考點(diǎn)12復(fù)數(shù)（6種題型5個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）一、一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考1，第2題復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算2022新高考2，第2題復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2021新高考1，第2題復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2021全國甲，理3文3復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算2021全國乙理，第1題復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)加，減運(yùn)算2021全國乙文，第2題復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2020新高考2，第2題復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2020新高考1，第2題復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算二二、命題規(guī)律與備考策略本章是高考的熱點(diǎn)，一般出現(xiàn)在選擇題前兩題中，比較簡單，分值為5分。高考命題主要集中于：（1）復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等；（2）復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模的最值問題；（3）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，?？疾斐?、除運(yùn)算；（4）虛數(shù)單位i的性質(zhì)。備考時(shí)要掌握常見的知識與解題方法，加強(qiáng)對復(fù)數(shù)的概念的理解，提高運(yùn)算求解能力。三三、2023真題搶先刷，考向提前知一．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共1小題）1．（2023?新高考Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，（1+3i）（3﹣i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，則在復(fù)平面內(nèi)，（1+3i）（3﹣i）對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，8），位于第一象限．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．二．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共6小題）2．（2023?甲卷）若復(fù)數(shù)（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，則a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等的定義，列方程組求出a的值．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3．（2023?新高考Ⅰ）已知z＝，則z﹣＝（）A．﹣i B．i C．0 D．1【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：z＝＝＝，則，故＝﹣i．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?甲卷）＝（）A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡求解即可．【解答】解：＝＝1﹣i．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．5．（2023?乙卷）設(shè)z＝，則＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【分析】先對z進(jìn)行化簡，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念寫出即可．【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴＝1+2i．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬簡單題．6．（2023?上海）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣i（i為虛數(shù)單位），則|1+iz|＝．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，即可求解．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．7．（2023?天津）已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為4+i．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求解即可．【解答】解：＝＝＝4+i．故答案為：4+i．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．三．共軛復(fù)數(shù)（共3小題）8．（2023?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，），則z的共軛復(fù)數(shù)＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，），∴z＝﹣1+i，則z的共軛復(fù)數(shù)＝﹣1﹣i，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?全國）已知（2+i）＝5+5i，則|z|＝（）A． B． C．5 D．5【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由共軛復(fù)數(shù)即復(fù)數(shù)的模的概念得答案．【解答】解：由（2+i）＝5+5i，得＝＝＝＝3+i，則z＝3﹣i，|z|＝＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．10．（2023?上海）已知z1，z2∈C且z1＝i（i為虛數(shù)單位），滿足|z1﹣1|＝1，則|z1﹣z2|的取值范圍為[0，]．【分析】引入復(fù)數(shù)的三角形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題求解．【解答】解：設(shè)z1﹣1＝cosθ+isinθ，則z1＝1+cosθ+isinθ，因?yàn)閦1＝i?，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，顯然當(dāng)＝時(shí)，原式取最小值0，當(dāng)＝﹣1時(shí)，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范圍為[0，]．故答案為：[0，]．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式以及三角恒等變換，同時(shí)考查了復(fù)數(shù)的模長公式，屬于中檔題．四．復(fù)數(shù)的模（共1小題）11．（2023?乙卷）|2+i2+2i3|＝（）A．1 B．2 C． D．5【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：由于|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四四、考點(diǎn)清單1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b．(2)復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)（a＝0，b≠0），,非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）.))))