第03講分式方程及應(yīng)用

題型歸納

【題型1分式方程定義】

【題型2解分式方程】

【題型3分式方程的增根】

【題型4分式方程應(yīng)用-工程問(wèn)題】

【題型5分式方程應(yīng)用-行程問(wèn)題】

【題型6分式方程應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題】

【題型7分式方程應(yīng)用-方案問(wèn)題】

【題型8分式方程應(yīng)用-其他問(wèn)題】

基礎(chǔ)知識(shí)/知識(shí)梳理理清教材

知識(shí)點(diǎn)1：分式方程的概念

分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.

注意：

（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).

（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.

分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.

題型分類(lèi)深度剖析/

【題型1分式方程定義】

【典例1】下列關(guān)于x的方程是分式方程的是（）

x+1Y2+xcx-1c汽九f-n2T

AA--~1=—B.、=2fC,--1=-D?x答=1

【答案】D

【分析】本題考查的是分式方程的定義，熟知分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是

解題的關(guān)鍵.根據(jù)分式方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：A、亨-1=竽不含有分式，不是分式方程，不符合題意；

B、滴=2-x分母中不含有x,不是關(guān)于x的分式方程，不符合題意；

C、《-1=巳分母中不含有心不是關(guān)于x的分式方程，不符合題意；

D、牝平=1分母中含有心是關(guān)于x的分式方程，符合題意.

X—1

故選：D.

【變式1-1】下列方程中，屬于分式方程的是（）

1V—Qr+5X

A.-=2B.—=—C.時(shí)D.xy-1=0

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程的定義，分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，據(jù)

此求解即可.

【詳解】解；由分式方程的定義可知，四個(gè)選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)中的方程是分式方程，

故選：A.

【變式1-2】下列是關(guān)于x的分式方程的是（）

【答案】D

【分析】判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中

是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）.

【詳解】解：A、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；

B、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；

C、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；

D、分母中含未知數(shù)X,是分式方程，符合題意；

故選：D.

【變式1-3】下列式子：①<=1;=署；③京+9④9=8;⑤七=1；

⑥?—2=x（a40）.其中，是關(guān)于x的分式方程有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可.

【詳解】解：①分母中不含有未知數(shù)，是整式方程；

②分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；

③不是等式，故不是方程；

④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程.

⑤分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；

⑥分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；

綜上所述：分式方程有②④，共2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

基礎(chǔ)知識(shí),知識(shí)梳理理清教材

知識(shí)點(diǎn)2：分式方程的解法

解分式方程的一般步驟：

(1)方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式

時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母)；

(2)解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；

(3)檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式

方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.

題型分類(lèi)深度剖析,

【題型2解分式方程】

【典例2］解下列分式方程：

(1)胃="-2；(2)巖-*=1.

''x—33—x''x—l%2—1

【答案】⑴%=:

(2)%=1(增根)，原方程無(wú)解

【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)將分式方程化為整式方程得到％—2=-1-2(X-3),繼而得到3%=-1+6+2,解

得久=5,經(jīng)檢驗(yàn)比=:是原方程的解；

(2)將分式方程化為整式方程得到。+1)2—4=(久+1)Q—1),繼而得至U2x=2,解

得％=1,當(dāng)*=1時(shí)久2-1=12-1=0,所以久=1是分式方程的增根，原方程無(wú)解.

【詳解】⑴解:三|=白一2

x-2=-l-2(x-3)

3%=-1+6+2

解得X，

經(jīng)檢驗(yàn)x=(7是原方程的解；

⑵解:土"

(X+1)2—4=(%+1)(x-1)

x2+2%4-1-4=%2-1

2x=-1+4-1

2%=2,

解得x=1,

當(dāng)X=1時(shí)%2-1=12-1=0,

久=1是分式方程的增根，原方程無(wú)解.

【變式2-1］解下列方程：

5223

(1)----=o；(2)—+—=0.

''aa—2'zx—34+x

【答案】⑴a="

⑵尤=:

【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本方法，是解題的關(guān)鍵,

(1)先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即

可；

(2)先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即

可.

【詳解】(1)解：--^=0,

aa—2

去分母得：5(a-2)-2a=0,

去括號(hào)得：5a—10—2a=0,

解得：a=《,

檢驗(yàn)：把。=可代入a(a—2)得：Q(a—2)工。，

.?.a=學(xué)是原方程的解.

92

⑵解:口+本=0，

去分母得：2(4+%)+3(%-3)=0，

去括號(hào)得：8+2%+3%-9=0,

解得：%=：，

檢驗(yàn):把久=：代入得：(%—3)(4+%)W0,

1

.，=己是原方程的解.

【變式2-2]解方程：

2_11_10

(1)定=^^1^5~X2-25'

【答案】⑴X=5

(2)方程無(wú)解

【分析】本題考查了分式方程的解法，理解分式方程的解法是解答關(guān)鍵，分式方程一定

要檢驗(yàn)方程的根.

(1)先將原方程去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，求出方程的解，再檢驗(yàn)方程的

根即可求解；

(2)先將原方程去分母，求出方程的解，再檢驗(yàn)方程的根即可求解.

【詳解】([)解：原方程去分母得

2(x-l)=x+3,

去括號(hào)得

2%-2=x+3

移項(xiàng)并合并同類(lèi)項(xiàng)得

x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，久=5是原分式方程的根，

???原分式方程的解是工=5.

(2)解：原方程變形為

110

三一(x-5)(x+5)，

方程去分母得

%+5=10,

解得x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的增根,

原方程無(wú)解.

【變式23］解方程:

（1七=七;哈=￡-2

【答案】（1）%=3；

⑵方程無(wú)解

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵.

（1）去分母化為整式方程并解整式方程，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到答案;

（2）去分母化為整式方程并解整式方程，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到答案.

【詳解】（1）解：*1=會(huì)?

