PAGE128/292025年中考考前最后一卷（江西卷）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．下列各數(shù)是負(fù)數(shù)的是（

）A．0 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的定義，根據(jù)正負(fù)數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；．2是正數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；．，0.2是正數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；．是負(fù)數(shù)，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則逐一計(jì)算判斷即可．【詳解】解：∵，錯(cuò)誤，故A不合題意．∵，錯(cuò)誤，∴B不合題意．∵，錯(cuò)誤，∴C不合題意．∵，正確，∴D合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，熟練掌握公式和運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．3．下列四個(gè)城市地鐵標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．【詳解】解：A．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．4．已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A．1 B．6 C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．由，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，，然后代入求值即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故選：C．5．如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，以C為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)F，連接、、，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出和，根據(jù)勾股定理求出，，根據(jù)菱形性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖：連接，∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴為等邊三角形，∵E為的中點(diǎn)，∴，，由勾股定理得：，同理可得：，∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、扇形的面積計(jì)算，勾股定理，等知識(shí)點(diǎn)，求得和扇形的面積是解題的關(guān)鍵．6．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．對(duì)稱軸為直線 B．的最小值為C．對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 D．當(dāng)時(shí)，則【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解圖示，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸直線的計(jì)算判定A選項(xiàng)；運(yùn)用待定系數(shù)法得到解析式，將一般式化為頂點(diǎn)式可判定B選項(xiàng)；根據(jù)自變量值求函數(shù)值可判定C選項(xiàng)；根據(jù)最值的計(jì)算可判定D選項(xiàng)；由此即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，∴對(duì)稱軸直線為，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；根據(jù)題意，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)，∴，解得，，∴二次函數(shù)解析式為，∴的最小值為，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，則，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）7．若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，根據(jù)二次根式有意義的條件可得：，解不等式可得的取值范圍．【詳解】解：代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，解得：．故答案為：．8．?dāng)?shù)據(jù)顯示，自2025年1月10日正式發(fā)布至2025年1月26日，DeepSeek的全球下載量已突破1600萬(wàn)次，這無(wú)疑是AI應(yīng)用市場(chǎng)上的一次巨大成功．?dāng)?shù)據(jù)1600萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同；據(jù)此即可求解．【詳解】解：1600萬(wàn)．故答案為：．9．如圖，直線，矩形的頂點(diǎn)在直線上，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)得出，再由平行線的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，∵四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∵直線，∴，故答案為：．10．鄉(xiāng)村振興，交通先行．近年來(lái)，某縣高質(zhì)量推進(jìn)“四好”農(nóng)村公路建設(shè)，著力打通農(nóng)村交通基礎(chǔ)設(shè)施．該縣準(zhǔn)備修一條道路，在修建600米后，剩下的4800米道路采用新的修建技術(shù)，每天修建的長(zhǎng)度是原來(lái)的2倍，結(jié)果共用15天完成了全部任務(wù)．設(shè)原來(lái)每天修建道路米，則根據(jù)題意可列方程：．【答案】【分析】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)原來(lái)每天修建道路x米，則采用新的修建技術(shù)后每天修建道路2x米，根據(jù)題意列出分式方程即可．【詳解】設(shè)原來(lái)每天修建道路x米，則采用新的修建技術(shù)后每天修建道路2x米，根據(jù)題意得：，故答案為：．11．《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為18，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的半徑為．【答案】2【分析】此題考查了位似圖形的性質(zhì)、正多邊形與圓等，解直角三角形等知識(shí)，連接，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到正方形與正方形的面積比為，確定正方形的面積為8，得到正方形的邊長(zhǎng)為，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵正方形與正方形是位似圖形，，∴正方形與正方形的面積比為，∵正方形面積為18，∴正方形的面積為8，∴正方形的邊長(zhǎng)為，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴四邊形的外接圓的半徑為2，故答案為：2．12．如圖，在中，是斜邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度得到點(diǎn)，若點(diǎn)落在中位線所在直線上，則點(diǎn)到的距離為．【答案】1或或【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，連接，根據(jù)題意，分點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，三種種情況討論，畫出示意圖，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合中位線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，連接，∵點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，∴都是的中位線，∴，∵在中，是斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴；當(dāng)和點(diǎn)在直線上時(shí)，∵，，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，則（平行線間距離相等），∵，∴；綜上，點(diǎn)落在中位線所在直線上，則點(diǎn)到的距離為1或或，故答案為：1或或．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步理）13．（1）計(jì)算：．