第5章分式能力提升測試卷

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。）

1.下列式子一定有意義的是（）

212m1

A-aB.=C.石耳D.不

【答案】D

【分析】本題考查的是分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義的條件判斷即可.

7

【詳解】解：A、當(dāng)a=0時，:無意義，不符合題意;

B、當(dāng)x=y時，去無意義，不符合題意；

C、當(dāng)爪=號時，73無意義，不符合題意；

D、■.■a2>0,

.-a2+1>1,

.,.a2+1#=0,

1

.??/G一定有意義，符合題意；

故選：D.

2.計算a+1—占的結(jié)果是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式的減法計算，直接根據(jù)分式的減法計算法則求解即可.

【詳解】解；a+1-^

a2—la

CL—1CL—1

a2—a—1

a-1*

故選：C.

3.分式三洋可變形為（）

X—1

2x-l2x-l_2x+l2x+l

A.1-xB.x—1C?KD.x—1

【答案】D

【分析】此題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.利用

分式的基本性質(zhì)化簡即可.

-2x-l

【詳解】解:

故選：D.

4.據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，

具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片槐樹葉一年的平

均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵2000毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵1100

毫克所需的槐樹葉的片數(shù)相同，求一片槐樹葉一年的平均滯塵量.設(shè)一片槐樹葉一年的

平均滯塵量為x毫克，根據(jù)題意可列的方程是()

2000_11002000_1100

x2x—42x—4x

2000，1100

【答案】B

【分析】本題考查了列分式方程，設(shè)一片槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，則一片銀杏

樹葉一年的平均滯塵量為(2x-4)毫克，根據(jù)"一年滯塵2000毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)

與一年滯塵1100毫克所需的槐樹葉的片數(shù)相同”列出分式方程即可.

【詳解】解：設(shè)一片槐樹葉一年的平均滯塵量為“毫克，

?.?一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，

???一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為(2萬-4)毫克，

20001100

由題意可得：五二=丁，

故選:B.

5.已知；R；，則罵的值是()

UDZCL—D

1I

A.—B.——C.2D.-2

【答案】D

【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值：用數(shù)值代替代數(shù)式的字母，計算后所得的結(jié)果就

是代數(shù)式的值.樹立整體思維是解題的關(guān)鍵.

由已知條件得到必=-2(a-6),然后利用整體代入的方法把原式中的必用-2(a-6)代替,

然后約分進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：由題可得，工一\=號=:，即ab=-2a+26=-2(a—6),

abab2''

ab—2(a—b)

???才^^=-2n.

故選：D.

6.把分式會中的x,y同時擴(kuò)大為原來的3倍，分式的值也擴(kuò)大3倍，則在口中添加的運

算符號為()

A.+B.-C.xD.4-

【答案】c

【分析】此題考查了分式基本性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用該知識對分式

進(jìn)行正確地變形.運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行變形求解.

【詳解】解：解：A、???把分式簧;中的x,y同時擴(kuò)大為原來的3倍后，原式變?yōu)椋?/p>

5x3%+3y3(5x+y)5x+y

3x3x+2x3y-3(3x+2y)-3x+2yf

.??選項A不符合題意；

B、?.?把分式稅中的x,y同時擴(kuò)大為原來的3倍后，原式變?yōu)椋?/p>

5x3x-3y3(5x—y)5x—y

3x3x+2x3y-3(3x+2y)-3x+2yf

.??選項B不符合題意；

C、???把分式品中的x,y同時擴(kuò)大為原來的3倍后，原式變?yōu)椋?/p>

5x3x-3y9x5xySxy

--------------=------------=2X---------.

3x3x+2x3y3(3x+2y)3x+2yf

?,?選項C符合題意；

D、???把分式貂中的x,y同時擴(kuò)大為原來的3倍后，原式變?yōu)椋?/p>

5x3x-i-3y5%+y1Sx-^y

3x3x+2x3y-3(3x+2y)-3'3x+2yf

?,?選項D

可列方程為()

3000200030002000

A.B.

Xx-200x+200X

3000_20003000__2000

C.D.

x-200XXx+200

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程在實際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)工作時間=工作總

量+工作效率，結(jié)合已知條件找出等量關(guān)系.

先分別表示出實際和原計劃的工作效率，再根據(jù)"現(xiàn)在生產(chǎn)3000頂帳篷所用的時間與原

計劃生產(chǎn)2000頂?shù)臅r間相同"這一條件列出方程.

