重難點06菱形的性質(zhì)與判定的綜合運用

EQ知識梳理

▲知識點一：菱形的定義

?定義：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.

菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等，二者必須同時具備,

缺一不可.

★2、菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的基本判定方法.

▲知識點二：菱形的性質(zhì)

★1、菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).

②菱形的四條邊都相等.

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

⑤利用菱形的性質(zhì)可證線段線段，角相等.

性質(zhì)定理應用格式：

?/四邊形/BCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,ACY,BD-,

4c平分乙BAD,/C平分ABCD；

BD平分乙4BC,BD平分乙4DC；

★2、菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式=底義高.②菱形面積=品4（。、6是兩條對角線的

長度）

（3）四個小直角三角形的面積之和（或一個小直角三角形面積的4倍）;

▲知識點三：菱形的判定

?菱形的判定方法：

★1、定義法：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.

★2、判定定理1(從對角線)：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

定理1應用格式：

,/四邊形/BCD是平行四邊形，且

，四邊形/8CD是菱形.

★3、判定定理2(從邊)：四條邊相等四邊形是菱形.

定理2應用格式：

??AB=BC=CD=AD,

四邊形ABCD是菱形.

【要點解析】

(1)判斷菱形時，一定要明確前提條件是從“四邊形”出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出

發(fā)的；

(2)①若從“四邊形”出發(fā)的，則還需四條邊相等.

②若從“平行四邊形”出發(fā)的，則還需一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.

(3)①若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或

直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；

②若用邊進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊

形的四條邊都相等.

m題型解讀

國典題精練

【題型一利用菱形的性質(zhì)求角度】

【例題1】（2024?自貢一模）若菱形的周長為8,高為1,則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（）

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出邊長/8=2,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出N8=30°,

得出/D48=150°,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示：：四邊形/BCD是菱形，菱形的周長為8,

:?AB=BC=CD=DA=2,ZDAB+ZB=1SO°,

U：AE=\,AELBC,

1

:.AE=-AB9

：.ZB=30°,

ZDAB=150°，

：.ZDAB：/B=5：1；

故選：C.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的判定；熟練掌握菱形的性質(zhì)和

含30°角的直角三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1-1】（2024秋?豐城市校級期末）如圖，菱形/5CZ）中對角線相交于點。，AB=

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得△ZBC是等邊三角形，進一步可得N/QC=60°,根據(jù)菱

形的性質(zhì)可得的度數(shù).

【解答】解：在菱形中，AB=BC,/ADC=/ABC,

'：AB=ACf

：.AB=BC=AC,

???△/BC是等邊三角形，

AZABC=ZADC=60°,

在菱形ABCD中，NADB=ZCDB,

ZADB=30°,

故選：A.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，涉及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【變式1-2】（2024秋?電白區(qū)期末）已知如圖，菱形4BCD中，對角線NC與AD相交于

點、O,DELAB于E,交/C于點尸，若NBAD=a,則NDFO一定等于（）

11

A.2aB.45°+aC.90°--aD.45°+5a

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出/CUBA,進而利用互余解答即可.

【解答】解：：四邊形/BCD是菱形,

11

：.AC±BD,ZBAO=-ZBAD^~a,

：.ZDFO+ZFDO=90°,

'：DELAB,

：.ZFDO+ZABO=90°,

ZDFO^ZABO,

VZBAO+ZABO=90°,

1

：.ZDFO=900-ZBAO=90°--a,

故選：C.

【點評】此題考查菱形的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)菱形的對角線互相垂直解答.

【變式1-3】（2024秋?三明期末）如圖，AC,AD是菱形/BCD的對角線，若Nl=20°,

則/2的度數(shù)為.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：'：AC,2D是菱形48co的對角線,

AZDAC=Zl=20°,/ADB=/2,

：.ZDAB=40°,

,:DC〃AB,

；.//DC=140°,

.\Z2=70o.

故答案為：70°.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式1-4】(2024秋?碑林區(qū)校級期末)如圖，菱形48co的周長是40cM對角線/C

為10cm,則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為.

【分析】證明是等邊三角形，則ND=60°,即可解決問題.

