數(shù)，可求得各連桿的齊次變換矩陣為

將變換矩陣代入位移求解計算公式中，得到該機器人的閉環(huán)方程為

為各關(guān)節(jié)變量的函數(shù)。θi(i=1，2，…，6)取不同值時，將得到不同的變換矩陣

，即3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造39

式中的元素是θi(i=1，2，…，6)的函數(shù)，且滿足3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造40

為驗證所得

是否正確，選取一組特殊參數(shù)θ1=90°，θ2=0°，θ3=-90°，θ4=θ5=θ6=0°，求對應(yīng)的齊次變換矩陣

的值。直接給出計算結(jié)果3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型2.重載串聯(lián)機器人逆解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造41串聯(lián)機器人的逆運動學(xué)求解過程與正運動學(xué)求解過程相反，它涉及給定末端執(zhí)行器期望的位置和姿態(tài)，然后確定達到這一目標(biāo)所需的各個關(guān)節(jié)的配置。對于串聯(lián)機器人，一旦關(guān)節(jié)變量被確定，末端執(zhí)行器的位置通常是唯一的，這意味著正運動學(xué)的解是確定的，求解過程相對直接。然而，逆運動學(xué)的問題則更為復(fù)雜，以上面給出的運動學(xué)公式為例，重寫如下式中，rij、pi是已知值，待求值為qi。換句話說，串聯(lián)機器人位移反解的過程可以歸結(jié)為求解其逆運動學(xué)模型的過程，即

q1-n=f1-n(r11，…，r33，p1，p2，p3)3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造42以PUMA560機器人為例，寫出運動方程若末端連桿的位姿已經(jīng)給定，即上式中

的元素均為已知，則求關(guān)節(jié)變量θ1，θ2，…，θ6的值稱為求位移反解。對于關(guān)節(jié)變量較多的串聯(lián)機器人，由于關(guān)節(jié)之間高度耦合，需要進行逐次消元，以達到簡化求反解的目的。為此，可利用Paul反變換法來實現(xiàn)。具體而言，對于一般性的串聯(lián)機器人運動學(xué)方程3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造43左乘

，得到從等式兩邊矩陣對應(yīng)的元素中尋找含單關(guān)節(jié)變量的等式，進而解出該變量。不斷重復(fù)此過程，直到解出所有變量。(1)求θ1：考慮到具體的關(guān)節(jié)數(shù)，上式可寫成用逆變換

左乘方程式上式兩邊，得3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造44為進一步求解，不妨先把求解過程中要用到的幾個中間變換矩陣求出，具體如下：3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造45由上式可得

，即令由左邊兩式可導(dǎo)出3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造46令上式兩端第二行第四列(2，4)對應(yīng)的元素相等，結(jié)合前面計算結(jié)果，可得(2)求θ3、θ2：在選定θ1的一個解后，令

式兩端(1，4)和(3，4)對應(yīng)的元素分別相等，可得兩方程化簡以上兩式，消去θ2，得

a3cθ3-d4sθ3=k式中將θ3解出后代回，即可求出θ23.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造47(3)求θ4、θ5：寫出相應(yīng)的矩陣方程由于θ1~θ3的值已求出，因此，上式的左端為已知值(代入相關(guān)參數(shù)即可求解)；右端值為前述給出的再令

