高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省廈門市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)，姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，，則（）A. B. C.1 D.4【答案】D【解析】等差數(shù)列中，，，所以，解得.故選：D.2.用1，2，3，4，5可以排成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】用1，2，3，4，5可以排成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù).故選：B.3.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，則；故選：C.4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，故為增函數(shù)，故B選項(xiàng)正確.故選：B.5.等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則這個(gè)等邊三角形的邊長為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】設(shè)正三角形得邊長為，由圖可知正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于軸對稱，可設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，把頂點(diǎn)代入拋物線方程得解得，所以正三角形的邊長為.故選：D.6.在四面體中，，，，，則與所成角余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，，令為與所成夾角，則.故選：A7.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則該展開式中的系數(shù)是（）A. B. C.60 D.240【答案】A【解析】取代入，得，解得，展開式中的項(xiàng)是先從6個(gè)因式中選兩個(gè)取，再在其余4個(gè)因式中選三個(gè)取，剩下一個(gè)因式取，這樣得到的項(xiàng)為，故該展開式中的系數(shù)是.故選：A.8.在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)，過作平面，使得，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，由，，得，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與圓：有公共點(diǎn)，則半徑可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】CD【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由于直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，由于，所以符合條件的選項(xiàng)為C、D.故選：CD.10.對于變量和變量，經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得成對樣本數(shù)據(jù)，，2，3，…，10，且，樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)大致分布在一條直線附近.利用最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程：，分析發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，將其剔除后得到新的經(jīng)驗(yàn)回歸直線，則（）A.變量與變量具有正相關(guān)關(guān)系B.剔除后，變量與變量的樣本相關(guān)系數(shù)變小C.新的經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)D.若新的經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，則其方程為【答案】AD【解析】依題意，經(jīng)驗(yàn)回歸方程：，因此相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系，A正確；由剔除的是偏離直線較大的異常點(diǎn)，得剔除該點(diǎn)后，新樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度變強(qiáng)，即樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，B錯(cuò)誤；原樣本中，，剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)后，新樣本中，，因此剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過點(diǎn)，C錯(cuò)誤；由新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，得新的回歸直線斜率為，設(shè)，將點(diǎn)代入，得，所以其方程為，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)，，則（）A.在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)C.若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D.若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則【答案】ACD【解析】對于A，由得：，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，由，則，再令，則，由此可知：當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，即，可得：在上也遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，即，可得：在上也遞增，則判斷是單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，由有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，即，則等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)曲線過點(diǎn)的切線方程為：當(dāng)直線與切線重合時(shí)可知：，解得，再結(jié)合圖象，可知：當(dāng)，直線與曲線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)滿足原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，故，故C正確；對于D，由有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，則，要證明，只需要證明，即證明，由上面可知，則，而當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，所以只需要證明，由，所以只需要證明，即證：，構(gòu)造函數(shù)，則又令，則，則在上遞減，即，所以當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，因?yàn)樗?