第1頁/共1頁2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編集合（人教B版）一、單選題1．（2025北京通州高三一模）已知全集為R，集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2025北京石景山高三一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．3．（2025北京順義高三一模）已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．4．（2025北京朝陽高三一模）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．5．（2025北京平谷高三一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．6．（2024北京房山高三一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．7．（2024北京延慶高三一模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．8．（2024北京朝陽高三一模）已知全集，，則（

）A． B． C． D．9．（2024北京海淀高三一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．10．（2024北京西城高三一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．11．（2024北京東城高三一模）如圖所示，是全集，是的子集，則陰影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．12．（2024北京門頭溝高三一模）已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．13．（2023北京順義高三一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．14．（2023北京海淀高三一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．15．（2023北京房山高三一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．16．（2023北京豐臺高三一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．17．（2023北京平谷高三一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．二、填空題18．（2024北京朝陽高三一模）設(shè)A，B為兩個非空有限集合，定義其中表示集合S的元素個數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學(xué)，生物}，{地理，物理，化學(xué)}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個結(jié)論：①若，則{思想政治，歷史，生物}；②若，則{地理，物理，化學(xué)}；③若{思想政治，物理，生物}，則；④若，則{思想政治，地理，化學(xué)}.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題19．（2024北京豐臺高三一模）已知集合（，），若存在數(shù)陣滿足：①；②．則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個“好數(shù)陣”．(1)已知數(shù)陣是的一個“好數(shù)陣”，試寫出，，，的值；(2)若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；(3)判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由．20．（2023北京順義高三一模）已知實數(shù)集，定義．(1)若，求；(2)若，求集合A；(3)若A中的元素個數(shù)為9，求的元素個數(shù)的最小值．21．（2023北京門頭溝高三一模）已知集合.若對于集合M的任意k元子集A，A中必有4個元素的和為，則稱這樣的正整數(shù)k為“好數(shù)”，所有“好數(shù)”的最小值記作.(1)當(dāng)，即集合.（i）寫出M的一個子集B，且B中存在4個元素的和為；（ii）寫出M的一個5元子集C，使得C中任意4個元素的和大于；(2)證明：；(3)證明：.22．（2023北京西城高三一模）給定正整數(shù)，設(shè)集合．對于集合中的任意元素和，記．設(shè)，且集合，對于中任意元素，若則稱具有性質(zhì)．(1)判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；(2)判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；(3)若集合具有性質(zhì)，證明：．

