2024-2025學(xué)年四川省眉山市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考檢測試

題

一、選擇題（本題共8道小題，每小題5分，共40分）

1.直線壇+行了一1=°的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】化成斜截式方程得斜率為左=一6，進而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

y=-43x+

【詳解】將直線一般式方程化為斜截式方程得：2

所以直線的斜率為左=一8,

所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為120°.

故選：C

2.若甲、乙、丙三人排隊，則甲不排在第一位的概率為（）

—1—1J_2

A.4B.3c.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】先列舉出所有基本事件，再找出甲不排在第一位的基本事件，由古典概型求解即可.

【詳解】甲、乙、丙三人排隊的可能順序有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲,

丙、甲、乙，丙、乙、甲共6種情況,

4_2

其中甲不排在第一位的有4種情況，則甲不排在第一位的概率為％3.

故選：D.

3.在等差數(shù)列｛4｝中，％+%=24,則4+%+%的值是（）

A.36B.48C.72D.24

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差中項的性質(zhì)求得%=12,再由"6+%+。8=3%即可得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè),%+孫=2%=24,則%=12,

所以。6+。7+。8=3%=36

故選：A

4.已知圓G：（x+iy+（y-3）2=4,圓。2：（x-2）2+0+1）2=9,則圓G與圓02的位置關(guān)

系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

【答案】D

【解析】

【分析】利用圓心距跟半徑的和差關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系.

【詳解】圓心距℃=抱+/33）2=5,-+3=5

所以兩圓外切.

故選：D

5.若點尸是拋物線V=8x上一點，且點尸到焦點廠的距離是它到〉軸距離的3倍，則P尸的

中點到了軸距離等于（）

3

A.1B.2C.2D,3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用拋物線上的點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離建立等量關(guān)系，求出尸點橫坐標(biāo)，再求出

PF的中點橫坐標(biāo)，則PF的中點到y(tǒng)軸距離可求.

【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為》=-2,F（2,0）,

由拋物線的定義，得點尸G°'y°）到焦點尸的距離等于點尸到準(zhǔn)線的距離，

則Xo+2=3x°,解得%=1.

1+233

所以P尸的中點的橫坐標(biāo)為22,所以P尸的中點到了軸距離等于5.

故選：B.

6.已知直線/：y=x+機與曲線x=^4-/有兩個公共點，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A」-2,20）B.（一2/「2]cl"/）>5

【答案】B

【解析】

【分析】畫出圖像，當(dāng)直線/過點48時，求出加值;當(dāng)直線/與曲線”=">?相切時.求出加,

即可得出加的取值范圍.

【詳解】畫出如下圖像：

當(dāng)直線1過點48時，機=-2,此時直線I與

曲線x=j4—/有兩個公共點；

直線/與曲線相切時，機=-2近，

因此當(dāng)一20〈加W—2時，直線/與

曲線x=j4—/有兩個公共點.

故選B

【點睛】本題考查了直線與圓相切時滿足的關(guān)系，以及點到直線的距離公式,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)

學(xué)思想，準(zhǔn)確判斷出曲線方程所表示曲線形狀,且根據(jù)題意畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

7.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為色，滿足%S9=S,則（）

A.d>QB.S〃的最大值為S23

c.%2=0D.滿足S">°的最大自然數(shù)〃的值為23

【答案】C

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的前九項和公式可得為+114=°,結(jié)合％〉°即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為“

由S9二兒,

加+"d=14q+3d

可得22

整理可得%+1W=0,由%〉0

所lld=一q<0,即"<0,故A錯誤;

根據(jù)"<0，則數(shù)列為遞減數(shù)列，％+Ud=°,即％2=°,

則前11項或前12項的和最大，故B錯誤；C正確；

n(n-l}n(n-l}

S“=naH——----a=na-\——------—Q]n-------->--0-

n1}2]2I22)

n--——^>0

所以22gpn2-23M<0,解得0<〃<23,

滿足S">°的最大自然數(shù)〃的值為22,故D錯誤；

故選：C

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前及項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)

題.