【解答】解：:四邊形ABCD是菱形，

40

.\AD=CD=-=10(cm),AB//CD,

4

；?/Q+/B4D=180°,

又??ZC=10c加，

；.AD=CD=AC,

???△4CD是等邊三角形，

ZD=60°,

ZDAB=120°,

故答案為：60°,120°.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明為等邊

三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式1-5】如圖所示，在菱形/3CD中，E、尸分別是5C、CD上的點，且/B=/E4F=

60°，ZBAE^24°,求NC￡尸的度數(shù).

【分析】先連接NC,證明然后推出證明△/￡尸是等邊三角形,

最后運用三角形外角性質(zhì)，求出NC即的度數(shù).

【解答】解：連接NC,

:四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,

?；/B=NE4F=60°,

...△/8C是等邊三角形，NBCD=120°,

：.AB=AC,ZB=ZACF=60°,

ZBAE+ZEAC=ZFAC+ZEAC,

：.ZBAE=ZFAC,

在△/BE與△/CF中，

(ABAE=^CAF

\AB^AC,

儲B=Z.ACF

.'.△ABE絲AACF(ASA),

：.AE=AF,

又,；NEAF=ND=60°,

尸是等邊三角形，

AZAEF^60°,

又NAEC=NB+NB4E=84°,

；.NCM=84°-60°=24°.

BE

【點評】此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和定理的綜合應

用，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形.

【題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長】

【例題2】（2024秋?甘州區(qū)校級期末）菱形的邊長為5,它的一條對角線的長為6,則菱

形的另一條對角線的長為（）

A.8B.6C.5D.4

11

【分析】由菱形的性質(zhì)可得N8=5,ACLBD,AO=CO=~AC=3,BO=DO=~BD,由

勾股定理可求8。的長，即可求解.

【解答】解：如圖所示：

:四邊形/BCD是菱形，

11

；.4B=5,AC±BD,AO=CO=~AC=3,BO=DO=~BD,

??BO—7AB2—4。2=V25—9=4,

:.BD=8

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進行推理計算是

解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-1】（2024秋?滕州市校級期末）如圖，菱形/BCD的對角線/C、8。相交于點

O,過點。作。于點“，連接。兄若。N=8,S菱形/BCD=64,則的長為（）

B

A.4V5B.8C.4D.2V5

【分析】由菱形的性質(zhì)得出CM=OC=8,OB=OD,ACLBD,則/C=16,由直角三角形

1

斜邊上的中線性質(zhì)得出?！?再由菱形的面積求出助=8,即可得出答案.

【解答】解：???四邊形45CZ）是菱形，

：.OA=OC=6,OB=OD,ACLBD,

???/C=16,

U：DH±AB,

：.ZBHD=90°,

1

：.OH=~BDf

11

?.?菱形/BCD的面積=—xACxBD=-x16xBD=64,

；?BD=8,

1

：.0H=~BD=4,

故選：C.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角

1

三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得?！?-BD.

【變式2-2】（2024秋?神木市期中）如圖，四邊形/BCD中，NC=90°,點￡是5。上

一點，連接力￡,DE,BD,AE與BD交于點O,四邊形/5EZ）是菱形，若EC=3,CD=

4,則BO的長為（）

A.4B.3vC.-—D.2V5

【分析】求解DE=V32+42=5,可得DE=BE=AB=AD=5,再求解BD=VfiC2+DC2

=V42+82=4V5）從而可得答案.

【解答】解：：四邊形/BCD中，ZC=90°,

.?.△CDE是直角三角形，

在RtZ\CDE中，EC=3,CD=4,

由勾股定理得：￡>￡=V32+42=5.

:四邊形4BED是菱形,

：.DE=BE=AB=AD=5,OB=OD,

:.BC=BE+EC=8,

在直角三角形8co中，由勾股定理得：BD=y/BC2+DC2=V42+82=4V5.

1一

:.B0=^D=2后

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理，菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理解決問題.

【變式2-3】（2024秋?紅古區(qū)期末）如圖，已知菱形48CD,Z5=60°,NC=3,則N8

的長為.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出=而/2=60°,則可判定△NBC是等邊三角形,

從而得出/C=48=3.