參考答案1．B【分析】由補集及交集運算即可求解.【詳解】由，可得或，所以，故選：B2．B【分析】利用集合的補集運算求解.【詳解】因為全集，集合，所以，故選：B3．C【分析】先確定集合，再根據(jù)補集的定義運算即可.【詳解】因為，.所以.故選：C4．A【分析】求出集合A，然后根據(jù)交集運算求解即可.【詳解】，所以，故選：A.5．D【分析】根據(jù)并集的定義即可求.【詳解】，故選：D6．B【分析】根據(jù)補集的定義即可得解.【詳解】因為全集，集合，所以.故選：B.7．B【分析】根據(jù)題意，由并集的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則.故選：B8．D【分析】求出集合A，再利用補集的定義求解即得.【詳解】全集，則，所以.故選：D9．D【分析】根據(jù)給定條件，利用補集的定義求解即得.【詳解】全集，集合，所以.故選：D10．B【分析】利用補集和交集運算求解即可.【詳解】因為集合，所以或，又集合，所以或.故選：B11．D【分析】由給定的韋恩圖分析出陰影部分所表示的集合中元素滿足的條件，再根據(jù)集合運算的定義即可得解.【詳解】由韋恩圖可知陰影部分所表示的集合是.故選：D.12．A【分析】求,判斷選項.【詳解】根據(jù)題意可得，，故選：A13．A【分析】根據(jù)并集的運算，計算即可得出答案.【詳解】根據(jù)并集的運算可知，.故選：A.14．A【分析】求交集可得答案.【詳解】因為集合，所以.故選：A.15．C【分析】直接求并集得到答案.【詳解】集合，則.故選：C16．D【分析】根據(jù)并集運算求解.【詳解】因為集合，，所以，故選:D.17．C【分析】由并集的定義求解即可.【詳解】因為集合，所以.故選：C.18．①③【分析】對于①③：直接根據(jù)定義計算即可；對于②：通過定義計算得到必為偶數(shù)，討論和兩種情況下的求解即可；對于④：通過舉例{物理，地理，歷史}來說明.【詳解】對于①：，所以，所以，又{地理，物理，化學(xué)}，所以{思想政治，歷史，生物}，①正確；對于②：，即，所以，所以必為偶數(shù)，又，當(dāng)時，，不符合，所以，且，此時情況較多，比如{物理，地理，生物}，②錯誤；對于③：若{思想政治，物理，生物}，則，所以，③正確；對于④：當(dāng){物理，地理，歷史}時，，滿足，但不是{思想政治，地理，化學(xué)}，④錯誤.故選：①③【點睛】方法點睛：對于新定義題目，一定要深刻理解定義的意義，然后套用定義進行計算即可，很多時候新定義題目難度并不很大，關(guān)鍵是要大膽做，用心做.19．(1)，，，(2)證明見解析(3)是“好集合”，滿足的“好數(shù)陣”有，，，；不是“好集合”，證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)定義解出未知量的值；（2）可構(gòu)造恰當(dāng)?shù)挠成?，以證明結(jié)論；（3）第三問可通過分類討論求解問題.【詳解】（1）由“好數(shù)陣”的定義，知，，，，故，，，，進一步得到，.從而，，，.（2）如果是一個“好數(shù)陣”，則，.從而，.故也是一個“好數(shù)陣”.由于是偶數(shù)，故，從而.這就說明兩數(shù)陣和的第1行第2列的數(shù)不相等，從而是不同的數(shù)陣.設(shè)全體“好數(shù)陣”構(gòu)成的集合為，并定義映射如下：對，規(guī)定.因為由中的元素構(gòu)成的數(shù)陣只有不超過種，故是有限集合.而，這就表明，從而是滿射，由是有限集，知也是單射，從而是一一對應(yīng).對“好數(shù)陣”，已證兩數(shù)陣和是不同的數(shù)陣，故.同時，對兩個“好數(shù)陣”，，如果，則；如果，則.所以當(dāng)且僅當(dāng).最后，對，由，稱2元集合為一個“好對”.對，若屬于某個“好對”，則或，即或.由于，故無論是還是，都有.這表明，每個“好數(shù)陣”恰屬于一個“好對”，所以“好數(shù)陣”的個數(shù)是“好對”個數(shù)的2倍，從而“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個.（3）若是“好數(shù)陣”，則有，所以，這表明一定是偶數(shù).若，設(shè)是“好數(shù)陣”，則，從而，故.由于，故，同理.若，設(shè)，則，故，從而.進一步有，而，故.假設(shè)，設(shè)，則，故，則，.由于，，故，.此時，從而，，但此時，矛盾；所以，故，分別嘗試所有24種可能的對應(yīng)方式，知符合條件的“好數(shù)陣”有，；若，則，從而.若，則或.若，則，，分別嘗試3種可能，知符合條件的“好數(shù)陣”有，.