式兩端(1，3)和(3，3)對應(yīng)的元素分別相等，可得當(dāng)sinθ5≠0時，便可求出θ4，即

θ4=Atan2(-axsθ1+aycθ1，-axcθ1c(θ2+θ3)-aysθ1c(θ2+θ3)+azs(θ2+θ3))當(dāng)sinθ5=0時，機械手處于奇異位形。此時關(guān)節(jié)軸4和6重合，只能求解θ4與θ6的和或差。在奇異位形時，可任意選取θ4的值，再計算相應(yīng)θ5的值。解出θ4后代回上式可求得θ5。3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造48(4)求θ6：寫出相應(yīng)的矩陣方程由于θ1~θ5的值已求出，因此，上式的左端為已知值(代入相關(guān)參數(shù)即可求解)；其右端滿足齊次變換矩陣3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造49(4)求θ6：寫出相應(yīng)的矩陣方程由于θ1~θ5的值已求出，因此，上式的左端為已知值(代入相關(guān)參數(shù)即可求解)；其右端滿足齊次變換矩陣再令式兩端(3，1)和(1，1)對應(yīng)的元素分別相等，即可求得θ6。3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造50求解過程中，發(fā)現(xiàn)該機器人的位移反解不是唯一的，理論上存在八組解。這意味著機器人到達一個確定的目標(biāo)或者實現(xiàn)相同的位姿有八個不同的解。下圖所示為其中四種。但由于關(guān)節(jié)運動等限制，這八組解中的一部分在實際中可能并不存在。3.1重載機器人位姿分析3.1.5重載串聯(lián)機器人運動學(xué)模型1.重載并聯(lián)機器人逆解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造513.1重載機器人位姿分析以6-SPS并聯(lián)機構(gòu)為例討論并聯(lián)機構(gòu)的位置反解方法。6-SPS并聯(lián)機構(gòu)上、下平臺以6個分支相連，每個分支兩端是兩個球鉸，中間是一個移動副。驅(qū)動器推動移動副作相對移動，改變各桿的長度，使上平臺在空間的位置和姿態(tài)發(fā)生變化。若給定上平臺在空間的位置和姿態(tài)，求各個桿長，即各移動副的位移，這就是該機構(gòu)的位置反解。在機構(gòu)的上、下平臺上各建立一坐標(biāo)系，如右圖所示。動坐標(biāo)系PX'Y'Z'建立在上平臺上，坐標(biāo)系OXYZ固定于下平臺上。3.1.6重載并聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造523.1重載機器人位姿分析在動坐標(biāo)系中的任一向量R'可以通過坐標(biāo)變換方法變換到固定坐標(biāo)系中其中，式中的[T]為上平臺姿態(tài)的方向余弦矩陣，其中的三列分別為動系的X'、Y'和Z'在固定坐標(biāo)系中的方向余弦，P為上平臺選定的參考點位置矢量，即動坐標(biāo)系的原點在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。3.1.6重載并聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造533.1重載機器人位姿分析當(dāng)給定機構(gòu)的各個結(jié)構(gòu)尺寸后，利用幾何關(guān)系，可以很容易寫出上下平臺各鉸鏈點(bi，Bi，i=1，2，...，6)在各自坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值，進而可求出上下平臺鉸鏈點在固定坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)值。這時6個驅(qū)動器桿長矢量li,(i=1，2，…，6)可在固定坐標(biāo)系中表示為或從而得到機構(gòu)的位置反解計算方程3.1.6重載并聯(lián)機器人運動學(xué)模型戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造543.1重載機器人位姿分析重載并聯(lián)機器人正解問題，即正運動學(xué)問題，是指通過已知的關(guān)節(jié)變量（如關(guān)節(jié)角度、長度等）計算出機器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。由于并聯(lián)機構(gòu)的復(fù)雜性，求解其位置正解相對困難。重載并聯(lián)機器人正解問題的核心在于通過數(shù)學(xué)模型和求解方法，從已知的關(guān)節(jié)變量準(zhǔn)確計算出末端執(zhí)行器的位姿，其求解正解的方法可以分為數(shù)值方法和解析方法。數(shù)值法主要包括牛頓-拉弗森法、迭代法、數(shù)值積分法等。解析法主要包括代數(shù)解法和幾何解法。在工業(yè)制造中，通過正解求解末端執(zhí)行器位置，精確進行加工和裝配操作。在航空航天領(lǐng)域，特別是在航天器組裝和衛(wèi)星調(diào)整中，使用正解計算來確保高精度的操作。在醫(yī)療設(shè)備領(lǐng)域，通過正解計算保證手術(shù)器械的精確定位和操作。通過掌握基本原理、建立精確的數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)值和解析方法求解，工程師和研究人員能夠設(shè)計和控制高效、精準(zhǔn)的并聯(lián)機器人系統(tǒng)。3.1.6重載并聯(lián)機器人運動學(xué)模型3.2機器人工作空間分析3.2.1工作空間定義戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造55在1975年，羅斯首次定義了機器人工作空間的概念，即機器人末端能夠到達的所有空間點的總和，其范圍大小是評價機器人性能的關(guān)鍵因素。在一般的多自由度機器人中，其工作空間主要分為兩種類型：可達工作空間和靈活工作空間?？蛇_工作空間是指機器人末端執(zhí)行器能夠以至少一種姿態(tài)到達的所有位置點的集合；靈活工作空間則是涵蓋了機器人末端能夠從任何方向、以任何姿態(tài)到達的位置點得集合。換言之，當(dāng)機器人末端處于靈活工作空間的任意一點Q時，它可以沿著通過該點的所有直線軸線進行整周轉(zhuǎn)動。顯然，靈活工作空間是可達工作空間的子空間。以平面2R機器人為例。根據(jù)工作空間分類的定義，可以將它的工作空間劃分為兩類，當(dāng)l1=l2=l

時，則機器人的可達工作空間構(gòu)成一個半徑為2l的完整圓；當(dāng)l1≠l2時，可達工作空間則變?yōu)橐粋€環(huán)形區(qū)域。3.2機器人工作空間分析3.2.1工作空間定義戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造56可達點okABCO可達空間3.2機器人工作空間分析3.2.1工作空間定義戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造57靈巧點ABO靈巧空間3.2機器人工作空間分析3.2.2重載串聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造581.幾何法確定關(guān)節(jié)約束：首先，分析每個關(guān)節(jié)的運動約束，包括關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)范圍和連桿的長度限制，從而確定關(guān)節(jié)約束情況。

