2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷

（內(nèi)蒙古專用）

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第16?18章（二次根式+勾股定理+平行四邊形）

5.難度系數(shù):0.65o

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求的）

1.在式子g（x>0）,血，小節(jié)（了=-2）,口^%<0）,3,G+1,x+y中，二次根式有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【詳解】解：6,J^（x<0）,6+1，是二次根式，

小工1（了=-2）,沒有意義，

3不是二次根式，

尤+了是整式，

即二次根式有4個，

故選：C.

2.AZBC的三邊長分別為b,c,下列條件不能判斷是直角三角形的為（）

A.AA-.AB-.ZC=3:4:5B.乙4=NB-NC

C.Q:b:c=3:4:5D./=/+，

【答案】A

【詳解】解：A選項：???//:N8:/C=3:4:5,

設(shè)44=3x,貝i」/8=4x,ZC=5x,

3x+4x+5x=180°,

解得:x=15°,

，最大角：ZC=5x=15°,

.MBC不是直角三角形，

故A選項符合題意；

B選項：?；ZA=NB—NC,

:.ZA+ZC=ZBf

-ZA+ZB+ZC=180°f

225=180°,

ZS=90°,

“ABC是直角三角形，

故B選項不符合題意；

C選項：:。：b:。=3:4:5,

設(shè)〃=3左，則b=4左，c=5k,

-：（34『+（4左）2=（54『，

：AABC是直角三角形，

故C選項不符合題意；

D選項：■.■/=62+02,

:.AABC是直角三角形，

故D選項不符合題意.

故選：A.

3.下列計算中，正確的是（）

A.572-72=5B.（3據(jù)了=15

C.gx2G=18D.痘士百=2

【答案】D

【詳解】解：A、5血-亞=4板W5,故該選項不符合題意；

B、（3^/5）=45W15,故該選項不符合題意;

C＞百x26=6wl8,故該選項不符合題意；

D、屈:也=猴=2,故該選項符合題意；

故選：D.

4.如圖，在口/3C。中，E,尸是對角線5D上的兩點，添加下列選項中的一個條件，不一定能使四邊形4及下

是平行四邊形的是（）

A.AE=CFB.BE=DFC.BF=DED.NDCF=NBAE

【答案】A

【詳解】解：如圖所示，連接/C,交BD于點0,

：.AO=CO,BO=DO,

當(dāng)尸時，

/.OE=OF,

四邊形/ECF是平行四邊，故B選項不合題意；

當(dāng)=時，同理可得OE=OE,故C選項不合題意,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD

：.ZCDF=ZABE

當(dāng)ZDCF=NBAE時，ADFC知BEA(ASA),

BE=DF,

：.OE=OF,則四邊形/EC尸是平行四邊，故D選項不合題意

當(dāng)"E=CF時不能證明三角形全等，無條件證明四邊形NEW是平行四邊，故A選項符合題意,

故選：A.

5.如果xK3,那么J%2_6X+9的化簡結(jié)果是（）

A.x—3B.x+3C.~x—3D.3—x

【答案】D

【詳解】解：VX2-6X+9=7（X-3）2=|x-3|,

"/x<3,

/.x-3<0,

|x—3|=3—x,

故選：D.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，^ABC的頂點工（-1,0）,8（2,2）,C（0,-2）均在正方形網(wǎng)格的格點上，則

4曲

.5

【答案】B

【詳解】解：^C=|X2X2+1X2X2=4,

AC=Vl2+22=V5，

???AABC在AC邊上的高為空造=：=處，

ACJ55

故選B.

7.如圖，在矩形/BCD中，對角線/C、3。相交于點O,4E平分—849交BC邊于點￡,點尸是ZE的

中點，連接。尸，若/3=。8=1,則尸。的長度為（）

A.2B.V3-1C.YD.正

222

【答案】D

【詳解】解：???四邊形/BCD為矩形，對角線ZC與8。交于。點，

Z.AO=OC=BO=DO=-AC=\,ZABC=ABAD=90°

2

4c—2，BC=-\JAC2—AB2=A/3，

又「4E平分/BAD,

：./BAE=45°,

：.為等腰直角三角形，

，BE=\,

，EC=BC-BE=C-l，

XVAO=OC,尸為4E的中點,

...在A/EC中，尸。為中位線,

?g1FV3-1

??FO=-EC=--------

22

故選：D.