去分母得到，2x-3=3（x-2）

解得x=3

經(jīng)檢驗(yàn)，*=3是分式方程的解;

(2)2=2

x—22—x

去分母得到，1一萬(wàn)=一1一2（尤—2）

解得工=2,

當(dāng)久=2時(shí)，久-2=0,

?"=2是增根，分式方程無(wú)解.

【題型3分式方程的增根】

【典例3］若關(guān)于"的分式方程達(dá)+方=2無(wú)解，貝必的值是（）

A.3或2B.1C.1或3D.1或2

【答案】D

【分析】本題考查分式方程增根情況及運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是注意關(guān)鍵詞"無(wú)解"與增根的

關(guān)系.

找出方程中的最簡(jiǎn)公分母：久-3,然后方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程可解，

然后根據(jù)分式有無(wú)意義即可得出結(jié)果.

【詳解】解：2+豈=2

3—ax=2(3—x)

3—ax=6—2x

(a_2)%=—3

根據(jù)題意，原分式方程無(wú)解，

①當(dāng)a-2=0時(shí)，即a=2時(shí)，整式方程無(wú)解，所以原分式方程無(wú)解，符合題意；

②當(dāng)原分式方程最簡(jiǎn)公分母乂-3=0時(shí)，即久=3,是原分式方程的增根，也符合題意，

此時(shí)，3(a—2)=-3,

解得a=1；

.?.a的值是1或2,

故選：D.

【變式3-1］如果關(guān)于x的分式方程￡+白=0有增根，那么增根可能是()

A.x—1B.x——2C.x=1或x=-2D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的增根，先把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再根據(jù)分式方程

有增根可得整式方程的解為1或-2,進(jìn)而代入整式方程即可判斷求解，理解增根的定義

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊乘以+2)得，ax(x+2)+x-l=0,

整理得，ax2+(2a+l)x-l=0,

???分式方程有增根，

.??整式方程a/+?a+1)%-1=0的解為1或一2,

當(dāng)久=1時(shí)，a=0；

當(dāng)x=-2時(shí)，x=—2不是整式方程的解；

???分式方程的增根可能是1,

故選：A.

【變式3-2］若關(guān)于x的分式方程安=^+1無(wú)解，則小的值是()

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程無(wú)解的問(wèn)題，熟練掌握分式方程無(wú)解產(chǎn)生的原因是解題關(guān)

鍵.將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得％=竽，根據(jù)原方程無(wú)解得X=-1,即可

求出血的值.

【詳解】解：室=*1+1，

去分母得：3%-2=TH+（%+1）,

解得：x=竽，

???分式方程案=黑+1無(wú)解，

.*.x+1=0,

???X=—1,

m+3y

F=-1,

.?.m=—5,

故選：D.

【變式3-3］若關(guān)于x的方程其=原+1無(wú)解，則。的值是（）

A.0B.0或1C.0或2D.1或2

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的解，把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把分式方程的增根代

入整式方程，求出答案.

根據(jù)解分式方程的步驟，可求出分式方程的解，根據(jù)分式方程無(wú)解，分兩種情況：當(dāng)

。-1=0時(shí)，當(dāng)a—lAO時(shí)，可得a的值.

【詳解】解：方程兩邊同乘Q-2），得"=4+（久一2）,

（a—l）%=2,

對(duì)于，關(guān)于x的方程式=六+1無(wú)解，

當(dāng)。-1=0時(shí)，即。=1時(shí)，方程（a-l）%=2無(wú)解，即原方程無(wú)解；

當(dāng)a-lWO時(shí)，即aWl時(shí)，方程（。一1）%=2的解為X=言，

當(dāng)久=2=2,久—2=0,則x=2是方程的增根，即原方程無(wú)解，此時(shí)a=2；

綜上，當(dāng)a=l或。=2時(shí)關(guān)于%的方程當(dāng)=白+1無(wú)解，

故選：D.

基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)梳理理清教材

知識(shí)點(diǎn)3：分式方程應(yīng)用

類(lèi)型一：工程問(wèn)題

類(lèi)型二：行程問(wèn)題

類(lèi)型三：銷(xiāo)售問(wèn)題

類(lèi)型四：方案問(wèn)題

類(lèi)型四：其他問(wèn)題

題型分類(lèi)深度剖析,

【題型4分式方程應(yīng)用-工程問(wèn)題】

【典例4】新能源汽車(chē)有著動(dòng)力強(qiáng)、能耗低的特點(diǎn)，正逐漸成為人們喜愛(ài)的交通工具.在新

能源電池正極材料的制備過(guò)程中，鎰是不可或缺的重要元素.現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)采礦隊(duì)

開(kāi)采鎰礦石，已知甲隊(duì)每天的開(kāi)采量是乙隊(duì)每天開(kāi)采量的2倍，甲隊(duì)開(kāi)采2400噸銃礦石

所用時(shí)間比乙隊(duì)開(kāi)采同樣數(shù)量的錦礦石所用時(shí)間少3天，求甲、乙兩隊(duì)每天開(kāi)采錦礦石

的量各為多少?lài)崳?/p>

【答案】800噸、400噸

［分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練根據(jù)題意正確設(shè)元并列出等式是解題的關(guān)

鍵.設(shè)乙隊(duì)每天開(kāi)采鑄礦石的量為x噸，利用“甲隊(duì)每天的開(kāi)采量是乙隊(duì)每天開(kāi)采量的2

倍"得甲隊(duì)每天開(kāi)采銃礦石的量為2久噸，利用"甲隊(duì)開(kāi)采2400噸錦礦石所用時(shí)間比乙隊(duì)

開(kāi)采同樣數(shù)量的鎰礦石所用時(shí)間少3天"列式，求解即可.