【解答】解：?.?四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC,

VZB=60°,

：.AABC是等邊三角形,

.\AC=AB=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)有一個角是60°的等腰

三角形是等邊三角形判定△N5C是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式2-4】（2024秋?山亭區(qū)期末）如圖，菱形4BCD的對角線NC與2。相交于點

點￡為ND的中點，連接ZABC=60°,BD=4同貝！IO￡=.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，/45。=30°則2。=2百,再利用含30°角的直

角三角形的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：??,四邊形是菱形，ZABC=6Q°,

：.BO=DO,ZABO=30°,ACLBD,AB=AD,

:.BO=2近,

：.AO=^-BO=1,

.,.45=240=4,

W為/。的中點，ZAOD=90°,

1

：?OE=《AD=2,

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-5］（2024秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形/BCD是邊長為4的菱形，ZBAD

=60°,對角線NC與AD交于點。，過點。的直線跖交/。于點E,交BC于點E.

（1）求證：AAOEmdCOF；

(2)若/￡00=30°,求CE的長.

A

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出/O=C。，AD//BC,推出NOCF=/O/E,再利用

'Z&T'即可證明△NOE四△COR

1

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ND40=的84。=30a,AC±BD,AD^4,再根據(jù)含30°角的直

1一

角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出。D=yD=2,AO=2總求出N/EO=90°,從而

1

得出。E=yo=Vi，AE=3,再由全等三角形的性質(zhì)得出CF=4E=3,OF=OE=通,

ZCFO=ZAEO=90°,最后由勾股定理計算即可得出答案.

【解答】（1）證明：???四邊形是菱形，

C.AO^CO,AD//BC,

：.AOCF=AOAE,

在?和△CO尸中，

ZOCF=/.OAE

OA=OC,

ZCOF=乙AOE

:.△AOEmACOF（ASA）；

（2）解：：四邊形48cD是邊長為4的菱形，4840=60°,

1

J.Z.DAO=-^Z.BAD=30°,ACLBD,AD=4,

1

：.0D=~AD=2,

?'?AO=y/AD2-OD2=2V3，

VZEOD=30°,

/.ZAOE=90°-ZDOE=60°,

???N4￡O=1800-ZOAE-ZAOE=90°,

1「

?'?OE=萬4。=百，

?'?AE=y/AO2-OE2=3,

"：/\AOE^/\COF,

：.CF=AE=3,OF=OE=a,ZCFO=ZAEO=90°,

:.EF=2炳,

CE=VCF2+EF2=V21.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性

質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

【題型三利用菱形的性質(zhì)求周長或面積】

【例題3】（2024?深圳模擬）如圖，在菱形N8CD中，Z5=60°,連接/C,若/C=6,

則菱形/BCD的周長為（）

A.24B.30C.18V3D.36囪

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)證明/2=8C=CD=4。，在根據(jù)已知條件證明△NBC是等邊

三角形，求出48=8C=/C=6,從而求出菱形周長即可.

【解答】解：???四邊形/3C。是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,

VZB=60°,

：./\ABC是等邊三角形，

:.AB=BC=AC=6,

；.AB=BC=CD=AD=6,

???菱形48CQ的周長為：

AB+BC+CD+AD

=6+6+6+6

=24,

故選：A.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱

形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì).

【變式3-1】（2024秋?長春期末）如圖，菱形4BCD的對角線NC,AD相交于點。，/C=

24,BD=10,則菱形48c。的周長為（）

A.40B.44C.48D.52

【分析】菱形的四條邊相等，要求周長，只需求出邊長即可，菱形的對角線互相垂直且

平分，根據(jù)勾股定理求邊長即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACLBD,AO=CO,BO=DO,

'：AC=24,BD=IO,

11

：.AO=-AC=n,BO=-BD=5,

在RtAAOB中，

AB-7A。2+B02=5/122+52=13,

.,.菱形的周長=13X4=52.

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的對角線互相垂直且平分是解題

的關(guān)鍵.

【變式3-2】（2024秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，在菱形中，對角線/C,3D相

交于點。，若NBAD=60°,AC=243,則菱形/BCD的周長為（）

D。C

AB

A.8B.4V3C.6D.4

1「

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到A0=-AC=y/3,ZDAO=30°,再根據(jù)勾股定理

和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AD的長即可得到答案.

