數(shù)理統(tǒng)計考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.樣本均值是總體均值的（）A.無偏估計B.有偏估計C.一致估計D.矩估計2.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\)（）A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^{2}(n-1)\)C.\(t(n-1)\)D.\(F(n-1,n-1)\)3.在假設(shè)檢驗中，\(H_0\)為原假設(shè)，\(H_1\)為備擇假設(shè)，則第一類錯誤是指（）A.\(H_0\)為真，接受\(H_1\)B.\(H_0\)為假，接受\(H_1\)C.\(H_0\)為真，拒絕\(H_1\)D.\(H_0\)為假，拒絕\(H_1\)4.設(shè)總體\(X\)的期望\(E(X)=\mu\)，方差\(D(X)=\sigma^{2}\)，\(X_1,X_2,X_3\)是總體\(X\)的樣本，則下面是\(\mu\)的無偏估計的是（）A.\(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{4}X_3\)B.\(\frac{1}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{3}X_3\)C.\(\frac{1}{4}X_1+\frac{1}{4}X_2+\frac{1}{2}X_3\)D.\(X_1+X_2-X_3\)5.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，\(S^{2}\)為樣本方差，則\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim\)（）A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^{2}(n-1)\)C.\(t(n)\)D.\(t(n-1)\)6.總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x;\theta)\)中含有未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，用矩估計法求\(\theta\)的估計量時，一般是令（）A.樣本原點矩=總體原點矩B.樣本中心矩=總體中心矩C.樣本一階原點矩=總體一階原點矩D.樣本二階原點矩=總體二階原點矩7.設(shè)總體\(X\)服從指數(shù)分布\(E(\lambda)\)，概率密度\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，則\(\lambda\)的極大似然估計為（）A.\(\frac{1}{\overline{X}}\)B.\(\overline{X}\)C.\(\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}X_i}\)D.\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)8.在區(qū)間估計中，置信水平\(1-\alpha\)的意義是（）A.總體參數(shù)落在置信區(qū)間內(nèi)的概率為\(1-\alpha\)B.總體參數(shù)落在置信區(qū)間外的概率為\(1-\alpha\)C.置信區(qū)間包含總體參數(shù)的概率為\(1-\alpha\)D.置信區(qū)間包含總體參數(shù)的概率為\(\alpha\)9.設(shè)總體\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨立，\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)和\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)分別是來自\(X\)和\(Y\)的樣本，則\(\frac{S_1^{2}/\sigma_1^{2}}{S_2^{2}/\sigma_2^{2}}\sim\)（）A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^{2}(n_1-1)\)C.\(t(n_1+n_2-2)\)D.\(F(n_1-1,n_2-1)\)10.樣本容量\(n\)固定時，在一個假設(shè)檢驗中，給定顯著水平\(\alpha\)，設(shè)第二類錯誤的概率為\(\beta\)，則必有（）A.\(\alpha+\beta=1\)B.\(\alpha+\beta\lt1\)C.\(\alpha+\beta\gt1\)D.\(\alpha+\beta\neq1\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于統(tǒng)計量的是（）A.樣本均值\(\overline{X}\)B.樣本方差\(S^{2}\)C.總體均值\(\mu\)D.樣本中位數(shù)2.關(guān)于正態(tài)總體的抽樣分布，正確的有（）A.樣本均值\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)D.若\(X_1,X_2\)獨立，\(X_1\sim\chi^{2}(n_1)\)，\(X_2\sim\chi^{2}(n_2)\)，則\(X_1+X_2\sim\chi^{2}(n_1+n_2)\)3.點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)有（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.充分性4.以下關(guān)于假設(shè)檢驗的說法正確的是（）A.原假設(shè)和備擇假設(shè)是互斥的B.拒絕域和接受域的確定與顯著水平\(\alpha\)有關(guān)C.第一類錯誤和第二類錯誤不可能同時減小D.雙側(cè)檢驗的拒絕域在分布的兩側(cè)5.設(shè)總體\(X\)的分布中含有未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，求\(\theta\)的極大似然估計步驟包括（）A.寫出似然函數(shù)\(L(\theta)\)B.對\(L(\theta)\)取對數(shù)\(\lnL(\theta)\)C.求\(\frac{d\lnL(\theta)}{d\theta}=0\)的解D.若駐點唯一，即為極大似然估計6.區(qū)間估計中影響置信區(qū)間長度的因素有（）A.樣本容量\(n\)B.