(3)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\f(→,\s\up6(一一對應(yīng))))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．<常用結(jié)論>1．三個(gè)易誤點(diǎn)(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大?。?2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立．2．復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的三個(gè)結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.五五、題型方法一．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共5小題）1．（2023?阿拉善盟一模）已知復(fù)數(shù)z滿足（z﹣2）i＝1+i，那么復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)根據(jù)等于實(shí)部，乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)為a+bi即可得到結(jié)果．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足（z﹣2）i＝1+i，z＝＝﹣i（1+i）+2＝﹣i+3；故選：B．【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，考查計(jì)算能力．2．（2023?蘆溪縣校級一模）設(shè)復(fù)數(shù)＝a+bi（a，b∈R）則a+b＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，先利用復(fù)數(shù)的除法化簡，得到a、b的值，從而可求a+b．【解答】解：，∴，∴a+b＝1，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?瓊山區(qū)校級一模）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則（）A． B．a(chǎn)＝3，b＝1 C． D．a(chǎn)＝1，b＝3【分析】先化簡，然后用復(fù)數(shù)相等的條件，列方程組求解．【解答】解：由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)相等的概念及有關(guān)運(yùn)算，考查計(jì)算能力．是基礎(chǔ)題．4．（2023?綿陽模擬）復(fù)數(shù)z＝2﹣i（i是虛數(shù)單位）的虛部為（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．2【分析】直接利用復(fù)數(shù)的基本概念得答案．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝2﹣i的虛部為﹣1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的概念題．5．（2023?南關(guān)區(qū)校級模擬）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝3 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣3 D．a(chǎn)＝1，b＝3【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，再利用復(fù)數(shù)的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的相等，是基礎(chǔ)題．二．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共15小題）6．（2023?長寧區(qū)二模）設(shè)復(fù)平面上表示2﹣i和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)條件可寫出表示向量的復(fù)數(shù)，然后即可得出該復(fù)數(shù)所位于的象限．【解答】解：根據(jù)題意知，表示向量的復(fù)數(shù)為1+5i，∴在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)為（1，5）位于第一象限．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)和向量的對應(yīng)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?秀英區(qū)校級三模）復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z，然后得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可判斷點(diǎn)所在的象限．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝＝復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，故復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023?廣西模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i（2﹣i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部寫出對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，看出所在的象限．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z＝i（2﹣i）＝﹣i2+2i＝1+2i∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）這個(gè)點(diǎn)在第一象限，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，才能看出實(shí)部和虛部的值．9．（2023?天津模擬）已知復(fù)數(shù)z＝（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．【分析】先化簡復(fù)數(shù)z，進(jìn)而判斷其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限．【解答】解：，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（2，1），位于第一象限．故答案為：一．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．10．（2023?河南模擬）已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝a2﹣3a﹣4+（a+1）i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)a﹣ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用純虛數(shù)的定義求出a，即可判斷作答．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝a2﹣3a﹣4+（a+1）i為純虛數(shù)，則，解得a＝4，所以復(fù)數(shù)4﹣4i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（4，﹣4）位于第四象限．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023?江蘇模擬）若復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝i，則在復(fù)平面內(nèi)z表示的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】化z為a+bi的形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義確定z所在象限．