第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編集合間的基本關(guān)系一、單選題1．（2025北京通州高三一模）已知全集為R，集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2025北京石景山高三一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．3．（2025北京順義高三一模）已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．4．（2025北京朝陽(yáng)高三一模）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．5．（2025北京平谷高三一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．6．（2024北京房山高三一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．7．（2024北京延慶高三一模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．8．（2024北京朝陽(yáng)高三一模）已知全集，，則（

）A． B． C． D．9．（2024北京海淀高三一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．10．（2024北京西城高三一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．11．（2024北京東城高三一模）如圖所示，是全集，是的子集，則陰影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．12．（2024北京門頭溝高三一模）已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．13．（2023北京順義高三一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．14．（2023北京海淀高三一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．15．（2023北京房山高三一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．16．（2023北京豐臺(tái)高三一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．17．（2023北京平谷高三一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．二、填空題18．（2024北京朝陽(yáng)高三一模）設(shè)A，B為兩個(gè)非空有限集合，定義其中表示集合S的元素個(gè)數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學(xué)，生物}，{地理，物理，化學(xué)}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則{思想政治，歷史，生物}；②若，則{地理，物理，化學(xué)}；③若{思想政治，物理，生物}，則；④若，則{思想政治，地理，化學(xué)}.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題19．（2024北京豐臺(tái)高三一模）已知集合（，），若存在數(shù)陣滿足：①；②．則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個(gè)“好數(shù)陣”．(1)已知數(shù)陣是的一個(gè)“好數(shù)陣”，試寫出，，，的值；(2)若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；(3)判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由．20．（2023北京門頭溝高三一模）已知集合.若對(duì)于集合M的任意k元子集A，A中必有4個(gè)元素的和為，則稱這樣的正整數(shù)k為“好數(shù)”，所有“好數(shù)”的最小值記作.(1)當(dāng)，即集合.（i）寫出M的一個(gè)子集B，且B中存在4個(gè)元素的和為；（ii）寫出M的一個(gè)5元子集C，使得C中任意4個(gè)元素的和大于；(2)證明：；(3)證明：.21．（2023北京西城高三一模）給定正整數(shù)，設(shè)集合．對(duì)于集合中的任意元素和，記．設(shè)，且集合，對(duì)于中任意元素，若則稱具有性質(zhì)．(1)判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；(2)判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；(3)若集合具有性質(zhì)，證明：．

