競賽數(shù)學(xué)高中試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-4)\)的定義域是（）A.\((-2,2)\)B.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)C.\([-2,2]\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)2.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.43.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)6.函數(shù)\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)7.若\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(\log_2a\gt\log_2b\)D.\((\frac{1}{2})^a\gt(\frac{1}{2})^b\)8.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值為（）A.3B.4C.5D.69.從5名男生和3名女生中選3人參加活動，至少有1名女生的選法有（）A.25種B.46種C.60種D.90種10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.-1B.1C.3D.-3二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=e^x+e^{-x}\)2.以下說法正確的是（）A.過兩點有且只有一條直線B.兩點之間線段最短C.垂直于同一條直線的兩條直線平行D.平行于同一條直線的兩條直線平行3.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\subseteqA\)4.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法正確的是（）A.若\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=f^\prime(x_0)\)B.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)（\(n\inR\)）C.\((\sinx)^\prime=\cosx\)D.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)5.對于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說法正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(0\lte\lt1\)）6.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(ac^2\gtbc^2\)，則\(a\gtb\)C.若\(a\gtb\)，\(ab\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\gtb\)，\(ab\lt0\)，則\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)7.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,0,2,0,\cdots\)D.\(a,a,a,a,\cdots\)（\(a\neq0\)）8.已知直線\(l_1:ax+2y+6=0\)，\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值為（）A.-1B.2C.1D.09.關(guān)于函數(shù)\(y=\tanx\)，下列說法正確的是（）A.定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.周期是\(\pi\)C.圖象關(guān)于點\((\frac{k\pi}{2},0)(k\inZ)\)對稱D.在\((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)(k\inZ)\)上單調(diào)遞增10.從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中任取3個組成三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.30B.36C.40D.42三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\)，\(b\)為實數(shù)，且\(a+b=0\)，則\(a=b=0\)。（）3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）4.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）5.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點坐標(biāo)是\((\frac{p}{2},0)\)。（）6.若\(a\gtb\)，則\(a^3\gtb^3\)。（）7.對于任意實數(shù)\(x\)，\(\sin^2x+\cos^2x=1\)。（）8.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（）9.過圓\(x^2+y^2=r^2\)上一點\((x_0,y_0)\)的切線方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)。（）10.若\(f(x)\)是周期為\(T\)的函數(shù)，則\(f(x+T)=f(x)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。答案：\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，對稱軸\(x=1\)。在\([0,1]\)遞減，\([1,3]\)遞增。\(x=1\)時，\(y_{min}=2\)；\(x=3\)時，\(y_{max}=6\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_5=25\)，求\(a_n\)。答案：\(S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=5+10d=25\)，解得\(d=2\)。\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)垂直的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，所求直線斜率\(k=-\frac{1}{2}\)。由點斜式得\(y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\)，即\(x+2y-5=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\)為銳角，求\(\cos2\alpha\)的值。答案：\(\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\)，把\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)代入得\(\cos2\alpha=1-2\times(\frac{1}{3})^2=\frac{7}{9}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在區(qū)間\((1,+\infty)\)和\((-\infty,1)\)上的單調(diào)性。答案：在區(qū)間\((1,+\infty)\)和\((-\infty,1)\)上分別任取\(x_1\)，\(x_2\)且\(x_1\ltx_2\)，計算\(y_1-y_2=\frac{x_2-x_1}{(x_1-1)(x_2-1)}\)。在\((1,+\infty)\)上\(y_1-y_2\gt0\)，函數(shù)遞減；在\((-\infty,1)\)上\(y_1-y_2\gt0\)，函數(shù)也遞減。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系。答案：圓\(x^2+y^2=1\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。圓心到直線距離\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。當(dāng)\(d\ltr\)即\(k\neq0\)時，相交；\(d=r\)即\(k=0\)時，相切；\(d\gtr\)不成立。3.討論\(a\)取不同值時，不等式\(ax^2-2x+1\gt0\)的解集情況。答案：當(dāng)\(a=0\)，\(-2x+1\gt0\)，解集\(x\lt\frac{1}{2}\)；\(a\gt0\)，\(\Delta=4-4a\)，\(\Delta\lt0\)即\(a\gt1\)時，解集\(R\)；\(\Delta=0\)即\(a=1\)時，解集\(x\neq1\)；\(\Delta\gt0\)即\(0\lta\lt1\)時，\(x\lt\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}\)或\(x\gt\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}\)；\(a\lt0\)時，\(\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}\ltx\lt\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}\)。4.討論等比數(shù)列