【詳解】解：設(shè)乙隊(duì)每天開(kāi)采鎰礦石的量為萬(wàn)噸，則甲隊(duì)每天開(kāi)采鋅礦石的量為2x噸，

g工口口古土24002400c

根據(jù)題意，得:—=---3,

解得：乂=400（噸）,

經(jīng)檢驗(yàn)，久=400是原方程的解，且符合題意,

2比=800（噸），

答：甲、乙兩隊(duì)每天開(kāi)采銃礦石的量分別為800噸、400噸.

【變式4-1】一支園林隊(duì)進(jìn)行某區(qū)域的綠化，在合同期內(nèi)高效地完成了任務(wù)，這是記者與該

工程師的一段對(duì)話:

如果每人每小時(shí)綠化面積相同，請(qǐng)通過(guò)這段對(duì)話，求每人每小時(shí)的綠化面積.

【答案】2.5平方米

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，讀懂題意、設(shè)出未知數(shù)、找出合適的等量關(guān)

系，列方程是解答本題的關(guān)鍵.

設(shè)每人每小時(shí)的綠化面積為x平方米.然后根據(jù)對(duì)話內(nèi)容列出分式方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)每人每小時(shí)的綠化面積為x平方米.

根據(jù)題意，得鬻-溪^=3,

方程兩邊乘以24%得：180x4-18。x3=72x,

解得:%=2.5,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2.5時(shí)，24%=60力。，

所以，原分式方程的解為％=2.5.

答：每人每小時(shí)的綠化面積為2.5平方米.

【變式4-2］隨著科技的發(fā)展，人工智能使生產(chǎn)生活更加便捷高效.某科技公司生產(chǎn)了一批

新型搬運(yùn)機(jī)器人，打出了如下的宣傳：根據(jù)該宣傳，求新型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量.

運(yùn)量更高:||速度更快:I

每臺(tái)新型機(jī)器人比每臺(tái)舊型機(jī)每臺(tái)新型機(jī)器人搬運(yùn)

器人每天多搬運(yùn)20噸貨物！1960噸貨物的時(shí)間和每臺(tái)

舊型機(jī)器人搬運(yùn)720噸貨

物的啰間相同！|

|新型機(jī)器人簡(jiǎn)田

【答案】80噸

【分析】本題考查的是解分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)鍵正確列出方程.

設(shè)新型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量為X噸，則舊型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量為。-20)噸,

根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)新型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量為x噸，則舊型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量

為(%-20)噸，

根據(jù)題意得：岑=怎，

方程兩邊同乘乂(久-20),

得960(刀-20)=720x,

解得x=80,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是分式方程的解；

答：新型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量為80噸.

【變式4-3】為了建設(shè)“綠惠九龍?理想森活”示范區(qū)，花都區(qū)以“山與湖的率真"為設(shè)計(jì)愿景,

對(duì)九龍湖環(huán)湖步道進(jìn)行提升改造.步道總長(zhǎng)8000米，現(xiàn)由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包這項(xiàng)

改造工程.已知乙隊(duì)每天改造的長(zhǎng)度比甲隊(duì)多40米.

(1)若乙隊(duì)每天改造的長(zhǎng)度是甲隊(duì)每天改造長(zhǎng)度的2倍，則甲隊(duì)每天要改造多少米？

(2)若甲隊(duì)負(fù)責(zé)改造3000米，剩下的由乙隊(duì)完成，則兩隊(duì)改造時(shí)間相同，求甲、乙兩隊(duì)

每天各改造多少米？

【答案】⑴甲隊(duì)每天要改造40米

(2)甲隊(duì)每天要改造60米，乙隊(duì)每天要改造100米

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程求解即可；

(2)根據(jù)題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲隊(duì)每天要改造久米，則乙隊(duì)每天要改造(x+40)米，

由題意得：x+40=2x,

解得：%=40,

答：甲隊(duì)每天要改造40米；

(2)解：設(shè)甲隊(duì)每天要改造m米，則乙隊(duì)每天要改造(m+40)米，

?？赬*/口30008000-3000

由題意得：--m+4Q

解得：m=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，爪=60是原方程的解，且符合題意，

???m+40=100,

答：甲隊(duì)每天要改造60米，乙隊(duì)每天要改造100米.

【題型5分式方程應(yīng)用-行程問(wèn)題】

【典例5】4、B兩地相距180km,一輛公共汽車(chē)和一輛小汽車(chē)同時(shí)從4地出發(fā)駛往B地，小

汽車(chē)的平均速度是公共汽車(chē)的1.5倍，小汽車(chē)比公共汽車(chē)早lh到達(dá)B地.求兩車(chē)的平均

速度.

【答案】公共汽車(chē)的平均速度是60km/h,小汽車(chē)的平均速度是90km/h

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)公共汽車(chē)的平均速度為xkm/h,則小汽車(chē)的平

均速度為1.5xkm/h,根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：設(shè)公共汽車(chē)的平均速度為xkm/h,則小汽車(chē)的平均速度為1.5xkm/h,

由題意得，?一言=1，

解得X=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，久=60是原方程的解，符合題意，

.,-1.5%=1,5X60=90,

答：公共汽車(chē)的平均速度是60km/h,小汽車(chē)的平均速度是90km/h.

【變式5-1］某游客計(jì)劃駕車(chē)從/地前往B地旅游，有兩條路線可供選擇：

路線L全程35km,路況復(fù)雜，易出現(xiàn)擁堵.

路線2：全程50km,路況較好，紅綠燈少.

若走路線2的平均速度是走路線1的平均速度的浙，走路線2比走路線1到達(dá)8地的

時(shí)間少10分鐘.求走路線1到達(dá)B地所需的時(shí)間.