【解答】解：依題意，復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)在第二象限．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?河南模擬）若復(fù)數(shù)z滿足|z+1|＝|z﹣i|，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（）A．x＝1 B．y＝1 C．x+y＝0 D．x﹣y＝0【分析】由已知可得z＝x+yi（x，y∈R），代入|z+1|＝|z﹣i|，利用復(fù)數(shù)的模相等列式化簡得答案．【解答】解：由題意，z＝x+yi（x，y∈R），由|z+1|＝|z﹣i|，得，整理得：x+y＝0，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．13．（2023?渭南二模）棣莫弗公式（cosθ+isinθ）n＝cosnθ+isinnθ（i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667﹣1754）發(fā)現(xiàn)的．若復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得z，進(jìn)而確定z對應(yīng)點(diǎn)所在象限．【解答】解：，，，，，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．14．（2023?江西模擬）如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)z＝（2+ai）i（其中a∈R）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及等部復(fù)數(shù)的定義，求出z，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：z＝（2+ai）i＝﹣a+2i為“等部復(fù)數(shù)”，則﹣a＝2，解得a＝﹣2，故z＝2+2i，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（2，﹣2）在第四象限．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）15．（2023?武進(jìn)區(qū)校級二模）18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如|z|＝|OZ|，也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離．下列說法正確的是（）A．若|z|＝1，則z＝±1或z＝±i B．復(fù)數(shù)6+5i與﹣3+4i分別對應(yīng)向量與，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為9+i C．若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（﹣1，1），則對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 D．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為π【分析】對于A，結(jié)合特殊值法，即可求解，對于B，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解，對于C，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解，對于D，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：令z＝，滿足|z|＝1，故A錯(cuò)誤，復(fù)數(shù)6+5i與﹣3+4i分別對應(yīng)向量與，則，故B正確，∵點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（﹣1，1），∴對應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，﹣1）在第三象限，故C錯(cuò)誤，設(shè)z＝a+bi，a，b∈R，∵復(fù)數(shù)z滿足，∴1≤a2+b2≤2，∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)z＝1+2i，若in?z（n∈N*）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，寫出一個(gè)滿足條件的n＝3（答案不唯一）．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：當(dāng)n＝3時(shí)，i3?z＝（﹣i）?（1+2i）＝2﹣i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（2，﹣1）位于第四象限．故答案為：3（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023?益陽模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（a+i）對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y＝0上，則實(shí)數(shù)a＝1．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（a+i）＝﹣1+ai對應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，a）在直線x+y＝0上，∴﹣1+a＝0，解得a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（2023?黃州區(qū)校級二模）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，則|z+3﹣4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】求出圓心O（0，0）與點(diǎn)P（﹣3，4）的距離d．可得|z+3﹣4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為d+r．【解答】解：圓心O（0，0）與點(diǎn)P（﹣3，4）的距離d＝＝5．∴|z+3﹣4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為5+1＝6．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)幾何意義、圓的方程、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2023?寶雞三模）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，由共軛復(fù)數(shù)的概念可得z＝1﹣i，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解．【解答】解：由題意知，，所以z＝1﹣i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（1，﹣1），在第四象限．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．20．（2023?株洲一模）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z?i＝2+3i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求出z，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：z?i＝2+3i，則z＝，故在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)（3，﹣2）位于第四象限．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．三．純虛數(shù)（共9小題）21．（2023?