【詳解】已知設(shè)該企業(yè)現(xiàn)在每天能生產(chǎn)x頂帳篷，因為實際每天生產(chǎn)帳篷比原計劃多200

頂，所以原計劃每天生產(chǎn)(x-200)頂帳篷，

根據(jù)公式：工作時間=工作總量+工作效率，現(xiàn)在生產(chǎn)3000頂帳篷所用時間為竽；原

計劃生產(chǎn)2000頂帳篷所用時間為舞，

又因為現(xiàn)在生產(chǎn)3000頂帳篷所用的時間與原計劃生產(chǎn)2000頂?shù)臅r間相同，所以可列方

工30002000

程13A為L丁=。而，

故選：A.

8.己知［=2,則代數(shù)式筆筌三的值為°

xy人人_/y

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】B

【分析】本題考查了分式的化簡求值知識點，解題的關(guān)鍵是對已知條件進(jìn)行變形，然后

將變形后的式子整體代入所求分式.

先對;-：=2進(jìn)行通分變形得到y(tǒng)-x與孫的關(guān)系，再將其代入空箸化簡求值.

xy4人1yy

【詳解】因為：一，=2,通分可得力盤=2,即§￡=2,

所以y—%=2xy,那么％—y=-2xy.

將%-y=-2xy,y-x=2%y代入久可得:

2(y—%)+Sxy

(%—y)—xy

2x2xy+5xy

—2xy—xy

4xy+5xy

-3xy

9xy

_-3xy

=-3

故選B.

9.若關(guān)于x的方程昌-4=會無解，則m的取值為（）

A.-6B.-3C.6D.3

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程無解問題，掌握解分式方程的步驟和分式方程有無解

的條件是解決本題的關(guān)鍵.先解分式方程，再根據(jù)分式方程無解得關(guān)于加的方程即可.

【詳解】解:會-4=鼻,

2X-4（X-3）=~m,

???關(guān)于x的方程夸-4=已無解，

：.x—3,

.-.2x3=—m,

解得：m=-6,

故選：A.

10.四張長為〃、寬為奴a>b）的長方形紙片，按如圖所示的方式拼成一個邊長為Q+b）的

大正方形，面積記為S1，圖中小正方形的面積記為S2.若S1=8S2,貝哈+￡=（）

【答案】D

【分析】此題考查了完全平方公式幾何背景問題的求解能力，分式的求值，關(guān)鍵是能準(zhǔn)

確理解并運用該知識和數(shù)形結(jié)合思想.結(jié)合圖形面積公式和完全平方公式進(jìn)行列式、求

解即可.

【詳解】解：由題意得，SI=8S2，

（a+b）2=8（a—b）2,

即滔+2ab+b2=8（滔一2協(xié)+必），

整理，得18ab=7（。2+廬），

,a2+b2_18

~9

,b_a2+b2_18

abab7

故選：D.

填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.

11.已知*一巳=5,則分式言的值為.

【答案】|

【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握整體代入的思想是解題關(guān)鍵；

根據(jù)巳=5,可得y-％=5xy,代入言，即可求解；

【詳解】解：根據(jù)沁=5,

可得：y—x=5xy

則yr-5xy-5；

故答案為：I

12.若分式白的值為0,則久=_______.

x—1

【答案】-1

【分析】本題考查了分式值為零的條件，根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不

等于零即可求解，掌握分式值為零的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得：j_i=o且久—170,

解得：X=+1且x中1,

■■X=—1,

故答案為：-1.

13.方程占=3的解是.

【答案】%=3

【分析】本題考查解分式方程，先去分母化為整式方程，然后解整式方程求出x的值,

最后檢驗即可.

【詳解】解：兩邊同時乘以(%-2)得:x=3(x12),

解得x=3,

經(jīng)檢驗：*=3是原方程的解，

故答案為：%=3.

14.若關(guān)于x的方程分+55=1有增根，則。的值是.

【答案】-4

【分析】本題考查分式的增根問題，增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程

的分母為0的根.可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方

程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根.所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最

簡公分母X-2為0,得到x=2,然后代入去分母后的整式方程算出。的值.

【詳解】解：由分式方程的最簡公分母是X-2,

得分式方程的增根是％=2.

分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程為x+a+x=x-2,

把x=2代入久+a+x=x-2,

得2+a+2=0,

解得a=-4.

故答案為：-4.

15.某書店在開學(xué)之初用760元購進(jìn)工具書若干本，按每本20元出售，很快銷售一空，據(jù)

了解學(xué)生還急需2倍這種工具書，于是又用1300元購進(jìn)所需工具書，由于量大每本進(jìn)

價比上次優(yōu)惠2元，該店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折賣出，這筆生意

該店共盈利元.