8.如圖所示，正方形N8CD的面積為36,ANBE是等邊三角形，點E在正方形/BCD內(nèi)，在對角線NC上

有一動點P,使尸D+PE的最小值為（）

C.6D.673

【答案】C

【詳解】解：如圖，設(shè)8E與4C交于點P,

?.?正方形Z3CD的面積為36,

AB=6,

*.*"BE是等邊三角形，

AB=BE=AE=6,

??,四邊形是正方形，

JB、。關(guān)于/C對稱,

PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE>BE,

當(dāng)尸與P重合時，PB+PE最小,最小為3E的長,

/.PD+PE的和最小值為6,

故選：C.

9.如圖，在菱形N8CD中，分別以C,。為圓心，大于gcD為半徑畫弧，兩弧分別交于點M、N,連接

MN,若直線恰好過點/與邊C。交于點E,連接8E,則下列結(jié)論錯誤的是（)

B.若48=3,則］8E=4

D-S&ADE=不S/XABE

【答案】B

【詳解】解：連接/C,

由作法得MN垂直平分CO,

???AD=AC,ZAED=90°,

??,四邊形"CD為菱形，

???AB=BC=AD,

AB=BC=AC,

.,.△ABC為等邊三角形,

???/ABC=60°,

vAB||CD

：.ZBCD=nO°f即A選項的結(jié)論正確，不符合題意;

3

當(dāng)43=3,貝IJCE=DE=5，

???ND=ZABC=60。，

3百，ZDAE=30°,ZBAD=120°,

/.AE=4AD1-ED1=

ZBAE=ZBAD-ZDAE=120°-30°=90°,

在RtAdSE中，BE=ylAB2+AE2=^+=^~,所以B選項的結(jié)論錯誤，符合題意；

?.?菱形/5CZ）,

.BC=CD=2CE,即CE=；2C,所以C選項的結(jié)論正確，不符合題意；

?/AB//CD,AB=2DE,

:?SAADE=；S&ABE，所以D選項的結(jié)論正確，不符合題意?

故選：B.

10.在中，AC=BC,點。為48中點，NGDH=90°,NGDH繞點D旋轉(zhuǎn),分別與邊

萬1

222

AC,BC交于E,尸兩點，下列結(jié)論：@AE+BF=—AB；?AE+BF=EF;③編邊形CEDF=~^SAABC；④

22

皿尸始終為等腰直角三角形，其中正確的是（）

C

G

/J"

ADB

A.①②④B.①②③C.③④D.①②③④

【答案】D

【詳解】解：連接C。，???/C=8C,點。為中點，ZACB=90°,

AAD=CD=BD=^AB.NA=NB=NACD=/BCD=45。,ZADC=ABDC=90°.

ZADE+ZEDC=90°f

/EDC+AFDC=4GDH=90°,

AZADE=ZCDF.

//=ZDCB

在A4QE和AC。尸中，［AD=CD

/ADE=/CDF

:.A4DE"CDF(ASA),

AE=CF,DE=DF,S^DE=S^CDF.

:AC=BC,

:.AC-AE=BC-CF,

CE=BF.

AC=AE+CE,

/.AC=AE+BF.

-：AC2+BC2=AB2,

:.AC=—AB,

2

AE+BF=—AB.

2

?;DE=DF,ZGDH=90°,

.?.AZ%F始終為等腰直角三角形.

???CE2+CF2=EF2,

：.AE2+BF2=EF2-

,S四邊形CED尸二^AEDC+SXCDF，

一S四邊形CE。尸=S莊DC+S/^iDE=]SUBC.

???正確的有①②③④.故選D.

第二部分（非選擇題共70分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.g與最簡二次根式57^71能合并，貝I”.