【答案】走路線1到達(dá)B地需要》時(shí)

【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，正確的列出方程是解題的關(guān)鍵，設(shè)

走路線1到達(dá)B地需要xh,根據(jù)走路線2的平均速度是走路線1的平均速度的弓倍，走

路線2比走路線1到達(dá)B地的時(shí)間少10分鐘，列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)走路線1到達(dá)8地需要xh,10分鐘=1小時(shí)，

O

QCtr50

由題意，得至X?=「，

x3x--

解得：X=-,

經(jīng)檢驗(yàn)，久=:是原方程的解且符合實(shí)際.

6

答：走路線1到達(dá)2地需要;小時(shí).

【變式5-2】在一次野營(yíng)訓(xùn)練中，/、3兩個(gè)小組同時(shí)從甲地出發(fā)，勻速步行到乙地.甲、乙

兩地相距7500m,/組的步行速度是8組的1.2倍，并且比8組早15min到達(dá)乙地.求

/組的步行速度.

【答案】A組的步行速度為100m/min

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意并正確列方程是解題關(guān)鍵.設(shè)2組速

度為無(wú)m/min,根據(jù)"/組的步行速度是B組的1.2倍，并且比B組早15min到達(dá)乙地"

列分式方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)3組速度為xm/min,則N組的步行速度為1.2xm/min,

75007500

根據(jù)題意，得

x1.2%=15,

經(jīng)檢驗(yàn)，K=詈是原分式方程的解，

則1.2%=100.

■■A組的步行速度為100m/min.

【變式5-3】小剛到離家1200米的電影院看電影，到電影院時(shí)發(fā)現(xiàn)錢(qián)包丟在家里，此時(shí)距

電影放映還有20分鐘，于是他立即步行（勻速）回家，在家拿錢(qián)包用了2分鐘，然后

騎自行車(chē)（勻速）返回電影院，己知小剛騎自行車(chē)的速度是步行速度的2.5倍，小剛騎

自行車(chē)到電影院比他從電影院步行到家少用了9分鐘.

（1）小剛步行的速度是每分鐘多少米？

（2）小剛能否在電影放映前趕到電影院？

【答案】（1）小剛步行的速度是每分鐘80米；

（2）小剛不能在電影放映前趕到電影院.

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)小剛步行的速度是每分鐘x米，則小剛騎自行車(chē)的速度是每分鐘2.5萬(wàn)米，利用時(shí)

間=路程+速度，結(jié)合小剛騎自行車(chē)到電影院比他從電影院步行到家少用了9分鐘，

可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論；

（2）利用時(shí)間=路程+速度，結(jié)合在家拿錢(qián)包用了2分鐘，可求出小剛回到電影院所

需時(shí)間，再將其與20分鐘比較后，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)小剛步行的速度是每分鐘無(wú)米，則小剛騎自行車(chē)的速度是每分鐘2.5%

米,

解得：%=80,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是所列方程的解，且符合題意，

???小剛步行的速度是每分鐘80米.

（2）解：小剛不能在電影放映前趕到電影院，理由如下：

根據(jù)題意小剛回到電影院所需時(shí)間為需+2+懸產(chǎn)23（分鐘）,

oUZ.bXoU

23>20,

???小剛不能在電影放映前趕到電影院.

【題型6分式方程應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題】

【典例6］據(jù)燈塔專(zhuān)業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧?！房偲狈窟_(dá)123.2

億元，登頂全球動(dòng)畫(huà)電影票房榜，是亞洲首部票房過(guò)百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電

影市場(chǎng)最高票房紀(jì)錄，該片來(lái)源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的"魔童"哪吒

形象：表面吊兒郎當(dāng)，實(shí)則勇敢堅(jiān)毅，強(qiáng)烈反差引發(fā)情感共鳴；"我命由我不由天”的不

屈精神，讓觀眾淚目.為滿(mǎn)足兒童對(duì)哪吒的喜愛(ài)，某玩具店決定各用300元購(gòu)進(jìn)了/、

5兩種哪吒玩偶.已知一個(gè)8種哪吒玩偶是一個(gè)/種玩偶價(jià)格的2倍，且購(gòu)進(jìn)兩種玩

偶的數(shù)量共15個(gè).求購(gòu)進(jìn)/、8兩種哪吒玩偶的單價(jià)各是多少元？

【答案】購(gòu)進(jìn)4B兩種哪吒玩偶的單價(jià)分別是30元，60元.

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)購(gòu)進(jìn)爾B兩種

哪吒玩偶的單價(jià)分別是x元，2x元，根據(jù)各用300元購(gòu)進(jìn)了“、5兩種哪吒玩偶，購(gòu)進(jìn)

兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè)，據(jù)此列方程，解方程并檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：設(shè)購(gòu)進(jìn)4B兩種哪吒玩偶的單價(jià)分別是萬(wàn)元，2沅,

,目古上一r,口300300y-

由題意可得，—+^=15,

解得x=30,

經(jīng)檢驗(yàn)：久=30是原分式方程的解,

即2x30=60(元)

???購(gòu)進(jìn)4B兩種哪吒玩偶的單價(jià)分別是30元，60元.

【變式6-1】、----/(.SpringFestivaD,是中國(guó)民間取隆重取昌有特色的傳統(tǒng)"P日之一,

一般指除夕和正月初一、春節(jié)期間，我國(guó)北方除夕夜多吃餃子，南方除夕一般是吃元宵

和年糕.年糕由于與"年高"諧音，取"步步高升"之意，承載著人們對(duì)新的一年的美好祝

愿，也逐漸成為了北方春節(jié)期間的一道美食.今年春節(jié)前，某超市老板用420元購(gòu)進(jìn)一

批年糕，又用800元購(gòu)進(jìn)了一批餃子，所購(gòu)年糕數(shù)量是餃子數(shù)量的75%,且每袋年糕的

進(jìn)價(jià)比每袋餃子的進(jìn)價(jià)少3元，請(qǐng)你求出每袋年糕和每袋餃子的進(jìn)價(jià)分別是多少元.