【解答】解：???四邊形/BCD是菱形，

1「

.\AC1BD,/。=萬4。=百，

?；NBAD=60°,

：.ZDAO=30°,

；?AD=2OD,

在RtA4OD中，由勾股定理得：AD2=OD2+AO2,

1

：.AD2=~AD2+3,

4

：.AD=2,

菱形48co的周長為440=8,

故選：A.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知菱

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3】（2024秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在菱形N8CZ）中，對角線/C,8。相交

于點。，點￡為CD的中點.若。￡=4,則菱形的周長為（）

B

A.48B.32C.24D.16

【分析】由菱形的性質(zhì)可得出AB=BC=CD=DA,再根據(jù)直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半得出CD的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：：四邊形為菱形，

J.ACLBD,AB=BC=CD=DA,

...△COD為直角三角形.

：OE=4,點E為線段CD的中點，

:.CD=2OE=8.

C菱形48cz)=4CZ)=4X8—32.

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出8=8.

【變式3-4】(2024秋?龍崗區(qū)校級月考)如圖，菱形/BCD的對角線/C、8。相交于點

O,過點。作。于點“，連接O//,若O/=8,0H=3,則菱形的面積為

()

A.48B.72C.96D.108

【分析】由菱形的性質(zhì)得ZCLBD,OA=OC,OB=OD,由。于點X,得/BHD

1

=90°,因為。4=8,08=3,所以4。=2。4=16,BD=2OH=6,貝US菱形.8=營。

?50=48,于是得到問題的答案.

【解答】解：???四邊形48c。是菱形，對角線4。、5。相交于點O,

：.AC±BDfOA=OC,OB=OD,

'：DH±AB于點H,

:?/BHD=90°,

???CU=8,OH=3,

：.AC=2OA=\6,BD=2OH=6,

11

???S菱形4BCQ=pC?5Q=5X16X6=48,

故選：A.

【點評】此題重點考查菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，

正確地求出AC的長及BD的長是解題的關(guān)鍵.

【變式3-5】（2024秋?達州期末）如圖，菱形/BCD的邊長為26,對角線/C的長為48,

延長N8至E,8尸平分/C8E,點G是8尸上任意一點，則4/06的面積為.

【分析】連接交/C于點。，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD與/C互相垂直平分，再根據(jù)

4c平分/D4B,BF平分/CBE,可以證明/C〃尸8,根據(jù)平行線間的距離處處相等可得S

△CBG=S&ABG，進而可得SA^CG=SAZBC

【解答】解：如圖，連接交/C于點。，

:四邊形45CD是菱形，

.?.8。與NC互相垂直平分，

.,.O/=OC=24,

：.OB=OD=.262—242=10,

?：DA//CB,

：.ZDAB=ZCBE,

平分ND4B,

1

ZCAB=~^DAB,

:BF平分/CBE,

1

ZFBE=-/-CBE,

:.NCAB=/FBE,

：.AC//FB,

:?S&CBG=SUBG，

11

:.S“CG=S4BC=^><AC-OB=-x48X10=240,

則ANCG的面積為240.

故答案為：240.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì).

【變式3-6】（2024?德城區(qū)校級開學）如圖，點。是菱形/BCD對角線的交點，CE//BD,

EB//AC,連接。E,交BC于F.

（1）求證：OE=CB；

（2）如果OC：OB=1：2,OE=2,求菱形的面積.

【分析】（1）通過證明四邊形0CE8是矩形來推知OE=C8；

（2）利用（1）中的NC_LB。、OE=CB,結(jié)合已知條件，在RtZ\8OC中，由勾股定理

求得CO=等，。夕=等.然后由菱形的對角線互相平分和菱形的面積公式進行解答.

【解答】（1）證明：???四邊形/3co是菱形,

：.AC1^BD.

,JCE//BD,EB//AC,

四邊形OCEB是平行四邊形，

二四邊形OCE5是矩形，

：.OE=CB；

（2）解：由（1）知，ACLBD,BC=OE=2,

VOC：05=1：2,

.,.設(shè)OC=x,則O2=2x,

在RtzXBOC中，由勾股定理得3c2=OC2+OB2,gp4=X2+4X2,

解得％=等（負值已舍），

."。=等?！钡?/p>

:四邊形/2CO是菱形，

...心”BD2

55

116

，菱形/5CZ）的面積是：—BD-AC=—.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理矩形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的對角線互相

垂直平分是解題的關(guān)鍵.