，則得證，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn)，且，則的面積為______.【答案】6【解析】由，得，則，因?yàn)闉橛抑弦稽c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，因?yàn)椋?，所以的面積為.故答案為：613.把5張座位編號(hào)為1，2，3，4，5的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法共有______種.（用數(shù)字作答）【答案】96【解析】由題意得先從5張票中選出兩張連續(xù)編號(hào)的票，有12，23，34，45，4種方法，再將這兩張連續(xù)的票分給其中1人，有種方法，最后將剩下的3張票分給剩下的3人，有種方法，所以由分步乘法原理可知共有種方法.故答案為：9614.某一地區(qū)某種疾病的患病率為，患者對一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.9，正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.1.該地區(qū)現(xiàn)有3人的試驗(yàn)反應(yīng)均是陽性，則這3人中恰有1人患該疾病的概率是______.【答案】【解析】設(shè)事件表示抽查的人是患這種疾病的，事件表示試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，則事件表示抽查的人是不患這種疾病的，事件表示試驗(yàn)反應(yīng)是陰性，所以，有1人的試驗(yàn)反應(yīng)均是陽性，則這1人患該疾病為事件，則，現(xiàn)有3人的試驗(yàn)反應(yīng)均是陽性，則這3人中患該疾病的人數(shù)為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，，求的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，公比.因?yàn)?，所以，則，即，則，得（舍）或，又因?yàn)椋?，所以的通?xiàng)公式為.（2）依題意得，當(dāng)時(shí)，，即.因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，符合上式，所以的通項(xiàng)公式為.因?yàn)?，所?16.為了解喜愛籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某班級(jí)興趣小組調(diào)查了全班50位同學(xué)，得到如下數(shù)據(jù)：性別籃球運(yùn)動(dòng)合計(jì)喜歡不喜歡男生25女生10合計(jì)2050（1）完成上述列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？（2）該班級(jí)要從甲、乙兩人中選派1人參加籃球挑戰(zhàn)賽.比賽設(shè)置5個(gè)挑戰(zhàn)項(xiàng)目，參賽人員隨機(jī)抽取3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行挑戰(zhàn).已知甲只能挑戰(zhàn)成功其中3個(gè)項(xiàng)目，乙每個(gè)項(xiàng)目挑戰(zhàn)成功的概率均為，甲、乙兩人挑戰(zhàn)每個(gè)項(xiàng)目成功與否均互不影響.請根據(jù)挑戰(zhàn)成功次數(shù)的期望和方差，分析派誰去參加挑戰(zhàn)賽更合適.附：，其中.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828解：（1）列聯(lián)表如下：性別籃球運(yùn)動(dòng)合計(jì)喜歡不喜歡男生20525女生101525合計(jì)302050零假設(shè)為：喜歡籃球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為籃球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián).（2）設(shè)甲挑戰(zhàn)成功項(xiàng)，可能取值為1，2，3；；.所以的分布列為：123，.設(shè)乙挑戰(zhàn)成功項(xiàng)，則，所以，，所以，，即甲和乙的水平相當(dāng)，但甲發(fā)揮更穩(wěn)定，所以派甲去參加挑戰(zhàn)賽更合適.17.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求b，k；（2）若的極大值為0，求的取值范圍.解：（1），切點(diǎn)為，所以，所以，.（2）由（1）得，定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以有極小值，無極大值，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，令，得或.（?。┤?，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以有極小值，極大值為，不符合題意；（ⅱ）若，則，所以在上單調(diào)遞減，所以無極值，不符合題意；（ⅲ）若，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以有極小值，極大值為，滿足題意.綜上所述，.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，記的軌跡為.（1）求方程；（2）過原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過作直線的垂線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸，軸分別交于點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，.（?。┳C明：為定值；（ⅱ）求四邊形面積的最大值.解：（1）設(shè)，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則，即，得，化簡得：.所以的方程為.（2）設(shè)，Ax1,y（?。┮?yàn)樵跈E圓上，所以，，即，，所以，所以為定值.（ⅱ）由題意得，直線斜率一定存在，且不為0.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?由（?。┑?，所以，所以：.令，得，所以，令，得，所以，所以四邊形的面積為.因?yàn)?，又，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.所以，所以四邊形的面積的最大值為.19.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為（當(dāng)為離散型隨機(jī)變量時(shí)，為的概率），其中為未知參數(shù)，極大似然法是求未知參數(shù)的一種方法.在次隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測值分別為，，…，，定義為似然函數(shù).若時(shí)，取得最大值，則稱為參數(shù)的極大似然估計(jì)值.（1）若隨機(jī)變量的分布列為123其中.在3次隨機(jī)試驗(yàn)中，的觀測值分別為1，2，1，求的極大似然估計(jì)值.（2）某魚池中有魚尾，從中撈取50尾，做好記號(hào)后放回魚塘.現(xiàn)從中隨機(jī)撈取20尾，觀測到做記號(hào)的有5尾，求的極大似然估計(jì)值.（3）隨機(jī)變量的概率密度函