【答案】1230

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)

鍵.設(shè)第一批購進(jìn)該工具書x本，則第二批購進(jìn)該工具書2%本，根據(jù)單價=總價+數(shù)量

結(jié)合第二批的進(jìn)價比第一批便宜2元，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可

求出第一批及第二批購進(jìn)的數(shù)量，再利用總利潤=銷售單價X數(shù)量-進(jìn)價，即可求出結(jié)

論.

【詳解】解：設(shè)第一批購進(jìn)該工具書x本，則第二批購進(jìn)該工具書2X本,

解得：x=55,

經(jīng)檢驗，久=55是原方程的解，且符合題意，

.?.2%=110.

???20X(55+110-2)+20x0.75x2-760-1300=1230(元).

故答案為：1230.

16.對于正數(shù)x,規(guī)定f(x)=亳.例如：f(4)=左=則f(2025)+'(2024)

+…+/(2)+/(1)+解)+…+/島)+，(/)=——?

【答案】2024.5

【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，分式的加法，由題意求出/(x)+/@=l,即可求

解.

【詳解】解："(%)=+，

40=±=之，

?■?/(%)+/(|)=

"(1)=去

?"(2025)+/(2。2024)+…+/(2)+/(1)+/(￡)+…+/(/)+/(募)

1

=1X2024+-

=2024.5,

故選為：2024.5.

三.解答題(本題共6小題，共52分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(8分)解分式方程：

x8

(2)*T=K

【答案】(1)久=(

(2)無解

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式方程的解法.

(1)根據(jù)分式方程的解法即可求出答案.

(2)根據(jù)分式方程的解法即可求出答案.

【詳解】⑴解:六-三=3

2+(%+2)=3(%-1)

2+%+2=3x—3

x—3%=—3—2—2

-2x=-7

7

久=5；

7

當(dāng)x=5時，久一1H0,

故％=9是該分式方程的解；

(2)解：專一1=段

%(%—2)—(%2—4)=8

X2-2X-X2+4=8

—2x+4=8

—2%=4

x=-2,

當(dāng)％=-2時，%2—4=0；

故該方程無解

18.(6分)先化簡，再求值：(2—名)三，其中從一2、0、2中選一個合適的數(shù)作為

X的值代入求值.

【答案】一言,-2

【分析】本題考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件，先利用分式的性質(zhì)和運算法

則進(jìn)行化簡，再根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，最后把x的值代入化簡后的結(jié)果中

計算即可求解，掌握分式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=(今一名)X點冷

\x—2X—2/

—4(%—2)2

x—2*(%+2)(%-2)

_4

一~x+2f

,?,(%+2)(%-2)^0,

.,.%W—2且％W2,

：.x=0,

???原式=一高=-2?

19.(8分)學(xué)校廣播站要招聘一名播音員，擅長誦讀的小龍想去應(yīng)聘，但是不知道是否符

合應(yīng)聘條件，于是在微信上向好朋友亮亮傾訴，下圖是他們的部分對話內(nèi)容.面對小龍

的問題，亮亮也犯了難.聰明的你用所學(xué)方程知識幫小龍準(zhǔn)確計算一下，他平均每分鐘

讀多少個字？他是否符合學(xué)校廣播站應(yīng)聘條件？

【答案】小龍符合學(xué)校廣播站應(yīng)聘條件

［分析］本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)小龍每分鐘讀x個字，小龍奶奶每分鐘讀0-50)

個字，根據(jù)奶奶讀了1050個字和小龍讀1300個字的時間相同，列出關(guān)系式即可得出

答案.

【詳解】解：設(shè)小龍每分鐘讀x個字，小龍奶奶每分鐘讀Q—50)個字.

根據(jù)題意，得：蝶=等

解得：x=260.

經(jīng)檢驗，*=260是所列方程的解，并且符合實際問題的意義.

???學(xué)校廣播站招聘條件是每分鐘250—270字，

，小龍符合學(xué)校廣播站應(yīng)聘條件.

20.(10分)"百日花開酬壯志，青春筑夢正當(dāng)時"，某校在初三勵志活動中準(zhǔn)備向商家訂購

一批文創(chuàng)產(chǎn)品，其中包括"百日書歷"和"二五手環(huán)若購買3本“百日書歷"和4個"二五

手環(huán)"需花費38元，購買4本“百日書歷"和3個"二五手環(huán)”需花費46元.