建立工作空間模型：根據(jù)各關(guān)節(jié)的特定約束條件，構(gòu)建機器人末端執(zhí)行器的工作空間模型。此過程通常需要考慮機器人的物理尺寸和關(guān)節(jié)的運動范圍。CAD軟件輔助：利用計算機輔助設(shè)計(CAD)軟件，根據(jù)輸入桿長或關(guān)節(jié)限制條件，直接描述工作空間的邊界點。3.2機器人工作空間分析3.2.2重載串聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造59設(shè)置桿長和關(guān)節(jié)范圍：給定各個輸入桿長和關(guān)節(jié)的變化范圍，確保它們滿足最小值和最大值的限制，即rmin≤ri≤rmax，φmin≤φi≤φmax。計算參考點坐標(biāo)：通過給定不同的輸入桿長，依次取極值、變化值或一系列固定值，利用CAD軟件計算出動平臺參考點O的位置坐標(biāo)(Xo，Yo，Zo)。構(gòu)建工作空間：將計算得到的坐標(biāo)點通過樣條曲線連接，通過放樣命令將這些曲線組成一系列的曲面，最終構(gòu)成整個機構(gòu)的工作空間。3.2機器人工作空間分析3.2.2重載串聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造60幾何方法在串聯(lián)機器人的工作空間分析中展現(xiàn)出了其獨特的價值，它以直觀性和高效性著稱，為初步評估與理解提供了便捷途徑。然而，幾何法也存在一定的局限性，主要體現(xiàn)在以下方面：一是難以全面融入所有物理與幾何約束條件，缺乏完備的數(shù)學(xué)模型支撐，這在一定程度上制約了后續(xù)深入分析與優(yōu)化的可能性；二是精確度局限，尤其是在面對結(jié)構(gòu)復(fù)雜或?qū)扔袠O高要求的應(yīng)用場景時，幾何法可能無法提供足夠的精確度保證。幾何法可以快速評估機器人的工作空間，適用于初步設(shè)計階段和概念驗證，可以為后續(xù)的詳細(xì)設(shè)計和分析提供基礎(chǔ)。然而，對于需要精確控制和優(yōu)化的應(yīng)用，還需要結(jié)合更復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和算法。3.2機器人工作空間分析3.2.2重載串聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造612.離散法（蒙特卡洛法）針對串聯(lián)機器人，考慮到驅(qū)動關(guān)節(jié)的運動限制和連桿潛在的相互干涉現(xiàn)象，關(guān)節(jié)空間可以被劃分成多個離散點。通過應(yīng)用正運動學(xué)的原理，可以計算出機器人所有可能的姿態(tài)，從而獲得該機器人的離散工作空間。該方法具有普適性，適用于各類機器人，但仍需要進行大量的計算，且其精確度依賴于這些離散點的分布。具體的計算步驟包括：3.2機器人工作空間分析3.2.2重載串聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造62根據(jù)機器人的運動學(xué)正解方程，計算出機器人末端執(zhí)行器在參考坐標(biāo)系中的位置向量。利用隨機函數(shù)RAND(j)(j=1，2，…，N)產(chǎn)生N個0~1之間的隨機值，由此產(chǎn)生一個隨機步長(qmaxi-qmini)RAND(j)，從而確定機械臂各個關(guān)節(jié)的偽隨機值qi=qmini+(qmaxi-qmini)RAND(j)3.2機器人工作空間分析3.2.2重載串聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造63將N個關(guān)節(jié)變量偽隨機值組合代入運動學(xué)方程，計算出末端的坐標(biāo)值，并將其對應(yīng)的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)分別存于矩陣X、Y和Z中；坐標(biāo)值數(shù)目越多，越能反映機器人的實際工作空間。通過在圖形設(shè)備上繪制所有位置向量的點，可以形成機器人工作空間的點集的云圖。3.2機器人工作空間分析3.2.2重載串聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造64下面是蒙特卡洛法在matlab中部分編譯程序及運行結(jié)果圖：3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造65并聯(lián)機器人的工作空間計算方法主要分為數(shù)值法和解析法兩種。數(shù)值法基于并聯(lián)機器人的逆運動學(xué)求解，由于逆運動學(xué)求解過程相對簡單，因此使用數(shù)值法計算并聯(lián)機器人的工作空間較為容易。解析法則基于并聯(lián)機器人的正運動學(xué)求解，由于正運動學(xué)求解過程較為復(fù)雜，并且并聯(lián)機構(gòu)在結(jié)構(gòu)、運動等方面存在多種限制條件，以及奇異位形問題，這使得解析求解并聯(lián)機器人工作空間的問題變得極為復(fù)雜，求解過程十分困難。并聯(lián)機器人的工作空間受到桿長、鉸鏈轉(zhuǎn)角和連桿間距的限制，求解并聯(lián)機器人的工作空間要滿足這些限制條件。3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造66圖示為具有操作器的6-SPS并聯(lián)機構(gòu)。操作器固定在動平臺上，建立定坐標(biāo)系O-XYZ