【答案】年糕每袋的進(jìn)價(jià)為7元，餃子每袋的進(jìn)價(jià)為10元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)每袋年糕的進(jìn)價(jià)為x元，則每袋餃子的進(jìn)價(jià)為

(%+3)元.根據(jù)"420元購(gòu)進(jìn)的年糕數(shù)量是800元購(gòu)進(jìn)餃子數(shù)量的75%"列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)每袋年糕的進(jìn)價(jià)為龍?jiān)?，則每袋餃子的進(jìn)價(jià)為(久+3)元.

根據(jù)題意得：￥=75%x黑，

解得：%=7,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=7時(shí)，x(x+3)*0,

所以原方程的解為光=7,

所以x+3=7+3=10,

答：年糕每袋的進(jìn)價(jià)為7元，餃子每袋的進(jìn)價(jià)為10元.

【變式6-2］第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年2月7日在黑龍江省哈爾濱市開(kāi)幕，吉祥物"濱

濱"和"妮妮"均以東北虎為原型創(chuàng)作而成，兩款毛絨玩具銷(xiāo)售火爆.閱讀下列素材解決

問(wèn)題.

號(hào)硬

"濱濱"和"妮妮"

濱濱妮妮

素材1"濱賓"的單價(jià)比"妮妮"的單價(jià)少40元；

素材2購(gòu)買(mǎi)"濱濱"和"妮妮"的費(fèi)用分別為8000元和5600元；

素材3"濱濱"的數(shù)量是"妮妮"的數(shù)量的2倍.

問(wèn)題解決求吉祥物"濱濱”的單價(jià).

【答案】"濱濱"的單價(jià)為100元

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的

關(guān)鍵.設(shè)"濱濱"的單價(jià)為X元，貝/妮妮”的單價(jià)為（X+40）元，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)"濱濱"和購(gòu)買(mǎi)"妮

妮"的費(fèi)用分別為8000元和5600元，且"濱濱"的數(shù)量是"妮妮"的數(shù)量的2倍，列出分

式方程，解方程即可.

【詳解】解："濱濱"的單價(jià)為x元，貝/妮妮"的單價(jià)為（久+40）元，由題意得：

8000?5600曲/0

丁=2義病，解得：久=100，

經(jīng)檢驗(yàn)，久=100為原分式方程的解，且符合題意，

答：“濱濱”的單價(jià)為100元.

【變式6-3】重慶一體育用品店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批乒乓球拍和羽毛球拍，其中每副乒乓球拍的進(jìn)

價(jià)比每副羽毛球拍的進(jìn)價(jià)多60元，已知用1120元購(gòu)進(jìn)的乒乓球拍和用640元購(gòu)進(jìn)的

羽毛球拍數(shù)量相等.該體育用品店乒乓球拍售價(jià)為每副200元，羽毛球拍售價(jià)為每副

120元

⑴每副乒乓球拍和羽毛球拍的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）若該體育用品店售出乒乓球拍的數(shù)量比羽毛球拍數(shù)量的3倍還多20副，問(wèn)羽毛球拍

賣(mài)出多少副時(shí)，獲利5600元？

【答案】⑴羽毛球拍的進(jìn)價(jià)為80元，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)為140元

(2)當(dāng)羽毛球拍賣(mài)出20副時(shí)，該體育用品店可以獲利5600元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程(組)

是解題的關(guān)鍵；

(1)設(shè)羽毛球拍的進(jìn)價(jià)為光元，則乒乓球拍的進(jìn)價(jià)為(久+60)元，根據(jù)題意列出分式方

程，解方程，即可求解；

(2)設(shè)羽毛球拍賣(mài)出的數(shù)量為y副，則乒乓球拍賣(mài)出的數(shù)量為(3y+20)副，根據(jù)題意

列出一元一次方程，解方程，即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)羽毛球拍的進(jìn)價(jià)為x元，則乒乓球拍的進(jìn)價(jià)為(x+60)元，依題意

得，

1120640

%+60x

解得x=80,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=80是原方程的解，且符合題意，

因此，羽毛球拍的進(jìn)價(jià)為80元，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)為80+60=140元；

答：羽毛球拍的進(jìn)價(jià)為80元，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)為140元；

(2)設(shè)羽毛球拍賣(mài)出的數(shù)量為y副，則乒乓球拍賣(mài)出的數(shù)量為(3y+20)副；

由題意知，總利潤(rùn)等于羽毛球拍的利潤(rùn)加上乒乓球拍的利潤(rùn)：

(120-80)y+(200-140)(3y+20)=5600

解得：y=20

答：當(dāng)羽毛球拍賣(mài)出20副時(shí)，該體育用品店可以獲利5600元.

【題型7分式方程應(yīng)用-方案問(wèn)題】

【典例7】2024年11月12日第15屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)在珠海開(kāi)幕，本次博覽會(huì)上

的超級(jí)明星是我國(guó)自主研發(fā)被譽(yù)為“蜂群母艦"的九天無(wú)人機(jī)，它首次亮相便震撼全

球.這也激發(fā)了航模小組對(duì)新款無(wú)人機(jī)模型的極大興趣和購(gòu)買(mǎi)欲望，于是他們?nèi)ツＰ蜕?/p>

店了解知道：一架/款無(wú)人機(jī)模型的價(jià)格比一架3款無(wú)人機(jī)模型的價(jià)格貴600元，用

9000元購(gòu)買(mǎi)A款無(wú)人機(jī)模型的數(shù)量與用5400元購(gòu)買(mǎi)B款無(wú)人機(jī)模型的數(shù)量相同.

⑴求/款無(wú)人機(jī)模型和B款無(wú)人機(jī)模型的單價(jià)各是多少元？

(2)航模小組計(jì)劃用18000元購(gòu)買(mǎi)無(wú)人機(jī)模型，要求/、8兩款模型都要購(gòu)買(mǎi)且錢(qián)剛好用

完，請(qǐng)求出所有的購(gòu)買(mǎi)方案.