(1)請問每本"百日書歷"和每個"二五手環(huán)”的售價分別為多少元？

(2)由于訂購數(shù)量頗多，商家決定降價酬賓，其中"百日書歷”的售價降低5a元，"二五手

環(huán)”的售價降低a元.經(jīng)測算,學(xué)?；?400元購進(jìn)"百日書歷”的數(shù)量比花1440元購進(jìn)“二

五手環(huán)”的數(shù)量還少200,求出a的值.

【答案】(1)每本"百日書歷"的售價為10元，每個"二五手環(huán)"的售價為2元；

⑵a=0.2

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用及分式方程的應(yīng)用，讀懂題意找到等量關(guān)系

式是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)每本"百日書歷”的售價為x元，每個"二五手環(huán)"的售價為y元，根據(jù)"購買3本"百

日書歷"和4個"二五手環(huán)"需花費38元，購買4本“百日書歷"和3個"二五手環(huán)”需花費

46元〃建立二元一次方程組，求解即可得出答案；

(2)根據(jù)題意得出降價后，書歷單價為(10-5a)元，手環(huán)單價為(2-a)元，再根據(jù)"學(xué)

?；?400元購進(jìn)"百日書歷”的數(shù)量比花1440元購進(jìn)"二五手環(huán)"的數(shù)量還少200〃建立分

式方程求解即可得出答案.

【詳解】(1)解：設(shè)每本"百日書歷”的售價為%元，每個"二五手環(huán)"的售價為y元，

根據(jù)題意，得｛窗■聾，

解得：^=2,

答：每本“百日書歷”的售價為10元，每個"二五手環(huán)"的售價為2元；

(2)降價后，書歷單價為(10-5a)元，手環(huán)單價為(2-a)元，

解得：a=0.2,經(jīng)檢驗，a=0.2是分式方程的解，

答：a的值為02

21.（10分）閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為"真分?jǐn)?shù)"和"假分?jǐn)?shù)",

而假分?jǐn)?shù)都可以化為帶分?jǐn)?shù)，如：9=^=2+1=2|.我們定義：在分式中，對于只

含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”;

當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為"真分式".如三三，這樣的分式就是

X十J-x—1

假分式；再如：言Q，含2%這樣的分式就是真分式.類似的，假分式也可以化為帶分式

（即：整式與真分式的和的形式），如舒=攵卡=1一卷.

解決下列問題：

⑴分式5是—（填"真分式"或"假分式"）；

⑵將假分式年F化為帶分式；

⑶先化簡文汨+并求X取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù).

x—1xx—3x

【答案】⑴真分式

7

⑵久+2一急

⑶化簡得2-白；當(dāng)x=2時，該式的值為整數(shù).

【分析】本題考查分式的化簡及分式的分離整數(shù)法，理解材料并掌握分式的運算是解題

關(guān)鍵.

（1）根據(jù)真分式的定義判斷即可；

（2）根據(jù)材料給出的方法運算即可；

（3）先化簡，再將分式化為帶分式，最后再求解，注意分式有意義的條件.

【詳解】（1）解：因為分式*的分子次數(shù)0小于分母次數(shù)1,

所以分式*是真分式，

故答案為：真分式；

（2）解：也護(hù)

x+2

，+4%+4—4—3

%+2

(x+2)2—7

x+2

3x—6x+1x(x—3)

x—1x(%—1)(x+1)

3x—6%—3

x—1x—1

3x—6—x+3

x—1

2x-3

x—1

x—1

「2-七是整數(shù)，

AX—1=±1,

解得：％=0或2,

,?,x=0,1,一1或3時，原分式無意義，

：.x=2,

即當(dāng)x=2時，該式的值為整數(shù).

22.（10分）杭州絲綢歷史悠久，質(zhì)地輕軟，色彩綺麗，早在漢代，就已通過"絲綢之路"遠(yuǎn)

銷國外.小汪在網(wǎng)上開設(shè)杭州絲綢專賣店，專賣絲巾、旗袍等，發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一

個信息是：4款絲巾的進(jìn)貨單價比B款絲巾多40元，花960元購進(jìn)4款絲巾的數(shù)量與花

720元購進(jìn)B款絲巾的數(shù)量相同.

（1）問4B款絲巾的進(jìn)貨單價分別是多少元？

（2）小汪在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)，如下表所示：

日期4款絲巾（條）B款絲巾（條）銷售總額（元）

12月10日462160

12月11日683040

問：兩款絲巾的銷售單價分別是多少？

⑶根據(jù)(1)(2)所給的信息，小汪要花費1400元購進(jìn)4B兩款絲巾若干條，問：有

哪幾種進(jìn)貨方案？根據(jù)計算說