哈爾濱市第九中學(xué)學(xué)年度下學(xué)期4月學(xué)業(yè)階段性評(píng)價(jià)考試高二數(shù)學(xué)學(xué)科考試試卷（考試時(shí)間：分鐘滿分：分共2頁(yè)）第I卷（共分）一、單選題（共8小題，每小題5分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.若一數(shù)列為1，，，，?，則是這個(gè)數(shù)列的（）A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第14項(xiàng)D.第15項(xiàng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列指數(shù)的特點(diǎn)求出通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列的指數(shù)分別是0，7，14，21，，則指數(shù)部分構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則對(duì)應(yīng)指數(shù)的通項(xiàng)公式為，由，所以是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).故選：D2.建設(shè)大型水庫(kù)可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益.已知一段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫(kù)的蓄水量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.下列敘述中正確的是（）A.在這段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫(kù)蓄水量的平均變化率均大于0B.在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率C.甲水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率第1頁(yè)/共17頁(yè)D.乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率【答案】D【解析】【分析】結(jié)合瞬時(shí)變化率與平均變化率變化率結(jié)合圖象分析即可得.【詳解】對(duì)A：由圖可知，在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于，乙水庫(kù)的蓄水量的平均變化率大于，故A錯(cuò)誤；對(duì)B大于，故甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由圖可知，甲水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于，乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于，故甲水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由圖可知，乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量上升比在時(shí)刻蓄水量上升快，故乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，故D正確.故選：D.3.已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的，都有，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)任意的，有，且，求得的值，即可得的值.【詳解】對(duì)任意的，都有，且，所以，則，所以.故選：B.4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）第2頁(yè)/共17頁(yè)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)后令可得.【詳解】由題意可得，令，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為遞減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C5.一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，若前項(xiàng)之和為15，后項(xiàng)之和為60，則這個(gè)等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和為（）A.63B.72C.75D.87【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的等片段和性質(zhì)可求解.【詳解】由題意知，，又，解得，所以.故選：A.6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)為（A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，且，從而可求得答案第3頁(yè)/共17頁(yè)【詳解】因?yàn)?，，由等差?shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以該數(shù)列的公差，所以絕對(duì)值最小的項(xiàng)在0附近的項(xiàng)中取得，因?yàn)?，所以，所以絕對(duì)值最小的項(xiàng)為，故選：C7.數(shù)列滿足，且，則等于（）A.19B.20C.21D.22【答案】B【解析】【分析】遞推公式兩側(cè)同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)遞推公式，得，運(yùn)用累加法及裂項(xiàng)相消法求和，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求通項(xiàng)，代入數(shù)值即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以有，，，?累加得，又，所以，即.第4頁(yè)/共17頁(yè)當(dāng)時(shí)，符合上式，所以.則.故選：B.8.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】令（，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查比較大小，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.二、多選題（共3小題，每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A.B.C.D.第5頁(yè)/共17頁(yè)【答案】ACD【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)原則求解即可.【詳解】，A正確；，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列描述正確的是（）A.直線是的一條切線B.在上單調(diào)遞增C.在上的最小值為D.關(guān)于的不等式的解集為【答案】ACD【解析】AB據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，通過(guò)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求解；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得，解不等式即可.【詳解】對(duì)于A，由，得，假設(shè)直線是的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，此時(shí)，即切點(diǎn)為，經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)也在直線上，所以直線是的一條切線，故A正確；第6頁(yè)/共17頁(yè)對(duì)于B，因?yàn)?，令，解得或，令，解得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B可知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最小值，又，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，，所以，解得或，故D正確.故選：ACD.若正整數(shù)，的公約數(shù)只有1，則稱，互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.為素?cái)?shù)時(shí)，C.數(shù)列是等比數(shù)列D.【答案】ABC【解析】，，可判定A的因數(shù)只有和1到所有的數(shù)均與互質(zhì)可判定B；由是質(zhì)數(shù)結(jié)合歐拉函數(shù)的定義得到可判定C；根據(jù)歐拉函數(shù)的定義找到小于或等于內(nèi)與互素的個(gè)數(shù)可判定D.