第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編拋物線一、單選題1．（2025北京通州高三一模）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則等于（

）A．16 B．6 C． D．42．（2025北京海淀高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則（

）A．1 B．C． D．23．（2025北京石景山高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則（

）A． B． C． D．4．（2025北京豐臺(tái)高三一模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上.若M的橫坐標(biāo)為1，且，則p的值為（

）A． B．1 C．2 D．45．（2025北京順義高三一模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)A，B，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)M，若，則的面積等于（

）A． B． C． D．26．（2025北京延慶高三一模）“”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024北京延慶高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為，則（

）A． B．C． D．8．（2024北京西城高三一模）已知拋物線與拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，則的準(zhǔn)線方程是（

）A． B．C． D．9．（2023北京順義高三一模）已知拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．810．（2023北京海淀高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在該拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為4，則（

）A．2 B．3 C．4 D．511．（2023北京房山高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．12．（2023北京豐臺(tái)高三一模）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為F，A是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)A到x軸的距離為．過(guò)點(diǎn)A向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線、垂足為B．若四邊形ABOF為等腰梯形，則p的值為（

）A．1 B． C．2 D．13．（2023北京石景山高三一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，給出下列三個(gè)命題：①若點(diǎn)總滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線；②若點(diǎn)到直線與到平面的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線；③若點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離之和為2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．314．（2023北京平谷高三一模）已知拋物線，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A． B． C．4 D．二、填空題15．（2025北京通州高三一模）已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①曲線C既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；②，；③點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為；④曲線C所圍成封閉區(qū)域的面積大于4.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.16．（2025北京東城高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，且總有，則的一個(gè)值可以為.17．（2025北京西城高三一模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則拋物線上一點(diǎn)到的距離為．18．（2025北京房山高三一模）已知是拋物線的焦點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，設(shè)是直線上一點(diǎn)，直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則點(diǎn)到軸的距離為.19．（2025北京門頭溝高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于其對(duì)稱軸的直線交于點(diǎn)，，若，則焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.20．（2025北京平谷高三一模）拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到對(duì)稱軸的距離相等，則.21．（2025北京朝陽(yáng)高三一模）已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；以F為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是．（填“相交”“相切”或“相離”）22．（2024北京朝陽(yáng)高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則；設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則.23．（2024北京東城高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為；拋物線的焦點(diǎn)為，若直線分別與交于兩點(diǎn)；且，則.24．（2024北京門頭溝高三一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則到直線的距離為：．25．（2024北京豐臺(tái)高三一模）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為．26．（2023北京西城高三一模）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則．27．（2023北京朝陽(yáng)高三一模）經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．28．（2023北京石景山高三一模）拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為.