重慶模擬）若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，b∈R且b≠0）為純虛數(shù)，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：＝＝i為純虛數(shù)，則，即4a+3b＝0，故．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．22．（2023?重慶模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z＝（a∈R，i為虛數(shù)單位），若z為純虛數(shù)，則a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，即可得到結(jié)論．【解答】解：z＝＝＝，若z為純虛數(shù)，則且，解a＝1，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，利用復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算先化簡是解決本題的關(guān)鍵．23．（2023?陜西模擬）復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i（a∈R）為純虛數(shù)，則a的取值是（）A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】實(shí)部為0而虛部不為0的虛數(shù)被稱為純虛數(shù)，由此定義建立關(guān)系式，不難得到本題的答案．【解答】解：∵z＝（a2﹣1）+（a+1）i是純虛數(shù)∴a2﹣1＝0且a+1≠0，解之得a＝1故選：D．【點(diǎn)評】本題給出含字母參數(shù)的虛數(shù)為純虛數(shù)，求參數(shù)a的值，著重考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和純虛數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023?桃城區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)（m2+3m﹣4）+（m2﹣2m﹣24）i（m∈R）是純虛數(shù)，則m＝1．【分析】由純虛數(shù)的定義可得m2+3m﹣4＝0，m2﹣2m﹣24≠0，解出即可得結(jié)論．【解答】解：∵（m2+3m﹣4）+（m2﹣2m﹣24）i（m∈R）是純虛數(shù)，則m2+3m﹣4＝0，m2﹣2m﹣24≠0，解得m＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了純虛數(shù)的定義、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．25．（2023?天津模擬）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則|2+ai|＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：∵＝＝為純虛數(shù)，則，解得a＝1，故|2+ai|＝|2+i|＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．26．（2023?紅山區(qū)模擬）已知純虛數(shù)z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．0【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：純虛數(shù)z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3＝m2﹣4m+3+（m2﹣m）i，則，解得m＝3．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．27．（2023?威海一模）若是純虛數(shù)，則a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9【分析】先將復(fù)數(shù)化簡，再根據(jù)純虛數(shù)列出方程組求解即可．【解答】解：，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，故，解得a＝﹣1．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．28．（2023?畢節(jié)市模擬）已知復(fù)數(shù)z＝a2+a+（a+1）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．0 B．0或﹣1 C．1 D．﹣1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的類型可得出關(guān)于a的等式與不等式，解之即可．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝a2+a+（a+1）i為純虛數(shù)，則，解得a＝0．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．29．（2023?和平區(qū)校級二模）i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則b＝﹣1．【分析】復(fù)數(shù)化為a+bi的形式，它是純虛數(shù)，則a＝0且b≠0即可求出答案．【解答】解：＝＝，它是純虛數(shù)，只需b＝﹣1．故答案為：﹣1【點(diǎn)評】本題是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的分類，特別注意復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化的過程，是基礎(chǔ)題．也是高考考點(diǎn)．四．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共16小題）30．（2023?宜章縣二模）已知復(fù)數(shù)z是一元二次方程x2﹣2x+2＝0的一個(gè)根，則|z|的值為（）A．1 B． C．0 D．2【分析】根據(jù)題意，設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi，把z代入x2﹣2x+2＝0中求出a、b的值，再計(jì)算|z|．【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi，a、b∈R，i是虛數(shù)單位，由z是x2﹣2x+2＝0的復(fù)數(shù)根，∴（a+bi）2﹣2（a+bi）+2＝0，即（a2﹣b2﹣2a+2）+（2ab﹣2b）i＝0，∴，解得a＝1，b＝±1，∴z＝1±i，∴|z|＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和模長公式問題，是基礎(chǔ)題．31．（2023?鄠邑區(qū)模擬）的值為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成最簡形式，是一個(gè)純虛數(shù)．【解答】解：∵∴＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的求模，本題解題的關(guān)鍵是把復(fù)數(shù)整理成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，得到實(shí)部和虛部，求出模長．32．（2023?茂南區(qū)校級三模）復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【分析】化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，寫出它的虛部即可．【解答】解：復(fù)數(shù)＝＝﹣﹣i，該復(fù)數(shù)的虛部為﹣．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．33．（2023?深圳一模）已知i為虛數(shù)單位，（1+i）z＝2，則z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)化簡求值即可．【解答】解：∵（1+i）z＝2，∴z＝＝＝1﹣i，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．