【詳解】對(duì)于A，小于或等于且與互素的數(shù)有，所以，又由，，所以，故A正確；第7頁(yè)/共17頁(yè)對(duì)于B，素?cái)?shù)的因數(shù)只有和，所以1到的所有的數(shù)均與互質(zhì)，所以為素?cái)?shù)時(shí)，，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，所以在不超過(guò)的整數(shù)中，所有的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，根據(jù)歐拉函數(shù)的定義可得，則，又由，所以數(shù)列是等比數(shù)列，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭桥紨?shù)，小于的正奇數(shù)有個(gè)，其中是的倍數(shù)的奇數(shù)有個(gè)，它們與不互素，所以，所以D不正確.故選：ABC.第卷（共分）三、填空題（共3小題，每小題5分）12.記Sn為等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和．若，則S=____________．【答案】.【解析】目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問(wèn)題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．13.函數(shù)的極大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得函數(shù)的極值，從而得到最值，即可得到結(jié)果.第8頁(yè)/共17頁(yè)【詳解】由可得，令，即，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，即最大值點(diǎn)，且最大值為.故答案為：14已知數(shù)列滿足，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的特征，根據(jù)分組求和得，即可得解.詳解】由可知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，即，由此解得.故答案為：四、解答題（共5小題，總計(jì)分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．（1）求的通項(xiàng)公式；第9頁(yè)/共17頁(yè)（2到新數(shù)列，求的前20項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）487【解析】1）設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；（2）列舉法表示，得到的前20項(xiàng)，并分組求和，得到答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為，由題意得，解得，故；【小問(wèn)2詳解】，，故的前20項(xiàng)為，故的前20項(xiàng)和為.16.在①，.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，有________.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.第10頁(yè)/共17頁(yè)【答案】（1）選①②，答案均；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】1，為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，得到，根據(jù)求出通項(xiàng)公式；選②，，求出為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，得到，根據(jù)求出通項(xiàng)公式；（2，求和得到，并作差得到的最小值為，證明出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】選①，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，，所以，又，，所以為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足，綜上，；選②，①，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，第11頁(yè)/共17頁(yè)故，又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故，即，又，故為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足，綜上，；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以為遞增數(shù)列，故的最小值為，所以.17.已知函數(shù)，函數(shù).（1）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求角的取值范圍；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析第12頁(yè)/共17頁(yè)【解析】1）求導(dǎo)，先求出，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線斜率與傾斜角的關(guān)系及正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）求導(dǎo)，分，兩種情況討論求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，則，則，即，所以，則，又，所以或，即角的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由，，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，；若，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；第13頁(yè)/共17頁(yè)（32、、有符合條件的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在正整數(shù)，理由見(jiàn)解析【解析】1）構(gòu)造出，為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2），錯(cuò)位相減法求和得到；（3為遞減數(shù)列，結(jié)合，得到對(duì)所有正整數(shù)，均有，所以不存在正整數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】，故，，故，所以為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】，所以①，故②，式子①②得，第14頁(yè)/共17頁(yè)故；【小問(wèn)3詳解】不存在正整數(shù)，使得、、成等差數(shù)列，理由如下：、、成等差數(shù)列，故，即，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減數(shù)列，又，故對(duì)所有正整數(shù)，均有，所以不存在正整數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.19.對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期.（1）判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，如果是，寫(xiě)出該數(shù)列的周期，如果不是，說(shuō)明理由.（2）已知無(wú)窮數(shù)列是周期為2的周期數(shù)列，且，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求常數(shù)的取值范圍；（3和滿足第15頁(yè)/共17頁(yè)得是周期數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2（2）（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】1）根據(jù)周期數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)題意，分為偶數(shù)和為奇數(shù)時(shí)兩種情況討論求解即可；（3）假設(shè)存在非零常數(shù)，使得是周期為的數(shù)列，推導(dǎo)出數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，進(jìn)而得數(shù)列周期為，推出，由而該方程無(wú)解即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以?shù)列是周期數(shù)列，其最小正周期