【題型四利用菱形的性質(zhì)進行證明】

【例題4】(2024秋?富平縣期中)如圖，點、E,尸分別在菱形4BCD的邊DC,DA且

CE=AF,連接BE,BF,BD.求證：/DBF=NDBE.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NA=/C,ZDBA=ZDBC,再證明4/8F名

△CBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證.

【解答】證明：點E,尸分別在菱形/8CD的邊。C,DA±,且CE=NR

；.AB=BC,ZA=ZC,ZDBA=ZDBC,

在AABF和△C8E中，

AF=CE

Z-A—Z.C,

AB=CB

：.AABF^/\CBE(&4S),

???/ABF=/CBE,

：.ZDBF=ZDBE.

【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌

握菱形的四條邊都相等.

【變式4-1】（2024秋?三元區(qū)期中）如圖，菱形/BCD中，點E,尸分別是3c邊上

的點，AE=CF.

【分析】先證明△￡）/￡△DCF,根據(jù)性質(zhì)得出尸即可證明結(jié)論.

【解答】證明：.??四邊形/BCD是菱形，

：.DA=DC,ZA=ZC,

在和△DCF中，

DA=DC

Z.A—Z-C,

AE=CF

:?△DAE/ADCF（SAS）,

:.DE=DF,

：.ZDEF=ZDFE.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與

判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握菱形的性質(zhì).

【變式4-2】（2024秋?楚雄州期末）如圖，在菱形/BCD中，E是對角線/C上的一

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定即可證明.

【解答】證明：：四邊形N8CO是菱形，

：.BC=CD,

'：AC是菱形ABCD的對角線，

，ZBCA=ZDCA,

,：BC=CD,ZBCA=ZDCA,CE=CE,

:.ACDE冬ACBE（SAS）,

:.DE=BE,

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵.

【變式4-3】（2024秋?武功縣期末）如圖，在菱形4BCD中，對角線/C,3。相交于點

O,E,廠在對角線AD上，S.BF^DE,連接/E,AF.求證：AE=AF.

【分析】由菱形的性質(zhì)得到08=0。，AC±BD,由5b得到。尸=?！?根據(jù)線段垂

直平分線的性質(zhì)即可得到AE=AF.

【解答】證明：.??四邊形/BCD是菱形，

：.OB=OD,AC±BD,

?;BF=DE,

：.BF-OB^DE-OD,

：.OF=OE,

：.AE=AF.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性

質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-4】（2024秋?渭濱區(qū)校級月考）如圖，在菱形/BCD中，點、E,尸分別在邊

3c上，AE=CF,DE,。尸分別與/C交于點N.求證：DM=DN.

D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定&4S,可以證明△/DEgaCDE再利用等

腰三角形的性質(zhì)，可以得至DM=DN.

【解答】證明：：四邊形/BCD是菱形，

：.DA=DC,ZDAE=ZDCF,AB=CB,

,:BE=BF,

：.AE=CF,

在△/￡)￡1和尸中，

DA=DC

Z.DAE=/.DCF,

,AE=CF

:.AADE咨ACDF(SAS)；

：.ZADM=ZCDN,DE=DF,

?.?四邊形/BCD是菱形，

/DAM=ZDCN,

'：ZADM=NCDN,

：.ZDMA=ZDNC,

：.ZDMN=ZDNM,

：.DM=DN.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式4-5】(2024?祁江區(qū)校級三模)如圖，在口/5CD中，E,尸分別是邊4D,3c的中

點，連結(jié)/尸，CE,AC.

(1)求證：四邊形/尸CE是平行四邊形.

(2)若四邊形/尸CE是菱形，判斷△NBC的形狀，并說明理由.

AE

D

BFC

【分析】（l）根據(jù)四邊形4BCD是平行四邊形，從尸分別是40、5c的中點，得出4E=

CF,AE//CF,從而判斷即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理解答即可.

【解答】（1）證明：???四邊形48C。是平行四邊形，

:?AB=CD,AD=BC,

?:E、尸分別是Z。、5C的中點，

11

：.AE=DE=~ADfCF=BF=~BC,

":AD=BC,

：.AE=CF,

X^AE//CF,

J四邊形AFCE是平行四邊形.