并用{A}表示，建立動坐標(biāo)系P-xyz

并用{D}表示，建立連桿坐標(biāo)系B-xiyizi并用{Bli}表示，d點為操作器的工作點，在動坐標(biāo)系P-xyz

的z

軸上。1.桿長的限制條件各連桿的桿長變化受到并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸的限制，存在極限桿長，第i

根連桿的桿長li

滿足

limin≤li

≤limax式中，li

min為第i

根連桿的最小桿長，li

max為第i

根連桿的最大桿長。3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造67最低位置最高位置3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造682.鉸鏈轉(zhuǎn)角的限制條件在6-SPS并聯(lián)機構(gòu)中，動、定平臺通過6根可伸縮的連桿相連，每根連桿的兩端為兩個球鉸，而球鉸的運動范圍實際上是有限制的。鉸鏈Bi

的轉(zhuǎn)角受其最大轉(zhuǎn)角的限制。在6-SPS并聯(lián)機構(gòu)中，過鉸鏈Bi

的中心作平行于Z

軸的矢量ZBi，第i

根連桿的zi

軸與矢量ZBi

夾角為θBi

。Z

軸與矢量ZBi

平行，其單位矢量相等，e3為Z

軸的單位矢量，Wi

為第i

根連桿的單位矢量，也是第i

根連桿的z

軸的單位矢量，Wi

=Li

/li；根據(jù)兩矢量之間的夾角計算公式及鉸鏈Bi

的最大轉(zhuǎn)角，得鉸鏈Bi

的轉(zhuǎn)角的限制條件為3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造69關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角限制3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造703.桿間距的限制條件由于連接上下平臺的連桿是有一定的尺寸大小的，因此，各桿之間有可能發(fā)生干涉。為了簡化分析，假定所有的連桿都是圓柱形，其直徑為D，若Di，(i

=1，2，…，6)為任意兩個相鄰連桿中心線之間的最短距離，那么，兩桿不發(fā)生干涉的條件為Di

≥D若ni

表示相鄰兩桿向量li

和li+1之間的公法線向量，用Δi

表示兩向量li

和li+1之間的最短距離，3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造71需要強調(diào)的是，連桿之間的最短距離Di；不一定等于兩桿向量之間的最短距離Δi，這兩者之間的關(guān)系取決于連桿向量與它們的公法線之間的交點Ci

和Ci+1的位置，其中交點Ci

的坐標(biāo)ci；可以用下式計算：mi

則由下式定義:同理可以計算ci+1，根據(jù)交點Ci

和Ci+1的位置可以有下列3種不同的情況：3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造72第一種情況，兩交點都在連桿上。這時Δi

=Di，若Di

＞Δi，則連桿發(fā)生干涉。3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造73第二種情況，其中的一個交點不在連桿上。這時Di

可以根據(jù)交點的位置來計算，若交點Ci

超過關(guān)節(jié)Pi，但Ci

+1在連桿i

+1上，如左圖所示，則Di

為Pi

到連桿i

+1的距離若交點C超過關(guān)節(jié)Pi+1，但Ci是在第i連桿上，如右圖所示，則Di為Pi+1到連桿i的距離3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造74第三種情況，兩個交點都不在連桿上。則這時的Di取決于Mi，和Mi+1的位置，Mi是li和通過Pi+1且垂直于li的直線的交點，而Mi+1是li+1和通過Pi且垂直于li+1的直線的交點，這時有下列3種可能性：①若Mi+1在連桿Pi+1Bi+1上，且Mi是在連桿PiBi之外，如圖1所示，則Di為②若Mi在連桿PiBi上，且Mi+1是在連桿Pi+1Bi+1之外，如圖2所示，則Di為③若Mi、和Mi+1都在連桿的外邊，如圖3所示，則Di為Pi和Pi+1之間的距離。1323.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造75桿間干涉限制3.2機器人工作空間分析3.2.3重載并聯(lián)機器人工作空間求解戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造764.奇異位形的限制條件在并聯(lián)機構(gòu)的奇異姿態(tài)下，機構(gòu)將無法正常工作或無法進行確定的運動。因此，在并聯(lián)機構(gòu)的運動空間中，應(yīng)避免出現(xiàn)奇異姿態(tài)。奇異姿態(tài)可以通過直觀判斷機構(gòu)的姿態(tài)，或者通過速度雅可比矩陣J(q)來識別。當(dāng)雅可比矩陣的行列式detJ(q)為零時，表明機構(gòu)處于奇異姿態(tài)。因此，為確保機構(gòu)不產(chǎn)生奇異姿態(tài)，需要滿足的條件是雅可比矩陣的行列式不為零。即

detJ(q)≠03.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造77這里給出一個簡單的例子來引出雅可比矩陣的概念。RP平面機械手如圖所示，它由兩個關(guān)節(jié)構(gòu)成：一個為旋轉(zhuǎn)型關(guān)節(jié)，其關(guān)節(jié)變量記作θ；另一個為移動關(guān)節(jié)，其關(guān)節(jié)變量記作r。該機械手的運動學(xué)方程為：RP平面機械手將方程的兩側(cè)分別對時間t進行求導(dǎo)，得到操作速度與關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系：3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造78表達為矢量矩陣的形式：