【答案】(1)/款無(wú)人機(jī)模型的單價(jià)是1500元，5款無(wú)人機(jī)模型單價(jià)是900元

(2)購(gòu)買(mǎi)方案為：/款無(wú)人機(jī)模型3架，B款無(wú)人機(jī)模型15架；A款無(wú)人機(jī)模型6架，B

款無(wú)人機(jī)模型10架；4款無(wú)人機(jī)模型9架，8款無(wú)人機(jī)模型5架

【分析】本題考查分式方程解決實(shí)際問(wèn)題，二元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題.

(1)設(shè)4款無(wú)人機(jī)模型的單價(jià)是x元，則2款的單價(jià)為(比-600)元，根據(jù)"用9000元

購(gòu)買(mǎi)A款無(wú)人機(jī)模型的數(shù)量與用5400元購(gòu)買(mǎi)B款無(wú)人機(jī)模型的數(shù)量相同"列出方程，

求解并檢驗(yàn)即可解答；

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)/款型無(wú)人機(jī)模型加架，8款無(wú)人機(jī)模型〃架，根據(jù)"用18000元購(gòu)買(mǎi)無(wú)

人機(jī)模型，要求/、3兩款模型都要購(gòu)買(mǎi)且錢(qián)剛好用完”列出二元一次方程，根據(jù)題意

求出其正整數(shù)解，即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)/款無(wú)人機(jī)模型的單價(jià)是x元，則2款的單價(jià)為(久-600)元.根據(jù)

題意，得

90005400

x%—600

方程兩邊乘%(%-600)，得9000(%-600)=5400%,

解得久=1500,

經(jīng)檢驗(yàn)：久=1500時(shí)，%(%-600)*0

???x=1500是該分式方程的解.

則2款無(wú)人機(jī)模型單價(jià)是：%-600=1500-600=900(元)

答：4款無(wú)人機(jī)模型的單價(jià)是1500元，5款無(wú)人機(jī)模型單價(jià)是900元.

(2)解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)/款型無(wú)人機(jī)模型加架，2款無(wú)人機(jī)模型〃架，根據(jù)題意，得

1500m+900n=18000.

3

???m=12——n

'-m>M均為正整數(shù)

???n=5或10或15；

此時(shí)m=9或6或3

綜上，購(gòu)買(mǎi)方案為：

/款無(wú)人機(jī)模型3架，8款無(wú)人機(jī)模型15架：

/款無(wú)人機(jī)模型6架，8款無(wú)人機(jī)模型10架；

/款無(wú)人機(jī)模型9架，8款無(wú)人機(jī)模型5架.

【變式7-1】某校七、八年級(jí)師生開(kāi)展"一日游"活動(dòng)，已知七年級(jí)師生共250人，八年級(jí)師

生共230人.參觀某景點(diǎn)時(shí)，需要乘船游玩，現(xiàn)有力、B兩種型號(hào)的游船，每艘4型船的

座位數(shù)是每艘B型船的1.25倍.若七年級(jí)師生全部乘坐A型船若干艘，剛好坐滿(mǎn)；八年

級(jí)全部乘坐8型船，要比七年級(jí)乘坐的4型船總數(shù)多一艘且空10個(gè)座位.

(1)4、B兩種游船每艘分別有多少個(gè)座位；

(2)若兩個(gè)年級(jí)的師生聯(lián)合租船，且每艘游船恰好全部坐滿(mǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出所有的租船方案.

【答案】(1)4型船每艘有50個(gè)座位，B型船每艘有40個(gè)座位

(2)共3種租船方案：①租用12艘8型船；②租用4艘N型船，7艘8型船；③租用

8艘/型船，2艘2型船

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找

準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程.

(1)設(shè)8型船每艘有x個(gè)座位，貝1]4型船每艘有1.25萬(wàn)個(gè)座位，根據(jù)七年級(jí)師生全部乘坐

N型船若干艘，剛好坐滿(mǎn)；八年級(jí)全部乘坐8型船，要比七年級(jí)乘坐的N型船總數(shù)多

一艘且空10個(gè)座位.列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)租用/型船。艘，2型船6艘，根據(jù)兩個(gè)年級(jí)的師生聯(lián)合租船，且每艘游船恰

好全部坐滿(mǎn)，列出二元一次方程，求出非負(fù)整數(shù)解，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)B型船每艘有x個(gè)座位，貝口型船每艘有1.25x個(gè)座位，

230+10250

由題意得,

x1.25汽

解得，x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)，久=40是原分式方程的解，且符合題意.

???1.25%=50,

答：4型船每艘有50個(gè)座位，B型船每艘有40個(gè)座位;

(2)設(shè)需租用2型船a艘，租用B型船b艘，

由題意得，50a+406=250+230,

b=12-a,

又b均為非負(fù)整數(shù),

Alb=12或tb=7或tb=2'

???共3種租船方案：①租用12艘3型船；②租用4艘/型船，7艘2型船；③租用

8艘/型船，2艘8型船.

【變式7-2】某文具店銷(xiāo)售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價(jià)是筆記本的2倍，用120元

購(gòu)買(mǎi)筆記本的數(shù)量比用160元購(gòu)買(mǎi)鍋筆的數(shù)量多8.一學(xué)?；ㄙM(fèi)400元購(gòu)買(mǎi)該文具店的

鋼筆和筆記本作為獎(jiǎng)品頒發(fā)給"優(yōu)秀學(xué)生"，兩種獎(jiǎng)品的購(gòu)買(mǎi)數(shù)量均不少于20,且購(gòu)買(mǎi)

筆記本的數(shù)量是10的倍數(shù).

(1)請(qǐng)運(yùn)用適當(dāng)方法，求出鋼筆與筆記本的單價(jià).