（2）解：：四邊形4/CE是菱形，

工AF=CF,

：.ZFAC=ZFCA,

又,：CF=BF,

：./FAB=/FBA,

?：/FAC+NFCA+/FAB+NFBA=180°,

/.ZFAB+ZFAC=90°,

???△/BC是直角三角形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì).菱形的性質(zhì)以及直角三角形的判定，熟

記各種特殊幾何圖形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-6】（2024春?江漢區(qū)校級月考）如圖，四邊形48CZ）是菱形，AC,BD交于點

O,DH_LAB于點、H.

（1）若對角線4c=8c冽，BD=6cm,求D77的長；

（2）連HO,求證：/BOH=/DAH.

【分析】（1）由勾股定理求出45=5°冽，根據(jù)菱形的面積公式可得出答案;

（2）由菱形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出答案.

【解答】（1）解：???四邊形45CD是菱形，

：.ACLBD,OA=OC,OB=OD,

u

'.AC=8cmfBD=6cm,

11

CM=yC=4cm,OB=^BD=3cm,

'.AB—y/OA2+OB2—V42+32—5（cm）,

1

??S菱形ABCD=~^AC*BD=AB9DH,

1AC-BD18x624

''DH^2X^~^2X^=~（cm）；

（2）證明：VZDHB=90°,OB=OD,

：.OH=OB,

：./OHB=/OBH,

；?/BOH=1800-2/OBH,

???四邊形45cD是菱形，

???ZBAC=ADAC,

：./DAH=2/OAB,

???NCM8=90°-ZOBH,

；?ND4H=180°-2NOM

???ZBOH=ADAH.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握

菱形的性質(zhì).

【題型五菱形判定的條件】

【例題5】（2025?大渡口區(qū)模擬）如圖，要使平行四邊形N8CD成為菱形，需添加的條件

A.AC=BDB.ZABC=AADCC.ZABC=90°D.ACLBD

【分析】根據(jù)菱形的判定方法得出。正確，4、C、8不正確；即可得出結(jié)果.

【解答】解：/、：四邊形/BCD是平行四邊形，AC=BD,

平行四邊形Z3CD是矩形，故本選項錯誤；

8、：四邊形N3CD是平行四邊形，ZABC=ZADC,

不能得出平行四邊形/BCD是菱形，故本選項錯誤；

C、:四邊形N5CD是平行四邊形，//8C=90°,

四邊形/BCD是矩形，

不能推出，平行四邊形/BCD是菱形，故本選項錯誤；

D、?.,四邊形N5CZ）是平行四邊形，ACLBD,

...平行四邊形Z3CO是菱形，故本選項正確；

故選：D.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②四條邊都相等的四邊形是菱形，③對角線互相

垂直的平行四邊形是菱形.

【變式5-1】（2024秋?蓼城區(qū)校級期中）在實驗課上，為判斷地板瓷磚是否為菱形，甲、

乙二人分別用儀器進行了測量，甲測量出兩組對邊分別相等，然后乙測量出,

最后得到結(jié)論：地板瓷磚是菱形.則橫線處應填（）

A.兩組對邊分別平行B.一組鄰邊相等

C.兩條對角線相等D.一組鄰角相等

【分析】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,

據(jù)此可得答案.

【解答】解：由“甲測量出兩組對邊分別相等”推知該地板磚是平行四邊形，

則當一組鄰邊相等時，該平行四邊形的地板磚是菱形，

則根據(jù)菱形的性質(zhì)知：乙測量出一組鄰邊相等，

故選：B.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，掌握判定定理即可.

【變式5-2】（2024秋?溫縣期中）如圖，已知口/BCD的對角線交于點O,下列條件不能

證明口98?！辏臼橇庑蔚氖牵ǎ?/p>

A.ZABD^ZADBB.OA2+OB2^CD2

C.ZBAO=ZDCOD.ZABO=ZCBO

【分析】根據(jù)得出根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，判定/

選項不符合同意；根據(jù)勾股定理得出//。8=90°,得出即可判斷8不符合

同意；根據(jù)無法判斷四邊形/BCD為菱形，即可判斷C符合題意；根據(jù)

ZABO=ZCBO,證明得出48=/。，即可判斷。不符合同意.