8.己知雙曲線/b2(以6均為正數(shù))的兩條漸近線與直線％=-1圍成的三角形的面積

為百，則雙曲線的離心率為()

N.娓B.8C,2#>D,2

【答案】D

【解析】

【分析】首先得到雙曲線的漸近線方程，再令》=-1,即可得到A、8坐標(biāo)，再根據(jù)面積公式

J

求出。，最后由離心率公式計算可得；

【詳解】解：雙曲線的漸近線為a，令x=-1,可得a

不妨令Va\a

所以阿所以如比1=",，陽|=2百

即江2石所以

C

e=—

所以a

故選：D

二、多選題（本題共4道小題，每小題4分，共20分）

9.對于直線4：""+2y+3a=0J2：3x+（a_l）y+3—a=0,以下說法正確的有（）

A.4〃,2的充要條件是。=3

2

a=—/I1

B.當(dāng)5時，，1工，2

c,直線4-定經(jīng)過點.（工。）

D.點0°'3）到直線4的距離的最大值為5

【答案】BD

【解析】

_2

【分析】求出4〃,2的充要條件即可判斷A；驗證M時，兩直線斜率之積是否為-1,判斷B；

求出直線4經(jīng)過的定點即可判斷c；判斷何種情況下點尸(L3)到直線4的距離最大，并求出最大

值，可判斷D.

【詳解】當(dāng)時，一一1)—6=0解得。=3或°=一2,

x—+3—0,x—yH—=0

當(dāng)。=-2時，兩直線為3,符合題意；

當(dāng)°=3時，兩直線為3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合題意，故A錯誤；

2,1

a=-,c1ociuc1o(\ki'k.——x5——1

當(dāng)5時，兩直線為x+5y+3=0,15x—3y+13=0,…？5,

所以4"2,故B正確；

直線4:ax+2y+3。=0即直線q(x+3)+2>=0,故直線過定點(—3,0),g錯誤；

因為直線4:盆+2尸3a=0過定點(-3,0),當(dāng)直線4:ax+2y+3。=0與點尸(1，3)和

(TO)的連線垂直時，尸0,3)到直線人的距離最大，最大值為』(1+3)2+(3.0)2=5,

故D正確，

故選:BD.

10.下列結(jié)論正確的是()

IV」，?

A.若>=lnx,貝|j%B,若歹=85"則歹=5111%

x,A八,

C.若卜=/，則y'=xe、iD.若y=G,則2G

【答案】AD

【解析】

【分析】對于AB,根據(jù)對數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的求導(dǎo)公式判斷即可，對于C,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)

公式即可，D選項根據(jù)幕函數(shù)的求導(dǎo)公式即可.

y=-

【詳解】對A,若N=lnx,則x,正確

對B,若〉=35多則/=-sinx,錯誤;

對c,y=Q，貝ijy=e,錯誤;

，=j_j_

對D,若歹=&,則3&,正確.

故選：AD.

11.設(shè)A,8為兩個隨機事件，以下命題正確的為（）

尸（N）=g則尸皿嗎

A.若A,8是互斥事件,

B.若A,3是對立事件，則，（/08）=1

尸（/）=；P⑻=之P（AB\7=9-

C.若A,B是獨立事件,則'

D若尸⑶V尸GA!則A,3是獨立事件

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用互斥事件與相互獨立事件的性質(zhì)逐一判斷即可

P（A）=-P（5）=-P（^U5）=-+-=-

【詳解】對于A：若A,B是互斥事件，3,''2,則'7326,

故A錯誤；

對于B：若A,8是對立事件，貝ijP（NU3）=尸⑷+尸（8）=1,故B正確；

P（A）=-P（B）=--P（5）=-

對于C：若A,3是獨立事件,3,3,則A,3也是獨立事件V73

111

P（AB^=P{A}P（B^=—X———

則339,故c正確;

Pp）=-P（5）=-P（B）=-P（AB}=-=-X-=P（A'\P（B}_

對于D：若''3,"'4,則'4且IJ434I'’，則4

8是獨立事件，故A,B也是獨立事件，故D正確；

故選：BCD

12.在棱長為。的正方體”8四一48￡°1中，貝!j（）

A盟,平面83

B.直線“與平面片CR所成角為45。

c,三棱錐A—m的體積是正方體ABCD—44GR體積的?

