高數(shù)求極限試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.eB.0C.1D.∞3.已知$\lim_{x\toa}f(x)=3$，$\lim_{x\toa}g(x)=2$，則$\lim_{x\toa}[f(x)-g(x)]=$（）A.1B.5C.6D.-14.若$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，則$\lim_{x\to0}f(x)=$（）A.0B.1C.-1D.∞5.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.26.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.37.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$是比$x$（）的無(wú)窮小。A.低階B.同階C.高階D.等價(jià)8.$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n}{n^2+1}=$（）A.0B.1C.2D.39.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.210.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sinx=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下極限存在的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\sinx$C.$\lim_{x\to\infty}e^{-x}$D.$\lim_{x\to0}\cosx$2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，與$x$等價(jià)無(wú)窮小的有（）A.$\sinx$B.$\tanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$3.計(jì)算極限的方法有（）A.代入法B.等價(jià)無(wú)窮小替換C.洛必達(dá)法則D.夾逼準(zhǔn)則4.下列極限值為1的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$5.若$\lim_{x\toa}f(x)$與$\lim_{x\toa}g(x)$都存在，則（）A.$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)$B.$\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)$C.$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}(\lim_{x\toa}g(x)\neq0)$D.$\lim_{x\toa}[kf(x)]=k\lim_{x\toa}f(x)$（$k$為常數(shù)）6.關(guān)于無(wú)窮小的性質(zhì)，正確的是（）A.有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小B.有限個(gè)無(wú)窮小的積是無(wú)窮小C.無(wú)窮小與有界函數(shù)的積是無(wú)窮小D.無(wú)窮小除以非零常數(shù)還是無(wú)窮小7.以下函數(shù)在$x\to0$時(shí)極限為0的有（）A.$x\sin\frac{1}{x}$B.$\frac{\sinx}{x^2}$C.$x^2\cos\frac{1}{x}$D.$\frac{1-\cosx}{x}$8.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，下列函數(shù)極限為0的是（）A.$\frac{1}{x^2}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$e^{-x}$D.$\frac{1}{x+1}$9.利用等價(jià)無(wú)窮小替換可簡(jiǎn)化計(jì)算的極限有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$10.極限$\lim_{x\toa}f(x)$存在的充要條件是（）A.$\lim_{x\toa^+}f(x)$存在B.$\lim_{x\toa^-}f(x)$存在C.$\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)$D.$f(x)$在$x=a$處連續(xù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，則$f(a)=A$。（）2.無(wú)窮小就是0。（）3.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$與$x^2$是同階無(wú)窮小。（）4.極限$\lim_{x\to\infty}\sinx$不存在。（）5.若$\lim_{x\toa}f(x)=0$，$\lim_{x\toa}g(x)=0$，則$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$一定存在。（）6.利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限時(shí)，在加減法中也可隨意替換。（）7.數(shù)列極限$\lim_{n\to\infty}(-1)^n$不存在。（）8.函數(shù)$f(x)$在$x=a$處極限存在，則$f(x)$在$x=a$處有定義。（）9.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$1-\cosx$與$\frac{1}{2}x^2$是等價(jià)無(wú)窮小。（）10.極限$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+1}{x^2+1}=\infty$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述等價(jià)無(wú)窮小替換的條件。答案：在求極限的乘除運(yùn)算中，當(dāng)自變量趨于某值時(shí)，函數(shù)中的無(wú)窮小因式可用其等價(jià)無(wú)窮小替換。但在加減法運(yùn)算中，只有替換后不改變?cè)綐O限值時(shí)才可替換。2.洛必達(dá)法則適用的題型有哪些？答案：適用于“$\frac{0}{0}$”型和“$\frac{\infty}{\infty}$”型未定式。即當(dāng)$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$呈現(xiàn)這兩種形式時(shí)，若滿足一定條件，可對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限。3.如何判斷函數(shù)在某點(diǎn)極限是否存在？答案：需判斷該點(diǎn)的左右極限是否都存在且相等。若$\lim_{x\toa^+}f(x)$與$\lim_{x\toa^-}f(x)$都存在且$\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)$，則$\lim_{x\toa}f(x)$存在。4.簡(jiǎn)述無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系。答案：在自變量的同一變化過(guò)程中，若$f(x)$為無(wú)窮大，則$\frac{1}{f(x)}$為無(wú)窮??；反之，若$f(x)$為無(wú)窮?。?f(x)\neq0$），則$\frac{1}{f(x)}$為無(wú)窮大。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等價(jià)無(wú)窮小在極限計(jì)算中的作用與局限性。答案：作用是簡(jiǎn)化極限計(jì)算，在乘除運(yùn)算中替換可快速得出結(jié)果。局限性在于加減法中不能隨意替換，可能改變極限值，使用時(shí)要謹(jǐn)慎判斷，需確保替換后極限不變。2.探討洛必達(dá)法則在使用過(guò)程中可能出現(xiàn)的問(wèn)題。答案：可能出現(xiàn)不滿足“$\frac{0}{0}$”或“$\frac{\infty}{\infty}$”型就使用的情況；求導(dǎo)后極限更復(fù)雜難以計(jì)算；多次使用后可能陷入循環(huán)求導(dǎo)無(wú)法得出結(jié)果等。3.分析極限概念在高等數(shù)學(xué)中的重要性。答案：極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，導(dǎo)數(shù)、積分等都以極限為基石。它用于描述函數(shù)在某點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處的變化趨勢(shì)，對(duì)理解函數(shù)性質(zhì)、解決實(shí)際問(wèn)題如物理中的速度、加速度等有重要意義。4.說(shuō)明如何綜合運(yùn)用多種方法求極限。答案：先觀察極限類型，能直接代入的用代入法；是“$\frac{0}{0}$”或“$\frac{\infty}{\infty}$”型考慮洛必達(dá)法則；有等價(jià)無(wú)窮小的地方進(jìn)行替換；復(fù)雜函數(shù)可結(jié)合夾逼準(zhǔn)則等，多種方法靈活搭配。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.