【答案】2

【詳解】解：712=273,

后與最簡二次根式能合并,

。+1=3,

解得:a=2,

故答案為：2.

12.如圖，學(xué)校操場邊上有一塊四邊形空地/BCD,該空地的陰影部分需要綠化，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，

ZADC=ZDAE=ZDCE=90°,CD=8m,AD=6m,SC=24m,AB=26m,那么需要綠化部分的面積

【答案】96川/96平方米

【詳解】解：連接/C,

???AADC=/DAE=ZDCE=90°,

???四邊形/OC￡1是矩形，

ACD=AE=Sm,AD=CE=6m,

中，AC=^AD2+CD2=762+82=10(m);

AC2+BC2=102+242=676=AB2,

：.ZACB=90°,

???S陰影=S"c-S"c=；xl0x24-；x6x8=120-24=96(n?).

故答案為：96m2

13.若y=YE三'三，則2x+y的值是.

x+2

【答案】4

【詳解】解：VX2-4>0,且4-

%2>4,且一(4,

%2=4,

/.x=±2,

又x+2w0,

xw—2,

..x—2j

2x+y=4.故答案為：4

14.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與

人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴，良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架

秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地距離OE的長為1尺，將它向前水平推送10尺時，即8c=10尺，秋千踏板離

地的距離8尸和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，運用所學(xué)知識求出

繩索的長是尺.

【答案】14.5

【詳解】解：由題意可知：CE=BF=5尺,DE=1尺,

：.CZ?=5-1=4（尺），

設(shè)繩索40=48=x尺，

根據(jù)題意得：102+（》-4）2=/,

解得x=14.5.

答：繩索的長為14.5尺.

故答案為：14.5.

15.如圖，在平行四邊形/BCD中，M為上任意一點，若△CMD的面積為2,4ABM的面積為1,貝l|ACMB

的面積為.

【詳解】過點C作CE1/。交/。于點E,

?..四邊形/BCD是平行四邊形，

AD//BC,AD=BC,

；M為AD上任意一點，

二AM+MD=AD,

?.?△OWD的面積為2,AHBM■的面積為1,

：.SACMD=^XMDXCE=2,S^AMB=^XAMXCE=1,

S+S"MRXXXXXXXX

△KC^LMVLDn△/Ljviij=2-MDCE+2-AMCE=2-\(MD+AM]CE=2-ADCE=3,

,：S.CMB=；XBCXCE,

**?S.CMB=]**DxCE=3,

故答案為：3.

16.已知：如圖，在正方形Z5CD外取一點E,連接BE,DE.過點A作的垂線交于點P.若

AE=AP=l,PB=45.下列結(jié)論：

①△4PD也△4ES；

②點B到直線AE的距離為YS；

2

③EB工ED；

④S正方形/BCD=4+逐；

⑤工APD+S^APB=1+幾，

其中正確結(jié)論的序號是.

AD

【詳解】解：①；NEAB+NBAP=90。,ZPAD+ZBAP=90°,

：.ZEAB=ZPAD,

又：AE=AP,AB=AD,

：./\APD^/\AEB(SAS)；故此選項成立；

③：AAPD公AAEB,

：.NAPD=NAEB,

'：ZAEB=ZAEP+ZBEP,ZAPD=ZAEP+ZPAE,

ZBEP=ZPAE=9Q°,

:.EBLED；故此選項成立;

②過8作8尸，/￡,交/E的延長線于凡

；AE=AP,NE4P=90。，

ZAEP=/4PE=45°,

又?③中BFA.AF,

：.ZFEB=ZFBE=45°,

又：BE=飛BP?-PE。=>J5-AE2-AP2=又-1-1=拒，

ABF=EF=—BE=；故此選項成立；

22

/7

?'：EF=BF=—,AE=\,

2

在RtAABF中，AB2=(AE+EF)2+BF2=4+76,

S^ABCD=AB2=4+V6；故此選項成立;

⑤如圖，連接5。，在RtZUEP中，

'：AE=AP=1,

:.EP=C，

又?：PB=?,

:.BE=6,

,/4APD冬AAEB,

：.PD=BE=43,

：.SAABP+SAADP=SAABD-SABDP=vSJE^ABCD-gxDPxBE=gx（4+76）--xV3xV3.