34．（2023?福田區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2，則z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：z＝，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．35．（2023?開封三模）已知z（2+i）＝1，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A． B． C． D．【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及定義計(jì)算即可．【解答】解：由z（2+i）＝1可得，即虛部為．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．36．（2023?貴陽模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），則zi＝（）A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．1+2i【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)乘法求zi．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），所以z＝1+2i，所以zi＝i+2i2＝﹣2+i．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．37．（2023?沈陽三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)分別是（2，﹣1），（1，﹣3），則的虛部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】由復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)分別求出z1，z2，代入化簡計(jì)算，進(jìn)而可得的虛部．【解答】解：復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)分別是（2，﹣1），（1，﹣3），則z1＝2﹣i，z2＝1﹣3i，，其虛部為﹣1．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．38．（2023?海陽市校級模擬）若復(fù)數(shù)z滿足（1+z）（1﹣i）＝2，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則得到z＝i，求出虛部．【解答】解：由（1+z）（1﹣i）＝2得，故復(fù)數(shù)z的虛部為1．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．39．（2023?全國三模）已知i3＝a﹣bi（a，b∈R），則a+b的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得a，b的值．【解答】解：因?yàn)閕3＝a﹣bi（a，b∈R），所以﹣i＝a﹣bi，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得a＝0，b＝1，所以a+b＝1．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．40．（2023?海淀區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)＝2+i，x，y∈R，則x+y＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，可得＝﹣i，再利用復(fù)數(shù)相等的條件，即可得解．【解答】解：＝＝＝﹣i，因?yàn)椋?+i，所以﹣i＝2+i，所以，解得，所以x+y＝4．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．41．（2023?紅橋區(qū)一模）已知（a﹣i）2＝2i，其中i是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù)a＝﹣1．【分析】直接化簡方程，利用復(fù)數(shù)相等條件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1＝a2﹣1﹣2ai＝2i，a＝﹣1故答案為：﹣1【點(diǎn)評】考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等條件，易錯(cuò)處增根a＝1沒有舍去．高考基本得分點(diǎn)．42．（2023?鎮(zhèn)安縣校級模擬）已知i為虛數(shù)單位，則＝（）A． B． C． D．【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．43．（2023?皇姑區(qū)校級模擬）＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合歐拉公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：＝[cos（﹣45°）+sin（﹣45°）i]9＝cos（﹣405°）+sin（﹣405）°i，故＝（cos75°+isin75°）[cos（﹣405°）+sin（﹣405）°i]＝cos（﹣330°）+sin（﹣330°）i＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于中檔題．44．（2023?寶雞二模）設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的為（）A．若，則z1＝z2＝0 B．若|z1|＝|z2|，則z1，z2互為共軛復(fù)數(shù) C．若a∈R，i為虛數(shù)單位，則（a+1）?i為純虛數(shù) D．若z2≠0，則||＝【分析】由z1＝1，z2＝i，可判斷A；由z1＝1+2i，z2＝2+i，可判斷B；當(dāng)a＝﹣1時(shí)，可判斷C；設(shè)z1＝a+bi，（a，b∈R且不同時(shí)為0），z2＝c+di（c，d∈R），運(yùn)算可判斷D．【解答】解：對于A：當(dāng)z1＝1，z2＝i時(shí)，z12+z22＝0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)z1＝1+2i，z2＝2+i，可得|z1|＝|z2|＝，z1，z2不為共軛復(fù)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)a＝﹣1時(shí)，（a+1）?i＝0，不為純虛數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)z1＝a+bi，（a，b∈R且不同時(shí)為0），z2＝c+di（c，d∈R），||＝||＝||＝||＝＝＝＝，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬中檔題．（多選）45．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）定義復(fù)數(shù)的大小關(guān)系：已知復(fù)數(shù)z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，a1，a2，b1，b2∈R．若a1＞a2或（a1＝a2且b1＞b2），稱z1＞z2；若a1＝a2且b1＝b2，稱z1＝z2．其余情形均為z1＜z2．復(fù)數(shù)u，v，w分別滿足：u2+u+1＝0，，|w+1|＝1，則（）A．u＜v＜w B．u＝v＝w C．v＞u＝w D．w＜u＜v【分析】此題定義了復(fù)數(shù)大小的比較方式，只需分別解出u，v，以及w滿足的條件，即可根據(jù)定義比較大?。窘獯稹拷猓涸O(shè)u＝a+bi（a∈R，b∈R），由u2+u+1＝0可得：（a+bi）2+a+bi+1＝0，即a2﹣b2+a+1+（2ab+b）i＝0，∴，解得a＝﹣，b＝±，∴u＝﹣+i或u＝﹣﹣i；v＝＝＝1+；設(shè)w＝m+ni（m∈R，n∈R），由|w+1|＝1可得：（m+1）2+n2＝1，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，w在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于以（﹣1，0）為圓心，半徑為1的圓上．