【解答】解：A.由得出四邊形48co是菱形（鄰邊相等的平

行四邊形是菱形），故不符合題意；

2.：四邊形/BCD為平行四邊形，

：.AB=CD,

'：OA2+OB2^CD2,

：.OA2+OB2=AB2,

為直角三角形，NAOB=90°,

J.ACVBD,

四邊形/BCD是菱形，故不符合題意；

C.由/A4O=NZ）CO不能證明口/BCD是菱形，故符合題意；

四邊形N2CD為平行四邊形，

J.AD//BC,

NADB=NCBD,

,：ZABO=ZCBO,

：.ZABO=ZADB,

：.AB=AD,

四邊形/BCD為平行四邊形，故不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了菱形的判定，掌握對角線垂直的垂直或鄰邊相等的平行四邊形

是菱形解題的關(guān)鍵.

B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.四條邊相等的四邊形是菱形

【分析】由作圖得/B=/O=C8=CD,即可根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”證明四

邊形ABCD是菱形，于是得到問題的答案.

【解答】解：由作圖得CB=CD=AD,

:.AB=AD=CB=CD,

V四條邊相等的四邊形是菱形，

四邊形是菱形，

故選：D.

【點評】此題重點考查尺規(guī)作圖、菱形的判定定理等知識，根據(jù)“四條邊相等的四邊形

是菱形“證明四邊形/8CD是菱形是解題的關(guān)鍵.

【變式5-4】（2024?靈山縣一模）如圖，在平行四邊形48co中，點E,尸分別在4D,

2C上，AE=FB.只需添加一個條件即可證明四邊形/EFS是菱形，這個條件可以

是_____________（寫出一個即可）.

【分析】先證四邊形/EEB是平行四邊形，再由菱形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：這個條件可以是理由如下：

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//CB,

,:AE=FB,

四邊形AEFB是平行四邊形，

又：4E=4B,

.??平行四邊形/EEB是菱形，

故答案為：4E=AB（答案不唯一）.

【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判

定是解題的關(guān)鍵.

【變式5-5】（2024春?海倫市期末）如圖，已知4D是△48C的角平分線，DE〃AC交

AB于點、E,請你添加一個條件,使四邊形/磯火是菱形.

A

E//\

F

C

BD

【分析】根據(jù)?！辍?C交于點E,DF〃&B交4C于點、F,可以判斷四邊形尸是平

行四邊形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立.

【解答】解：DF//AB,理由如下：

:DE〃AC交AB于點E,DF〃AB交AC于點F,

四邊形/￡￡甲是平行四邊形，ZEAD=ZADF,

,：AD是△48C的角平分線，

ZEAD=ZFAD,

：.ZADF=ZFAD,

：.FA=FD,

四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

【點評】本題考查菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的需要的

條件，利用菱形的判定解答.

【變式5-6】如圖，將△N3C沿著2c方向平移得到△。跖，只需添加一個條件即可證明

四邊形N瓦2是菱形，這個條件可以是.（寫出一個即可）

【分析】由平移的性質(zhì)得AB=DE,則四邊形N2即是平行四邊形，再由菱形的

判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：這個條件可以是AB=AD,理由如下：

由平移的性質(zhì)得：AB//DE,AB=DE,

四邊形助是平行四邊形，

又；AB=AD,

平行四邊形/BE。是菱形，

故答案為：AB=AD（答案不唯一）.

【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識，熟練

掌握菱形的判定和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型六菱形的判定的證明】

【例題6】（2024秋?武功縣期末）如圖，在RtZX/BC中，ZACB=90°,ZABC=60°,

點。為的中點，連接CD,過點、D作DE〃BC,MDE=BC,連接求證：四邊形

3CDE是菱形.

【分析】先證明四邊形5CDE是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

1

一半得到CD=BD=yB,進而證明△BCD為等邊三角形得到8C=CD,根據(jù)菱形的判定

定理可證得結(jié)論.

【解答】證明：,：DE//BC,MDE=BC,

四邊形BCDE是平行四邊形.

■:CD為RtA^SC的斜邊N8上的中線，

1

CD=BD=萬48.

VZABC=60°,

???△5CQ為等邊三角形，

:,BC=CD,

四邊形BCDE是菱形.

【點評】本題考查菱形的判定，涉及平行四邊形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角

三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，證明△88為等邊三角形是

解答的關(guān)鍵.

