2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編

幾何綜合（第27題）

一、解答題

1.（2023?北京東城?統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCD中，ABAD=60°,E是A3邊上一點(diǎn)（不與4B

重合），點(diǎn)廠與點(diǎn)/關(guān)于直線OE對(duì)稱(chēng)，連接OR.作射線CE,交直線OE于點(diǎn)P,設(shè)NADP=tz.

（1）用含1的代數(shù)式表示NDCP；

（2）連接AP,AF.求證：AAPF是等邊三角形；

（3）過(guò)點(diǎn)3作5GLDP于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作CD的平行線，交CP于點(diǎn)，.補(bǔ)全圖形，猜想線段與

之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

2.（2023?北京西城?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，邊鉆繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<180°）得到線

段應(yīng)），邊AC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°—。得到線段C￡,連接。E,點(diǎn)尸是的中點(diǎn).

（1）以點(diǎn)尸為對(duì)稱(chēng)中心，作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)尸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接3G,DG.

①依題意補(bǔ)全圖形，并證明AC=OG；

②求證：/DGB=ZACB；

（2）若a=60。，且FH工BC于H,直接寫(xiě)出用等式表示的FH與的數(shù)量關(guān)系.

3.（2023?北京海淀?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，邊A3繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<180°）得到線

段BD,邊AC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。一a得到線段連接。E,點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn).

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B

B

（1）以點(diǎn)尸為對(duì)稱(chēng)中心，作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)尸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接3G,DG.

①依題意補(bǔ)全圖形，并證明AC=DG；

②求證：/DGB=ZACB；

（2）若a=60。，且FH_LBC于H,直接寫(xiě)出用等式表示的FH與的數(shù)量關(guān)系.

4.（2023?北京朝陽(yáng)?統(tǒng)考二模）在AABC中，AC=BC,/ACB=90。，點(diǎn)。在邊上（不與點(diǎn)8,C

重合），將線段AD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段AE,連接DE.

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明：ZEAC=ZADC；

（2）過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交DE于點(diǎn)、F,用等式表示線段所與。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.（2023?北京房山?統(tǒng)考二模）如圖，NBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DC,點(diǎn)E

和點(diǎn)B關(guān)于直線DC對(duì)稱(chēng)，連接BE交AC于點(diǎn)R連接EC,ED,DP。

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（1）依題意補(bǔ)全圖形，并求/DEC的度數(shù)；

（2）用等式表示線段EC,ED和C尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

6.（2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考二模）如圖，在等邊△48C中，點(diǎn)D,E分別在CB,AC的延長(zhǎng)線上，且3O=CE,

EB的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F.

（1）求N/EE的度數(shù)；

（2）延長(zhǎng)EV至點(diǎn)G,使EG=4F,連接CG交4D于點(diǎn)〃.依題意補(bǔ)全圖形，猜想線段C"

與G”的數(shù)量關(guān)系，并證明.

7.（2023?北京門(mén)頭溝?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，/AC3=90。，點(diǎn)。在延長(zhǎng)線上，且DC=AC,

將AABC延方向平移，使點(diǎn)。移動(dòng)到點(diǎn)O,點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)E,點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)得到△￡口）,連接

CE,過(guò)點(diǎn)E作EGLCE于G.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：CG=FG；

（3）連接BG,用等式表示線段BG,EF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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8.(2023?北京順義?統(tǒng)考二模)已知：ZABC=i2Q°,D,￡分別是射線848c上的點(diǎn)，連接。E,以點(diǎn)

。為旋轉(zhuǎn)中心，將線段DE繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段。尸，連接ERBF.

(1)如圖1,當(dāng)■時(shí)，求證：BF=2BD；

(2)當(dāng)2ON8E時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段8DBF,5E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

9.(2023?北京燕山?統(tǒng)考二模)△48C中，ZACB=90°,NC=8C,點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在線段CD

上，連接/E,將線段繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段/尸，連接CH

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求證：CF=AE；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段C￡＞上(與點(diǎn)C,。不重合)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2；用等式表示線段CF,ED,之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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參考答案

1.(1)

解：：點(diǎn)廠與點(diǎn)/關(guān)于直線OE對(duì)稱(chēng)，

/.DA=DF,PA=PFZFDP=ZADP=a,

ZAPD=NFPD

:菱形ABC。中，ZBAD=6Q°,

：.AD=AB=CD,ZADC=120°,

.-.ZCDF=120°-2?

