第頁(yè)第二章函數(shù)2.1函數(shù)的概念及其表示課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y（2）函數(shù)的三要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域.（3）兩個(gè)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或稱它們是同一個(gè)函數(shù)）.2.函數(shù)的表示法函數(shù)的常用表示方法：解析法、列表法和圖象法.3.分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱其為分段函數(shù).常用結(jié)論教材中的幾個(gè)重要函數(shù)函數(shù)定義圖象絕對(duì)值函數(shù)y=∣“雙勾”函數(shù)y=最值函數(shù)M(x)=max{f(x),g(x)},m(以f(x)=取整函數(shù)y=[x],其中[符號(hào)函數(shù)y=sgn自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）若A=R，B={x|x>（2）若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等.（）（3）已知f(x)=（4）函數(shù)f(x)（5）分段函數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上函數(shù).（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）×2．已知函數(shù)f(x+A.f(x)=2x+1,C.f(x)=2x?3,【答案】D【解】令x+1=t，則x=t?1.因?yàn)閤>1，所以t>3．[2021年浙江卷]已知a∈R，函數(shù)f(x)=A.?3 B.0 C.1 【答案】D【解】f(f(6))=f(64．[2022年北京卷]函數(shù)f(x)=1x+1?x的定義域是____________【答案】(?∞,0【解】由題意，得1?x≥0,x≠故f(x)故填(?∞,0)∪(核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)的概念例1【多選題】設(shè)集合P={x|0≤x≤A. B.C. D.【解】對(duì)于A，定義域不為P，故A錯(cuò)誤.對(duì)于C，直線x=2與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合函數(shù)的定義，故C易知B，D正確.故選BD.【答案】BD【點(diǎn)撥】①根據(jù)函數(shù)的定義，直線x=a(變式1．下列函數(shù)為同一函數(shù)的是（）A.f(xB.f(xC.f(xD.f(x【答案】C【解】對(duì)于A，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).對(duì)于B，f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞),g(x對(duì)于C，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù).對(duì)于D，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選C.考點(diǎn)二函數(shù)的定義域命題角度1具體函數(shù)的定義域例2函數(shù)f(A.(0,2C.(?∞,0)∪(0【答案】A【解】由題意，得2?x≥0,x≠0,x>0,【點(diǎn)撥】函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合，一般通過列不等式（組）求其解集.常見的限制條件有：分式的分母不等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下的被開方數(shù)大于或等于0等.變式2．（1）函數(shù)f(A.(0,1C.(0,1（2）已知函數(shù)f(x)=axA.(0,1] B.[0,【答案】（1）A（2）B【解析】（1）【解】由?x2+3x+4≥0,x>0,lnx≠0,解得（2）【解】由題意，知ax2+2ax+1≥0對(duì)任意的x∈R恒成立.當(dāng)a=0時(shí)，1≥0恒成立，則a=0符合題意.當(dāng)a≠命題角度2抽象函數(shù)的定義域例3已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇?1,4]，則y=f(2x+1)x?1的定義域?yàn)開______【答案】(1,【解】由題意，得?1≤2x+1≤4,x?1【點(diǎn)撥】求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法.若y=f(x)的定義域?yàn)?a,b)，則解不等式a<g(x變式3．已知函數(shù)y=f(2x?A.(?2,5] B.(?2,【答案】A【解】當(dāng)?1≤x≤3,?3≤2x?1≤5，所以f(x考點(diǎn)三函數(shù)的解析式例4（1）已知f(x)是一次函數(shù),且3f(x+1)?2f(x?1)=2x+17，則f（2）已知f(x+1)=3x+x，則f(x)的解析式為_______________________（3）設(shè)函數(shù)f(x)=A.1 B.?1 C.10 D.【點(diǎn)撥】函數(shù)解析式的求法如下.①待定系數(shù)法.已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法.②換元法.已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.③配湊法.由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)【答案】（1）2x（2）f(x（3）B【解析】（1）【解】因?yàn)閒(x)是一次函數(shù)，所以可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).所以3[a(（2）【解】令x+1=t,t≥1，則x=(t?1)2.所以f(（3）【解】由已知，得f(1x)=2f(x)+1，聯(lián)立f(x)=2f1變式4．（1）已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=4x?1，則f(x)=________________（2）已知f(x?1x)=x2+1x2，則f(x)=_（3）若函數(shù)f(x)滿足f(x?y)=f(x)+f(y)?2xy，則f(x)的解析式為___【答案】（1）2x?13（2）x（3）f【解析】（1）【解】設(shè)f(x)=kx+b(k≠0)，則f(f(x))=k2x+kb+b（2）【解】f(x?1x)=x2（3）【解】由題意，令x=y=0，得f(0)=0.令y=x，考點(diǎn)四分段函數(shù)例5（1）已知函數(shù)f(x)=A.?32 B.0 C.12（2）設(shè)函數(shù)f(x)=g(x),x<1,x13,x≥1,則當(dāng)g(x)=ex?1時(shí)，使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是_____（3）已知函數(shù)f(x)=x2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】（1）D（2）(?∞,8]（3）A【解析】（1）【解】f(?3)=?(?3)?1（2）【解】若g(x)=ex?1，則當(dāng)x<1時(shí)，ex?1≤2，解得x≤1+ln2.所以x<1.當(dāng)x≥1時(shí)，x13≤2，解得x≤8.所以1≤x≤8.綜上，x的取值范圍是(?∞,8].若g(x)=1,則x+1與2x不可能均小于1.當(dāng)x+1≥1且2x≥1（3）【解】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2?2x+2=(x?1)2+1，值域?yàn)閇1,+∞).當(dāng)x≤0時(shí)【點(diǎn)撥】①解決分段函數(shù)相關(guān)問題，關(guān)鍵是抓住“分段問題、分段解決”的核心思想，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及參數(shù)的特點(diǎn)分區(qū)間討論，最后將結(jié)果合并起來.②已知分段函數(shù)的值域或最值求參數(shù)范圍的問題，可先求函數(shù)在各區(qū)間的值域或最值，再結(jié)合已知條件建立不等式（組）求解.必要時(shí)，可先分析函數(shù)的性質(zhì)，再畫圖求解.③求分段函數(shù)的值域或最值，常分類討論，或者利用圖象求解.變式5．（1）已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x≥0,?x2+2x,x<0.（2）已知f(x)=(1A.(?∞,?1] B.(?1，12) C.[?1，（3）函數(shù)y=|x+1|+|x?2|的值域?yàn)開___【答案】（1）(?（2）C（3）[【解析】（1）【解】因?yàn)閥=x2+2x在[0,+∞)上單調(diào)遞增，y=?x2+2x在(?∞,0)上單調(diào)遞增，且f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(x)在R（2）【解】當(dāng)x≥1時(shí)，lnx≥0.要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，如圖所示，需使1?2a>故選C.（3）【解】由題意，得y=?2x+由圖象，知原函數(shù)的值域?yàn)閇3,+∞).故填[課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．下列圖形中可以表示以M={x|A. B.C. D.【答案】C【解】A中的值域不滿足題意，B中的定義域不滿足題意，D中不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義，可知C正確.故選C.2．函數(shù)f(A.(23,+∞) B.[C.(23,1)∪(1,+∞)【答案】C【解】3x?2>0,x?1≠0,3．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A.f(xB.f(xC.f(xD.f(x【答案】D【解】對(duì)于A，C,兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù)，故A,C錯(cuò)誤.對(duì)于B，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，f(x)與g(t)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是同一函數(shù)，故D4．【多選題】已知函數(shù)f(A.f(x)的定義域?yàn)镽 B.C.f(f(?1))=【答案】BD【解】對(duì)于A，易知f(x)的定義域?yàn)??∞,?1]∪(?1對(duì)于B，當(dāng)x≤?1時(shí)，x+2≤1；當(dāng)?1<x<2時(shí)，0≤對(duì)于C，f(f(?1))=f對(duì)于D，當(dāng)x≤?1時(shí)，由f(x)=3，得x+2=3，解得x=1（舍去）；當(dāng)?1<x<2時(shí)，由f(x)=3，得x25．