參考答案1．B【分析】由補(bǔ)集及交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由，可得或，所以，故選：B2．B【分析】利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槿?，集合，所以，故選：B3．C【分析】先確定集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋?所以.故選：C4．A【分析】求出集合A，然后根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.【詳解】，所以，故選：A.5．D【分析】根據(jù)并集的定義即可求.【詳解】，故選：D6．B【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解.【詳解】因?yàn)槿?，集合，所?故選：B.7．B【分析】根據(jù)題意，由并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B8．D【分析】求出集合A，再利用補(bǔ)集的定義求解即得.【詳解】全集，則，所以.故選：D9．D【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集的定義求解即得.【詳解】全集，集合，所以.故選：D10．B【分析】利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，所以或，又集合，所以?故選：B11．D【分析】由給定的韋恩圖分析出陰影部分所表示的集合中元素滿足的條件，再根據(jù)集合運(yùn)算的定義即可得解.【詳解】由韋恩圖可知陰影部分所表示的集合是.故選：D.12．A【分析】求,判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可得，，故選：A13．A【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算，計(jì)算即可得出答案.【詳解】根據(jù)并集的運(yùn)算可知，.故選：A.14．A【分析】求交集可得答案.【詳解】因?yàn)榧希?故選：A.15．C【分析】直接求并集得到答案.【詳解】集合，則.故選：C16．D【分析】根據(jù)并集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧希?，所以，故選:D.17．C【分析】由并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：C.18．①③【分析】對(duì)于①③：直接根據(jù)定義計(jì)算即可；對(duì)于②：通過定義計(jì)算得到必為偶數(shù)，討論和兩種情況下的求解即可；對(duì)于④：通過舉例{物理，地理，歷史}來說明.【詳解】對(duì)于①：，所以，所以，又{地理，物理，化學(xué)}，所以{思想政治，歷史，生物}，①正確；對(duì)于②：，即，所以，所以必為偶數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，不符合，所以，且，此時(shí)情況較多，比如{物理，地理，生物}，②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若{思想政治，物理，生物}，則，所以，③正確；對(duì)于④：當(dāng){物理，地理，歷史}時(shí)，，滿足，但不是{思想政治，地理，化學(xué)}，④錯(cuò)誤.故選：①③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義題目，一定要深刻理解定義的意義，然后套用定義進(jìn)行計(jì)算即可，很多時(shí)候新定義題目難度并不很大，關(guān)鍵是要大膽做，用心做.19．(1)，，，(2)證明見解析(3)是“好集合”，滿足的“好數(shù)陣”有，，，；不是“好集合”，證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)定義解出未知量的值；（2）可構(gòu)造恰當(dāng)?shù)挠成?，以證明結(jié)論；（3）第三問可通過分類討論求解問題.【詳解】（1）由“好數(shù)陣”的定義，知，，，，故，，，，進(jìn)一步得到，.從而，，，.（2）如果是一個(gè)“好數(shù)陣”，則，.從而，.故也是一個(gè)“好數(shù)陣”.由于是偶數(shù)，故，從而.這就說明兩數(shù)陣和的第1行第2列的數(shù)不相等，從而是不同的數(shù)陣.設(shè)全體“好數(shù)陣”構(gòu)成的集合為，并定義映射如下：對(duì)，規(guī)定.因?yàn)橛芍械脑貥?gòu)成的數(shù)陣只有不超過種，故是有限集合.而，這就表明，從而是滿射，由是有限集，知也是單射，從而是一一對(duì)應(yīng).對(duì)“好數(shù)陣”，已證兩數(shù)陣和是不同的數(shù)陣，故.同時(shí)，對(duì)兩個(gè)“好數(shù)陣”，，如果，則；如果，則.所以當(dāng)且僅當(dāng).最后，對(duì)，由，稱2元集合為一個(gè)“好對(duì)”.對(duì)，若屬于某個(gè)“好對(duì)”，則或，即或.由于，故無論是還是，都有.這表明，每個(gè)“好數(shù)陣”恰屬于一個(gè)“好對(duì)”，所以“好數(shù)陣”的個(gè)數(shù)是“好對(duì)”個(gè)數(shù)的2倍，從而“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè).（3）若是“好數(shù)陣”，則有，所以，這表明一定是偶數(shù).若，設(shè)是“好數(shù)陣”，則，從而，故.由于，故，同理.若，設(shè)，則，故，從而.進(jìn)一步有，而，故.假設(shè)，設(shè)，則，故，則，.由于，，故，.此時(shí)，從而，，但此時(shí)，矛盾；所以，故，分別嘗試所有24種可能的對(duì)應(yīng)方式，知符合條件的“好數(shù)陣”有，；若，則，從而.若，則或.若，則，，分別嘗試3種可能，知符合條件的“好數(shù)陣”有，.若，則，，若，則，或且，分別嘗試所有可能，知符合條件的“好數(shù)陣”有；若，則，分別嘗試所有可能，知符合條件的“好數(shù)陣”有；若，則，假設(shè)，由于，，故，矛盾，所以.對(duì)嘗試所有組合，知符合條件的“好數(shù)陣”有，，，.綜上，全部的“好數(shù)陣”有，，，，，，，，，，其中，滿足的有，，，.綜上，是“好集合”，滿足的“好數(shù)陣”有，，，.若，由于此時(shí)不是偶數(shù)，所以不存在“好數(shù)陣”，從而不是“好集合”.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是第3小問需要較為繁瑣的分類討論，耐心嘗試所有情況才可不重不漏.20．(1)（i）；（ii）(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）取，驗(yàn)證得到答案.（2）若，，，從大到小取個(gè)元素，得到中任意4個(gè)元素之和，得到證明.（3）集合的元素按和為分組，和把集合的元素按和為分組，確定中必有一個(gè)與沒有公共元素，設(shè)，的4個(gè)元素滿足條件，得到時(shí)成立，得到證明.【詳解】（1）取，則，滿足條件；取，則；；；；；滿足條件.（2）若，，，從大到小取個(gè)元素，，，或，，則中任意4個(gè)元素之和，不成立，故.（3）當(dāng)時(shí)，把集合的元素按和為分組，得：，易得，中至少有2個(gè)二元子集滿足．若把集合的元素按和為分組，得：．易得，中至少有3個(gè)二元子集滿足．而集合兩兩互不相交，與中每一個(gè)至多有一個(gè)公共元素，所以，中必有一個(gè)與沒有公共元素，不妨設(shè)，則的4個(gè)元素就是的4個(gè)互異元素，而這4個(gè)元素的和為．又，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了集合的新定義問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，將集合按照和為與和為分組，再根據(jù)抽屜原理得到新集合，是解題的關(guān)鍵.21．(1)具有，理由見解析(2)不存在，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)集合具有性質(zhì)的特征，即可根據(jù)集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn)求解，（2）假設(shè)集合具有性質(zhì)，分別考慮時(shí)，集合中的元素，即可根據(jù)的定義求解.（3）根據(jù)假設(shè)存在使得，考慮當(dāng)時(shí)以及時(shí)，分量為1的個(gè)數(shù)即可討論求解.【詳解】（1）因?yàn)?，同理．又，同理．所以集合具有性質(zhì)．（2）當(dāng)時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)為．由題設(shè)．

假設(shè)集合具有性質(zhì)，則①當(dāng)時(shí)，，矛盾．②當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾．③當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楹椭炼嘁粋€(gè)在中；和至多一個(gè)在中；和至多一個(gè)在中，故集合中的元素個(gè)數(shù)小于，矛盾．④當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾．⑤當(dāng)時(shí)，，矛盾．綜上，不存在具有性質(zhì)的集合．（3）記，則．若，則，矛盾．若，則，矛盾．故．假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，即．當(dāng)時(shí)，有或成立．所以中分量為的個(gè)數(shù)至多有．當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)．因?yàn)?，所以的各分量有個(gè)，不妨設(shè)．由時(shí)，可知，，中至多有個(gè)，即的前個(gè)分量中