對數(shù)函數(shù)趣味試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,+\infty)\)C.\((0,1)\)D.\([0,+\infty)\)2.\(\log_{2}8\)的值為（）A.2B.3C.4D.83.若\(\log_{a}2=\frac{1}{2}\)，則\(a=（）\)A.4B.2C.16D.\(\sqrt{2}\)4.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{3}x\)與\(y=\log_{\frac{1}{3}}x\)的圖象（）A.關于\(x\)軸對稱B.關于\(y\)軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線\(y=x\)對稱5.函數(shù)\(y=\log_{a}(x-1)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖象過定點（）A.\((0,0)\)B.\((1,0)\)C.\((2,0)\)D.\((0,1)\)6.若\(\log_{5}m<\log_{5}n\)，則（）A.\(m>n\)B.\(m<n\)C.\(m=n\)D.無法確定7.函數(shù)\(y=\log_{2}(x^{2}-4)\)的定義域為（）A.\((-2,2)\)B.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)C.\([-2,2]\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)8.已知\(\log_{a}3>\log_{a}2\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((0,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,1)\)9.函數(shù)\(y=\log_{0.5}x\)在\((0,+\infty)\)上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增10.若\(\log_{3}x=1\)，則\(x=（）\)A.1B.3C.9D.\(\frac{1}{3}\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）A.\(y=\log_{2}x\)B.\(y=\log_{x}2\)C.\(y=\lgx\)D.\(y=\lnx\)2.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的性質(zhì)有（）A.當\(a>1\)時，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增B.當\(0<a<1\)時，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖象恒過點\((1,0)\)D.函數(shù)的值域是\((-\infty,+\infty)\)3.若\(\log_{a}M=\log_{a}N\)，則（）A.\(M=N\)B.\(M>0\)，\(N>0\)C.\(a>0\)且\(a\neq1\)D.無法確定\(M\)與\(N\)的關系4.下列等式成立的是（）A.\(\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)（\(M>0\)，\(N>0\)，\(a>0\)且\(a\neq1\)）B.\(\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\)（\(M>0\)，\(N>0\)，\(a>0\)且\(a\neq1\)）C.\(\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M\)（\(M>0\)，\(a>0\)且\(a\neq1\)）D.\(\log_{a}\sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}\log_{a}M\)（\(M>0\)，\(a>0\)且\(a\neq1\)）5.函數(shù)\(y=\log_{2}(x+1)\)的性質(zhì)有（）A.定義域為\((-1,+\infty)\)B.圖象過點\((0,0)\)C.在\((-1,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.值域是\((-\infty,+\infty)\)6.與\(y=\log_{2}x\)圖象關于\(x\)軸對稱的函數(shù)是（）A.\(y=-\log_{2}x\)B.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)C.\(y=\log_{2}\frac{1}{x}\)D.\(y=\log_{2}(-x)\)7.若\(a>1\)，則（）A.\(\log_{a}2>\log_{a}1\)B.\(\log_{a}0.5<\log_{a}1\)C.\(\log_{a}3>\log_{a}2\)D.\(\log_{a}(-1)\)無意義8.函數(shù)\(y=\log_{a}(x^{2}+1)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的值域是（）A.當\(a>1\)時，值域為\([0,+\infty)\)B.當\(0<a<1\)時，值域為\((-\infty,0]\)C.值域為\((-\infty,+\infty)\)D.值域與\(a\)的取值有關9.下列說法正確的是（）A.\(\log_{10}10=1\)B.\(\log_{e}e=1\)C.\(\log_{a}a=1\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）D.\(\log_{a}1=0\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）10.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），當\(x\in(0,1)\)時，\(y>0\)，則（）A.\(0<a<1\)B.\(a>1\)C.函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減D.函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增三、判斷題（每題2分，共20分）1.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖象一定在\(y\)軸右側。（）2.\(\log_{a}a^{2}=2\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）。（）3.函數(shù)\(y=\log_{3}(-x)\)是對數(shù)函數(shù)。（）4.若\(\log_{a}x_{1}=\log_{a}x_{2}\)，則\(x_{1}=x_{2}\)。（）5.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{0.5}x\)在\((0,+\infty)\)上的函數(shù)值都小于\(0\)。（）6.\(\log_{2}3>\log_{3}2\)。（）7.函數(shù)\(y=\log_{a}(x+2)\)的圖象是由\(y=\log_{a}x\)的圖象向左平移\(2\)個單位得到的。（）8.\(\log_{a}x^{2}=2\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）。（）9.當\(a>1\)時，對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上的增長速度越來越快。（）10.若\(\log_{a}b=\log_a\)，則\(a=b\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\log_{3}(x-2)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x-2>0\)，解得\(x>2\)，所以定義域為\((2,+\infty)\)。2.計算\(\log_{2}6-\log_{2}3\)的值。答案：根據(jù)對數(shù)運算法則\(\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\)，\(\log_{2}6-\log_{2}3=\log_{2}\frac{6}{3}=\log_{2}2=1\)。3.簡述對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>1\)）與\(y=\log_{a}x\)（\(0<a<1\)）單調(diào)性的區(qū)別。答案：當\(a>1\)時，\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；當\(0<a<1\)時，\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。4.若\(\log_{a}4=2\)，求\(a\)的值。答案：由\(\log_{a}4=2\)可得\(a^{2}=4\)，又\(a>0\)且\(a\neq1\)，所以\(a=2\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.在實際生活中，對數(shù)函數(shù)有哪些應用？舉例說明。答案：在地震強度衡量（里氏震級公式）、聲音強度（分貝公式）等方面有應用。如里氏震級\(M=\log_{10}\frac{A}{A_{0}}\)，\(A\)是地震波振幅，\(A_{0}\)是標準振幅，通過對數(shù)函數(shù)可量化地震強度。2.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖象與直線\(y=k\)（\(k\)為常數(shù)）的交點個數(shù)情況是怎樣的？答案：當\(k\inR\)時，若\(a>0\)且\(a\neq1\)，對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)值域為\((-\infty,+\infty)\)，所以\(y=\log_{a}x\)與\(y=k\)有且僅有一個交點。3.如何利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較\(\log_{3}5\)與\(\log_{5}3\)的大小？答案：因為\(\log_{3}5>\log_{3}3=1\)，而\(\log_{5}3<\log_{5}5=1\)，所以\(\log_{3}5>\log_{5}3\)。4.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）與指數(shù)函數(shù)\(y=a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）有什么關系？答案：它們互為反函數(shù)，圖象關于直線\(y=x\)對稱。對數(shù)函數(shù)的定義域是指數(shù)函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的值域是指數(shù)函數(shù)的