專題39解直角三角形（疊合式）子母型一、單選題1．如圖，胡同左右兩側(cè)是豎直的墻，一架米長的梯子BC斜靠在右側(cè)墻壁上，測得梯子與地面的夾角為45°，此時梯子頂端B恰巧與墻壁頂端重合．因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動一段距離到達(dá)D處，此時測得梯子AD與地面的夾角為60°，則胡同左側(cè)的通道拓寬了（

）A．米 B．3米 C．米 D．米【答案】D【詳解】解：在中，，（米，在中，，（米，米，故選：D．2．如圖，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1米的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進(jìn)100米到達(dá)F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個電視塔的高度AB（單位：米）為（

）．A． B．51 C． D．101【答案】C【詳解】解：設(shè)AG=x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==x，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣x=100，解得：x=50．則AB=50+1（米）．故選C．3．如圖，小山崗的斜坡AC的坡角α=45°，在與山腳C距離200米的D處，測得山頂A的仰角為26.6°，小山崗的高AB約為（）.（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）A．164m B．178m C．200m D．1618m【答案】C【詳解】首先在Rt△ABC中，根據(jù)坡角的正切值用AB表示出BC，然后在Rt△DBA中，用BA表示出BD，根據(jù)BD與BC之間的關(guān)系列出方程求解即可．∵在Rt△ABC中，=tanα=1，∴BC=AB，∵在RtADB中，∴=tan26.6°=0.50，即：BD=2AB，∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣AB=200，解得：AB=200米.故選C．4．一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場測量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點(diǎn)處再測得旗桿頂部A點(diǎn)仰角為37°（身高忽略不計(jì)）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長為2.6米，旗桿AB所在旗臺高度EF為1.4米，旗臺底部、臺階底部、操場在同一水平面上．則請問旗桿自身高度AB為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8【答案】B【詳解】解：如圖，作DH⊥FC交FC的延長線于H，延長AB交CF的延長線于T，作DJ⊥AT于J．由題意四邊形EFTB、四邊形DHTJ是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，設(shè)AT=TC=x．則DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，∴=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），故選：B．5．如圖，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，若米，則點(diǎn)到直線距離為（

）．

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，在中，，在中，，由題意得，，解得，（米，故選：．二、填空題6．如圖所示，為了測量出某學(xué)校教學(xué)大樓的高度，數(shù)學(xué)課外小組同學(xué)在處，測得教學(xué)大樓頂端處的仰角為45°；隨后沿直線向前走了15米后到達(dá)處，在處測得處的仰角為30°，已知測量器高1米，則建筑物的高度約為米．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）【答案】21【詳解】解：由題意可得四邊形FDCE，四邊形ECBG，四邊形FDBG均為矩形設(shè)AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，F(xiàn)G=EG+EF=x+15，在Rt△AFG中，解得：∴故答案為：217．如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測量人員在C處測得A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°．若飛機(jī)離地面的高度CO為900m，且點(diǎn)O，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為．（結(jié)果保留根號）【答案】（900﹣300）米【詳解】解：由于CD∥OB，∴∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°在RtACO中，∠CAO＝60°∴AO＝＝300米，在RtOCB，∠B＝45°∴OB＝=900（米）．∴AB＝OB﹣OA＝（900﹣300）（米）故答案為：（900﹣300）米．8．圭表是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表兩個部件組成，垂直于地面的直桿叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以測量影長的標(biāo)尺叫“圭”如圖是小彬根據(jù)學(xué)校所在地理位置設(shè)計(jì)的圭表示意圖，其中冬至?xí)r正午陽光入射角，夏至?xí)r正午陽光入射角．已知“表”高，則“圭”上所刻冬至線與夏至線之間的距離約為．（精確到；參考數(shù)據(jù)：）【答案】10【詳解】根據(jù)題意，在中，，即在中，，即即故答案為：109．如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是．

【答案】【詳解】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

根據(jù)題意得：∠CAD=90°60°=30°，∠CBD=90°30°=60°，∴∠ACB=∠CBD∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC?sin60°()∴船C到海岸線的距離是．故答案為：．10．如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學(xué)興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成60°角時，第二次是陽光與地面成30角時，已知兩次測量的影長相差8米，則樹高AB為多少？．（結(jié)果保留根號）【答案】米【詳解】解：設(shè)米在中，，則在中，，則，即，解得即米故答案為米11．如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩個點(diǎn)B、C，測得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長為200米，則河的寬度為．（結(jié)果保留根號）【答案】（+1）m【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，設(shè)AD=DC=xm，則tan30°=，解得：x=100（+1），答：河的寬度為100（+1）m．故答案是：100（+1）m．三、解答題12．某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，計(jì)劃測量中原福塔的總高度．如圖所示，在B處測得福塔主體建筑頂點(diǎn)A的仰角為45°，福塔頂部桅桿天線AD高120m，再沿CB方向前進(jìn)20m到達(dá)E處，測得桅桿天線頂部D的仰角為53.4°．求中原福塔CD的總度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【答案】中原福塔CD的總高度約為389m．【詳解】解：如圖，設(shè)AC為xm，則CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，∠ABC=45°，∴BC=AC=x，∴CE=x+20，在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°，即≈1.346，解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的總高度約為389m．13．由于發(fā)生山體滑坡災(zāi)害，武警救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測出某建筑物廢下方點(diǎn)C處有生命跡象，在廢墟一側(cè)地面上探測點(diǎn)A、B相距2米，探測線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，結(jié)果精確到0.1）【答案】生命所在點(diǎn)C的深度為1.7m．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，如圖所示：由圖可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°，∵∠EBC=∠BAC+∠BCA，∴∠BCA=30°，∴AB=BC，∵AB=2m，∴BC=2m，∴m，答：生命所在點(diǎn)C的深度為1.7m．14．某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的活動課題是“測量物體高度”．小組成員小明與小紅分別采用不同的方案測量同一個底面為圓形的古塔高度，以下是他們研究報(bào)告的部分記錄內(nèi)容：課題：測量古塔的高度小明的研究報(bào)告小紅的研究報(bào)告圖示測量方案與測量數(shù)據(jù)