代表末端手爪的操作速度矢量；

代表機械手關(guān)節(jié)速度矢量。而速度雅可比矩陣J(q)則描述了從關(guān)節(jié)速度矢量

到操作速度矢量

的線性映射關(guān)系。給定操作速度矢量

，可以通過以下公式求解對應(yīng)的關(guān)節(jié)速度矢量：

被稱為逆雅可比矩陣。若r=0，此時逆雅可比矩陣

無法定義，導(dǎo)致與給定的操作速度

相關(guān)的關(guān)節(jié)速度

可能趨向無窮大，此時雅可比矩陣行列式為：3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造79在特定條件滿足時，機器人會進入奇異狀態(tài)，某些運動能力會受限。通過計算雅可比矩陣是否為0，可以輕松判斷機器人是否處于奇異狀態(tài)。這個例子說明了機器人的速度雅可比矩陣通常不是常數(shù)矩陣，廣義的傳動比也并非一個固定值，它會隨著機器人的形位q的變化而變化。如前所述，速度雅可比矩陣J(q)定義為關(guān)節(jié)速度矢量

向操作速度矢量

的線性映射，表示為：需要強調(diào)的是，雅可比矩陣J(q)與機器人的形位緊密相關(guān)，它是一個隨q變化的線性變換矩陣。雅可比矩陣J(q)并非總是一個方陣，它可能是一個長矩陣或者高矩陣，其行數(shù)對應(yīng)于操作空間的維數(shù)，而列數(shù)則對應(yīng)于機器人的關(guān)節(jié)數(shù)。例如，平面機械臂的雅可比矩陣有3行，而空間機械臂則有6行。對于一個關(guān)節(jié)數(shù)為n的機器人，雅可比矩陣J∈?6×n通常是一個6×n的矩陣。矩陣的前三行與末端執(zhí)行器的線速度相關(guān)，后三行則與角速度相關(guān)。同時，矩陣的每一列都反映了相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度

i

對末端執(zhí)行器線速度和角速度的傳遞比。3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造801.求解雅可比矩陣的矢量積方法如圖所示，末端執(zhí)行器的微分移動和微分轉(zhuǎn)動分別用矢量d和δ來表示。線速度和角速度分別用矢量υ和ω來表示，υ和ω與關(guān)節(jié)速度

i相關(guān)。對于移動關(guān)節(jié)i，在末端執(zhí)行器上產(chǎn)生與zi相同的線速度?：對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)i，在末端執(zhí)行器上產(chǎn)生的角速度ω為：3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造81同時在末端執(zhí)行器上產(chǎn)生的線速度為矢量積，即：因此，雅可比矩陣的第i列可以表示為：有時需要沿著工具坐標(biāo)系的某軸進行控制，這就需要將線速度和角速度轉(zhuǎn)換到工具坐標(biāo)系{T}中。因此，需要在υ和ω前乘以3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣

，以實現(xiàn)坐標(biāo)系的變換，表達式為3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造822.求解雅可比矩陣的微分變換法對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)i，當(dāng)連桿i相對于連桿i-1繞坐標(biāo)系{i}的zi軸做微分轉(zhuǎn)動，其旋轉(zhuǎn)量為dθi時，相對連桿i-1的微分運動矢量為：因此，對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，末端執(zhí)行器相應(yīng)的微分運動矢量為：對于移動關(guān)節(jié)i，當(dāng)連桿i沿zi軸相對連桿i-1做微分移動，移動量為ddi時，則產(chǎn)生微分運動矢量為：3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造83末端執(zhí)行器相應(yīng)的微分運動矢量為：由此得出雅可比矩陣TJ(q)的第i列為：3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造84雅可比矩陣自動生成步驟1）計算各連桿變換矩陣

，

，…，

。2）計算末端連桿至各連桿的變換矩陣：3）計算TJ(q)的各列元素，第i列TJi由所決定。計算

和

。3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造853.求解雅可比矩陣的指數(shù)積方法根據(jù)機器人運動學(xué)方程的指數(shù)積公式，可以得到末端執(zhí)行器的瞬時空間速度為：根據(jù)運動學(xué)方程指數(shù)積公式的特點，得到：可見，末端執(zhí)行器的速度與各個關(guān)節(jié)速度呈線性關(guān)系，則運動旋量坐標(biāo)可寫成：矩陣