旦a

D.點C到平面4sl2的距離為2"

【答案】AC

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量解決角度距離問題.

［詳解】正方體ABCD一481Goi中，以A為坐標(biāo)原點,分別以皿皿44］為X軸，了軸,

Z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有A（0,0,0）,8（a,0,0）,C（a,a,0）,。（0,a,0）,

4（0,0,〃），4（a,0,a），G（0,。,〃）

葩二（a,0,a）BC=（0,a,0）西二（—a,0,a）ABBC=0斯?西=0

，，，c，，

得ZB】LBC,AB.1CD,由BC,CRu平面BCR,BCcCn=C,二/與，平面BC，

A選項正確；

AQ=（-a,a,0）,B］C=e，a,-a）,設(shè)平面'CA的一個法向量〃=（'//）,

BQ、,n=-ax+砂=0

<

則有［而.萬=即一。2=0,令x=i,得y=i,z=i,則萬=（w）,

/一、\ABn\V6V2

c2a

cos",")=-—w—

k——(2V2xV3

’,所以直線“與平面4cA所成角不是45°,

B選項錯誤;

S

△BCD谷^cDt=^-xV2axV2axsin60°

為邊長為12a的等邊三角形，2

幺4,可_2a_2^3

點A到平面Ben的距離'\n\也,

°37_1G22g_13

Ar>、R，A—XX----

三棱錐/一8。口的體積A-R1cn1_31rn1n-—32(23CL——3CI,而棱長為0的正方

體ABCD—481Goi的體積為a3,

1

所以三棱錐4—Bg的體積是正方體ABCD-44Goi體積的3,c選項正確；

福=(a,0,a),西=(O,a,a),設(shè)平面ZgA的一個法向量玩=(￡,_/,z'),

fr

ABX-m=ax+az=0

則有［函.萬=即'+國=0,令x'=l,得V=l,z'=—l,則比=(1/，T),

,國向aV3

____?h—J_______i-___——Q

ZG=3%。)，點G到平面得2的距離為C\m\83,故口選項錯誤.

故選：AC

三、填空題(本題共4道小題，每小題5分，共20分)

13.已知等比數(shù)列｛4｝中，%=4,%=8,則即)=

【答案】16

【解析】

【分析】將等比數(shù)列的通項公式代入%=4,匍=8中，可得小,再求力。的值。

4=a「d4°

S5nq=2

［詳解］；"2=4,%=8,［8=a「q,,

4

.al0=a6-q=16

故答案為：16.

【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量運算，考查運算求解能力，求解時注意廣義通項公式

的應(yīng)用.

14已知空間向量5=（1，°，1）,3=（2,—1,2）,則向量B在向量之上的投影向量是

【答案】（2,°，2）

【解析】

r

r_1^1cos<a>\a\

【分析】由向量6在向量a上的投影向量為“，回，計算即可求出答案.

【詳解】向量g=（l，°/），B=（2,-l,2）,

貝I」|a|=V2,|B|=3,g.B=4,

所以向量B在向量1上的投影向量為

IT3〉二邛*,g=3x

%cos<,\a\卜帆同3V2V21）=（2?2）

故答案為：（2，°，2）.

15.直線>=日+1與圓/+/=1相交于48兩點，且以回=6,則實數(shù)上的值等于

【答案】±百

【解析】

【分析】先根據(jù)圓心到直線距離與弦長一半的平方和等于半徑的平方，求出圓心到直線距離，再

根據(jù)點到直線的距離公式即可得出結(jié)果。

【詳解】解：由題知，圓一+「=1的圓心為（°'°）,半徑為1,

d=

因為|明=百2

,所以圓心到直線的距離

Jl+公

因為直線>=丘+1,所以2

解得％=±百，

故答案為：士6

22

FZ7E：--+-^-r-=1(￡Z>Z7>0)

16.已知4/2是橢圓ab的左，右焦點，￡上兩點4"滿足

3AF?=2用閔陽=2”21,則E的離心率為.

V5

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)所給線段的長度關(guān)系及橢圓的定義，求出△“8片的邊長，利用余弦定理求cosB,

在△88片中再由余弦定理即可求出離心率.

