全國卷1數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\cupB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{1-i}\)（\(i\)為虛數(shù)單位）的實(shí)部是（）A.0B.1C.-1D.23.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.1B.4C.-1D.-45.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，其前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=100\)，則\(n\)等于（）A.9B.10C.11D.126.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,1)\)B.\((0,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((-1,0)\)8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在區(qū)間\([-1,1]\)上的最大值為（）A.0B.2C.-2D.49.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為（）A.3B.\(\frac{1}{3}\)C.2D.\(\frac{1}{2}\)10.若直線\(l\)過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)垂直，則直線\(l\)的方程為（）A.\(x+2y-5=0\)B.\(2x-y=0\)C.\(x-2y+3=0\)D.\(x+2y+3=0\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(x^2+1)\)D.\(y=2^x\)2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)B.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)C.若\(a>b\)，\(ab>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)D.若\(a^2>b^2\)，\(ab>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)3.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\geq2)\)B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_ma_n=a_pa_q\)C.\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等比數(shù)列（\(q\neq-1\)）D.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_n=a_1q^{n-1}\)4.直線\(l\)：\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率可能是（）A.\(-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）B.不存在（\(B=0\)）C.\(\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.\(\frac{B}{A}\)（\(A\neq0\)）5.已知圓\(C\)：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，則下列說法正確的是（）A.圓心坐標(biāo)為\((a,b)\)B.半徑為\(r\)C.若點(diǎn)\((x_0,y_0)\)在圓\(C\)上，則\((x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2\)D.若點(diǎn)\((x_0,y_0)\)在圓\(C\)外，則\((x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2\)6.以下關(guān)于三角函數(shù)的說法正確的是（）A.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)B.\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)C.\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)（\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\alpha+\beta\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)）D.\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)7.設(shè)\(a\)，\(b\)為兩條不同的直線，\(\alpha\)，\(\beta\)為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若\(a\parallel\alpha\)，\(b\parallel\alpha\)，則\(a\parallelb\)B.若\(a\subset\alpha\)，\(b\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(a\parallelb\)C.若\(a\perp\alpha\)，\(b\perp\alpha\)，則\(a\parallelb\)D.若\(a\perp\alpha\)，\(a\perp\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)8.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)對(duì)稱，則有（）A.\(f(x)+f(2a-x)=2b\)B.\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)C.\(f(x)=2b-f(2a-x)\)D.\(f(a+x)=2b-f(a-x)\)9.對(duì)于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A>0\)，\(\omega>0\)），以下說法正確的是（）A.\(A\)決定函數(shù)的振幅B.\(\omega\)決定函數(shù)的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.\(\varphi\)決定函數(shù)的初相D.其圖象可由\(y=\sinx\)經(jīng)過平移和伸縮變換得到10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的函數(shù)，且滿足\(f(x+2)=-f(x)\)，則（）A.\(f(x)\)的周期是\(4\)B.\(f(x+4)=f(x)\)C.\(f(x)\)是偶函數(shù)D.\(f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((2,0)\)對(duì)稱三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）3.若\(a\)，\(b\)為向量，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）4.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta+2k\pi\)，\(k\inZ\)。（）6.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（）7.兩條直線\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與\(A_2x+B_2y+C_2=0\)垂直的充要條件是\(A_1A_2+B_1B_2=0\)。（）8.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過點(diǎn)\((1,0)\)。（）9.若\(a>b\)，則\(a^3>b^3\)。（）10.球的體積公式是\(V=\frac{4}{3}\pir^3\)（\(r\)為球半徑）。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。答案：對(duì)\(y=x^2-2x+3\)配方得\(y=(x-1)^2+2\)。對(duì)稱軸\(x=1\)在區(qū)間\([0,3]\)內(nèi)，當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y_{min}=2\)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y_{max}=3^2-2\times3+3=6\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列公差為\(d\)，則\(d=\frac{a_5-a_3}{5-3}=\frac{9-5}{2}=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，可得\(a_1=1\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點(diǎn)\((2,3)\)且與直線\(3x-2y+1=0\)平行的直線方程。答案：兩直線平行，斜率相等，已知直線斜率\(k=\frac{3}{2}\)。設(shè)所求直線方程為\(y-3=\frac{3}{2}(x-2)\)，整理得\(3x-2y=0\)。4.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，求\(\sin2\alpha\)的值。答案：因?yàn)閈(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，則\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。答案：\(y=\frac{1}{x}\)定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)上，任取\(x_1<x_2<0\)，\(y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0\)，即\(y_1>y_2\)，函數(shù)遞減；在\((0,+\infty)\)上同理可證也遞減。2.探討直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)比較，\(d>r\)時(shí)相離，\(d=r\)時(shí)相切，\(d<r\)時(shí)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓方程，消元得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta>0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta<0\)相離。3.說說在立體幾何中如何證明線面垂直。答案：可利用判定定理，若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直；也可利用面面垂直性質(zhì)，若兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；還可根據(jù)平行線性質(zhì)，若兩平行線中一條垂直平面，則另一條也垂直該平面。4.分析在解三角形問題中，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用場(chǎng)景。答案：正弦定理適用于已知兩角和一邊，求其他邊和角；或已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他邊和角。余弦定理適用于已知三邊，求