考研數(shù)學(xué)三試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無窮小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^{x^2}-1\)2.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.43.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(\lnx\)，則\(f^\prime(x)\)為（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(-\frac{1}{x^2}\)C.\(\lnx\)D.\(x\)4.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)5.已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(P(X\leq1)\)的值為（）A.0.25B.0.5C.0.75D.16.設(shè)函數(shù)\(z=xy\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的值為（）A.1B.2C.3D.47.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和為（）A.0B.1C.2D.不存在8.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)9.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，則在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點(diǎn)\(\xi\)，使得（）A.\(f^\prime(\xi)=0\)B.\(f^\prime(\xi)=1\)C.\(f(\xi)=0\)D.\(f(\xi)=1\)10.已知\(X\)，\(Y\)為隨機(jī)變量，\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，則\(E(X+Y)\)為（）A.5B.6C.1D.無法確定多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)2.下列矩陣中，是可逆矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\)3.關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性，下列說法正確的有（）A.正項(xiàng)級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)，若\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\lt1\)，則級(jí)數(shù)收斂B.交錯(cuò)級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n\)，若\(a_{n+1}\leqa_n\)且\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，則級(jí)數(shù)收斂C.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)，當(dāng)\(p\gt1\)時(shí)收斂D.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)收斂4.設(shè)\(A\)，\(B\)為隨機(jī)事件，則（）A.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)B.若\(A\)，\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)C.若\(A\)，\(B\)相互獨(dú)立，則\(P(A\capB)=P(A)P(B)\)D.\(P(\overline{A})=1-P(A)\)5.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)6.關(guān)于函數(shù)極限，下列正確的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的有（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的秩\(r(A)=n\)B.若\(r(A)\ltn\)，則\(A\)不可逆C.若\(A\)的行列式\(|A|\neq0\)，則\(A\)可逆D.若\(A\)的列向量組線性無關(guān)，則\(A\)可逆8.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x)\)，則（）A.\(f(x)\geq0\)B.\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)C.\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)D.\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)9.設(shè)\(z=f(x,y)\)可微，則（）A.\(\Deltaz=\frac{\partialz}{\partialx}\Deltax+\frac{\partialz}{\partialy}\Deltay+o(\rho)\)，其中\(zhòng)(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)B.\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)C.\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)存在D.\(z\)在該點(diǎn)連續(xù)10.關(guān)于二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對稱矩陣），下列說法正確的有（）A.可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形B.其秩等于矩陣\(A\)的秩C.正定的充要條件是\(A\)的各階順序主子式都大于0D.負(fù)定的充要條件是\(A\)的奇數(shù)階順序主子式小于0，偶數(shù)階順序主子式大于0判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）2.矩陣\(A\)與\(B\)相乘，\(AB\)有意義，則\(BA\)也一定有意義。（）3.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）4.若隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）5.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）6.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是0或1。（）7.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）8.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣），當(dāng)\(m\ltn\)時(shí)，必有非零解。（）9.二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布函數(shù)\(F(x,y)\)，滿足\(F(-\infty,y)=0\)，\(F(x,-\infty)=0\)，\(F(-\infty,-\infty)=0\)，\(F(+\infty,+\infty)=1\)。（）10.若\(f(x)\)是周期為\(T\)的函數(shù)，則\(\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt2\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計(jì)算矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答案：\(|A|=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=-\frac{1}{2}A^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.已知隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。答案：泊松分布\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。\(E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\lambda\)，\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，經(jīng)計(jì)算\(D(X)=\lambda\)。4.求冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂半徑和收斂區(qū)間。答案：由\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=1\)，得收斂半徑\(R=1\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，級(jí)數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，級(jí)數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)收斂。收斂區(qū)間為\([-1,1)\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1(x\neq1)\)，\(\lim_{x\to1}f(x)=2\)，但\(f(1)\)無定義，所以\(f(x)\)在\(x=1\)處不連續(xù)。不連續(xù)則不可導(dǎo)，因?yàn)榭蓪?dǎo)必連續(xù)。2.討論矩陣\(A\)的秩與線性方程組\(Ax=b\)解的關(guān)系。答案：設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣。若\(r(A)=r(A|b)=n\)，方程組有唯一解；若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，有無窮多解；若\(r(A)\neqr(A|b)\)，方程組無解。3.討論如何判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。答案：可利用比較判別法，與已知斂散性的級(jí)數(shù)比較；比值判別法，計(jì)算\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)；根值判別法，計(jì)算\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\)。還可根據(jù)部分和數(shù)列是否有極限來判斷。4.討論隨機(jī)變量的獨(dú)立性在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答案：在實(shí)際中，若能判斷隨機(jī)變量相互獨(dú)立，可簡化概率計(jì)算。如