總體方差\(\sigma^{2}\)C.置信水平\(1-\alpha\)D.樣本均值\(\overline{X}\)7.若總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，關(guān)于樣本均值\(\overline{X}\)和樣本方差\(S^{2}\)說法正確的是（）A.\(\overline{X}\)與\(S^{2}\)相互獨立B.\(E(\overline{X})=\mu\)C.\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\)D.\(E(S^{2})=\sigma^{2}\)8.以下哪些分布與正態(tài)分布有密切關(guān)系（）A.\(\chi^{2}\)分布B.\(t\)分布C.\(F\)分布D.泊松分布9.假設(shè)檢驗中，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出的決策可能是（）A.接受原假設(shè)B.拒絕原假設(shè)C.接受備擇假設(shè)D.無法判斷10.用矩估計法估計總體參數(shù)時，以下說法正確的是（）A.對于一個參數(shù)的總體，用樣本一階原點矩估計總體一階原點矩B.對于兩個參數(shù)的總體，可能需要用樣本一階原點矩和二階原點矩分別估計總體相應(yīng)矩C.矩估計法簡單直觀D.矩估計量一定是無偏估計三、判斷題（每題2分，共10題）1.統(tǒng)計量是不含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)。（）2.樣本均值\(\overline{X}\)一定是總體均值\(\mu\)的無偏估計。（）3.若\(X\sim\chi^{2}(n)\)，則\(E(X)=n\)，\(D(X)=2n\)。（）4.在假設(shè)檢驗中，當(dāng)原假設(shè)\(H_0\)為真時拒絕\(H_0\)，犯了第一類錯誤。（）5.極大似然估計一定是無偏估計。（）6.置信水平\(1-\alpha\)越大，置信區(qū)間越寬。（）7.兩個相互獨立的正態(tài)總體的樣本均值之差服從正態(tài)分布。（）8.樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計。（）9.假設(shè)檢驗的結(jié)論與選取的顯著水平\(\alpha\)有關(guān)。（）10.矩估計法和極大似然估計法得到的估計量一定相同。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述無偏估計的定義。答案：設(shè)\(\hat{\theta}\)是未知參數(shù)\(\theta\)的一個估計量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量，即估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的參數(shù)。2.簡述假設(shè)檢驗的基本步驟。答案：①提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；②選擇合適的檢驗統(tǒng)計量；③確定顯著水平\(\alpha\)，并根據(jù)\(\alpha\)確定拒絕域；④根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的值；⑤將統(tǒng)計量的值與拒絕域比較，作出拒絕或接受\(H_0\)的決策。3.簡述矩估計法的基本思想。答案：用樣本矩來估計總體矩。因為在樣本容量\(n\)較大時，樣本矩依概率收斂于總體矩。對于含有\(zhòng)(k\)個未知參數(shù)的總體，通常取前\(k\)階樣本矩等于相應(yīng)的總體矩，建立方程組求解未知參數(shù)的估計量。4.簡述\(t\)分布與正態(tài)分布的關(guān)系。答案：當(dāng)自由度\(n\)較大時，\(t\)分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(N(0,1)\)。\(t\)分布的密度函數(shù)關(guān)于\(y\)軸對稱，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，但\(t\)分布的尾部比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾部更厚，即取到極端值的概率更大。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在實際應(yīng)用中，如何選擇合適的點估計方法。答案：在實際中，若總體分布形式已知，極大似然估計通常是較好選擇，它利用了總體分布信息，在一定條件下具有優(yōu)良性質(zhì)。若總體分布未知，矩估計法簡單實用，利用樣本矩與總體矩關(guān)系。還需考慮估計量的無偏性、有效性、一致性等標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合實際情況如計算復(fù)雜度、數(shù)據(jù)特點等來綜合選擇。2.討論在假設(shè)檢驗中，如何平衡第一類錯誤和第二類錯誤。答案：在樣本容量\(n\)固定時，減小第一類錯誤概率\(\alpha\)，會增大第二類錯誤概率\(\beta\)，反之亦然。要平衡二者，可增大樣本容量\(n\)，使兩類錯誤概率都減?。换蚋鶕?jù)實際問題重要性，優(yōu)先控制主要錯誤類型，如新藥檢驗中，優(yōu)先控制第一類錯誤（誤判無效為有效）。3.討論區(qū)間估計和點估計的優(yōu)缺點。答案：點估計優(yōu)點是給出具體估計值，計算簡單直觀，缺點是沒有給出估計的精度和可靠性。區(qū)間估計優(yōu)點是通過置信區(qū)間給出估計的范圍及包含真值的概率，能體現(xiàn)估計精度和可靠性，缺點是區(qū)間的確定依賴一些條件且較復(fù)雜，不能像點估計那樣給出確切值。4.討論數(shù)理統(tǒng)計在不同領(lǐng)域的應(yīng)用實例。答案：在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，用于藥物療效分析，通過樣本數(shù)據(jù)判斷新藥是否有效；在工業(yè)生產(chǎn)中，用于質(zhì)量控制，監(jiān)測產(chǎn)品質(zhì)量波動；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，預(yù)測經(jīng)濟(jì)指標(biāo)趨勢，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立模型分析未來走向；在