專題01角平分線的五種壓軸題型全攻略【知識點(diǎn)梳理】1. 過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段：2. 在角的兩邊上截取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形：3. 構(gòu)造等腰三角形：類型一、作垂線分兩邊例1．（2023下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平分，，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，若，則的長的最小值為．

例2．（2022上·四川成都·八年級成都七中?？计谥校┤鐖D，在中，，，邊AB的中垂線與的外角的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，，則【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，是的平分線，分別為上的點(diǎn)，且，求證：．【變式訓(xùn)練2】．（2023下·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于D，點(diǎn)E、G分別在邊、上，連接，．過D作于F．已知，，，則的面積為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練3】．（2023下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為的角平分線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，則的長為．

類型二、截線段，構(gòu)全等例．（1）【感悟】如圖1，是的高線，，若，，求的長．小明同學(xué)的解法是：將沿折疊，則點(diǎn)C剛好落在邊上的點(diǎn)E處．請你畫出圖形并寫出完整的解題過程；（2）【探究】如圖2，，為的外角的平分線，交的延長線于點(diǎn)D，則線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明；（3）【拓展】如圖3，在四邊形中，平分，，，，則的長為__________．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，平分，平分，．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

【變式訓(xùn)練3】．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．類型三、構(gòu)造等腰三角形例．（2022下·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中，的角平分線和邊的中垂線交于點(diǎn)D，的延長線于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．若，則的長為．【變式訓(xùn)練1】．已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．【變式訓(xùn)練2】．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求證：BE=AD．類型四、作平行構(gòu)造等腰例.如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，則△ADE的周長等于________________．【變式訓(xùn)練2】如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.類型五、與一次函數(shù)綜合例．（2022上·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面有角坐標(biāo)系中，已知、分別在坐標(biāo)軸的正半軸上．(1)如圖1．若a、b滿足，以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是；(2)如圖2，若，點(diǎn)D是的延長線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；(3)如圖3，設(shè)的平分線過點(diǎn)，請問的值是否為定值，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】．（2022下·四川成都·八年級校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是射線OE：y＝x（x≥0）上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，過點(diǎn)B作OA的平行線交∠AOB的平分線于點(diǎn)C(1)若A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），求BC的長度；(2)如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥OE于點(diǎn)H，求證：AC平分∠BAE．【變式訓(xùn)練2】．（2022下·四川成都·八年級成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┲本€AB與x軸交于A（m，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，n），且m，n滿足．(1)m=，S△ABO=；(2)如圖1，D為OA延長線上一動點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)如圖2，P為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射線AF上一動點(diǎn)，N是線段OA上一動點(diǎn)，求OM+MN的最小值．（圖1與圖2中點(diǎn)A的坐標(biāo)相同）【課后訓(xùn)練】1．（2023下·四川成都·八年級成都實(shí)外校考期中）如圖，已知、、、是平面坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且，設(shè)直線、直線交于點(diǎn)，兩條直線表達(dá)式分別為，，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）

①；②平分；③．A． B． C． D．2．（2022下·四川成都·八年級?？计谥校┲苯侨切沃校?，兩條角平分線與交于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)是．

3．如圖，在中，、的角平分線相交于點(diǎn)，①若，則，②若，，則.4．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．5．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．6．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．7．已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．

8．（2022下·四川成都·七年級四川省成都市鹽道街中學(xué)?？计谀┤鐖D，和都是等邊三角形，連接，，與交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的大?。?3)若，，求的長度．9．（2023下·四川成都·八年級校聯(lián)考期中）角平分線性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離的關(guān)系，小周發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，還可以得出一些線段比例的關(guān)系．請完成下列探索過程：【研究情景】如圖1，在中，的角平分線交于點(diǎn)D．(1)【初步思考】若，則；(2)【深入探究】請判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)【應(yīng)用遷移】如圖2，和都是等邊三角形，的頂點(diǎn)A在的邊上，交于點(diǎn)F，若，求的長和的面積．專題01角平分線的五種壓軸題型全攻略【知識點(diǎn)梳理】1. 過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段：2. 在角的兩邊上截取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形：3. 構(gòu)造等腰三角形：類型一、作垂線分兩邊例1．（2023下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平分，，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，若，則的長的最小值為．