222222

故此選項不成立；

綜上可知其中正確結(jié)論的序號是①②③④.故答案為：①②③④.

三、解答題（本大題共7小題，滿分52分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：

⑴（一I）+|V5-3|-（2024-^-）°+V20

（2）（2-V3）2024X（2+V3）2°25-（V3-1）2.

【詳解】（1）解：［-m+2-3卜（2024-萬）°+而

=-2+3-75-1+275……（2分）

=6.......（1分）

=2+73-4+273……（1分）

=375-2……（1分）

18.（6分）如圖，DABCD中，AEJ_BD于點E,CF_LBD于點F.

（1）求證：BF=DE；

（2）如果/ABC=75。，ZDBC=30°,BC=2,求BD的長.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD〃BC,AD=BC.……（1分）

ZADE=ZCBF.

：AE_LBD于點E,CF_LBD于點F,

.\ZAED=ZCFB=90°.……（1分）

在4ADE和4CBF中，

ZAED=ZBFC,ZADE=ZCBF,AD=BC,

.,.△ADE^ACBF（AAS）.……（1分）

.\DE=BF.

（2）解：：/ABC=75。，ZDBC=30°,

AZABE=75°-30°=45°.

VAB/7CD,

.\ZABE=ZBDC=45°,……（1分）

VAD=BC=2,ZADE=ZCBF=30°,

.?.在RtZiADE中，AE=1,DE=Vi3T=百.……（1分）

在RtZkAEB中，ZABE=ZBAE=45°.

故AE=BE=1,貝i]BD=V^+1.……（1分）

19.（6分）定義：我們將（〃'+新）與（布-斯）稱為一對“對偶式"，因為（&+揚卜（&-振）=

（五）2-（痛丫=°一6,可以有效的去掉根號，所以有一些問題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決.

例如：已知J18-x-Jll-％=1，求如8-x+Jll-x的值,可以這樣解答：

因為（J18-x—Jl1-x）”（J18-x+Jl1-x）=（V18—x）—（Jl1-x）

=18—X—ll+x=7

所以J18-%+J11-%=7

（1）已知：V20-x+V4^x=8,求、的值;

（2）結(jié)合已知條件和第（1）問的結(jié)果，解方程：V20-x+V4^x=8

【詳角軍］（1）角星：丁（」20-x+J4-。4-％）=20-x-4+x=16,.......（］分）

（1分）

（2）解:由題意可得:（1分）

解得：x=-5,（1分）

經(jīng)檢驗，》=一5是方程同二^+后1=8的根.……（1分）

方程J20-x+=8的解為x=-5.……（1分）

20.（7分）如圖，已知點尸是等邊AABC內(nèi)一點，連結(jié)尸工，PB,PC,。為AABC外一點，且

NDAP=60°,連接。尸，DC,AD=DP.

（1）求證："DC"AAPB.

⑵若尸4=12,尸8=5,尸C=13,求N4PB的度數(shù).

【詳解】（1）證明：:△ABC是等邊三角形，

Z.AC=AB,ZBAC=60°,……（1分）

/DAP=60°,AD=DP,

??AADP是等邊三角形，

:.ND4P=60°=/BAC,……（1分）

NDAC=ZPAB=60°-APAC,

'AC=AB

在AvdDC與八^中、ZDAC=ZPAB,

AD=AP

:."DC沿AAPB（SAS）；……（I分）

（2）解：,:"DC4APB,

:.CD=PB=5,ZAPB=ZADC,……（1分）

由（1得）是等邊三角形，

ZADP=60°,PD=PA=\2,……（1分）

PC=13,

/.CD2+PD2=PC2,

：.ZPDC=90°,……（1分）

Z.ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=60°+90°=150°.……（1分）

21.（9分）如圖在A42c中，ZCAB=90°,4D是2c邊上的中線，E是40的中點，過點/作2c的平行

線，交的延長線于點R連接CR

（1）試判斷四邊形4DC尸的形狀，并說明理由.