∴﹣2≤m≤0，﹣1≤n≤1，∵1+＞﹣，1+＞m，由題意知：v＞u，v＞w，又當(dāng)m＝﹣時(shí)，n＝±，此時(shí)，u＝w，當(dāng)﹣2≤m＜﹣時(shí)，由題意得：u＞w，當(dāng)﹣＜m≤0時(shí)，由題意得：u＜w，綜上所述，三者的大小關(guān)系可能是v＞u＞w或v＞w＞u或v＞u＝w．故選：CD．【點(diǎn)評】本題屬新定義型題目，緊扣定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的意義，屬中檔題．五．共軛復(fù)數(shù)（共8小題）46．（2023?連云港模擬）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i【分析】首先要對所給的復(fù)數(shù)進(jìn)行整理，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡到最簡形式，把得到的復(fù)數(shù)虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，得到要求的共軛復(fù)數(shù)．【解答】解：∵復(fù)數(shù)＝＝﹣2﹣i，∴共軛復(fù)數(shù)是﹣2+i故選：B．【點(diǎn)評】復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算是比較簡單的問題，在高考時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)，若出現(xiàn)則是要我們一定要得分的題目．47．（2023?錦江區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)z＝為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．【分析】化簡復(fù)數(shù)z，求出共軛復(fù)數(shù)，再寫出的虛部．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝﹣2i＝﹣2i＝﹣2i＝﹣i，所以＝+i，所以的虛部為．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．48．（2023?周至縣三模）復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z＝5+5i，則＝（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【解答】解：由（2+i）z＝5+5i，得z＝，則．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．49．（2023?阿勒泰地區(qū)三模）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a+2i與1+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則b＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可．【解答】解：∵a+2i與1+bi互為共軛復(fù)數(shù)，∴．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．50．（2023?廣州一模）若復(fù)數(shù)z＝3﹣4i，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：z＝3﹣4i，則，，故＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．51．（2023?福建模擬）已知z是方程x2﹣2x+2＝0的一個(gè)根，則||＝（）A．1 B． C． D．2【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的性質(zhì)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：因?yàn)榉匠蘹2﹣2x+2＝0是實(shí)系數(shù)方程，且Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，所以該方程有兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)虛數(shù)根，即，故．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．52．（2023?陜西三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則z＝（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣2+i【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），建立方程求出x，y的值，進(jìn)而可以求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R，且x＜0，y＞0），則＝x﹣yi，由，可得2[x+yi﹣（x﹣yi）]+（x﹣yi）（x+yi）＝2+4i，解得x＝﹣1（1舍），y＝1，所以z＝﹣1+i，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．53．（2023?江西模擬）已知i為虛部單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的虛部為（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡z，再由實(shí)部為0且虛部不為0求解a，則答案可求．【解答】解：∵＝為純虛數(shù)，∴，則a＝±1，∴z＝i，則，即的虛部為﹣1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．六．復(fù)數(shù)的模（共7小題）54．（2023?南江縣校級模擬）已知復(fù)數(shù)z＝（1+i）（1﹣2i），則|z|＝（）A． B．2 C． D．10【分析】由復(fù)數(shù)的乘法公式和模的計(jì)算公式即可求解．【解答】解：因?yàn)閦＝（1+i）（1﹣2i）＝1﹣2i+i﹣2i2＝3﹣i，所以．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．55．（2023?邢臺(tái)一模）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣i，則|z2+z|＝（）A． B． C． D．【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義求復(fù)數(shù)的模即可．【解答】解：．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．56．（2023?駐馬店三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則|z|＝（）A．1 B． C． D．【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案．【解答】解：，所以．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．57．（2023?湖南三模）若z＝+4﹣2i，則|z|＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先對已知復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式求解即可．【解答】解：因?yàn)閦＝+4﹣2i＝+4﹣2i＝4﹣3i；所以|z|＝5．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)模長公式，屬于基礎(chǔ)題．58．（2023?東莞市校級三模）已知復(fù)數(shù)1+i是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個(gè)根，則|p+qi|＝（）A．4 B． C．8 D．