若，則，，若，則，或且，分別嘗試所有可能，知符合條件的“好數(shù)陣”有；若，則，分別嘗試所有可能，知符合條件的“好數(shù)陣”有；若，則，假設(shè)，由于，，故，矛盾，所以.對嘗試所有組合，知符合條件的“好數(shù)陣”有，，，.綜上，全部的“好數(shù)陣”有，，，，，，，，，，其中，滿足的有，，，.綜上，是“好集合”，滿足的“好數(shù)陣”有，，，.若，由于此時不是偶數(shù)，所以不存在“好數(shù)陣”，從而不是“好集合”.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是第3小問需要較為繁瑣的分類討論，耐心嘗試所有情況才可不重不漏.20．(1)(2)或者.(3)13【分析】（1）根據(jù)集合的新定義直接求解即可；（2）根據(jù)可得，然后分中4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負進行討論即可；（3）分中沒有負數(shù)和中至少有一個負數(shù)兩種情況進行討論即可求解.【詳解】（1）;（2）首先，；其次中有4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負.記，不妨設(shè)或者--①當(dāng)時，，相乘可知，從而，從而，所以；②當(dāng)時，與上面類似的方法可以得到進而，從而所以或者.（3）估值+構(gòu)造

需要分類討論中非負元素個數(shù).先證明．考慮到將中的所有元素均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時，集合不變，故不妨設(shè)中正數(shù)個數(shù)不少于負數(shù)個數(shù).接下來分類討論：情況一：中沒有負數(shù)．不妨設(shè)，則上式從小到大共有1+7+6=14個數(shù)，它們都是的元素，這表明情況二：中至少有一個負數(shù)．設(shè)是中的全部負元素，是中的全部非負元素.不妨設(shè)其中為正整數(shù)，．于是有以上是中的個非正數(shù)元素：另外，注意到它們是中的5個正數(shù)．這表明綜上可知，總有-另一方面，當(dāng)時，中恰有13個元素.綜上所述，中元素個數(shù)的最小值為13.21．(1)（i）；（ii）(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）取，驗證得到答案.（2）若，，，從大到小取個元素，得到中任意4個元素之和，得到證明.（3）集合的元素按和為分組，和把集合的元素按和為分組，確定中必有一個與沒有公共元素，設(shè)，的4個元素滿足條件，得到時成立，得到證明.【詳解】（1）取，則，滿足條件；取，則；；；；；滿足條件.（2）若，，，從大到小取個元素，，，或，，則中任意4個元素之和，不成立，故.（3）當(dāng)時，把集合的元素按和為分組，得：，易得，中至少有2個二元子集滿足．若把集合的元素按和為分組，得：．易得，中至少有3個二元子集滿足．而集合兩兩互不相交，與中每一個至多有一個公共元素，所以，中必有一個與沒有公共元素，不妨設(shè)，則的4個元素就是的4個互異元素，而這4個元素的和為．又，所以．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了集合的新定義問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，將集合按照和為與和為分組，再根據(jù)抽屜原理得到新集合，是解題的關(guān)鍵.22．(1)具有，理由見解析(2)不存在，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)集合具有性質(zhì)的特征，即可根據(jù)集合中的元素進行檢驗求解，（2）假設(shè)集合具有性質(zhì)，分別考慮時，集合中的元素，即可根據(jù)的定義求解.（3）根據(jù)假設(shè)存在使得，考慮當(dāng)時以及時，分量為1的個數(shù)即可討論求解.【詳解】（1）因為，同理．又，同理．所以集合具有性質(zhì)．（2）當(dāng)時，集合中的元素個數(shù)為．由題設(shè)．

假設(shè)集合具有性質(zhì)，則①當(dāng)時，，矛盾．②當(dāng)時，，不具有性質(zhì)，矛盾．③當(dāng)時，．因為和至多一個在中；和至多一個在中；和至多一個在中，故集合中的元素個數(shù)小于，矛盾．④當(dāng)時，，不具有性質(zhì)，矛盾．⑤當(dāng)時，，矛盾．綜上，不存在具有性質(zhì)的集合．（3）記，則．若，則，矛盾．若，則，矛盾．故．假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，即．當(dāng)時，有或成立．所以中分量為的個數(shù)至多有．當(dāng)時，不妨設(shè)．因為，所以的各分量有