（2）如圖，在中，，D，E分別是，的中點(diǎn)，連接，求證：．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、三角形中位線定理、等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算后，再進(jìn)行加減法計(jì)算即可；（2）利用三角形中位線定理得到，由等角對(duì)等邊得到，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：；（2）證明：∵D，E分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴．14．先化簡(jiǎn)，再?gòu)模?，2中選取一個(gè)適合的數(shù)代入求值．【答案】，當(dāng)時(shí)，原式【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分化簡(jiǎn)，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)，最后根據(jù)分式有意義的條件確定a的值并代值計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，∵分式要有意義，∴，∴且，∴當(dāng)時(shí)，原式．15．年月日上午，南昌象湖半程馬拉松開(kāi)始啦！跑友齊聚“英雄城”，在復(fù)興大道中激情開(kāi)跑，除了努力奔跑的參賽選手，賽場(chǎng)外還有一群默默奉獻(xiàn)的志愿者身影．大學(xué)生小宇和小杰報(bào)名參加賽會(huì)志愿者活動(dòng)，兩人分別從以下四項(xiàng)志愿者活動(dòng)中隨機(jī)選擇一項(xiàng)（假設(shè)選擇每一項(xiàng)的可能性相同）：．賽道指引；．集結(jié)檢錄；．物資發(fā)放；．人群疏散．(1)“小杰選擇．號(hào)碼布發(fā)放”是_____事件．（填“必然”“不可能”或“隨機(jī)”）(2)請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩人恰好選擇同一項(xiàng)志愿者活動(dòng)的概率．【答案】(1)不可能(2)【分析】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，事件的分類，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)不可能事件的定義可得答案．（2）畫樹(shù)狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小宇和小杰恰好選擇同一項(xiàng)志愿者活動(dòng)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意知，“小杰選擇．號(hào)碼布發(fā)放”是不可能事件．故答案為：不可能；（2）解：根據(jù)題意，畫樹(shù)狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果，其中小宇和小杰恰好選擇同一項(xiàng)志愿者活動(dòng)的結(jié)果有種，∴小宇和小杰恰好選擇同一項(xiàng)志愿者活動(dòng)的概率為．16．圖①，圖②均是的正方形網(wǎng)格，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①，圖②中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．

(1)在圖①中畫出線段，使垂直平分，且點(diǎn)E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上．(2)在圖②中的邊上找到一點(diǎn)P，連結(jié)，使．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】本題考查利用網(wǎng)格作圖，作垂直平分線以及根據(jù)三角形的面積作圖．（1）根據(jù)菱形得性質(zhì)，利用網(wǎng)格尋找使的格點(diǎn)，連接，即可滿足垂直平分．（2）由題意可知，當(dāng)時(shí)即可滿足條件，P需要是的三等分點(diǎn)，利用網(wǎng)格繪制三條相等的平行線，最下面的平行線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．【詳解】（1）解：如下圖即為所求：

（2）由題意可知，，當(dāng)時(shí)即可滿足條件．∴P需要是的三等分點(diǎn)，如下圖，繪制三條相等的平行線，最下面的平行線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

17．2025年是全面落實(shí)全國(guó)科技大會(huì)精神、加快建設(shè)科技強(qiáng)國(guó)的關(guān)鍵之年，人工智能的崛起無(wú)疑成為了全球科技界的焦點(diǎn)．某公司嘗試?yán)弥悄芗夹g(shù)優(yōu)化生產(chǎn)流程，提高生產(chǎn)效率．在生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)成本y（單位：元）與產(chǎn)品數(shù)量x（單位：件）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，其幾組對(duì)應(yīng)值如下表所示．產(chǎn)品數(shù)量x/件…10121620…生產(chǎn)成本y/元…400420460500…請(qǐng)你根據(jù)表中信息，解答下列問(wèn)題．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)若這種產(chǎn)品每件的售價(jià)為20元，則當(dāng)生產(chǎn)成本為1000元時(shí)，所生產(chǎn)產(chǎn)品的總售價(jià)為多少元？【答案】(1)(2)當(dāng)生產(chǎn)成本為1000元時(shí)，所生產(chǎn)的產(chǎn)品總售價(jià)為1400元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）把代入（1）所求函數(shù)關(guān)系式中求出x的值即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，把，代入中得，解得，與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．（2）解：在中，令，得，解得．（元），當(dāng)生產(chǎn)成本為1000元時(shí)，所生產(chǎn)的產(chǎn)品總售價(jià)為1400元．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步理）18．綜合與實(shí)踐：為了提高學(xué)生的防溺水意識(shí)，某校舉行了“珍愛(ài)生命，遠(yuǎn)離溺水”安全知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析．【收集數(shù)據(jù)】隨機(jī)抽取部分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分分，所有競(jìng)賽成績(jī)均不低于分）組成一個(gè)樣本．【整理數(shù)據(jù)】將學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)分成，，，四組進(jìn)行整理，如下表．組別成績(jī)/分人數(shù)【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)競(jìng)賽成績(jī)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．其中組具體成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)分別為，，，，，，，，，，，．【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題．(1)填空：______，______．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．(2)組成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______，樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______．(3)若競(jìng)賽成績(jī)分以上（含分）為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)該校參加競(jìng)賽的名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．【答案】(1)；，圖見(jiàn)解析．(2)；．(3)估計(jì)該校參加競(jìng)賽的名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為．【分析】（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，計(jì)算出抽取的學(xué)生人數(shù)以及、的值；（2）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)定義求解即可；（3）根據(jù)題意，用樣本估計(jì)整體進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意得，共抽取學(xué)生人，組人數(shù)為人，組人數(shù)為人，即，，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：故答案為：；．