已知函數(shù)f(x)x1234567f(7458134A.1 B.3 C.4 D.7【答案】C【解】f(f(1))=6．【多選題】已知函數(shù)f(x)A.函數(shù)f(x?2)的定義域?yàn)閇?C.函數(shù)f(x?2)的值域?yàn)閇?【答案】ABC【解】對(duì)于函數(shù)f(x?2)，由?3≤x?2≤3，解得?對(duì)于函數(shù)f(3x)x?1，由?3≤3x≤3,x?1函數(shù)f(x?2)和f(2x)的值域都為[?3,3]，7．已知函數(shù)f(x)=2x+1?8,x≤1,4log1【答案】?7【解】當(dāng)x≤1時(shí)，f(x所以f(m)=4log12所以f(故填?78．已知函數(shù)f(x)滿足f(cosx)=cos2x?1，則f(x)的解析式為___________________【答案】f(【解】f(cos所以f(故填f(x9．求函數(shù)f(（1）f(x)是二次函數(shù),且滿足f（2）f(x)【解】（1）設(shè)所求的二次函數(shù)為f(因?yàn)閒(0)=又f(x+1)?f(x)=2x,所以a(（2）因?yàn)?f(所以2f(①×2?②，得故f(【綜合運(yùn)用】10．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA→弧AB→BO的路徑勻速運(yùn)動(dòng)一周.設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則下列圖象能大致刻畫sA. B.C. D.【答案】C【解】當(dāng)點(diǎn)P在OA段運(yùn)動(dòng)時(shí)，s隨t的增大而勻速增大.當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，s=OP=12AB，為定值.當(dāng)點(diǎn)P在BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，s隨t的增大而勻速減小11．若函數(shù)f(x)=12A.[14,+∞) B.[14,12] C.[1【答案】B【解】當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=(12)x∈(12,+∞).當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=a+(112．【多選題】已知函數(shù)f(A.f(B.f(x)C.fD.?x∈(【答案】BCD【解】因?yàn)閤+4x∈(?∞,?4]∪[4,+∞)，且f(x+4x)=(x+4x)2?8，所以因?yàn)閒(?x)=x2?8=f(x)，ff(?3+log20.25?x∈(0,+∞)，6<0.5x+6<7.因?yàn)閒(x)在[413．已知函數(shù)f(x)=2x,x≥0,x3+1,x<0,若f(【答案】(?3【解】由題意，知f(x)在R因?yàn)閒(a)<f(6?a2)，14．已知函數(shù)f(x)=?x+（1）在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出y=f(（2）對(duì)任意x∈R，用m(x)表示f(x)，【解】（1）y=f(x圖1（2）聯(lián)立y=?x+1,y=(x結(jié)合圖1，得當(dāng)x<0時(shí)，m(當(dāng)0≤x<1時(shí)，當(dāng)x≥1時(shí)，m(所以m(函數(shù)y=m圖2【拓廣探索】15．【多選題】已知函數(shù)f(A.f(xB.fC.當(dāng)x∈[4,D.f(x)【答案】AC【解】當(dāng)1≤x≤2當(dāng)2≤x≤4當(dāng)4≤x≤8以此類推，可知f(x)的值域?yàn)閇0,+∞)，f(24)=2f(12當(dāng)x∈[4,8]時(shí)，f(x當(dāng)x∈[10,16]時(shí)，x因?yàn)閒(x)在[54,2]上不單調(diào)，所以f(x)在[10,16專題突破2函數(shù)的值域求函數(shù)值域的常用方法如下.1.直接法.對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問題，可通過基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接求解.2.分離常數(shù)法.該法主要針對(duì)形如y=3.配方法.該法主要針對(duì)形如y=ax4.基本不等式法.該法主要針對(duì)形如y=5.單調(diào)性法.確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.6.換元法.該法主要針對(duì)形如y=ax+bcx+d或y=ax+b±cx+d(a,b,c,d7.數(shù)形結(jié)合法.將數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，結(jié)合圖形的性質(zhì)求最值.8.判別式法.該法主要針對(duì)形如y=a29.導(dǎo)數(shù)法.此法在后面的章節(jié)學(xué)習(xí).核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一求已知函數(shù)的值域例1求下列函數(shù)的值域：（1）y=（2）y=（3）y=（4）y=【解】（1）y=因?yàn)?x?2所以函數(shù)的值域?yàn)閧y（2）令t=1?x(因?yàn)閠≥0,所以所以函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，178（3）因?yàn)閤2+x+由y=2x當(dāng)y?2=0，即y=2當(dāng)y?2≠0，即y≠2時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于x的方程(y?所以函數(shù)的值域?yàn)閇1（4）（方法一）由y=1?sinx2所以1+y2sin(x所以|1?2y所以函數(shù)的值域?yàn)閇0,4（方法二）y=1?sinx2?cosx如圖，設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y?1=k(x?2)，即所以函數(shù)的值域?yàn)閇0，4【點(diǎn)撥】求函數(shù)的值域常需觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，利用分離常數(shù)法、配方法、基本不等式法、單調(diào)性法、換元法等方法求解，有時(shí)也會(huì)根據(jù)幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合法求解.變式1．求下列函數(shù)的值域：（1）y=（2）y=（3）y=（4）y=【解】（1）設(shè)t=?x2?6x?5,則t≥0.解得?（2）設(shè)x=cost(0≤t≤π),則因?yàn)?≤t≤π所以sin(π+φ又sin(π+φ)=?sinφ=?2（3）y當(dāng)x<?4時(shí)，y>10；當(dāng)x當(dāng)?4≤x≤故函數(shù)的值域?yàn)閇5（4）y=x因?yàn)閤>12故y=2x2?x+1考點(diǎn)二已知函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍例2已知函數(shù)f(x)=x+1,(?∞,0] B.[0,1]【答案】B【解】當(dāng)x≤a時(shí)，當(dāng)x>a時(shí)，若f(x)的值域?yàn)镽，則a+1≥2a.函數(shù)y=x+1和g【點(diǎn)撥】已知分段函數(shù)的值域或最值，求參數(shù)的取值范圍，常通過分類討論，求函數(shù)在各區(qū)間上的取值范圍，再列不等式（組）求解.必要的時(shí)候，也可結(jié)合圖象分析.變式2．已知函數(shù)y=x2?2x+2,x≥0,x+ax+3a,x<0的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______【答案】(?∞,0【解】當(dāng)x≥0時(shí)，當(dāng)a=0且x<0因?yàn)??∞,0)∪[1當(dāng)a>0且x<0由“雙勾”函數(shù)的單調(diào)性，可知f(x)在(?∞,?a)上單調(diào)遞增，在(?a此時(shí)f(若要滿足f(x)的值域?yàn)镽，則需3a?當(dāng)a<0且x<0時(shí)，f(又當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→+∞，且當(dāng)x→?∞時(shí)，f(x)→?∞，綜上，a的取值范圍是(?∞,0故填(?∞,0)∪[課時(shí)作業(yè)知能提升1．當(dāng)x∈[0,A.(?∞,0) C.(?∞,0)∪[1【答案】C【解】令2?x=t，則f(t)=2t.因?yàn)閤∈[0,2)∪(2,+∞)，所以t∈(?∞,0)∪(0,2].當(dāng)t∈(?∞,02．min{a,b}表示a，b中的最小者，設(shè)f(x)=min{A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解】令x+3>9?x，解得x>3；令x+3≤9?x，解得x≤3.所以f(x)=x+3,x≤3,3．已知函數(shù)f(x)=A.0 B.2 C.22 【答案】C【解】由x?2>0,得x>2.f(x)=xx?2=(x?2)4．函數(shù)f(A.[0,2] B.[?2,【答案】D【解】由題意，知f(x)的定義域?yàn)閇?2，2].設(shè)x=2sint,t∈[?5．若函數(shù)f(x)=x2A.(?∞,2] B.[0,1]【答案】A【解】f(①當(dāng)a?1≤0，即a≤1時(shí)，f(x②當(dāng)a>1時(shí)，f(x)=(x+1)+a?若a?1?1≤0,即1<a≤2,則f若a?1?1>0，即a>2,則f(x)在[0,綜上，a≤2.故選A6．【多選題】下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.y=x?C.y=2x【答案】BD【解】對(duì)于A，當(dāng)x=1時(shí)，y=0，所以2不是y=x?1x的最小值.或由y=x?1x對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽.令x2+1=t(t≥1)，得x2=t2?1，所以y=t對(duì)于C，因?yàn)?x>0，所以2x+2>2.所以y對(duì)于D，y=(sinx?1)2+2,當(dāng)sinx=1時(shí)，7．已知函數(shù)f(x)=x2?2x+2,x≥0,ax+3a,x<0的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______【答案】[13,【解】當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2?2x+2=(x?1)2+1≥8．已知函數(shù)f(x)滿足f(1（1）求f(x)（2）求函數(shù)y=【解】（1）令1?x2=m，得x因?yàn)間(所以g(?由①②，解得g(（2）y=設(shè)t=1?所以y=?因?yàn)閠≥0，所以故所求函數(shù)的值域?yàn)??∞,322.2函數(shù)的基本性質(zhì)第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與最值課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的單調(diào)性（1）增函數(shù)與減函數(shù).