地大高數(shù)2試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\ln(x+1)$的定義域是（）A.$x>-1$B.$x\geq-1$C.$x<-1$D.$x\leq-1$2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$3x^2$B.$x^2$C.$3x$D.$3$4.若$f(x)$的一個原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x^2$D.$x$5.$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$3x^3+C$C.$\frac{1}{2}x^2+C$D.$2x+C$6.二元函數(shù)$z=x^2+y^2$在點$(0,0)$處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點7.曲線$y=x^2$在點$(1,1)$處的切線方程是（）A.$y=2x-1$B.$y=x$C.$y=2x+1$D.$y=x+1$8.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）A.發(fā)散的B.收斂的C.不確定D.條件收斂9.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.2B.3C.4D.510.方程$x^2+y^2+z^2=1$表示的曲面是（）A.橢圓拋物面B.圓錐面C.球面D.圓柱面二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=|x|$2.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.$y=\sqrt{x}$B.$y=\lnx$C.$y=|x|$D.$y=e^x$4.下列積分中，計算正確的有（）A.$\int0dx=C$B.$\int1dx=x+C$C.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$D.$\inte^xdx=e^x+C$5.關(guān)于二元函數(shù)$z=f(x,y)$的偏導(dǎo)數(shù)，下列說法正確的有（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}$是將$y$看作常數(shù)對$x$求導(dǎo)B.$\frac{\partialz}{\partialy}$是將$x$看作常數(shù)對$y$求導(dǎo)C.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)一定連續(xù)D.函數(shù)連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)一定存在6.下列曲線中，屬于二次曲線的有（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線7.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$8.下列向量運算中，正確的有（）A.$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$B.$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$C.$\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec$D.$\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}$9.下列方程中，代表柱面的有（）A.$x^2+y^2=1$B.$y^2=2x$C.$z=x^2$D.$x^2+y^2+z^2=1$10.對于多元函數(shù)的極值，以下說法正確的是（）A.駐點一定是極值點B.極值點一定是駐點C.利用二階偏導(dǎo)數(shù)可以判斷駐點是否為極值點D.函數(shù)在邊界點處也可能取得極值三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的間斷點是$x=1$。（）2.若$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)$y=x^3$在$(-\infty,+\infty)$上是單調(diào)遞增的。（）4.$\intf^\prime(x)dx=f(x)$。（）5.二元函數(shù)$z=x+y$的全微分$dz=dx+dy$。（）6.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}1$是收斂的。（）7.向量$\vec{a}=(1,0)$與向量$\vec=(0,1)$垂直。（）8.方程$z=x^2+y^2$表示的是旋轉(zhuǎn)拋物面。（）9.函數(shù)$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)在該點可微。（）10.定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=\frac{1}{x^2-4}$的間斷點，并判斷其類型。答案：令$x^2-4=0$，解得$x=\pm2$。當(dāng)$x\to\pm2$時，$y\to\infty$，所以$x=\pm2$是無窮間斷點。2.計算$\intx\cosxdx$。答案：用分部積分法，令$u=x$，$dv=\cosxdx$，則$du=dx$，$v=\sinx$，所以$\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C$。3.求函數(shù)$z=x^2+2xy-y^2$在點$(1,2)$處的偏導(dǎo)數(shù)。答案：$\frac{\partialz}{\partialx}=2x+2y$，將$(1,2)$代入得$\frac{\partialz}{\partialx}\big|_{(1,2)}=6$；$\frac{\partialz}{\partialy}=2x-2y$，代入得$\frac{\partialz}{\partialy}\big|_{(1,2)}=-2$。4.簡述判斷級數(shù)收斂的比值判別法。答案：對于正項級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，設(shè)$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，若$\rho<1$，級數(shù)收斂；若$\rho>1$或$\rho=\infty$，級數(shù)發(fā)散；若$\rho=1$，判別法失效。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=x^3-3x$的單調(diào)性與極值。答案：求導(dǎo)得$y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$y^\prime=0$得$x=\pm1$。當(dāng)$x<-1$或$x>1$時，$y^\prime>0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$-1<x<1$時，$y^\prime<0$，函數(shù)遞減。極大值為$y(-1)=2$，極小值為$y(1)=-2$。2.討論多元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)之間的關(guān)系。答案：可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微，也不一定連續(xù)；函數(shù)連續(xù)不能推出偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能推出可微。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答