（2）解：組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多，組成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，共抽取學(xué)生人，即樣本數(shù)據(jù)共個(gè)，取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，應(yīng)取樣本數(shù)據(jù)從小到大排列后的第、個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)，又組人，組人，組人，第、個(gè)數(shù)據(jù)分別是，，中位數(shù)是，故答案為：；．（3）解：所抽取學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率是，該校參加競(jìng)賽的名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為人．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)、求眾數(shù)、求中位數(shù)、由樣本所占百分比估計(jì)總體的數(shù)量，解題關(guān)鍵是熟練掌握由樣本所占百分比估計(jì)總體的數(shù)量．19．臂架泵車（如圖）是一種用于建筑工程中混凝土輸送和澆筑的特種工程車輛，集混凝土泵送、臂架伸展和移動(dòng)功能于一體，廣泛應(yīng)用于高層建筑、橋梁、隧道等施工場(chǎng)景．圖2是其輸送原理平面圖，進(jìn)料口到建筑樓的水平距離為米，到地面的垂直距離為米，，，，為輸送臂，可繞，，，旋轉(zhuǎn)，已知輸送臂垂直地面且米，米，米，，．(1)的長(zhǎng)約為_(kāi)_______；（直接寫出答案）(2)求出料口到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)；(2)米【分析】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．過(guò)點(diǎn)作，利用銳角三角函數(shù)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得米；過(guò)點(diǎn)作，垂足為，利用勾股定理可以求出米，根據(jù)進(jìn)料口到建筑樓的水平距離為米，可得米，根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得進(jìn)料口到地面的距離為（米）．【詳解】（1）解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，(米)，故答案為：米；（2）解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，米，米，米，，在和中，，，到地面的距離為（米），到地面的距離為米．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．(1)若的面積為6．①求反比例函數(shù)的表達(dá)式．②當(dāng)時(shí)，求自變量的取值范圍．(2)已知，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②(2)12【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角形的面積公式可得，再將點(diǎn)代入反比例函數(shù)的解析式即可得；②先求出當(dāng)時(shí)，的值，再根據(jù)結(jié)合函數(shù)圖象即可得；（2）先得出，再求出，，則，，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：①由題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵軸于點(diǎn)，∴，∵的面積為6，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．②當(dāng)時(shí)，，∵反比例函數(shù)中的，，∴函數(shù)的圖象位于第一象限，且在第一象限內(nèi)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，．（2）解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，∴，∵點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，∴，，∴，，又∵軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，∴，∴，∴，即，∴．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步理）21．如圖1，在中，，以為直徑作交于點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)如圖2，在上取一點(diǎn)，連接，，．若，．①求的長(zhǎng)；②求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②【分析】本題考查了圓的幾何性質(zhì)、切線的判定定理、勾股定理和三角形面積計(jì)算公式，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．（1）即證明，方法一：連接，則，得為的垂直平分線，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，，即．方法二：連接，則，，再證明為的中位線，得，即可得證．（2）①先求出的長(zhǎng)，因?yàn)闉橹睆?，所以是直角三角形，根?jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；②過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，根據(jù)圓周角性質(zhì)得，易得，再根據(jù)勾股定理求出，得、的長(zhǎng)，即可求出的面積．【詳解】（1）解：方法一：連接，是的直徑，．，為的垂直平分線．，，，即．又為的半徑，是的切線．方法二：連接．，．．又，，為的中位線．，，即．又為的半徑，是的切線．（2）解：①方法一：在中，，，則，是的直徑，．在中，，，．方法二：在中，，，，，是的直徑，．在中，，，．②過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)．，又，，，在和中，，．．的面積為：．的面積為3．22．小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問(wèn)題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展．(1)溫故：如圖，在中，于點(diǎn)，正方形的邊在上，頂點(diǎn)，分別在，上，若，，求正方形的邊長(zhǎng)．操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題中的方法進(jìn)行操作：如圖，任意畫，在上任取一點(diǎn)，畫正方形，使，在邊上，在內(nèi)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，畫于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，得到四邊形小波把線段稱為“波利亞線”．(2)推理：證明圖中的四邊形是正方形．拓展：在（2）的條件下，在射線上截取，連結(jié)，如圖當(dāng)時(shí)，猜想的度數(shù)，并嘗試證明．請(qǐng)幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問(wèn)題．【答案】(1)溫故：(2)推理：詳見(jiàn)解析；拓展：，詳見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正切的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)幾何結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）證即可求解；（2）推理：由題意得四邊形是矩形，，可證，即可求解；拓展：設(shè)，，則，，，可得，進(jìn)一步證即可；【詳解】（1）解：如圖中，，，，即，解得．（2）解：能畫出這樣的正方形，如圖中，正方形即為所求．推理：證明：如圖中，由畫圖可知：，四邊形是矩形，，，，同理可得：，，，，四邊形是正方形．拓展：如圖中，結(jié)論：．理由：由，可以假設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，，．六、（本大題共12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步理）23．如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為第一象限拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)