名稱增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f2.函數(shù)的最大（小）值名稱最大值最小值前提一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)條件①?x∈D，都有f(x①?x∈D，都有f(x結(jié)論稱M是函數(shù)y=f稱M是函數(shù)y=f幾何意義y=y=常用結(jié)論判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法（結(jié)論）（1）定義的等價(jià)形式.設(shè)x1,x2∈(a,b)，且x1≠x2，記Δx=x1（2）性質(zhì)法.①當(dāng)常數(shù)c>0時(shí)，y=c?f(x)與y=f②若c為常數(shù)，則函數(shù)y=f(③當(dāng)y=f(x)④若f(x)與g⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)與g(x⑥奇（偶）函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同（相反）.（3）同增異減法.對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，如果y=f(u)和u=g(（4）導(dǎo)數(shù)法.（5）圖象法.自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(?1（2）函數(shù)y=1x（3）所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.（）（4）若一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都單調(diào)遞增，則這個(gè)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.（）（5）閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√2．若函數(shù)y=f(x)在RA.(?∞,?1) B.(?1,+∞) C.【答案】C【解】因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，f(2m?3)>f(?m)，所以2m?33．函數(shù)f(A.[1,2] B.[?1,【答案】A【解】當(dāng)x>2時(shí)，f當(dāng)x≤2時(shí)，f(綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,4．已知x∈[1,8]，則函數(shù)f(x)=x+9x的最大值與最小值的和為__【答案】16【解】由“雙勾”函數(shù)的性質(zhì)，知f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減，在又f(1)=10，f(8)=8核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間例1（1）已知函數(shù)f(x)=loga(?xA.(?∞,?1] B.[?1,+∞) C.（2）函數(shù)f(A.(?∞，14] B.(?∞,?1] C.[32，（3）求函數(shù)f(【點(diǎn)撥】①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域.②函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及相關(guān)結(jié)論見本節(jié)常用結(jié)論.【答案】（1）C（2）C【解析】（1）【解】令g(x)=?x2?2x+3.由題意，知g(x)>0，可得?3<x<1，故f(x)的定義域?yàn)閧x|?3<x<1}.由f(0（2）【解】由題意，得2x2?x?3≥0，解得x≤?1或x≥32.由二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)（3）【解】先作出函數(shù)y=x2?4x+3由圖,知f(x)在(?∞,1]和[2,3故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[變式1．（1）[2023年北京卷]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0A.f(x)=?lnC.f(x)=?（2）求函數(shù)f(【答案】（1）C【解析】（1）【解】在(0,+∞)上，顯然A，B單調(diào)遞減，C單調(diào)遞增.對(duì)于D，因?yàn)閒(12)=3|12?1|=312=3，（2）【解】f(其圖象如圖所示.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?1]和[0例2設(shè)函數(shù)f(x)=x2【證明】設(shè)x1，x2∈[0,+∞)=x=(x因?yàn)?≤x1所以(x所以f(x1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間【點(diǎn)撥】證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法.①定義法.基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷.函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式見本節(jié)常用結(jié)論.②導(dǎo)數(shù)法.變式2．【多選題】下列函數(shù)中，滿足“?x1,x2∈(2A.f(x)=C.f(x)=【答案】AB【解】由題意，知f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減.A,B顯然滿足，C在(?2,+∞)上單調(diào)遞增，不滿足，D在(1,+∞)考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1比較函數(shù)值的大小例3已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，且對(duì)任意x1，x2∈(2A.a<c<b B.a<b【答案】B【解】由題意，知f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減，又|?1?2|=3,|π?2|=π?2,|e?2|=e?2，且3【點(diǎn)撥】①比較函數(shù)值的大小，先將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，通過比較自變量的大小來比較其函數(shù)值大小.單調(diào)函數(shù)自變量的大小關(guān)系和函數(shù)值的大小關(guān)系可正逆互推，即若f(x)是增（減）函數(shù)，則f變式3．（1）已知函數(shù)f(x)=3x?1A.f(a)>f(b) （2）設(shè)a∈R，已知函數(shù)y=f(x)A.[?4,1) B.(1,【答案】（1）A（2）C【解析】（1）【解】（方法一）f(x)=1?23x+1是增函數(shù)，則f(a)>f(b).（方法二）f(a)?f(b)=3a?（2）【解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在[?4,4]上的減函數(shù)，且f(a命題角度2求參數(shù)的取值范圍例4（1）已知函數(shù)f(x)=ax+1x+1在(?1,+∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___（2）[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=?xA.(?∞,0] B.[?1,0]【點(diǎn)撥】利用單調(diào)性求參數(shù)應(yīng)注意的問題如下.①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較.②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a【答案】（1）(?∞,（2）B【解析】（1）【解】f(x)=ax+1x+1=ax+a?a+1x（2）【解】因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=ex+ln(x變式4．（1）（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)f(x)=2xA.(?∞,?2] B.[?2,0)（2）已知函數(shù)f(x)=x2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】（1）D（2）C【解析】（1）【解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，f(x)=2x(x?a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以y=x(x?（2）【解】因?yàn)閥=x+2在R上單調(diào)遞增，y=x2?2x+2在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)考點(diǎn)三函數(shù)的最值例5函數(shù)f(x)=(13)x?log2(x【答案】3【解】因?yàn)閥=(13)x和y=?log2(x+2)都在[?1,1]【點(diǎn)撥】利用單調(diào)性求最值，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)性質(zhì)求解.變式5．已知函數(shù)f(x)=log13x,x>1,?x2+2x,x≤1,則f(f【答案】?3【解】由于f(所以f(3)=log133=?1，則f(f(3))=f(?1)=?3.當(dāng)x>1綜上，可知f(x)的最大值為1.課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．下列函數(shù)在[1A.y=1x+2 B.y=【答案】A【解】對(duì)于A，y=1x+2在[1,4]上單調(diào)遞減對(duì)于B，y=3x?2在[1,4]上單調(diào)遞增，對(duì)于C，y=x2在[1,4]上單調(diào)遞增，所以對(duì)于D，y=3x在[1,4]上單調(diào)遞增，所以ymax=32．下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且在(0A.y=?x3 B.y=x(【答案】D【解】對(duì)于A，y=?x3在(0,+∞)上單調(diào)遞減，對(duì)于B，C，值域并不是R，故B,C錯(cuò)誤.對(duì)于D，y=lg|x|在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽，故D正確3．已知函數(shù)f(x)=x2A.(?∞,?3] B.[?3,+∞) C.【答案】A【解】f(x)圖象的對(duì)稱軸為x=?2(a?1)2=1?a.因?yàn)閒(4．已知函數(shù)f(x)=log2A.(?∞,2] B.[2,+∞) C.[2【答案】D【解】由題意，知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.