【答案】【分析】過作交于，當(dāng)于重合時(shí)，最小，即可求解．【詳解】解：如圖，過作交于，

當(dāng)于重合時(shí)，最小，平分，，，的最小值為，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，垂線段定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2022上·四川成都·八年級成都七中?？计谥校┤鐖D，在中，，，邊AB的中垂線與的外角的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，，則【答案】【分析】連接，過E作于H，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，過E作于H，∵邊的中垂線與的外角的平分線交于點(diǎn)于點(diǎn)F，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，是的平分線，分別為上的點(diǎn)，且，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩端的距離相等．過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，得到，再由角平分線的性質(zhì)，可得，然后由，可證，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，是的平分線，，，，，，，在和中，，，．【變式訓(xùn)練2】．（2023下·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于D，點(diǎn)E、G分別在邊、上，連接，．過D作于F．已知，，，則的面積為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，，得到，，進(jìn)而得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平分，，∴，，，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即：，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練3】．（2023下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為的角平分線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，則的長為．

【答案】【分析】作于，交延長線于，由平分，得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理求出，得到的面積，由的面積的面積的面積，得到，因此，即可求出．【詳解】解：作于，交延長線于，

平分，，，，，，的面積，的面積的面積的面積，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，關(guān)鍵是由的面積的面積的面積，得到．類型二、截線段，構(gòu)全等例．（1）【感悟】如圖1，是的高線，，若，，求的長．小明同學(xué)的解法是：將沿折疊，則點(diǎn)C剛好落在邊上的點(diǎn)E處．請你畫出圖形并寫出完整的解題過程；（2）【探究】如圖2，，為的外角的平分線，交的延長線于點(diǎn)D，則線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明；（3）【拓展】如圖3，在四邊形中，平分，，，，則的長為__________．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）18【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，由折疊的性質(zhì)可得：，，，由可得，再由三角形外角的定義及性質(zhì)可得，推出，進(jìn)而得到，最后進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）在上截取，連接，證明得到，，證明，再由得到，再根據(jù)三角形外角的定義及性質(zhì)得出，進(jìn)而得到，即可得證；（3）在上截取，連接，證明，得到，，從而得到，進(jìn)而，再由即可得證；由得，結(jié)合可得，從而推出是等邊三角形，得出，最后由即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，將沿折疊，則點(diǎn)C剛好落在邊上的點(diǎn)E處，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，，；（2）解：，證明：如圖，在上截取，連接，，平分，，在和中，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖，在上截取，連接，平分，，在和中，，,，，，，，，，由得，，，，，，為等邊三角形，，，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，平分，平分，．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）由四邊形內(nèi)角和性質(zhì)求得．再由角平分線定義可得，，最后由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到結(jié)論；（2）作的平分線交于，證明，再由全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）在四邊形中，，又∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴．在中，．（2）．如圖，作的平分線交于．則．