（2）若四邊形NOC尸是正方形，2尸與NE有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由.

（3）若/C=6,48=8,求3尸的長.

【詳解】（1）:△/BC中，ZCAB=90°,是8c邊中線，

：.AD=CD=DB.

?:E是4D的中點，

：.AE=DE.

'."AF//BC,

：.ZEFA=ZEBD.

又：ZFEA=ZBED,

：.LAEF2^DEB（AAS）,……（1分）

：.AF=DB,

：.AF=CD.

'：AF//CD,

.??四邊形/DC尸是平行四邊形.……（1分）

又；AD=CD,

二四邊形/DC尸是菱形.……（1分）

（2）BF=2y[5AE,理由如下：……（1分）

?.?四邊形/OC尸是正方形，

：.FC=CD=AD,ZFCD=90°.

又,：AD=DB,

：.FC=CD=DB,

：.BC=2CF,

在RTaBCF中，BF=^BC2+CF2=7（2CF）2+CF2=4SCF,??????（1分）

BF=45AD,

"：AD=2AE,

：.BF=45?2AE=2s/5AE,……（1分）

c

如圖，連接FD交NC于。點，延長A4,過尸點作/G垂直于A4的延長線于G點,

???四邊形NDC尸是菱形，

ZAOF=90°.

'：ZCAB=90°,

：.ZCAG=90°.

又.“GL/G,

；.NG=90。，

四邊形。尸G4是矩形，……（1分）

：.FG=OA,GA=FO.

-：AC=6,。是NC的中點，

：.AO=3,

：.FG=3.

點、。點是/C、的中點，

：.OD=-AB=4,

2

：.GA=OF=OD=4,

.,.65=4+8=12,……（1分）

.?.在RTAFGB中，

BF=ylFG2+FB2=V32+122=3A/17?..........（1分）

22.（8分）閱讀與思考：

下面是小亮同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù).

XX年XX月XX日星期三

巧用方程解決三角形求高問題

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書中寫道：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題都

可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)學(xué)問題，而一切代數(shù)學(xué)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問題”.可見方程思想對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要

性.

今天數(shù)學(xué)課上，老師提出問題：在aABC中，已知邊的長，求點A到8c邊的距離.

小亮畫出的圖形如圖①所示：在△/8C中，已知：N3=13,NC=5,8C=12,小亮的同桌小明思索片刻就得

出：點A到邊的距離為5；

A

圖①

小明畫出的圖形如圖②所示：在AABC中，已知：AB=\5,BC=U,AC=U,經(jīng)過小組討論，大家得出了如

下的解題思路:

圖③

請你根據(jù)小亮的日記內(nèi)容完成下列各題:

⑴寫出小明得出圖①中點A到2C距離為5的理由;

(2)根據(jù)小亮小組討論的思路，寫出圖②中點A到BC的距離為

(3)根據(jù)(2)的解題思路解決下面的問題：如圖③，某商場樓梯長4m(N2=4m),商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的

安全性能，將樓梯長度加長2m,調(diào)整后的樓梯如圖NC所示，占地面的長度增加了3m(3C=3m),求此樓

梯的高度.

【詳解】（1）解：?.?在AABC中，AB=U,AC=5,BC=U,

AAC2+BC2=\69=AB2,……（1分）

」.△ABC是直角三角形，//C3=90。，

AC1BC,

???ZC是點A到8c邊的距離，即點A到2c邊的距離為5；……（1分）

（2）解：如圖②，作8c于。，

設(shè)BD=x,貝qCD=2C—5D=14-x,

中，AD2=AB2-DB2中，AD2=AC2-CD2,

，AB2-DB2=AC2-CD1,

152-X2=132-（14-X）2,

解得：x=9,即5D=9,

AD1=ylAB2-BD2=7152-92=12，

...點A到8c的距離為12,

故答案為：12；……（2分）

（3）解