【分析】據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)1+i是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個(gè)根，所以復(fù)數(shù)1﹣i也是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個(gè)根，所以有1+i+1﹣i＝2＝﹣p，（1+i）（1﹣i）＝2＝q，解得p＝﹣2，q＝2，所以．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．59．（2023?寧波一模）若（a∈R，i為虛數(shù)單位），則|a﹣i|＝（）A． B． C． D．【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，然后利用復(fù)數(shù)相等的條件求解a，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【解答】解：∴，∴a+i＝（﹣1+2i）（1+i）＝﹣3+i，得a＝﹣3，∴．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．（多選）60．（2023?思明區(qū)校級四模）已知復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的向量為，下列說法中正確的是（）A．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，則 B．若，則|z1|＝|z2| C．若z1與z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則z1z2＝|z1z2| D．若|z1|＝|z2|，則【分析】A．利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解判斷；B．利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解判斷；C．設(shè)z1＝a+bi（a，b∈R）求解判斷；D．舉例z1＝1+i，z2＝1﹣i判斷．【解答】解：A．因?yàn)閨z1+z2|＝|z1﹣z2|，所以|+|＝|﹣|，則|+|2＝|﹣|2，即4?＝0，則⊥，故A正確；B．因?yàn)椋?）⊥（﹣），所以（+）?（﹣）＝0，即2＝2，|z1|＝|z2|，故B正確；C．設(shè)z1＝a+bi（a，b∈R），因?yàn)閦1與z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則z2＝a﹣bi（a，b∈R），所以z1z2＝a2+b2，|z1z2|＝a2+b2，則z1z2＝|z1z2|，故C正確；D．如z1＝1+i，z2＝1﹣i，滿足|z1|＝|z2|，而z12≠z22，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題．六六、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)1：純虛數(shù)的條件不明晰1、若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)（）A.B.C.D.【錯(cuò)解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù),得,解得：,故選A．【錯(cuò)因】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是，錯(cuò)解中沒有考慮實(shí)部不為零。忽略了.【正解】B，由復(fù)數(shù)是純虛數(shù),得,解得：,易錯(cuò)點(diǎn)2：對復(fù)數(shù)的虛部理解錯(cuò)誤2、復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（）A.B.C.D.【錯(cuò)解】因?yàn)?故選B.【錯(cuò)因】誤認(rèn)為復(fù)數(shù)的虛部是.虛部是,不是.【正解】復(fù)數(shù)的虛部是,不是.的虛部是,不是，選B。易錯(cuò)點(diǎn)3：亂用判別式3、已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.【錯(cuò)解】由于一元二次方程有實(shí)數(shù)根,可得判別式：,解得：或.【錯(cuò)因】對于一元二次方程通過根的判別式來確定根的個(gè)數(shù),這是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)才能成立的,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)就不適用了.而本題中所給一元二次方程,其中含有虛數(shù)單位,則首先要將其整理成復(fù)數(shù)的形式：,利用復(fù)數(shù)相等的條件有：,進(jìn)而可求出.【正解】設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為,代入方程有：,整理化簡可得：,則有：,可解得：或.易錯(cuò)點(diǎn)4：忽略虛數(shù)不能比較大小4、給出下列命題：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③,其中正確命題的個(gè)數(shù)為.A.0B.1C.2D.3【錯(cuò)解】D【錯(cuò)因】兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù),不能比較大小.本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤認(rèn)為=2\*GB3②正確.【正解】=1\*GB3①正確；=2\*GB3②錯(cuò)誤,因?yàn)樘摂?shù)不能比較大?。?=3\*GB3③錯(cuò)誤.故選B.易錯(cuò)點(diǎn)5：利用解題,忽略前提條件：為實(shí)數(shù)5、已知x為實(shí)數(shù),y為純虛數(shù),且,求的值.A.B.C.D.【錯(cuò)解】由得,所以.【錯(cuò)因】當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，有.錯(cuò)解中忽略了y為純虛數(shù).【正解】因?yàn)閤為實(shí)數(shù),y為純虛數(shù),設(shè),由得,所以,所以.八八.刷綜合一、單選題1．（2021·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考三模）已知復(fù)數(shù)滿足，且有，求（

）A． B． C． D．都不對【答案】A【解析】根據(jù)題意可設(shè)（為虛數(shù)單位）；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得，利用三角函數(shù)同角關(guān)系，即可求出的值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，設(shè)（為虛數(shù)單位）；由棣莫佛公式，可得，所以所以，即因?yàn)?，所以；化簡可得，即所以，所以；所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，熟練掌握復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵.2．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（