DF=AD=CD,

：.ZDCP=1(1800-ZCDF)=30°+a,

(2)證明：ZDFC=ZDPF+NFDP

：.ZDPF=ZDFC-ZFDP

,/DF=DC

：.ZDFC=/DCF=30°+a

ZDPF=30°+a—a=30。

ZAPF=2ZDPA=60°

?/PA=PF,ZAPF=6Q°

△APR是等邊三角形；

(3)解：CH=PH,證明如下：

連接PB,BD,

,/△APR是等邊三角形，

AD=AB,ZDAB=6Q°,

：.△ABD是等邊三角形，

/.ZPAF+ZFAB=ZDAB+ZFAB

：.ZPAB=ZFAD,

在△APB和△AED中，

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AP=AF,

<ZPAB=ZFAD,

AB^AD,

：.AAPB^AAFD.,

PB=FD—BD>

BG±DP

.?.點(diǎn)G為PD中點(diǎn)

?；CD//GH,

：.CH=PH

2.(1)

①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示：

證明：：AC繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-a得到線段CE

/.AC=CE,

;點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn)，

/.DF=EF,

???點(diǎn)C與點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)，

二CF=GF,

又,：NDFG=NEFC,

：?QFG=^EFC,

：.DG=CE,

AC=DG；

②證明：：邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(<0°a<180°)得到線段BD,

BD=BA，

設(shè)ZACB=x,ZABC=y,則ABAC=180°-(x+y).

...在四邊形BDEC中，

ZBDE+ZCED=360°-ZBDC-NBCE=180°—(x+y)

VADFG—EFC,

：.ZGDF=NCEF；

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ZBDG=ZBDE+ZGDF=180°—(x+y)

ZBDG=ABAC.

：.ABDG=^.BAC,

ZDGB=ZACB；

J3

(2)FH=—BC

4

3.(1)①依題意補(bǔ)全圖形.

1分

?VAB=AC,ZBAC=2a,

180°—2a

/B=NC=

2

EF±AE,

：.ZAEF^90°.

*.*/EAF=CL,

ZAFE=9Q°-a.

：.ZB=ZAFE..................................................3分

(2)線段C/與。方的數(shù)量關(guān)系為。尸=OE................................................4分

證明：延長(zhǎng)所至點(diǎn)G,使EG=EF,連接/G,BG.

9：AEA_EF,

???/￡垂直平分GF.

：.AG=AF,

；?NGAE=NEAF=a.

：.ZGAF=ZGAE+ZEAF=2a.

???/BAC=2a,

：./GAF=ABAC.

:./GAB=/FAC.

9：AB=AC,AG=AF,

???△AGB名AAFC(SAS).

：.GB=FC,

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???￡為中點(diǎn)，

：.BE=DE.

,：ZGEB=ZDEF,

:.叢GBE94FDE(SAS).

：.GB=DF.

：.DF=CF...............................................................................................7分

4.(1)

補(bǔ)全的圖形如圖所示：

證明：?：ZACB=90°,

：.ZCAD+ZADC=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知ZEAD=90°,即ZCAD+ZEAC=90°,

ZEAC=ZADC；

(2)EF=DF；

證明：如圖，作于點(diǎn)"，與直線b交于點(diǎn)N,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AE=AD,

由(1)可知ZEAM=ZADC,

AEAM=AADC(AAS),

AM=CD,EM=AC,

'：AC=BC,

ZC4B=45°,

???CN//AB,

：.NNCM=NCAB=45°,

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MN=MC,

：.EN=AM,

：.EN=CD,

?/NEMC=ZACB

：.EN//CD,

：.NENF=NDCF,NNEF=NCDF,

.".△EWF=ADCF(ASA),

...EF=DF.

5.(1)補(bǔ)全圖形分

連接CB,

???ZBAC=90°，AB=AC

?-?ZABC=450000000000000000000000000Z，27J分

???點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線DC對(duì)稱(chēng)

.'.EC=BC,ED=BD

VDC=DC

AAEDC=ABDC(SSS)

??NDEC—NDBC—45。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3

(2)ED+CF—72EC。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4

?.?點(diǎn)E、B關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng)

；.EB1CD,設(shè)垂足為H

則NCHF=90°=ZBAC

VzHFC=ZAFB

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E

??.N1=N2

VAC=AB,ZDAC=zFAB=90°

AADAC=AFAB(ASA)

??Oooooooooooooooooooooooo5

：.ED=BD=AD+AB=AF+AC=AC-CF+AC=2AC-CFo………6分

VAC=—BC=—EC

22

Z.ED=2x—EC-CF=V2EC-CF

2

即ED+CF=&EC。?！?。。?！??！?。?！??！?。o7分

(其他證法酌情給分)

27.6.(1)解：:等邊/\ABC,

：.AB=BC,ZACB=ZABC=60°.