∈?6×n為操作臂的空間雅可比矩陣，具有以下特性：它將關(guān)節(jié)速度矢量映射為相應(yīng)的末端執(zhí)行器的運動旋量坐標(biāo)。設(shè)[Vi]∈se(3)為單位運動旋量，則空間雅可比矩陣的每一列可以表示為：

3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造86轉(zhuǎn)化為運動旋量坐標(biāo)，即：則得到機器人的空間雅可比矩陣為：3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造87顯然，

將關(guān)節(jié)速度映射為末端執(zhí)行器的運動旋量坐標(biāo)。它與機器人的形位有關(guān)。根據(jù)雅可比矩陣各列的定義式可以看出，雅可比矩陣的第i列V'i僅與θ1，θ2，…，θi-1有關(guān)。實際上，第i個關(guān)節(jié)的運動旋量坐標(biāo)Vi經(jīng)伴隨變換即得到雅可比矩陣的第i列V'i。用相似的方法可以得到機器人的物體雅可比矩陣：雅可比矩陣的各列是相應(yīng)關(guān)節(jié)運動旋量坐標(biāo)在當(dāng)前形位的工具坐標(biāo)系中的表示。為計算簡單起見，通常取

。機器人的空間雅可比矩陣與物體雅可比矩陣之間的關(guān)系可用伴隨變換表示：3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造88根據(jù)關(guān)節(jié)速度矢量

，利用機器人的空間雅可比矩陣和物體雅可比矩陣，可以計算末端執(zhí)行器上任一點的瞬時速度：兩者分別為在物體坐標(biāo)系和空間坐標(biāo)系中表示的瞬時速度。注意，工具坐標(biāo)系原點

，而在參考系中

，表示運動學(xué)方程的位置分量。由此得到原點空間速度的齊次坐標(biāo)：3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造89對于機器人的規(guī)劃與控制而言，重要的是由末端執(zhí)行器的速度求解關(guān)節(jié)速度。如果雅可比矩陣可逆，則可以通過以下方式求解：對于給定的空間速度，末端執(zhí)行器的起始和終止位姿分別為T(0)=T1和T(τ)=T2，則可以利用關(guān)于θ的常微分方程對其進行積分求解。3.3重載機器人速度分析3.3.1重載串聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造90以SCARA機器人的雅可比矩陣為例，介紹串聯(lián)機器人的雅可比矩陣如何求解。SCARA機器人的顯著特征在于其每個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)運動方向是預(yù)先設(shè)定的，如圖所示。各個旋量軸的線矢量上的一點是θ的函數(shù)，取為計算各個關(guān)節(jié)的運動旋量坐標(biāo)，可得3.3重載機器人速度分析3.3.2重載并聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造911.位移方程直接求導(dǎo)法下面以平面3-RRR機器人為例，說明位移方程直接求導(dǎo)法的應(yīng)用。由圖所示為3-RRR機構(gòu)簡圖中的向量關(guān)系，可以得到：或者表達為：

兩邊求導(dǎo)，可得到該機構(gòu)的速度關(guān)系表達式，即：兩邊再點乘bi(消掉中間變量ωBi)，可得：3.3重載機器人速度分析3.3.2重載并聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造92將上式改寫為矩陣形式，如下所示：考慮到該機構(gòu)只輸出平面運動，因此有vc=(vx，vy，vz)T=(vx，vy，0)，且ωc=(ωx，ωy，ωz)T=(0，0，ωz)。此外，機構(gòu)中轉(zhuǎn)動副Ai、Bi、Ci的轉(zhuǎn)軸方向為(0，0，1)T，因此，ωAi=(0，0，)T。另外，從機構(gòu)簡圖中可以看出，向量

沿z軸的方向矢量為0，而ri×bi沿x軸、y軸的方向矢量均為0，只存在z軸的方向矢量，即

。因此，上式可簡化為因此可以得到平面3-RRR并聯(lián)機器人的一階運動學(xué)方程為：3.3重載機器人速度分析3.3.2重載并聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造932.旋量法典型的并聯(lián)機構(gòu)由m個分支構(gòu)成，每個分支通常至少包含一個驅(qū)動關(guān)節(jié)(主動關(guān)節(jié))，而其他關(guān)節(jié)則為從動關(guān)節(jié)。為了簡化描述，需要將多自由度的運動副轉(zhuǎn)換為等效的單自由度運動副的組合。通過這種方式，可以將每個分支視為由多個單自由度運動副構(gòu)成的開環(huán)運動鏈，其末端與動平臺相連。因此，動平臺的瞬時速度旋量可以表示為：3.3重載機器人速度分析3.3.2重載并聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造94式中，與消極副相對應(yīng)的運動副旋量可以通過互易旋量系理論被消除。假設(shè)在每個支鏈中最先g個關(guān)節(jié)作為驅(qū)動副，那么在每個支鏈中至少有g(shù)個反旋量與該支鏈內(nèi)所有消極副構(gòu)成的旋量系互易。因此，可以將它們的單位旋量表示為