在和中，，．∴．同理，．∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到，，在上截取，連接，分別證明，，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，、分別平分、，，，，，，如圖，在上截取，連接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進(jìn)而問題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進(jìn)而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等．類型三、構(gòu)造等腰三角形例．（2022下·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中，的角平分線和邊的中垂線交于點(diǎn)D，的延長線于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．若，則的長為．【答案】2【分析】連接，由“”可證，可得，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】解：連接，∵是的平分線，∴，在和中，，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．【答案】【分析】延長CG交AB于點(diǎn)E.根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得CG=EG，AE=AC,再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DG=BE=（AB-AC），從而得出的長．【詳解】解：延長CG交AB于點(diǎn)E．AG平分，于，，，，∵，為的中點(diǎn)，．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形中位線定理求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求證：BE=AD．【答案】見解析.【分析】延長AC、BE交于F，首先由ASA證明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通過ASA證明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，問題得解.【詳解】證明：延長AC、BE交于F，∵∠1=∠3，BE⊥AE，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，∴BE=BF，∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，在△ACD和△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，∴BE=AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，兩次證明全等是解題關(guān)鍵，也考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．類型四、作平行構(gòu)造等腰例.如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【答案】12【詳解】∵BG平分∠EBC∴∠EBG=∠GBC∵ED∥BC∴∠EGB=∠GBC∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG同理可得DF=DC∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12故答案為：12．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，則△ADE的周長等于________________．【答案】13【詳解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵M(jìn)NlBC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴MO=MB，NO=NC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周長=AD+DE+AE=AB+AC=13【變式訓(xùn)練2】如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5個(gè)，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．【詳解】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可證得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．類型五、與一次函數(shù)綜合例．（2022上·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面有角坐標(biāo)系中，已知、分別在坐標(biāo)軸的正半軸上．(1)如圖1．若a、b滿足，以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是；(2)如圖2，若，點(diǎn)D是的延長線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；(3)如圖3，設(shè)的平分線過點(diǎn)，請問的值是否為定值，請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)偶次冪的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性得出的值，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，然后證明，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M，根據(jù)題意證明，在和中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（3）作軸于H，軸于H，交的延長線于K，先證明可得，然后證明可得，進(jìn)一步可得結(jié)果．【詳解】（1）∵，，∴，∴，∴，∴，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，故答案為：；（2）證明：過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M，∵為等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，又∵，即，∴，，∴，∴，又∵，設(shè)與相交于點(diǎn)N，∴在和中，，，∴；（3）解：，理由如下：作軸于H，軸于H，交的延長線于K，則，∵平分軸，，∴，∵，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，偶次方與算術(shù)平方根的非負(fù)性的性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)建出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．（2022下·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是射線OE：y＝x（x≥0）上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，過點(diǎn)B作OA的平行線交∠AOB的平分線于點(diǎn)C(1)若A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），求BC的長度；(2)如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥OE于點(diǎn)H，求證：AC平分∠BAE．【答案】(1)2；(2)證明見解析【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，CG⊥OE于G，先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和勾股定理求出OA=OB=2，∠AOB=∠OAB=45°，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBF=∠AOB=45°，，推出BF=CF，，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，即可利用勾股定理求得答案；（2）如圖所示，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CH=CF，再證明BC平分∠ABF，得到CG=CF，推出CG=CH，即可證明AC平分∠BAE；【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，CG⊥OE于G，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），AB⊥x軸，∴OA=OB=2，∴∠AOB=∠OAB=45°，，∵，∴∠CBF=∠AOB=45°，，∴∠CBF=∠BCF=45°，即BF=CF，∴，∴，∵OC平分∠AOB，CG⊥OA，CF⊥OB，∴，∴；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，∵OC平分∠AOB，CH⊥OA，CF⊥OB，∴CH=CF，由（1）得∠CBF=45°，又∵∠ABF=90°，∴∠ABC=∠CBF=45°，∴BC平分∠ABF，∵CG⊥AB，CF⊥BF，∴CG=CF，∴CG=CH，又∵CG⊥AB，CH⊥AH，∴AC平分∠BAE；【變式訓(xùn)練2】．（2022下·四川成都·八年級成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┲本€AB與x軸交于A（m，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，n），且m，n滿足．(1)m=，S△ABO=；(2)如圖1，D為OA延長線上一動點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)如圖2，P為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射線AF上一動點(diǎn)，N是線段OA上一動點(diǎn)，求OM+MN的最小值．（圖1與圖2中點(diǎn)A的坐標(biāo)相同）【答案】(1)4，8(2)（0，-4）(3)【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值從而得到OA、OB的長即可得到答案；（2）如圖1，過點(diǎn)作軸于，證明，推出AM=EM，得到∠OAF=45°，即可推出OA=OF=4，即可得到答案；（3）如圖所示，過點(diǎn)M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，由角平分線的性質(zhì)得到MH=MG，再由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，得到，即，從而推出當(dāng)O、M、G三點(diǎn)共線，且OG⊥AP時(shí)，OM+MG有最小值，即OM+MN有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），∴OA=OB=4，∴，故答案是：4，8；（2）解：如圖1，過點(diǎn)作軸于，，是等腰直角三角形，，，，在和中，∵，，，