：.ZABD=ZBCE=nO°.

,:CE=BD,

.'.△ABD%4BCE........1分

ZD=ZE.

ZDBF=ZCBE,

：.ZD+ZDBF=ZE+ZCBE.

^ZAFE=ZACB=60°..............2分

(2)正確補(bǔ)全圖形；

3分

CH=GH；4分

證明：在E尸上截取%連接/M,CM.

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VZAFE=60°,

△4FM是等邊三角形.

AZE4M=ZAFM=6Q°,AM=AF=MF.

'：^ABC是等邊三角形，

：./BAC=60；AB=AC.

：.ZBAC-ZMAB=ZE4M-ZMAB.

即ZCAM=ZBAF.

:.△ACMQ△ABF....5分

AZAMC=ZAFE=60°.

：.ZCMF=ZAMC+ZAMB=120°.

：.ZCMF+ZAFE=180°.

：.CM//HF....6分

.GHGF

,?CH-MF?

'：FM=AF,AF=GF,：.FM=GF.

：.CH=GH....7分

7.(1)

解：如圖1

AE

(2)證明：

?.?將AABC延AC方向平移，使點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D,點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)E,點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)F,得到AEFD

AABC=AEED

AC=ED,ZACB=ZEDF.

1?,DC=AC,ZACB=9Qa

：.DC=ED,ZEDF=90°

：.ZDCE=/DEC,ZDCE+/DEC=90°

???ZDCE=ZDEC=45。

???EGLCEG

/.ZDCE=NGFC=45°

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CG=FG.

（3）猜想￡F=a8G-

理由：如圖，連接AG

?；AABC'EFD

：.BC=FD,AB=EF

：.BC+CF=FD+CF

：.BF=DC

又：DC=AC

：.BF=AC

ZDCE=ZGFC=45°,ZDCE+ZGCA=90°

ZGFC=ZGG4=45°

又?.?由(1)得：CG=FG

:AACGJBFG

AG^BG,ZAGC=NBGF；

：.ZAGC-ZBGC=ZBGF-ZBGC,

即ZAGB=ZCGF

?：EG，CE于G

ZAGB=ZCGF=90°

:.AB=sj2BG>

：.EF=4IBG-

8.(1)證明：繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到。巴

：.DE=DF,ZEDF=60°.

尸是等邊三角形..................................1分

：.FE=FD,ZDFE=60°.

,:BD=BE,ZABC=12O°,BF=BF,

:.NBDE=30°,ABDF"ABEF.

：.NBDF=9Q°,ZBFD=ZBFE=30°.

：.BF=2BD....................................................................................3分

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(2)依題意補(bǔ)全圖2,如圖.

數(shù)量關(guān)系為：BF=BD+BE................................................................................4分

證明：在。/上截取DG,使DG=BE,連接尸G.

,:DE繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到DF,

：.DE=DF,/EDF=60。.

尸是等邊三角形.

：.FE=FD,/DFE=60。.

'：ZABC=nO°,

：.ZBDF+ZBEF=180°.

'：/BDF+/GDF=180。,

：.ZGDF=ZBEF.

在AGDF和△BE斤中

DG=BE

<NGDF=/BEF

DF=EF

△GDF"ABEF(SAS)...................................................................5分

：.GF=BF,ZGFD=ZBFE.

：.ZGFB=ZDFE=60°.

...△GF8是等邊三角形.

：.BG=BF................................................................................6分

,:BG=BD+DG,

：.BF=BD+BE.7分

9.(1)證明：VZACB=90°,NC=3C,點(diǎn)。為中點(diǎn)，

AD=CD,

???將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF,

：.AF=AE,ZE4E=90°.

;點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合，----------不、

：.AF±AD,AF=AD,/\

J.AF//CD,且4F=CD,/\

四邊形ADCF為平行四邊形，/____________\

：.CF=AD,AD(E)B

即CF=AE.......................................................................3分

(2)依題意補(bǔ)全圖形，如圖.......................................................................4分

線段CF,ED,4D之間的數(shù)量關(guān)系：CF=ED+AD.................