）個(gè).A．9 B．10 C．11 D．無數(shù)【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模為1及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，求得即，接下來分與兩種情況進(jìn)行求解，結(jié)合，求出的個(gè)數(shù).【詳解】，其中，所以，即，，當(dāng)時(shí)，①，，所以，，因?yàn)?，所以或；②，，所以，，因?yàn)?，所以，，，，或；?dāng)時(shí)，①，，即，，因?yàn)椋?，②，，即，，因?yàn)椋?，，，，，綜上：，，一共有11個(gè).故選：C3．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）若集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】推導(dǎo)出集合表示的圖象為，，集合表示的圖象為雙曲線，從而，進(jìn)而中元素的個(gè)數(shù)為0．【詳解】解：集合，集合表示的圖象為：半圓，，，，，，集合的表示圖象為：雙曲線，，∴中元素的個(gè)數(shù)為0，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查交集中元素個(gè)數(shù)的求法，考查雙曲線、圓、復(fù)數(shù)、反三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力能力，屬于難題．4．（2022·遼寧沈陽·沈陽二十中?？既＃┮阎覟樘摂?shù)單位，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知中對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，而表示圓上的點(diǎn)到的距離，由圓的圖形可得的的最大值.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知中對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.表示圓C上的點(diǎn)到的距離，的最大值是，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，圓的性質(zhì)，屬于中檔題.5．（2020·上海閔行·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程和有四個(gè)不同的根，若這四個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件分別設(shè)四個(gè)不同的解所對應(yīng)的點(diǎn)為ABCD，討論根的判別式，根據(jù)圓的對稱性得到相應(yīng)判斷.【詳解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解為，設(shè)對應(yīng)的兩點(diǎn)分別為A，B，得A（2，1），B（2，﹣1），設(shè)x2+2mx+m＝0的解所對應(yīng)的兩點(diǎn)分別為C，D，記為C（x1，y1），D（x2，y2），（1）當(dāng)△＜0，即0＜m＜1時(shí)，的根為共軛復(fù)數(shù)，必有C、D關(guān)于x軸對稱，又因?yàn)锳、B關(guān)于x軸對稱，且顯然四點(diǎn)共圓；（2）當(dāng)△＞0，即m＞1或m＜0時(shí)，此時(shí)C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，故此圓的圓心為（﹣m，0），半徑，又圓心O1到A的距離O1A＝，解得m＝﹣1，綜上：m∈（0，1）∪{﹣1}.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)與坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的對應(yīng)，考查一元二次方程根的判別式，屬于難題.6．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2022 B．2023 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算可得的方程的根為，進(jìn)而整理可得，取即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，由題意可得：可得關(guān)于的方程的根為，故，整理得，即，令，可得，且2022為偶數(shù)，所以.故選：B.7．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，若是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，是共軛虛數(shù),是實(shí)數(shù),結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得是1的立方虛根,再由1的立方虛根的特性,可得答案.【詳解】是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根,,是實(shí)數(shù),,,即或，而.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)系數(shù)一元二次方程虛數(shù)根的關(guān)系,以及共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系.對特殊復(fù)數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵,屬于難題.二、多選題8．（2022·福建莆田·統(tǒng)考模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Cardano.Girolamo，15011576）發(fā)明了三次方程的代數(shù)解法.17世紀(jì)人們把卡爾達(dá)諾的解法推廣并整理為四個(gè)步驟：第一步，把方程中的用來替換，得到方程；第二步，利用公式將因式分解；第三步，求得，的一組值，得到方程的三個(gè)根：，，（其中，為虛數(shù)單位）；第四步，寫出方程的根：，，.某同學(xué)利用上述方法解方程時(shí)，得到的一個(gè)值：，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)三次方程的代數(shù)解法對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意可知是次項(xiàng)系數(shù)，所以，A選項(xiàng)正確.第一步，把方程中的，用來替換，得，第二步，對比與，可得，解得，B選項(xiàng)正確.所以，C選項(xiàng)正確.，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC三、雙空題9．（2022·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中a、，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，若，時(shí)，則；對于，．【答案】【分析】利用給定定理直接計(jì)算即得；令，求出等比數(shù)列前項(xiàng)的和，再利用復(fù)數(shù)相等求解作答.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，所以；，令，則，，，而，則，，所以.故答案為：i；【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及復(fù)數(shù)的次冪的求和問題，可把視為等比數(shù)列的第n項(xiàng)，再借助數(shù)列問題求解.四、填空題10．（2022·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測）對任意三個(gè)模長小于1的復(fù)數(shù)，，，均有恒成立，則實(shí)數(shù)的最小可能值是．【答案】10【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍，從而得到實(shí)數(shù)的最小可能值.【詳解】設(shè)，，，由題設(shè)有.又，，而，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)終邊相同時(shí)等號成立，故，所以，故實(shí)數(shù)的最小可能值為10，故答案為：10.11．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿足，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，即即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿足設(shè)，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離數(shù)形結(jié)合可知的最大值故答案為：12．（2021·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，其中、為常數(shù)，則