【詳解】如圖，

因為3/月=2月3,所以可設(shè)|/月|=2/,|月31=3/,

又H周=2|典所以|幺不=今，

_a

由橢圓定義，M不+Mg1=6/=2a,即'

^\BF1\=2a-\BF2\=2a-a=a即瓦點為短軸端點,

所以在ZB片中,

「+'「_|盟「?2+(?+y)2-(y)2

Im3

cosB=

2\BF\-\BA\

}2a--5

3

c。小」即"I.「一格用22/—叱J2c2了

又在△鳥8片中，2\BF}\-\BF2\2a-a5

解得5或5（舍去）.

V5

故答案為：§

四、解答題（本題共6道小題，第1題10分，第2題12分，第3題12分，第4題12分，第5

題12分，第6題12分，共70分）

17.已知某區(qū)甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)分別為240,160,80.為助力疫情防控，

現(xiàn)采用按比例分配分層抽樣的方法，從這三所學(xué)校的教師志愿者中抽取6名教師，參與“抗擊疫

情?你我同行”下卡口執(zhí)勤值守專項行動.

（1）求應(yīng)從甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者中分別抽取的人數(shù)；

（2）設(shè)抽出的6名教師志愿者分別記為A,B,C,D,E,F,現(xiàn)從中隨機抽取2名教師

志愿者承擔(dān)測試體溫工作.

①寫出本次實驗的樣本空間；

②設(shè)M為事件“抽取的2名教師志愿者來自同一所學(xué)校"，求事件"發(fā)生的概率.

4

P（M）=—

【答案】（1）分別抽取3人，2人，1人；（2）①見解析；②15.

【解析】

【分析】（1）由已知，甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)之比為3：2：1,進而計算可得相

應(yīng)的人數(shù)；

（2）①列舉隨機抽取2名教師志愿者的所有結(jié)果共15種；

②隨機抽取的2名教師來自同一學(xué)校的所有可能結(jié)果為源，§},{/,G,伊，C},{。，

￡},共4種，由概率公式可得.

【詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)之比為3：2：1

由于采用分層抽樣的方法從中抽取6名教師，

因此應(yīng)從甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者中分別抽取3人，2人，1人；

（2）①從抽出的6名教師中隨機抽取2名教師的所有可能結(jié)果為B},

D}{AE}{AF}{BC}{BD}{BE}{BF}{CD}{CE}

，，，，，，，，，，，，，，，，，

{C,用，￡},“，用，{￡,用，共15種.

②由①，不妨設(shè)抽出的6名教師中，來自甲學(xué)校的是A,B,C,來自乙學(xué)校的是。，E,來

自丙學(xué)校的是尸，則從抽出的6名教師中隨機抽取的2名教師來自同一學(xué)校的所有可能結(jié)果為

{/,團，源，C},{B,C},QE},共4種.

4

P(M)=—

所以，事件M發(fā)生的概率15.

18.已知圓°的圓心坐標(biāo)°』)，直線/：x+〉=l被圓0截得弦長為血.

(1)求圓°的方程；

(2)從圓°外一點P(2,3)向圓引切線，求切線方程.

【答案】⑴(I)+&T)=1

⑵x=2或緘-4y+6=0

【解析】

【分析】(1)計算出圓心°到直線/的距離，利用勾股定理求出圓C的半徑，由此可得出圓°的

方程；

(2)對切線的斜率是否存在進行分類討論，在第一種情況下，寫出切線方程，直接驗證即可；

在第二種情況下，設(shè)出切線方程為＞—3="("—2),利用圓心到切線的距離等于圓的半徑，由

此可得出所求切線的方程.

【小問1詳解】

.」1+尸=也

解：圓心°到直線/的距離為J22,

fpfTTM1

r=,+=1

122

所以，圓C的半徑為八JIJ,

因此，圓C的方程為(I)+QT)=1.

【小問2詳解】

解：當(dāng)切線的斜率不存在時，則切線的方程為2,且直線x=2與圓C相切，合乎題意;

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為'一3二"(》—2),即日—y+3-2%=0,

由題意可得J公+1，解得4,此時，切線的方程為3》-4歹+6=0.

綜上所述，所求切線的方程為x=2或3x-4y+6=0.

13a

?i=T，?i=--lir

19.在數(shù)列｛aj中，123n+%+3.

