群論考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪個是群的性質(zhì)？（）A.封閉性B.可交換性C.分配律答案：A2.群中單位元（）。A.唯一B.不唯一C.可有多個答案：A3.若群\(G\)中元素\(a\)的階為\(n\)，則\(a^n\)等于（）。A.\(a\)B.\(e\)（單位元）C.\(a^{-1}\)答案：B4.整數(shù)加法群\((\mathbb{Z},+)\)是（）。A.有限群B.無限群C.置換群答案：B5.群\(G\)的子群\(H\)，若對任意\(g\inG\)，\(gH=Hg\)，則\(H\)是（）。A.正規(guī)子群B.循環(huán)子群C.交換子群答案：A6.群中元素\(a\)與\(a^{-1}\)的階（）。A.相等B.不相等C.無關(guān)系答案：A7.對稱群\(S_3\)的階是（）。A.3B.6C.9答案：B8.循環(huán)群\(G=\langlea\rangle\)，若\(|G|=n\)，則\(G\)的生成元個數(shù)為（）。A.\(n\)B.\(\varphi(n)\)（歐拉函數(shù)）C.1答案：B9.若\(G_1\)和\(G_2\)是同構(gòu)的群，則（）。A.\(|G_1|\neq|G_2|\)B.結(jié)構(gòu)相同C.元素相同答案：B10.群\(G\)中，若\(ab=ba\)對任意\(a,b\inG\)成立，則\(G\)是（）。A.交換群B.非交換群C.循環(huán)群答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下屬于群的是（）A.整數(shù)乘法群B.非零實(shí)數(shù)乘法群C.平面上所有旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的集合關(guān)于旋轉(zhuǎn)合成運(yùn)算答案：BC2.群的同態(tài)基本定理涉及（）A.群B.同態(tài)C.正規(guī)子群答案：ABC3.關(guān)于群中元素的階，正確的是（）A.有限群中元素階有限B.元素\(a\)的階整除群的階C.若\(a^m=e\)，則\(a\)的階整除\(m\)答案：ABC4.以下是對稱群\(S_n\)的性質(zhì)的有（）A.階為\(n!\)B.包含所有\(zhòng)(n\)元置換C.一定是交換群答案：AB5.循環(huán)群的特點(diǎn)有（）A.由一個元素生成B.一定是交換群C.子群也是循環(huán)群答案：ABC6.子群的判定條件包括（）A.非空B.封閉性C.對逆元封閉答案：ABC7.有限群\(G\)的子群\(H\)，以下正確的是（）A.\(|H|\)整除\(|G|\)B.\(G\)可分解為\(H\)的左陪集的并C.\(H\)的左陪集個數(shù)等于右陪集個數(shù)答案：ABC8.群的同構(gòu)關(guān)系具有（）A.自反性B.對稱性C.傳遞性答案：ABC9.關(guān)于正規(guī)子群，正確的是（）A.商群存在B.共軛類唯一C.左陪集和右陪集相等答案：AC10.以下哪些可以作為群的運(yùn)算（）A.矩陣加法B.矩陣乘法（可逆矩陣集合）C.集合的并運(yùn)算答案：AB三、判斷題（每題2分，共20分）1.任意集合對于某種運(yùn)算都能構(gòu)成群。（×）2.群中元素的逆元是唯一的。（√）3.循環(huán)群一定是有限群。（×）4.對稱群\(S_n\)中所有偶置換構(gòu)成正規(guī)子群。（√）5.若群\(G\)中元素\(a\)的階為\(m\)，\(b\)的階為\(n\)，則\(ab\)的階為\(mn\)。（×）6.子群的交集還是子群。（√）7.群\(G\)與自身一定同構(gòu)。（√）8.所有有限群都有生成元。（×）9.若\(H\)是群\(G\)的子群，\(g\inG\)，則\(gH\)和\(Hg\)元素個數(shù)相同。（√）10.交換群的子群一定是交換群。（√）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述群的定義。答案：集合\(G\)與二元運(yùn)算\(\cdot\)滿足：封閉性，即對任意\(a,b\inG\)，\(a\cdotb\inG\)；結(jié)合律，\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)；有單位元\(e\)，使\(a\cdote=e\cdota=a\)；對任意\(a\inG\)有逆元\(a^{-1}\)，滿足\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\cdota=e\)。2.說明判定子群的步驟。答案：先證子集合非空，再驗(yàn)證對于群中運(yùn)算封閉，即任意\(a,b\)屬于子集合，\(ab\)也屬于；最后驗(yàn)證對逆元封閉，即\(a\)屬于子集合，則\(a^{-1}\)也屬于。3.什么是群的同態(tài)？答案：設(shè)\((G_1,\cdot)\)和\((G_2,\circ)\)是兩個群，映射\(\varphi:G_1\toG_2\)滿足\(\varphi(a\cdotb)=\varphi(a)\circ\varphi(b)\)對任意\(a,b\inG_1\)成立，則\(\varphi\)是\(G_1\)到\(G_2\)的群同態(tài)。4.簡述拉格朗日定理。答案：有限群\(G\)的子群\(H\)的階\(|H|\)整除群\(G\)的階\(|G|\)，且\(G\)可分解為\(H\)的互不相交的左（右）陪集的并，左（右）陪集個數(shù)等于\(|G|/|H|\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論循環(huán)群在密碼學(xué)中的應(yīng)用原理。答案：循環(huán)群有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。在密碼學(xué)中，利用循環(huán)群中離散對數(shù)問題的困難性設(shè)計(jì)密碼體制。例如Diffie-Hellman密鑰交換，基于有限循環(huán)群中計(jì)算離散對數(shù)困難，保證通信雙方安全交換密鑰，防止密鑰被竊取。2.分析群同構(gòu)在研究群結(jié)構(gòu)中的意義。答案：群同構(gòu)表明兩個群結(jié)構(gòu)本質(zhì)相同。通過同構(gòu)，可將復(fù)雜群與簡單群建立聯(lián)系，把對一個群的研究成果推廣到同構(gòu)的群。簡化對群結(jié)構(gòu)的分析，只需研究同構(gòu)類代表，有助于深入理解群的性質(zhì)和分類。3.探討正規(guī)子群與商群的關(guān)系及重要性。答案：正規(guī)子群是商群存在的基礎(chǔ)，商群由正規(guī)子群的陪集構(gòu)成。正規(guī)子群決定商群結(jié)構(gòu)，商群繼承群的部分性質(zhì)。它們在群的分解、研究群同態(tài)