若f(a+1)?f5．已知f(x)是定義在RA.f(3)<C.f(?2)<【答案】B【解】因?yàn)閒(?2)=f(2)，f(x)在[6．【多選題】下列命題正確的是（）A.若?x1，x2∈R，xB.若?x1，x2∈R，xC.若?x∈R，fD.若?x∈R，f(x【答案】AB【解】對(duì)于A，由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+對(duì)于B，設(shè)x2>x1，由f(x1)?f(x2)x1?x2>?1,得f(x1)?f(對(duì)于C，令f(x)=[x]，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，滿足f(x+1對(duì)于D，令f(x)=g(x)=x，則f(x)，g(故選AB.7．函數(shù)f(x)=ln(x2?x?6)的單調(diào)遞增區(qū)間是____【答案】(3【解】由x2?x?6>0,解得x>3或x<?2，則f(x)的定義域?yàn)??∞,?2)∪(3,+∞).令t=x2?8．若函數(shù)f(x)=?x+6,x≤2,3+logax,x>2(a>【答案】(1【解】當(dāng)x≤2時(shí)，?x+6≥4.要使f(x)的值域?yàn)閇4,+∞)，只需y=3+logax(x9．已知函數(shù)f(（1）求f(（2）探究f(【解】（1）f(（2）f(x)的定義域?yàn)镽.任取x1，x2因?yàn)閥=2x在R上單調(diào)遞增，所以0又2x1+1>0，2x2+1>【綜合運(yùn)用】10．函數(shù)f(x)=2|A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.【答案】B【解】函數(shù)f(x)在(?∞,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[11．設(shè)函數(shù)f(x)=ln(?x2A.(0,1) B.[0,【答案】D【解】由?x2+4x>0，得0<令g(x)=?x2+4x,x∈(0,4)，則又y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增12．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的減函數(shù)，且fA.(?4,0C.(?5,1【答案】D【解】因?yàn)閒(所以f(4?因?yàn)閒(所以f(因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽所以x2+3x>5?x另解：易知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱.由幾何意義或直接構(gòu)造f13．已知函數(shù)f(x)=(1?3a)x+a+1,x<2,2ax,x≥2在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____【答案】(13，【解】由題意，知1?3a<0,0<a<1,2(114．已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x（1）判斷并證明f(（2）求不等式f(【解】（1）證明：設(shè)x1,，且x1<x2，則由f(x+y)=又f(x1)>0，所以f(x（2）由f(2)=2，得所以f(1+4a由f(x)的單調(diào)性，得1所以不等式的解集為(?∞,54【拓廣探索】15．【多選題】如果偶函數(shù)f(x)滿足?x1,x2∈(0,+∞)，若xA.f(x)=C.f(x)=【答案】ACD【解】由題意，得x1[f(所以f(x)在(對(duì)于A，易知f(x)為偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，對(duì)于B，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，對(duì)于C，易知f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=1?2x,所以f對(duì)于D,f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(?x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=e?x?ex.因?yàn)榈?課時(shí)函數(shù)的奇偶性與周期性課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的奇偶性名稱偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?且f(?x)=f且f(?x)=?f圖象特點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.函數(shù)的周期性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D，且3.函數(shù)奇偶性的重要性質(zhì)（1）具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是“一個(gè)函數(shù)具有奇偶性”的必要不充分條件.（2）f(x)為（3）若奇函數(shù)f(x)在x=（4）若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則它的圖象一定在（5）若f(x)為奇函數(shù)，且在[a,b]上單調(diào)遞增（減），則f(x)在[?b,?a（6）奇、偶函數(shù)的“運(yùn)算”（在共同定義域上）:奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.（7）常用的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系.①f(x+a)為偶函數(shù)②f(x+a)為奇函數(shù)常用結(jié)論1.若T是f(x)的周期，則nT2.若函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為T，則函數(shù)f3.以下等式中的任意一個(gè)，都可推得2a為f(x)的周期(a>0):①自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f（2）偶函數(shù)的圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn).（）（3）不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).（）（4）若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x（5）偶函數(shù)f(x)在(?∞,0)【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√2．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A.f(x)=C.f(x)=【答案】D【解】易知A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C是奇函數(shù).對(duì)于D，f(1)=1+tan1,f(?1)=1?tan1.f(1)≠f3．已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)滿足f(xA.?12 B.12 C.【答案】C【解】由題意,知4是f(x)的一個(gè)周期.所以f(20264．[2023年全國(guó)甲卷]若f(x)=(x?1)2+ax+sin(【答案】2【解】f(因?yàn)閥=x2+1,y=cosx都是偶函數(shù)，所以核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性命題角度1函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(（2）f(（3）f（4）f(【解】（1）由1?x1f(x)所以f(x（2）由9?x2≥所以f(x)的定義域?yàn)閧?又f(3)+所以f(所以f(x（3）（方法一）（定義法）當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=?當(dāng)x<0時(shí)，f(x?x所以f(x（方法二）（圖象法）作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)（4）由1?x1+x>0，得?1<x<1，即f(x【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)f(①定義法.②圖象法.③還可用本節(jié)【教材梳理】中的“運(yùn)算”確定奇偶性（在共同定義域上）.④對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段驗(yàn)證，但驗(yàn)證過程往往比較繁瑣，且容易判斷錯(cuò)誤，通常用圖象法來判斷.⑤對(duì)于含有x的對(duì)數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)f(x)變式1．（1）【多選題】下列命題正確的是（）A.奇函數(shù)的圖象一定過坐標(biāo)原點(diǎn)B.函數(shù)f(C.函數(shù)f(D.函數(shù)f(（2）[2021年全國(guó)乙卷]設(shè)函數(shù)f(A.f(x?1)?1 B.f【答案】（1）BC（2）B【解析】（1）【解】對(duì)于A，只有當(dāng)奇函數(shù)在x=0處有定義時(shí)，奇函數(shù)的圖象才過原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且f(?x)=(?x)sin(?x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故B正確.對(duì)于C，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(?x)=|?x+1|?|?x?1|=?(|x+1|?|x?1（2）【解】由題意，得f(x)=1?x1+x=?1+21+x.f(x?1命題角度2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2（1）[2023年全國(guó)乙卷]已知f(x)=A.?2 B.?1 C.1（2）已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=log2(x+3)+a，則f(?3)=______，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=_【點(diǎn)撥】①利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)值.②已知奇偶性求參數(shù)的值，關(guān)鍵在于借助奇偶性得到關(guān)于自變量和參數(shù)的恒等式，利用自變量的任意性構(gòu)建方程，求參數(shù)的值．③利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．【答案】（1）D（2）?1；【解析】（1）【解】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)?f(?x)=xexeax?1?