(2)探究購(gòu)買(mǎi)鋼筆和筆記本數(shù)量的所有方案.

【答案】⑴筆記本的單價(jià)為5元/本，鋼筆的單價(jià)為10元/支

⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)筆記本的單價(jià)為x元/本，根據(jù)"用120元購(gòu)買(mǎi)筆記本的數(shù)量比用160元

購(gòu)買(mǎi)鋼筆的數(shù)量多8件"列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)鋼筆a支，筆記本6本.根據(jù)"總花費(fèi)為400元"列出方程，根據(jù)a220,

fa>20,且b是10的倍數(shù)，求出a,b的值即可.

【詳解】(1)設(shè)筆記本的單價(jià)為x元/本，則鋼筆的單價(jià)為2x元/本.

根據(jù)題意，得號(hào)=嘿+8，

解得久=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的根，

此時(shí)2久=10.

答：筆記本的單價(jià)為5元/本，鋼筆的單價(jià)為10元/支.

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)鋼筆a支，筆記本b本.根據(jù)題意，得

10a+51=400,

1

化簡(jiǎn)得。=40-/.

由題意，得。>20,b>20,且b是10的倍數(shù)，

a-3ofa-25a-2o

或

l或

b-2olb-3Ob-4O

故有以下方案：方案一：購(gòu)買(mǎi)鋼筆30支，筆記本20本；

方案二：購(gòu)買(mǎi)鋼筆25支，筆記本30本；

方案三：購(gòu)買(mǎi)鋼筆20支，筆記本40本.

【變式7-3】荷花文化節(jié)前夕，我市對(duì)觀光路工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書(shū),

甲、乙施工一天的工程費(fèi)用分別為1.5萬(wàn)元和1.1萬(wàn)元，市政局根據(jù)甲乙兩隊(duì)的投標(biāo)書(shū)測(cè)

算，應(yīng)有三種施工方案：

①甲隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程剛好如期完成.

②乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程，要比規(guī)定日期多5天.

③若甲、乙兩隊(duì)合作4天后，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完成.求：

⑴甲乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？

(2)在確保如期完成的情況下，你認(rèn)為哪種方案最節(jié)省工程款，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

【答案】⑴甲隊(duì)單獨(dú)完成需要20天，，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要25天；

⑵方案③最省錢(qián)

【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用：

(1)設(shè)工程期為x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成用x天，乙隊(duì)單獨(dú)完成用Q+5)天，把工作總

量看做單位1,根據(jù)甲、乙兩隊(duì)合作4天后，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完

成列出方程求解即可；

(2)根據(jù)(1)所求分別求出對(duì)應(yīng)方案的費(fèi)用，比較即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)工程期為x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成用x天，乙隊(duì)單獨(dú)完成用(x+5)天,

由題意得，.+京=1，

解得久=20,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解，且符合題意，

：.x+5=25,

答：甲隊(duì)單獨(dú)完成需要20天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要25天；

(2)解：方案①的費(fèi)用為1.5x20=30萬(wàn)元，

方案②的費(fèi)用為25X1.1=27.5萬(wàn)元，但是此種方案耽誤工期，不符合題意；

方案③的費(fèi)用為4x1.5+20X1.1=28萬(wàn)元，

0.,28<30,

.?.方案③最省錢(qián).

【題型8分式方程應(yīng)用-其他問(wèn)題】

【典例8】中國(guó)快遞越來(lái)越"科技范兒”，分揀機(jī)器人、大數(shù)據(jù)力/調(diào)度等智能裝備系統(tǒng)讓快遞

"跑"得更快.某分揀倉(cāng)庫(kù)自采用智能分揀系統(tǒng)后，倉(cāng)庫(kù)分揀快遞的能力得到了很大提

升.該倉(cāng)庫(kù)主要使用力，B兩種不同型號(hào)的分揀機(jī)器人，已知4型機(jī)器人每分鐘分揀快遞

的數(shù)量是B型機(jī)器人每分鐘分揀數(shù)量的1.2倍，且4型機(jī)器人分揀900件快遞所用時(shí)間比

B型機(jī)器人分揀800件所用時(shí)間少0.5分鐘.問(wèn)B型機(jī)器人每分鐘分揀快遞多少件?

工￡

A型B型

【答案】B型機(jī)器人每分鐘分揀快遞100件.

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確列出分式方程并求

解.

根據(jù)題意列出分式方程并求解即可.

【詳解】解：設(shè)B型機(jī)器人每分鐘分揀快遞x件，4型機(jī)器人每分鐘分揀快遞1.2x件，

根據(jù)題意可列方程：蜉=矍+0—5，

解得：%=100,

經(jīng)檢驗(yàn)x=1。0是原方程的解.

答：B型機(jī)器人每分鐘分揀快遞100件.

【變式8-1】保護(hù)森林資源是每個(gè)公民義不容辭的責(zé)任，加大廢紙的回收再利用可以有效減

少人類(lèi)對(duì)森林資源的破壞.據(jù)統(tǒng)計(jì)，生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張，所用木材的質(zhì)量比廢紙的質(zhì)量

多0.15噸.已知用750噸廢紙生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)紙張的質(zhì)量是用700噸木材生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)紙張質(zhì)

量的1.2倍，求生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量.

【答案】生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量為1.4噸

【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)題意先設(shè)生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)

量為x噸，根據(jù)題意列式計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量為x噸.

根據(jù)題忌，得==I?X-.

X—U.1DX

解，得x=1.4.

經(jīng)檢驗(yàn)，久=1.4是原分式方程的解.

答：生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量為14噸.