。對上式兩邊與

進行正交運算，可以得到以下關(guān)系式式中，矩陣上式包含m個方程，矩陣形式可表示為：3.3重載機器人速度分析3.3.2重載并聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造95以Stewart-Gough平臺為例，介紹如何求解并聯(lián)機構(gòu)的速度雅可比矩陣。在Stewart-Gough平臺中，每個支鏈的等效運動鏈為UPS，意味著每個支鏈配備了六個具有單一自由度的運動副，從而對應(yīng)產(chǎn)生六個運動副旋量。在這些旋量中，第三個運動副為驅(qū)動副，負(fù)責(zé)實現(xiàn)移動功能。鑒于所有消極副的軸線在支鏈中與驅(qū)動副的軸線相交，因此，可以直接得到消極副旋量系的一個反旋量，即3.3重載機器人速度分析3.3.2重載并聯(lián)機器人速度分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造96滿足以下關(guān)系：

矩陣形式可表示為：

也可表示為：式中，3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)3.4.1奇異性分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造97奇異性在機構(gòu)學(xué)中是一個重要的概念，它指的是機構(gòu)在某些特定位置時出現(xiàn)的特殊狀態(tài)，這些狀態(tài)可能對機構(gòu)的正常工作產(chǎn)生不利影響。奇異位形具有兩面性：為人類所利用的，比如增力機械和自鎖機械。然而，奇異位形的存在往往對機構(gòu)控制不利，可能導(dǎo)致機構(gòu)在特定位置出現(xiàn)特殊現(xiàn)象，如死點、穩(wěn)定性喪失或自由度變化，甚至受力狀態(tài)變差，從而影響機構(gòu)的正常工作。例如，汽車發(fā)動機由多個曲柄滑塊機構(gòu)組成，每個活塞都有自己的死點位置。設(shè)計人員通過錯開各個活塞的死點位置，確保發(fā)動機能夠正常工作。按機構(gòu)運動狀態(tài)戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造981.奇異性類別極限位置奇異死點奇異剩余自由度奇異瞬時幾何奇異連續(xù)幾何奇異自由度瞬時變化奇異自由度變化奇異按奇異形成原因運動學(xué)奇異約束奇異3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)3.4.1奇異性分析（1）極限位置奇異戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造極限位置奇異是指機構(gòu)在主動件的推動下，從動件到達其運動極限位置時發(fā)生的一種奇異狀態(tài)。在這種情況下，機構(gòu)無法繼續(xù)沿原方向運動，只能反向運動。四連桿機構(gòu)曲柄滑塊機構(gòu)串聯(lián)機器人3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)3.4.1奇異性分析99（2）死點奇異戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造當(dāng)機構(gòu)的原動件變?yōu)閺膭蛹?，從動件變?yōu)樵瓌蛹?，以曲柄搖桿機構(gòu)為例，當(dāng)滑塊為原動件，在這種特殊位形時，在滑塊施加的作用力不管多大，也不能推動末端執(zhí)行器運動，機構(gòu)此時處于死點位置。死點奇異死點的利用（工夾具)3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)3.4.1奇異性分析100（3）剩余自由度奇異戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造并聯(lián)機構(gòu)在特定位形下，如果所有主動件被鎖住，理論上動平臺應(yīng)受6個獨立約束，若這些約束線性相關(guān)，無法對自由度進行完全約束，會出現(xiàn)剩余自由度，機構(gòu)將不穩(wěn)定，這種現(xiàn)象稱為剩余自由度奇異。剩余自由度通常為1，但也可能多于1。平面五桿機構(gòu)Stewart機構(gòu)3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)3.4.1奇異性分析101（4）瞬時幾何奇異戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造在特定的幾何條件和位形下，機構(gòu)所有主動件被鎖住時，6個約束可能線性相關(guān)，導(dǎo)致機構(gòu)保留自由度并具有瞬時性。瞬時幾何奇異當(dāng)3作用線平行時，機構(gòu)表現(xiàn)為瞬時移動(平動)自由度。3個作用線交于一點，3個約束力線性相關(guān)，僅剩兩個約束有效，機構(gòu)表現(xiàn)為瞬時轉(zhuǎn)動自由度。3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1023.4.1奇異性分析（5）連續(xù)幾何奇異戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造在特定幾何條件和位形下，即使所有主動件被鎖住，機構(gòu)仍可連續(xù)運動，這種位形稱為連續(xù)幾何奇異。四桿機構(gòu)五桿機構(gòu)三自由度八桿機構(gòu)Stewart平臺ADBCABCDEB’P3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1033.4.1奇異性分析（6）自由度瞬時變化奇異戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造在特定位形下，機構(gòu)可能經(jīng)歷自由度的瞬時變化，這種現(xiàn)象稱為自由度瞬時變化奇異。平行四桿機構(gòu)在特定位形下可能突然增加一個自由度，從而具有兩個自由度。平行四桿機構(gòu)3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1043.4.1奇異性分析（7）自由度變化奇異戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造機構(gòu)在特定幾何條件和輸入?yún)?shù)下可能發(fā)生自由度變化，形成變自由度機構(gòu)。如圖所示的3-UPU機構(gòu)，自由度在不同位形下從5變至3，奇異點即為過渡點。