(?x)e?xe（2）【解】由題意，知f(0)=log23+a=0.解得a=?log23.所以f(x)=log2(x變式2．（1）已知函數(shù)f(x)=A.0 B.14 C.12（2）已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=x2【答案】（1）C（2）?【解析】（1）【解】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，即?xln(1+1?x?b)=xln(1+1x?b)（2）【解】因?yàn)閒(x)+g(x)=x2?x+1①，所以f(?x)+g(?x)=x2+x+命題角度3抽象函數(shù)的奇偶性例3已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有fA.f(x)是奇函數(shù) C.f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) 【答案】B【解】由f(0)≠0，得令x=0，得再令y=0，得因?yàn)閒(0)≠0，所以f(0)=1.所以f(y)+f(?y)=2f(y).化簡(jiǎn),得【點(diǎn)撥】求解抽象函數(shù)的奇偶性，一般需要對(duì)抽象函數(shù)作不同的特值代換，并進(jìn)行邏輯推理.變式3．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷節(jié)選]已知不恒為0的函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽A.f(x)是奇函數(shù) C.f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) 【答案】B【解】令x=y=1，得f令x=y=?1，得f令y=?1，得又f(x)的定義域?yàn)镽，且不恒為0，所以f(x)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故B考點(diǎn)二函數(shù)的周期性例4設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x（1）求證：f(（2）當(dāng)x∈[2，4]（3）計(jì)算f(【解】（1）證明：因?yàn)閒(x+2)=?f（2）當(dāng)x∈[?2,0由已知得f(?又f(x)是奇函數(shù)，所以f又當(dāng)x∈[2,4]又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(x)=（3）f(0)=0,f(2)=0,f【點(diǎn)撥】①判斷函數(shù)f(x)的周期性，關(guān)鍵在于利用周期性的定義，證明存在等式f(x+T變式4．已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(xA.?12 B.12 C.【答案】C【解】因?yàn)閒(x+2)=?1f(x)，所以f(x+4)=f(x+考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用例5（1）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，且fA.(?2,1C.(0,1（2）設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)?11+x2,則使f(x)>f(2x?1)成立的x的取值范圍是______【答案】（1）A（2）(13,【解析】（1）【解】由題意，知f(1?a)<?f(1?a2)=f(a2?1)（2）【解】由題意，知f(x)是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)>f(2x?1)等價(jià)于f(|x|)>f(|2x?1【點(diǎn)撥】單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩條重要基本性質(zhì).單調(diào)性與奇偶性之間有著密切的聯(lián)系：①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，且f(?x)=?變式5．（1）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)=1A.{x|x<1C.{x|1（2）已知f(x)=a?A.(1,+∞) B.(?∞,1) C.【答案】（1）A（2）A【解析】（1）【解】當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，f(1)=1.由f(（2）【解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a?23x+1為奇函數(shù)，所以f(0)=a?22=0.解得a課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．若f(x)A.f(x)+C.f(x)【答案】D【解】由題意，得f(x)+f(?x)=0，f(0)=當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)f(?x)=?2．已知函數(shù)f(x)=axA.?13 B.13 C.?【答案】B【解】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x).所以b=0.又3．設(shè)a,b∈R，則“m=A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解】f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)是奇函數(shù)等價(jià)于f(x)+f(?x)=sin4．函數(shù)f(A. B.C. D.【答案】D【解】f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠±1}，且f(?x又f(2)=43?9=?5．【多選題】下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A.f(x)=C.f(x)=【答案】ACD【解】對(duì)于A，定義域?yàn)镽，f(?x)=xsinx對(duì)于B，定義域?yàn)?0,+∞)，f(x對(duì)于C，定義域?yàn)镽，f(?x)=(?x)?e對(duì)于D，定義域?yàn)镽，f(?x)=?xln(x2+1+6．【多選題】設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為A.f(x)g(C.f(x)|g(【答案】ACD【解】易知A，B，C，D中的函數(shù)的定義域都為R.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)對(duì)于A，因?yàn)閒(?x)g(?x)=?f(x)對(duì)于B，因?yàn)閨f(?x)|g(?x)=|?f(x對(duì)于C，因?yàn)閒(?x)|g(?x)|=?f(x)|對(duì)于D，因?yàn)閨f(?x)g(?x)|=|?f(x故選ACD.7．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x+2)=13.若f(1【答案】132【解】由題意，知f(x)≠0用(x+2)代替x故f(x)若f(1)=2，則f(8．已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若f(2a)>f(1?a)，則a的取值范圍是________【答案】(?1,1【解】結(jié)合題意,要滿足f(2a)>f(1?a),則|2a|<|1?9．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(x（1）求證：f(（2）計(jì)算f(【解】（1）證明：因?yàn)閒(x+所以f(x（2）由題意，知f(0)=0,f(又f(x所以f(【綜合運(yùn)用】10．[2020年新課標(biāo)Ⅰ卷Ⅱ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，且fA.[?1,1C.[?1,0【答案】D【解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且f(?2)=0，f(x<0x>0,0解得?1≤x≤0或1≤x≤3.所以滿足xf(x11．已知函數(shù)f(x)=e?|A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解】因?yàn)閒(?x)=e?|?x|?a[(?x)2+1]=e?|x|?a(x2+1)=f(x)，且f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x12．[2023年四省聯(lián)考]【多選題】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且A.f(f(C.g(f(【答案】BD【解】由題意，知f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)在R上單調(diào)遞減.所以f(1)<f(2)，g若|f(1)|>|f(2)|，則f(f13．若函數(shù)f(x)=a?b2x?b(b>0)【答案】12【解】由2x?b≠故f(x)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以log2b=0，即b=1.所以f(?x)+f(x)=14．已知f(x)的定義域?yàn)镽，f（1）證明：f(（2）求f(?【解】（1）證明：f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.令x=1，y=0，得f令x=0，得f(0+y)+f（2）因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(?1)=f【拓廣探索】15．[2025年八省聯(lián)考改編]【多選題】已知函數(shù)f(x)=x3?2x,曲線C:y=f(x),兩條直線l1,l2均過坐標(biāo)原點(diǎn)O,l1和A.f(x)有2個(gè)零點(diǎn) C.f(x)是增函數(shù) D.【答案】ABD【解】令f(x)=0,得x=±42,所以f(x)有2易知f(x)為奇函數(shù),故B曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以點(diǎn)M與N,P與Q分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.不妨設(shè)M,N,P,Q的位置如圖所示.易知S△所以S△MNQ=22，故D正確專題突破3函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用1.一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱（1）軸對(duì)稱:函數(shù)f(x+a)是偶函數(shù)?f(a+x)=f(a?x)或f(x)=f（2）中心對(duì)稱:函數(shù)f(x+a)是奇函數(shù)?f(a+x)+f(a?x)=0或f(2.兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱（1）函數(shù)y=f(x)（2）函數(shù)y=f(x)（3）函數(shù)y=f(3.