參考答案1．C【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式求得．【詳解】由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，由直線的斜角為，可知直線AB的斜率為，∴直線AB的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，解得，由拋物線的定義可知，.故選：C.2．C【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出p的值，可得出方程，點(diǎn)在曲線上，代入可得解.【詳解】由拋物線定義知：，解出，故拋物線，又點(diǎn)在上，則，，故選：C.3．C【分析】首先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義求出的取值范圍.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在上且，則，所以，即，故A錯(cuò)誤，C正確；又，所以，所以，故B、D錯(cuò)誤.故選：C4．C【分析】利用拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離求解.【詳解】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以，解得，故選：C.5．A【分析】根據(jù)以及拋物線定義可得直線的斜率，則可求，以及坐標(biāo)，即可得點(diǎn)到直線的距離，最后利用面積公式即可.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，直線與軸分別交與點(diǎn)，設(shè)，則，因，則，得，則，則，故直線的斜率為，直線的方程為，與聯(lián)立得，解得，則直線：，，得故點(diǎn)到直線的距離為，故的面積為.故選：A6．A【分析】求出直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)的等價(jià)條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義，即可得出結(jié)論.【詳解】由，得，因?yàn)橹本€與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是或，所以”能推出“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)不能推出，“”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充分而不必要條件，故選：A7．B【分析】根據(jù)拋物線的定義求解.【詳解】由拋物線可知，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)榈街本€的距離為，所以到拋物線準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義知，.故選：B8．C【分析】由對(duì)稱性可得曲線方程，求出準(zhǔn)線方程即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€與拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，所以將互換后可得拋物線方程為，即，所以的準(zhǔn)線方程為，故選：C.9．C【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由條件列方程求.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，雙曲線的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，所以，故選：C.10．D【分析】直接根據(jù)拋物線焦半徑公式計(jì)算得到答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，P的橫坐標(biāo)為4，拋物線的焦點(diǎn)為F，所以等于點(diǎn)到直線的距離，所以，故選：D.11．D【分析】由拋物線的定義，將拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，列方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，由題意，設(shè)，，，，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，故選：D12．C【分析】過(guò)點(diǎn)A向x軸作垂線、垂足為E．設(shè)準(zhǔn)線交x軸于D.利用幾何法求出直角三角形的三邊，利用勾股定理即可求解.【詳解】如圖示：過(guò)點(diǎn)A（不妨設(shè)為第一象限點(diǎn)）向x軸作垂線、垂足為E．設(shè)準(zhǔn)線交x軸于D.因?yàn)樗倪呅蜛BOF為等腰梯形，所以，.所以.又，所以，所以，所以.所以.由拋物線的定義可得：.在直角三角形中，,.由勾股定理可得：，解得：.故選：C13．C【分析】根據(jù)正方體中的線面垂直以及線線垂直關(guān)系，即可確定滿足滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，從而可判斷①；利用線線關(guān)系將點(diǎn)線距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距離，結(jié)合圓錐曲線的定義即可判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，即可得判斷②③，從而可得答案.【詳解】對(duì)于①，如圖在正方體中，連接，在正方體中，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面平面，平面，點(diǎn)總滿足，所以平面，所以，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線，故①正確；對(duì)于②，平面,平面，則點(diǎn)到直線等于到的距離，又到平面的距離等于到的距離，則到的距離等于到的距離，由拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，故②正確；對(duì)于③，點(diǎn)到直線的距離等于到的距離，所以到的距離與到點(diǎn)的距離之和為2，即，則點(diǎn)的軌跡為線段，故③不正確.所以正確的命題個(gè)數(shù)是2.故選：C.14．D【分析】由焦半徑公式列出方程，求出，得到，求出的長(zhǎng).【詳解】拋物線準(zhǔn)線方程為，由焦半徑可知：，解得：.則，此時(shí)，則.故選：D15．①③④【分析】選項(xiàng)A，用，代替驗(yàn)證①；取，即可求解方程的根判斷②，根據(jù)題中條件，得出的范圍，即可判斷③正確；根據(jù)題意，可分析，時(shí)的情況，確定第一象限部分圖象應(yīng)在，與坐標(biāo)軸圍成的正方形外部，對(duì)應(yīng)的面積一定大于1，根據(jù)對(duì)稱性，即可判定④.【詳解】將代入，整理得，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，同理將代入方程整理后其方程不變，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故①正確；取，則，故，故（增根已舍去），因此②錯(cuò)誤，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為；故③正確；令，可得，令，因?yàn)椋院瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)椋?，所以兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)小于0，一個(gè)大于1，即曲線上當(dāng)時(shí)，同理當(dāng)時(shí)，即第一象限部分圖象應(yīng)在，與坐標(biāo)軸圍成的正方形外部，所以第一象限內(nèi)的面積應(yīng)大于1；由圖象的對(duì)稱性可得，曲線所圍成的區(qū)域的面積應(yīng)大于4，故④正確.故答案為：①③④16．2（答案不唯一）【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)有，結(jié)合已知得，即可得.【詳解】由拋物線的性質(zhì)知，又，即.所以的一個(gè)值可以為2.故答案為：2（答案不唯一）17．3【分析】先求出，然后得出拋物線的準(zhǔn)線方程，即可得出答案.【詳解】由題可得，所以，所以準(zhǔn)線，所以上一點(diǎn)到的距離為，故答案為：3.18．1【分析】由拋物線性質(zhì)可知焦點(diǎn)坐標(biāo)；過(guò)作垂直于直線，由比例關(guān)系得出到軸的距離.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.過(guò)作垂直于直線于，則軸.設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，由軸得，，所以，因此點(diǎn)到軸的距離為1.

故答案為：;1.19．2【分析】求得的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求得，可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且垂直于其對(duì)稱軸的直線交于點(diǎn)，，所以，將，代入拋物線方程，可得，所以，解得，焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.20．/0.5【分析】由拋物線的定義可知，過(guò)作軸的垂線垂足是焦點(diǎn)，即可得到答案.【詳解】拋物線焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)，故拋物線的對(duì)稱軸為軸，拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到對(duì)稱軸的距離相等，由拋物線的定義可知，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，所以，若軸，則垂足為點(diǎn)，即，故答案為：21．相切【分析】第一空由點(diǎn)在拋物線上代入可得拋物線方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)；第二空由兩點(diǎn)間距離公式求出圓的半徑與焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相比較可得.【詳解】由題意可得，所以，所以拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；由兩點(diǎn)間距離公式可得，即為圓的半徑，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相切.故答案為：；相切.22．/0.5【分析】借助拋物線的性質(zhì)及其定義計(jì)算即可得.【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，則，，由在拋物線上，故，由，可得，即，即.故答案為：；.23．【分析】根據(jù)拋物線的方程即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求出，進(jìn)而可得出.【詳解】由拋物線，可得，設(shè)，則，故，所以，所以.

故答案為：；.24．4【分析】由拋物線的性質(zhì)得到到的準(zhǔn)線的距離，然后解出的橫坐標(biāo)，最后求出到直線的距離即可.【詳解】由點(diǎn)在上，的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，知到直線的距離等于.而，故到直線的距離為.設(shè)的坐標(biāo)為，由到直線的距離為，知，所以或.而，故.所以到直線的距離為.故答案為：.25．【分析】根據(jù)拋物線定義可得，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：；設(shè)，由拋物線定義知：，，線段的中點(diǎn)到軸的距離為.故答案為：.26．1【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及等邊三角形的邊角關(guān)系即可代入求解.【詳解】設(shè)，則,即