【變式8-2］某公司為促進(jìn)智能化發(fā)展，引進(jìn)了甲，乙兩種型號(hào)的機(jī)器人運(yùn)送物品，己知每

個(gè)甲型機(jī)器人比每個(gè)乙型機(jī)器人每小時(shí)多運(yùn)送50kg物品,每個(gè)甲型機(jī)器人運(yùn)送2000kg

物品所用的時(shí)間與每個(gè)乙型機(jī)器人運(yùn)送1500kg物品所用的時(shí)間相等.求甲，乙兩種機(jī)

器人每小時(shí)分別運(yùn)送多少物品？

【答案】甲種機(jī)器人每小時(shí)運(yùn)送200kg物品，則乙種機(jī)器人每小時(shí)運(yùn)送150kg物品

【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)甲種機(jī)器人每小時(shí)運(yùn)送xkg物品，則

乙種機(jī)器人每小時(shí)運(yùn)送Q-50）kg物品，再根據(jù)每個(gè)甲型機(jī)器人運(yùn)送2000kg物品所用的

時(shí)間與每個(gè)乙型機(jī)器人運(yùn)送1500kg物品所用的時(shí)間相等建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)甲種機(jī)器人每小時(shí)運(yùn)送xkg物品，則乙種機(jī)器人每小時(shí)運(yùn)送（%—50）kg物

品，

上

由題意得，—20001500

解得x=200,

經(jīng)檢驗(yàn)，*=200是原方程的解，且符合題意,

.,.%—50=150,

答：甲種機(jī)器人每小時(shí)運(yùn)送200kg物品，則乙種機(jī)器人每小時(shí)運(yùn)送150kg物品.

【變式8-3】某批發(fā)商購(gòu)進(jìn)哪吒、敖丙兩種掛件，已知每個(gè)哪吒掛件的進(jìn)價(jià)比每個(gè)敖丙掛件

的進(jìn)價(jià)貴1元，用400元購(gòu)買(mǎi)哪吒掛件的個(gè)數(shù)恰好與用360元購(gòu)買(mǎi)敖丙掛件的個(gè)數(shù)相同.

⑴求該批發(fā)商購(gòu)進(jìn)哪吒、敖丙兩種掛件的單價(jià)各是多少元；

（2）若該批發(fā)商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)哪吒、敖丙兩種掛件共500個(gè)，且決定將哪吒掛件以每個(gè)14元,

敖丙掛件以每個(gè)12元的價(jià)格對(duì)外出售，若要獲得總利潤(rùn)為1800元，應(yīng)購(gòu)進(jìn)哪吒、敖丙

兩種掛件各多少個(gè)？

【答案】（1）該批發(fā)商購(gòu)進(jìn)哪吒掛件的單價(jià)是10元，敖丙掛件的單價(jià)是9元

⑵購(gòu)進(jìn)哪吒掛件300個(gè)，敖丙掛件200個(gè)

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找

準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程.

（1）設(shè)該批發(fā)商購(gòu)進(jìn)哪吒掛件的單價(jià)是X元，則購(gòu)進(jìn)敖丙掛件的單價(jià)是（X-1）元，根據(jù)

用400元購(gòu)買(mǎi)哪吒掛件的個(gè)數(shù)恰好與用360元購(gòu)買(mǎi)敖丙掛件的個(gè)數(shù)相同，列出分式方程,

解方程即可；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)哪吒掛件m個(gè)，則購(gòu)進(jìn)敖丙掛件（500-爪）個(gè)，根據(jù)要獲得總利潤(rùn)為1800元，

列出一元一次方程，解方程即可.

【詳解】（1）解：設(shè)該批發(fā)商購(gòu)進(jìn)哪吒掛件的單價(jià)是x元，則購(gòu)進(jìn)敖丙掛件的單價(jià)是Q-1）

元，

由題意得：—=

解得：X=10,

經(jīng)檢驗(yàn)，久=10是原方程的解，且符合題意，

?,?x—1=9,

答：該批發(fā)商購(gòu)進(jìn)哪吒掛件的單價(jià)是10元，敖丙掛件的單價(jià)是9元；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)哪吒掛件機(jī)個(gè)，則購(gòu)進(jìn)敖丙掛件（500-機(jī)）個(gè)，

由題意得：（14—10）爪+（12-9）（500-m）=1800,

解得：x=300,

???500—m=200,

答：購(gòu)進(jìn)哪吒掛件300個(gè)，敖丙掛件200個(gè).

%達(dá)標(biāo)測(cè)試/

一、單選題

1.分式方程七=2的解是（）

A.%=-|B.x=2C.%=—|D.x=|

【答案】A

【分析】本題考查解分式方程的能力，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方

程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.觀察可得方程兩邊只需同乘（3%-1）即可將分式方程轉(zhuǎn)化為整式

方程.

【詳解】解：方程兩邊同乘（3久-1）,得1=2（3久-1）,

解得%日,

經(jīng)檢驗(yàn)，"=2是方程的解，

故選：A.

2.為了踐行“綠色生活"的理念，甲、乙兩人每天騎自行車(chē)出行，甲勻速騎行35千米的時(shí)間

與乙勻速騎行40千米的時(shí)間相同，己知甲每小時(shí)比乙每小時(shí)少騎行2千米，設(shè)甲每小

時(shí)騎行X千米，根據(jù)題意列出的方程正確的是（）

40_3540_3540_3540_35

A-T=^B.—=C'^=~D-==三

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)甲每小時(shí)騎行X千米，則乙每小時(shí)騎

行（x+2）千米，再根據(jù)甲勻速騎行35千米的時(shí)間與乙勻速騎行40千米的時(shí)間相同列

出方程即可.

【詳解】解：由題意得，瞿=當(dāng)，

故選：C.

3.《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫(huà)面裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為2.4米，寬

為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫(huà)寬與長(zhǎng)的比是8：13,且四周邊襯的寬度相等，則

邊襯的寬度應(yīng)是多少米？設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程為（）

?1.4-x8-1.4-2x81.4+2x8

A止L=2B----