雙重對(duì)稱（1）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有兩條對(duì)稱軸x=a,x（2）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0（3）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心B核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一軸對(duì)稱問題例1（1）【多選題】已知函數(shù)f(x)A.若f(2x+a)B.若f(x)的圖象關(guān)于直線C.若f(x)的圖象關(guān)于直線xD.若f(a+x)=（2）已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(4?x)，若y=|A.?4 B.0 C.8 【答案】（1）AB（2）D【解析】（1）【解】對(duì)于A，由y=f(2x+a)是偶函數(shù)，得f(?2x+a)=f(2x+a)，即f(?x+a)=f(x+a).所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，故A正確.對(duì)于B，由f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，得f(a+x)=f(a?x)，即f(a+x)?f(a?x)=（2）【解】因?yàn)閒(x)=f(4?x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.又y=|x?2【點(diǎn)撥】函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f(x)=變式1．（1）設(shè)函數(shù)y=f(A.x=0 B.x=13 （2）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(?∞,2]上單調(diào)遞減，且f(x+2)為偶函數(shù)，則不等式f(x?1)>f(2x)的解集為___【答案】（1）B（2）(?【解析】（1）【解】由題意，得y=f(3x+1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(3x)的圖象可由y=f(3x（2）【解】因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，所以f(?x+2)=f(x+2).所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.又f(x)的定義域?yàn)镽，在(?∞,考點(diǎn)二中心對(duì)稱問題例2（1）【多選題】已知函數(shù)f(x)A.若f(2x+a)B.若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)C.若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(D.若f(x+a)=?（2）已知函數(shù)f(x)=ax?A.?2 B.?1 C.1【答案】（1）AB（2）D【解析】（1）【解】對(duì)于A，由f(2x+a)是奇函數(shù)，得f(?2x+a)=?f(2x+a)，即f(?x+a)=?f(x+a).所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，故A正確.對(duì)于B，由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，得f(a?x)?b=?f(a+x)+b，即f(a+x)+f（2）【解】由題意，知f(x)+f(2?x)=4.【點(diǎn)撥】函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱?f(a+變式2．（1）若函數(shù)f(x)A.f(x?1)?1 B.f（2）設(shè)函數(shù)f(x)=x3A.?1 B.2 C.?3（3）[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷節(jié)選]已知函數(shù)f(證明：曲線y=【答案】（1）D（2）C【解析】（1）【解】由題意，知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,?1)對(duì)稱.將f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=f(x（2）【解】因?yàn)閒(1+x)+f(1?x)=2，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)y=x3,y=x為奇函數(shù)，即它們的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0（3）【證明】f(x)設(shè)P(m,n)為y=f(x)因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)在因?yàn)閒(2?m)=ln2?由點(diǎn)P的任意性，可得曲線y=f(x考點(diǎn)三雙重對(duì)稱問題例3【多選題】已知定義在(?∞,+∞)上的奇函數(shù)f(x)，滿足fA.fB.4是f(C.fD.f(x)【答案】BCD【解】由f(x)=f(2?x)知，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)=f(f(3)=ff(2026)+f(2027)+f【點(diǎn)撥】雙重對(duì)稱問題，隱含周期，注意借助對(duì)稱性與周期性的相關(guān)結(jié)論解題,輔以草圖則更為直觀.變式3．【多選題】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(?1,A.fB.f(x)C.2是f(D.f【答案】AB【解】由f(1+x)=f(1?x)，知直線x=1因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且f(x)在(?1,0]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[2,3)上單調(diào)遞減.又f由f(1+x)=f(1?x)，知f(2+x)=f(?x).又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)由B，得f(2)=0，且f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，從而f由f(x)的最小正周期為4，得f(2025)=f(1)，f(2026)=f(2)=0，f(2027考點(diǎn)四兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱問題例4已知函數(shù)y=f(x)與g(x)=ln(?x?2)?x?2的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,0)對(duì)稱，則f(x)=__【答案】?lnx【解】設(shè)(x,y)是y=f(x)的圖象上一點(diǎn)，其關(guān)于點(diǎn)(?1,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(m,故填?lnx?【點(diǎn)撥】①函數(shù)y=f(a+x)與y=c?f(b變式4．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=e2xA.y=e2x?2 B.y=【答案】B【解】設(shè)f(x)=e2x.若g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線課時(shí)作業(yè)知能提升1．若函數(shù)f(x+A.(?1,1) B.(1,【答案】B【解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)是奇函數(shù)，所以f(將函數(shù)y=f(x+1)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)y=f(x所以函數(shù)y=f(x)+1的圖象關(guān)于點(diǎn)(12．若函數(shù)f(x)=36?xA.6 B.3 C.0 D.?【答案】B【解】由題意，知6?x+x=2a.解得3．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(1?xA.1 B.0 C.2 D.?【答案】B【解】因?yàn)閒(x+4)=?f由f(1?x)=f(另解：不妨設(shè)f(x)=sinπ2x,則4．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，且f(xA.[?12，12] B.[?1,1]【答案】B【解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(又f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(而對(duì)任意的x∈[?1,0]，f(3m+1)≥又f(?2)=f解得?1≤m≤15．已知函數(shù)f(x)=x+1x?1A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解】直線y=k(x因?yàn)閒(x)+f(2?x)=又f(x)的圖象與直線y=k(x?1)+4有兩個(gè)交點(diǎn)，所以6．【多選題】已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽A.f(0)=0 B.C.f(x)=?f【答案】ACD【解】對(duì)于A，由題意，得f(0)=0，故對(duì)于B，由f(x)=f(2?x)，得f(x+1)=對(duì)于C，由f(x)=f(2?x),得f對(duì)于D，由C，得f(x+2)=?f(x+4)，即f(x)=f7．寫出一個(gè)值域?yàn)閇?1,1]，且滿足f(π2?x)=f(x)=?f(?x)的周期函數(shù)f(x)=______________【答案】sin2x【解】因?yàn)閒(x)=?f(?x又f(x)是值域?yàn)閇?1,1因?yàn)閒(π2?x)=f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對(duì)稱.所以π故填sin2x8．已知函數(shù)f(（1）若f(1)=（2）證明：函數(shù)y=f(【解】（1）由f(1)=（2）證明：因?yàn)閒(所以函數(shù)y=f(x)專題突破4抽象函數(shù)解決抽象函數(shù)問題的常用方法:一是通過賦值、代換等方法，推導(dǎo)出相關(guān)量或抽象函數(shù)的性質(zhì)；二是使抽象函數(shù)具體化.常見的抽象函數(shù)及其原型如下.抽象函數(shù)原型f(f(f(f(f(或ff(f(f(f(xf(xf(xyf(xf(xf(或f2f(f(f(f(核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一單變量例1【多選題】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x?3A.3是f(B.f(x)C.f(D.f【答案】AC【解】對(duì)于A，因?yàn)閒(x?32)=?f(x)，所以f(x?