3-UPU機構(gòu)3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1053.4.1奇異性分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造當(dāng)3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機構(gòu)發(fā)生水平移動后，變?yōu)槿S移動并聯(lián)機構(gòu)。3-UPU機構(gòu)3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1063.4.1奇異性分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造當(dāng)3-UPU瞬時五自由度并聯(lián)機構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)動后，變?yōu)閮赊D(zhuǎn)一移并聯(lián)機構(gòu)。3-UPU機構(gòu)3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1073.4.1奇異性分析運動學(xué)奇異戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造在特定位形下，機構(gòu)的運動副螺旋線出現(xiàn)線性相關(guān)，導(dǎo)致輸出構(gòu)件自由度減少，這種現(xiàn)象被稱為機構(gòu)的運動奇異。（又稱靜止位形奇異、運動學(xué)逆解奇異、運動奇異或速度反解奇異）。運動學(xué)奇異極限位置奇異死點奇異自由度瞬時變化奇異約束奇異在特定位形下，并聯(lián)機構(gòu)鎖住所有主動件后，如果作用于機構(gòu)或輸出構(gòu)件的約束螺旋線性相關(guān)，獨立約束數(shù)減少，機構(gòu)將保留部分未被約束的自由度，即使所有輸入變量被鎖定，平臺仍可移動。（又稱不定位形奇異、靜力學(xué)奇異或運動學(xué)正解奇異）。約束奇異約束相關(guān)性奇異幾何奇異自由度瞬時變化奇異自由度變化奇異3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1083.4.1奇異性分析戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造3.4.2串聯(lián)機器人的奇異性分析方法串聯(lián)機器人在工作空間邊緣及內(nèi)部普遍存在奇異位形。串聯(lián)機器人關(guān)節(jié)獨立驅(qū)動，關(guān)節(jié)空間通常無奇異位形。奇異主要是因關(guān)節(jié)空間到操作空間的映射產(chǎn)生，奇異位形時，速度雅可比矩陣降秩，末端執(zhí)行器自由度減少?？刂粕?，奇異位形導(dǎo)致末端無法運動，關(guān)節(jié)速度可能無限大。分析速度雅可比矩陣設(shè)定速度雅可比矩陣行列式det(J)=0解方程確定奇異位形代數(shù)法3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)109戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造1.典型奇異情形共軸轉(zhuǎn)動副平行且共面轉(zhuǎn)動副共點轉(zhuǎn)動副共面轉(zhuǎn)動副3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1103.4.2串聯(lián)機器人的奇異性分析方法戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造2.求平面2R機器人的奇異位形（a）分析速度雅可比矩陣（b）設(shè)定速度雅可比矩陣行列式det(J)=0（c）解方程確定奇異位形當(dāng)θ2=0°或180°時，機器人處于奇異位形。1)如果θ2=0°，則機器人屬于全部展開狀態(tài)。2)如果θ2=180°，則機器人屬于折疊狀態(tài)。機器人末端只能沿圖所示的y3方向移動，而不能沿x3方向移動。3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1113.4.2串聯(lián)機器人的奇異性分析方法戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造3.求平面3R機器人的奇異位形（a）分析速度雅可比矩陣（b）設(shè)定速度雅可比矩陣行列式det(J)=0（c）解方程確定奇異位形3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1123.4.2串聯(lián)機器人的奇異性分析方法戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造（c）解方程確定奇異位形1)當(dāng)θ2=0°時，機器人的自由度減少一個，此時機器人的形態(tài)達到完全展開狀態(tài)；2)當(dāng)θ2=180°時，機器人同樣會減少一個自由度，其形態(tài)變?yōu)檎郫B狀態(tài)。3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1133.4.2串聯(lián)機器人的奇異性分析方法戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造除代數(shù)法外，還可通過幾何方法直接識別奇異狀態(tài)，即當(dāng)三軸出現(xiàn)平行共面的情況。3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1143.4.2串聯(lián)機器人的奇異性分析方法戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造3.4.3并聯(lián)機器人的奇異性分析方法（1）代數(shù)法（2）旋量理論與線幾何3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)115戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造1.對平面3-RRR并聯(lián)機構(gòu)進行奇異性分析解法一：根據(jù)封閉向量多邊形法建立以下三個獨立的閉環(huán)方程對上式關(guān)于時間求導(dǎo)，可以得到以下關(guān)系式式中，輸入變量

；輸出變量3.4

重載機器人運動性能指標(biāo)1163.4.3并聯(lián)機器人的奇異性分析方法戰(zhàn)略性新興領(lǐng)域教材建設(shè)團隊-重型高端裝備制造