(1)求出“2，%,猜想｛"'｝的通項公式；并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

b,—_3_"

(2)令"%,北為數(shù)列也｝的前〃項和，求北.

333

=—%=—=----

【答案】(1)7,8,〃+5,證明見解析

【解析】

【分析】(1)代入計算即可得到出，生,按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可;

(2)4=3-(〃+5),再利用錯位相減法即可.

【小問1詳解】

13a,

a,=-----

27

3*

因此可猜想：""〃+5(〃eN)；

1

Q]=-

當(dāng)〃=1時，2,等式成立，

3

假設(shè)”=左時，等式成立，即“*左+5,

a3

a=3%§義心5_3一3

k+1

ak+3313k+6(左+1)+5

則當(dāng)"=斤+1時，左+5,

即當(dāng)"=k+1時，等式也成立，

3

綜上所述，對任意自然數(shù)〃eN*,%?+5,

【小問2詳解】

"="二3〃"5)

31[

121

?.-7；=6X3°+7X3+8X3+---+(/7+5)X3^(1)

.-.37；,=6X31+7X32+8X33+??■+(?+5)x3"

小小?-2T=l+3l+32+---+3n-l~(n+5)x3n+5

由①-②z得s："I7

=lx(l_3)_("+5)義3"+5=--(l-3")-(?+5)x3,,+5=|---//|x3H+-

1—32\2/2

20.已知橢圓a/+〃的離心率為2,左頂點坐標(biāo)為(—2，°).

(I)求橢圓C的方程；

(2)過點尸(I'7)的直線,與橢圓。相交于〃，“兩點，設(shè)點8(°,)，問：直線掰腳的斜率

之和演”+演N是否為定值？若是，請求出該值；否則，請說明理由.

2

X1

——+y2-1

【答案】(1)4-

(2)旗”+%BN為定值，定值為-2

【解析】

【分析】(1)由題意，先求得a值，根據(jù)離心率，可得c值，根據(jù)a,b,。的關(guān)系，可得〃的

值，即可得答案.

（2）當(dāng)直線，斜率存在時，設(shè)直線/：夕=履+〃?，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得

X+X2,項的表達式，根據(jù)斜率公式，求得心”+程N的表達式，化簡整理，即可得答案；

當(dāng)直線，的斜率不存在時，直線1:》=1,所以％+%=°,化簡計算，可得演“+%配為定值,

即可得答案.

【小問1詳解】

由題意得。=2

_c_V3

又a2,所以c=G

所以人2=片_02=],

—Hy=1

所以橢圓a4

【小問2詳解】

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)直線［：?加，（其中％+上=—1）,"（西，必），

y=kx+m

聯(lián)立U2+4/=4,消y可得（4左2+1>2+8.+4--4=0,

,2

則△=16（4/+1-%=16左（3"2）＞0,解得左＜0或

-8km

4m2-4

%,%2二——5---------

124左2+1

,7y,-1y-1kx.+m-\kx.+m-\

怎+9-----+—-----

所以X]

-8km

=2k+（m-]）"+/=2左+（加一1）

2

陽工24m-4

_7-2km2k_

=2kT-----=----=-2

加+1m+1（定值）

當(dāng)直線，的斜率不存在時，直線ZX=l,則〃"關(guān)于X軸對稱，所以外+%=°

kBM+kBN==-2

所以11，

綜上可得％BM+左BN=—2（定值）

21.如圖，在四棱錐尸—/BCD中，平面4BC。，底面4BCD為梯形，其中

AD〃BC，AD=3,AB=BC=2,CD=C,點M在棱p。上，點、N為BC中點.

P

（1）記平面尸BCc平面尸/￡>=/,判斷直線/和直線8C的位置關(guān)系，并證明；

（2）若二面角尸一℃一4的大小為45°，四是靠近尸的三等分點，求M0與平面PCD所成角

的正弦值.

【答案】（1）BC//1,證明見解析；

]_

（2）4

【解析】

【分析】（1）先利用線面平行的判定定理證得8CH平看PAD,然后利用線面平行的性質(zhì)定理

證得結(jié)論；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面R4O,從而求得二面角

P-DC-A的平面角，利用等體積法求得點N