對(duì)于B，因?yàn)閒(x+34)為奇函數(shù)，所以f(?x+34)=?f(x對(duì)于C，由B，得f(?x+32)=?f(x).又f(x?32)=?f對(duì)于D，由C，知f(x)是偶函數(shù)，所以f(1)=f(?1)=?1.又3是f(x)的一個(gè)周期，所以f(2另解：函數(shù)f(x)=2cos(2π3x)滿足題意,逐項(xiàng)判斷，【點(diǎn)撥】①常見的抽象函數(shù)問題有求值、判斷函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等.通常用特殊值代入求值,如令x=0,1,2,3,?,通過f(x1)?f(x變式1．定義域均為R的函數(shù)f(x)，g(xA.f(x)是奇函數(shù) C.g(x)是奇函數(shù) 【答案】D【解】因?yàn)閒(x?1)=g(2?x)，所以f(?因?yàn)閒(x)=g(x?1)，所以g(x)的圖象關(guān)于直線x考點(diǎn)二雙變量例2【多選題】[2024年九省聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且fA.f(?12C.f(x?12【答案】ABD【解】令x=12，y=0，得f(12)+f(12)×f(0)=f(12)[1+f(0)]=0.因?yàn)閒(12)≠0令y=?12，得f(x?12)+f(x)f令x=1，得f(12)=?f(x+1?12)=?2(x+1)=?故選ABD.【點(diǎn)撥】雙變量抽象函數(shù)問題，常通過對(duì)兩個(gè)變量同時(shí)賦值，求得特殊值.再通過對(duì)一個(gè)變量賦值，推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì).使抽象函數(shù)具體化，是解決問題的重要思路.變式2．【多選題】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)A.f(0)=C.f(x+1)【答案】BCD【解】當(dāng)x=0，y=1時(shí)，f(1)=f(0)f(1)+f(1)=f(1)[f(0)+1]，所以f(0當(dāng)y=1時(shí)，f(x+1)=f(x)f(1)+f(1)+x=x.因?yàn)閒(x課時(shí)作業(yè)知能提升1．已知定義域是R的函數(shù)y=f(A.0 B.3 C.?3 【答案】C【解】因?yàn)閥=f(x+1)+1由f(1+1)+1=?[f(?1+2．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，?a，b∈R，A.0 B.?9 C.?12 【答案】D【解】令a=b=0，得f令a=1，b=?1，得f(0)=令a=b=1令a=1，b=2故選D.3．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xA.f(?1)=C.f(4)=【答案】A【解】因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以因?yàn)閒(3x+1)為奇函數(shù)，所以f(1?3x)=?f(3x+1)，即f(令F(x)=f(3x+1)，則F(x)為奇函數(shù).4．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+1)為奇函數(shù)，f(A.5 B.4 C.52 【答案】A【解】因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù)，所以因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(?x+2由f(x+1)=?f(?x+由f(x+2由f(0)+f因?yàn)楫?dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=ax2+b,所以?f(2)+f(1)=?(4a+b5．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xA.f(10)>C.f(10)<【答案】B【解】由題意，知f(1)=又f(x)>f(x?1)+f(x?2)，所以故選B.6．【多選題】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=fA.fB.fC.f(x)D.f【答案】BCD【解】因?yàn)閥=f(x?2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x?2)=f(?x?2)，即f(由C，知f(x)=?f(?x?2),所以ff(2027)=f(507f(?2)的值不確定，故A錯(cuò)誤.故選7．函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=1?f(x)1+f【答案】?1【解】因?yàn)閒(x+4)=1?f8．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，且f(x+y)+f(①f(0)=0【答案】②③【解】令x=y=0，則2f(0)=2f2(當(dāng)f(0)=0時(shí)，令y=0，則f(x)+f(x當(dāng)f(0)=1時(shí)，令x=0，則f(y)+f(?y綜上，f′(x)為奇函數(shù)，故令y=x，則f(2x令t=2x,t∈R，則f(t)+f(階段集訓(xùn)1范圍：2.1函數(shù)的概念及其表示～2.2一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．函數(shù)y=A.(1,+∞) C.[1,+∞) 【答案】A【解】由x>0,x因此，函數(shù)的定義域?yàn)?1,+∞).故選A2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y=A.y=(x?C.y=x2【答案】D【解】函數(shù)y=x?1A,C的定義域不為R，排除.對(duì)于B，函數(shù)y=x2?1=∣x∣?對(duì)于D，函數(shù)y=3x3?1=x?1故選D.3．已知f(x)=x+A.1 B.1或32 C.32 【答案】C【解】當(dāng)x0<1時(shí)，令x0+2=3當(dāng)x0≥1時(shí)，令2x0=綜上,x0的值是32.故選C4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0A.y=lnx B.y=3?|x【答案】D【解】y=|x|+1是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故D正確.5．已知函數(shù)f(A.f(x)=C.f(x)=【答案】A【解】設(shè)t=1?x(t≠1),則6．下列函數(shù)中，值域?yàn)閇1A.y=x?C.y=2xx【答案】D【解】對(duì)于A，令x?1=t≥0,則x=1+t2.所以y=2t2+t對(duì)于B，當(dāng)x=1時(shí)，y=0<1對(duì)于C，當(dāng)x=2時(shí)，y=45<對(duì)于D，y=x+1,y=?1x均在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以y=7．設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)xA.f(?7)<C.f(π)<f(?【答案】A【解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(?7)=f(7)，f(?3)=f(3).因?yàn)楫?dāng)x∈[8．已知函數(shù)f(x)=(?a?5)xA.[?4,?1] B.[?4,?【答案】A【解】由題意，知f(x)4+解得?4≤a≤?1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知定義在[?5,5]上的偶函數(shù)A.f(x)僅有一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間 C.f(x)的最大值是5 D.【答案】BC【解】因?yàn)閒(x)是定義在[?5,由圖，知f(x)在(?5,?3),(?x0,0),(x0,3)上單調(diào)遞增f(x)max=5由圖無法確定f(x)的最小值，故D故選BC.10．已知函數(shù)f(A.f(0)=C.f(f(log23))=【答案】ABD【解】對(duì)于A，f(0)=f(1對(duì)于B，f(1)=12，f(對(duì)于C，因?yàn)閘og23>1，所以f(log23對(duì)于D，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=(12)x∈(0,12];當(dāng)0≤x<1時(shí)，1≤x+1<2，f(x)=f11．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽A.f(?2?C.f(x+【答案】ACD【解】對(duì)于A，函數(shù)f(1+x)為偶函數(shù)，則有f(1+x)=f(1?x)，對(duì)于B，因?yàn)閒(1+x)與f(?x)不一定相等，所以f對(duì)于C，由f(2+x)=f(?x)=?f(x)，得f(x+對(duì)于D，由f(x)的一個(gè)周期為4，得f(2026)=f(?2+三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)f(x)=ax+bx?4，其中a,b為常數(shù)，若f(?2)=2，則f【答案】?10【解】由f(?2)=?a2?2b?4=213．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f【答案】(1【解】當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)又f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(x)由f(3+m)+f(3m?7)>0，可得14．若函數(shù)f(x)=(x+a)2?log2(2x+1【答案】14【解】f(x)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(?x)，即(x2.3冪函數(shù)與指數(shù)冪、對(duì)數(shù)的運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過具體實(shí)例，結(jié)合y=x，y=1x，y2.通過對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪amn(a>0，且a≠1；m,n為整數(shù)，且3.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.冪函數(shù)（1）定義：一般地，函數(shù)y=xα