，，，，；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，∵AF平分∠OAP，MH⊥OA，MG⊥PA，∴MH=MG，∵點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，

∴，即，∴，∴當(dāng)O、M、G三點(diǎn)共線，且OG⊥AP時(shí)，OM+MG有最小值，即OM+MN有最小值，∵∠OAP=45°，∴△OAG是等腰直角三角形，∴OG=AG，∴，∴OM+MN的最小值為．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了圖形與坐標(biāo)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【課后訓(xùn)練】1．（2023下·四川成都·八年級成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，已知、、、是平面坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且，設(shè)直線、直線交于點(diǎn)，兩條直線表達(dá)式分別為，，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）

①；②平分；③．A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由，全等三角形對應(yīng)高相等，得，根據(jù)角平分線的判定定理可證平分，再證明，可得，直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，得，，同理可得，，由，，得，，得，，可證．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

∵．∴，，，，，∴，∵，，∴平分，故②正確；在和中，，∴，∴，故①正確；直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，∴，，同理可得，，∵，，∴，，∴，，∴，故③正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相交問題，交點(diǎn)坐標(biāo)與線段長度之間的關(guān)系，角平分線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022下·四川成都·八年級?？计谥校┲苯侨切沃?，，兩條角平分線與交于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)是．

【答案】/度【分析】過點(diǎn)O分別作于點(diǎn)M、N，連接，由角平分線的性質(zhì)得到，再證明得到，進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)推出，從而求出，則．【詳解】解：過點(diǎn)O分別作于點(diǎn)M、N，連接，

∵的兩條角平分線與交于點(diǎn)O，∴平分，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，、的角平分線相交于點(diǎn)，①若，則，②若，，則.【答案】110°70°【分析】①先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形內(nèi)角和即可求解；②在BC上取CD=AC，連接BI、DI，利用SAS證明△ACI與△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根據(jù)BC=AI+AC求出AI=BD，從而可得BD=DI，由三角形外角的性質(zhì)可得∠CDI=2∠DBI，再根據(jù)角平分線的定義即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求解；【詳解】①∵，∴∠BAC+∠BCA=140°，∵AI、CI分別是、的角平分線，∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，∴∠AIC=180°-70°=110°；②如圖1，在BC上取CD=AC，連接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI=∠BCI，在△ACI與△DCI中，，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，∵BC=AI+AC，∴BD=AI，∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID，∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，又∵AI、CI分別是∠BAC、∠ACB的平分線，∴BI是∠ABC的平分線，∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，∴∠CDI=∠ABC，∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，∵∠ABC=35°，∴∠BAC=35°×2=70°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用“截長補(bǔ)短法”作輔助線構(gòu)造全等三角形以便于利用條件“BC=AI+AC”是解決本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．4．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得，即可求解．【詳解】（1）解：在上截取，連接．

∵平分，∴．在和中，∴∴，．又∵，∴．又∵，∴，∴．在和中，，∴∴．∴．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．【答案】見解析【分析】在BC上截取BE＝BA，連接DE，證明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，則DE＝DC，從而得出AD＝CD即可證明．【詳解】證：如圖，在BC上截取BE＝BA，連接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定等，學(xué)會做輔助線找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．【答案】（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，由此即可解題；（2）在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，構(gòu)造，根據(jù)即可得出答案；（3）畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)E的位置分四種情況，當(dāng)點(diǎn)E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，可得，設(shè)，則；根據(jù)∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有，列方程；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，得出，設(shè)，則；∠BAC＝24°，根據(jù)AD為△ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內(nèi)角和列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD為△ABC的角平分線，即，∴；∴（2）如圖2，在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，連接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如圖，點(diǎn)E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，∠EAD＜90°，不成立；如圖，點(diǎn)E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度數(shù)為44°或104°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．

【答案】（1）見解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由見解析；（3）3．【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF，證明△BCE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF，AE＝AF，證明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，結(jié)合圖形解答即可；（3）在BD上截取BH＝BG，連接OH，證明△OBH≌△OBG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OHB＝∠OGB，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，證明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，

∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下