【變式6-1】（2024秋?蓮湖區(qū)期末）如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,AB=CD,對角

線NC,2D相交于點。，4C平分/R4D.求證：四邊形48c。是菱形.

【分析】先判斷出NON3=NOC/,進而判斷出ND/Cn/Da,得出CD=/Z）=N8,

即可得出結(jié)論.

【解答】證明：

ZDCA=ZOAB,

平分N8/。，

NDAC=NOAB,

：.ZDAC=ZDCA,

：.AD=CD=AB,

,:AB〃DC,

四邊形/BCD是平行四邊形，

:AD=AB,

四邊形/BCD是菱形.

【點評】此題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾

股定理等知識，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

【變式6-2】（2024秋?新城區(qū)期末）如圖，己知四邊形N2EF為平行四邊形，點C為BE

的中點，連接/C并延長交代的延長線于點。，若DE=2CE,求證：四邊形N2E尸為

菱形.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得斯〃/3,則ND=NC43,由點C為BE的中點，得CE

=CB,EB=2CE,而/DCE-B,即可根據(jù)“44S”證明△DC￡gZ\/C8,得DE=

AB,因為DE=2CE,所以48=2CE,推導出則四邊形/班產(chǎn)為菱形.

【解答】證明：??,四邊形48M是平行四邊形，

J.EF//AB,

：.ND=NCAB,

???點。為BE的中點，

:?CE=CB,EB=2CE,

在△Z)C￡和中，

2D=/.CAB

Z.DCE=Z.ACB,

CE=CB

:.△DCE^AACB(AAS),

；.DE=AB,

■:DE=2CE,

:?AB=2CE,

:?AB=EB,

四邊形所為菱形.

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知

識，證明△OCE/ZUCB是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3】(2024秋?虹口區(qū)校級月考)如圖，/ABC=/ADC=90°,〃為NC中點,

MNJLBD于點、O,BN//DM,求證：BNDM為菱形.

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到3M=zw=5/c,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/瓦w

=ZDMN,由平行線的性質(zhì)得到/aW=NO九W,等量代換得到求得

BM=BN,得到根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：?..N/3C=N/DC=9(r,M為對角線NC的中點，

：.BM=DM=^AC,

■:MNLBD,

：.ZBMN=ZDMN,

'CBN//DM,

：.ZBNM=ZDMN,

：./BMN=ZBNM,

:.BM=BN,

：.BN=DM=BM=DN,

.,?四邊形AVDM是菱形.

【點評】本題考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的

識別圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式6-4】(2024?東莞市模擬)如圖，在平行四邊形N8CD中，對角線NC,相交于

點。，點￡,尸在AD上，MBE=DF.

(1)求證：AADF沿4CBE；

(2)不添加輔助線，請你補充一個條件，使得四邊形NECF是菱形；并給予證明.

B

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)知，AD=BC,AD//BC,得到又有BE

=DF,故由S4s證得△/￡＞尸絲△C8E；

(2)平行四邊形的性質(zhì)知，AO=CO,BO=DO,由2石=。尸可求得OE=O尸，根據(jù)平行

四邊形的判定得到四邊形/ECF是平行四邊形，由NCLE尸可得平行四邊形NECF是菱形.

【解答】(1)解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.ZADF=ZCBE,

在△4D尸和△C8E中,

(AD=CB

\/.ADF=Z.CBE,

(DF=BE

.?.△ADF/LCBE(&4S)；

(2)解：補充的條件是：ACLBD.

證明：?..四邊形/BCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

：.OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

5L'：ACVBD,

...四邊形/ECF是菱形.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定，證

得四邊形NEC尸是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵.

【變式6-5】(2024?市南區(qū)校級開學)如圖，在△/BC中，。是2c的中點，E是4D的

中點，過點/作/尸〃3C,/尸與CE的延長線相交于點尸，連接RF.

(1)求證：四邊形NE8D是平行四邊形；

(2)當△N2C滿足什么條件時，四邊形NF5D是菱形？請說明理由.

【分析】(1)由/尸〃8C,得到兩對內(nèi)錯角相等，再由￡為中點，得到禾！J用44s

得到△4FE與△CDE全等，利用全等三角形對應邊相等得到4