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α（2）常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性單調(diào)性公共點(diǎn)y=RR奇在R上單調(diào)遞增(1y=R{y偶在(?∞,0]上單調(diào)遞減；在[y=RR奇在R上單調(diào)遞增y={x{y非奇非偶在[0,+∞)y={x{y奇在(?∞,0)和(2.n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根,其中n①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根用符號(hào)na②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，可以合并寫成±na③負(fù)數(shù)沒有偶次方根.④0的任何次方根都是0，記作n0（2）根式：式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nan②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan=（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是amn=②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a?mn=1am③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）aras（2）(ar)（3）(ab)r4.對(duì)數(shù)（1）對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x（2）對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系:當(dāng)a>0,a≠1時(shí)，a?x=N?x（3）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，①loga(②logaM③logaMn根據(jù)性質(zhì)③又可得對(duì)數(shù)換底公式：logab=logcblogca(a常用結(jié)論1.冪函數(shù)相關(guān)的常用結(jié)論（1）一般地，在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越低；在區(qū)間（2）冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi).（3）形如y=xmn或y=x?mn（m,n為互質(zhì)的正整數(shù)）類型函數(shù)的奇偶性判斷：當(dāng)m,n2.對(duì)數(shù)相關(guān)結(jié)論（1）對(duì)數(shù)恒等式：alog（2）換底公式的推論：loga自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).（）（2）當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)（3）na（4）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪amn可以理解為mn（5）若MN>0，則【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×（5）×2．[2022年上海卷]下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)镽的是（）A.y=x?1 B.y=x【答案】C【解】對(duì)于A，有x≠0.對(duì)于B，有x>0.對(duì)于C，定義域?yàn)镽.對(duì)于D，有x≥3．【多選題】下列運(yùn)算法則正確的是（）A.logB.(C.logab=lnD.a【答案】CD【解】對(duì)于A，若b<0，則logab無意義，故對(duì)于B，若a<0，m=12，則am=a對(duì)于C，由換底公式，得logab=lnblna(b>對(duì)于D，當(dāng)a≠0，m，n∈N?時(shí)，am+n=a4．已知4a=2，lgx=a，則x=___【答案】10【解】由4a=2，得a=12，所以lgx核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（1）若冪函數(shù)f(x)=(m2A.?3 B.?2 C.2（2）圖中C1，C2，C3為三個(gè)冪函數(shù)y=xαiA.12，3，?1 B.?1，3，12 C.12，?1，3（3）不等式(x?1)23>(3x+1)23的解集為__【點(diǎn)撥】①α的正負(fù)與冪函數(shù)圖象的關(guān)系：當(dāng)α>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和點(diǎn)(1,【答案】（1）D（2）D（3）(?【解析】（1）【解】由冪函數(shù)的定義和單調(diào)性,知m2?m?5=1,（2）【解】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知α3>1>α2>0>α（3）【解】y=x23是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故|x?1|>|3x變式1．（1）已知冪函數(shù)f(x)=x45.若A.f(x1C.f(x（2）已知冪函數(shù)f(x)=xm?3(m∈N?)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則m=____;滿足(a+1)?m3<(3?2a)（3）[2021年新課標(biāo)Ⅱ卷]寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)：___________①f(x1x2)=【答案】（1）A（2）1；(?∞,?1)∪(（3）f(x)=x4【解析】（1）【解】?jī)绾瘮?shù)f(x)=x45在(0,+∞)上單調(diào)遞增，大致圖象如圖所示.設(shè)點(diǎn)A(x1,0)，C(x2,0)，其中0<x1<x2，則AC的中點(diǎn)E（2）【解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以m?3<0.解得m<3.又m∈N?，所以m=1，2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以m?3為偶數(shù)，故m=1.因?yàn)楹瘮?shù)y=x?13在(?∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減（3）【解】取f(x)=x4，則f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，滿足①.f′(考點(diǎn)二指數(shù)冪的運(yùn)算例2（1）計(jì)算：①3②[(0.064③(（2）【多選題】已知a+A.a2+aC.a12+【答案】（1）【解】①原式=(a②原式={[(=[(4=5③原式=a=a（2）ABD【解析】【解】對(duì)于A，a2+a?2=(a+a?1)2?2=9?2=7，故A正確.對(duì)于B，a3+a?3=(a+a?1)(a2?1+a?2)=3×(7?【點(diǎn)撥】指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則如下.①首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算.②先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).③底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù).④運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).變式2．（1）(14)?12?(4ab?1)3（2）若2x=3,(12)y=32,則（3）若x12+x?12=4，則【答案】（1）8（2）6（3）52【解析】解：原式=2×432(2)【解】22x+（3）解：由題意，知(x12+x?1考點(diǎn)三對(duì)數(shù)的運(yùn)算例3（1）log535+2log122?log（2）eln4（3）設(shè)2a=5b=A.10 B.10 C.20 D.100【點(diǎn)撥】對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問題，要注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的逆向運(yùn)用，但無論是正向還是逆向運(yùn)用，都要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)須相同.【答案】（1）2（2）10（3）A【解析】（1）【解】原式=log535+log5（2）【解】原式=4+（3）【解】因?yàn)?a=5b=m，所以log2m=a，log5m=b.所以變式3．（1）【多選題】下列結(jié)論正確的是（）A.logB.lne+lgC.logD.若log2[（2）[2022年浙江卷]已知2a=5,logA.25 B.5 C.259 D.（3）[2025年八省聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1【答案】（1）AB（2）C（3）e【解析】（1）【解】log2125×log38×log1527=lg125lg2×lg8lg3×lg27lg15=2lg15lg2×3lg2lg3×（2）【解】因?yàn)?a=5，b=log83=13log（3）【解】由aln2?aln4=8,得a考點(diǎn)四實(shí)際運(yùn)用例4齊奧爾科夫斯基于1903年給出火箭在不考慮空氣動(dòng)力和地球引力的理想情況下的最大速度計(jì)算公式v=ωlnm0mk.其中，ω是燃料相對(duì)于火箭的噴射速度，m0是火箭加燃料的質(zhì)量，mkA.e5倍 B.(e5?1)倍 C.【答案】B【解】由題意,知2lnm0m設(shè)燃料質(zhì)量為m1，則m0=mk+m1.故mk+m1m【點(diǎn)撥】實(shí)際應(yīng)用問題，常利用指對(duì)互化，換底公式等求解，有時(shí)還涉及近似計(jì)算，側(cè)重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的考查.變式4．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t（單位：min）后的溫度是T，則T?Ta=(T0?Ta)?(12)t?，其中Ta【答案】10【解】由已知Ta=24，T0=88，T=此杯咖啡從40℃降到32℃，可得32?24=(考教銜接·指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪指比較大小【教材溯源】人教A版必修第一冊(cè)第141頁(yè)習(xí)題第13題.【總結(jié)延伸】比較大小常用的兩種方法：①作差或作商，結(jié)合不等式性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)性質(zhì)等求解；②利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)等工具，或者利用數(shù)形結(jié)合思想求解.例題已知4a=20,5A.a>b>c B.b>a【答案】A【解】由4a=20,5b=30,6c=因?yàn)閘og4>(lg所以log45>log56.所以a綜上，a>另解：構(gòu)造函數(shù)y=當(dāng)x>1時(shí)，隨著x的增大，y所以lg5lg4>所以a>b>c.變式．設(shè)a=log23，A.a<b<c B.b<c【答案】B【解】因?yàn)?c=log325<3，2a=b=log6(6×53)=1+log6課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．函數(shù)