用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為35°，再用皮尺測得測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離為30m．在點(diǎn)A用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向走58.8m到達(dá)點(diǎn)B，測出古塔頂端的仰角為45°．參考數(shù)據(jù)sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，≈1.41計(jì)算古塔高度（結(jié)果精確到0.1m）30×tan35°+1.6≈22.6（m）（1）寫出小紅研究報(bào)告中“計(jì)算古塔高度”的解答過程；（2）數(shù)學(xué)老師說小紅的結(jié)果較準(zhǔn)確，而小明的結(jié)果與古塔的實(shí)際高度偏差較大．針對小明的測量方案分析測量發(fā)生偏差的原因；（3）利用小明與小紅的測量數(shù)據(jù)，估算該古塔底面圓直徑的長度為m．【答案】（1）見解析；（2）小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離；（3）12．【詳解】解：（1）設(shè)CH＝x，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝x，在Rt△CHE中，∵tan∠CEH＝，∴＝tan17°＝0.30，∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），∴CD＝CH+DH＝25.2+1.6＝26.8（m），答：古塔CD的高度為26.8m；（2）原因：小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離．（3）如圖，在EH上取一點(diǎn)P使∠CPH＝35°，則PG＝30，在Rt△CHP中，CH＝25.2，∴PH＝＝＝36，∴GH＝PH﹣PG＝6，∴該古塔底面圓直徑的長度＝2×6＝12（m）．故答案為：12．15．如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，某小組想要測量某條河的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利用無人機(jī)進(jìn)行測量，在處測得，兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°（即，）．若無人機(jī)離地面的高度為120米，且點(diǎn)，，在同一水平直線上，求這條河的寬度．（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】88米【詳解】解：，，，在Rt△APQ中，，，（米），在Rt△BPQ，，（米），（米），答：這條河的寬度約為88米．16．如圖，學(xué)校科技小組計(jì)劃測量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點(diǎn)B，測得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛離地面1.6m，你能計(jì)算出塔的高度DE嗎？寫出計(jì)算過程．【答案】出塔的高度DE為131.6m．過程見解析．【詳解】解：由題意得：，，，，，在中，，，即塔的高度DE為．17．學(xué)完三角函數(shù)知識后，某校“數(shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識測量紀(jì)念塔的高度．如圖，是高為的測角儀，在處測得塔頂端的仰角為40°，向塔方向前進(jìn)在處測得塔頂端的仰角為63.4°，求紀(jì)念塔的高度(結(jié)果取整數(shù))．參考數(shù)據(jù)：．【答案】紀(jì)念塔的高度約為．【詳解】解：根據(jù)題意，．在中，，．．在中，，．．答：紀(jì)念塔的高度約為．18．位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)處測得觀星臺最高點(diǎn)的仰角為，然后沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，測得點(diǎn)的仰角為．測角儀的高度為，求觀星臺最高點(diǎn)距離地面的高度(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：)；“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺的高度為，請計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次測量，求平均值【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長線于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)D，設(shè)AD的長為xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由題易得，四邊形BMNC為矩形，∵AE⊥ME，∴四邊形CNED為矩形，∴DE=CN=BM=，在Rt△ABD中，，解得：，即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：觀星臺最高點(diǎn)距離地面的高度為12.3m．（2）本次測量結(jié)果的誤差為：12.612.3=0.3m，減小誤差的合理化建議：多次測量，求平均值．19．如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)，，，在點(diǎn)處測得天線頂端的仰角為，從點(diǎn)走到點(diǎn)，測得米，從點(diǎn)測得天線底端的仰角為，已知，，在同一條垂直于地面的直線上，米．（1）求與之間的距離；（2）求天線的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）之間的距離為30米；（2）天線的高度約為27米．【詳解】（1）依題意可得，在中，，米，米，米.即之間的距離為30米．（2）在中，，米，（米），米，米．由．并精確到整數(shù)可得米．即天線的高度約為27米．20．炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．?dāng)?shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量像體的整體高度，在地面上選取兩點(diǎn)和，且點(diǎn)，及其中像體在同一平面內(nèi)，像體底部與點(diǎn)，在同一條直線上，同學(xué)們利用高1m的測傾儀在處測得像頂?shù)难鼋菫?，在處測得像頂?shù)难鼋菫?，且．根?jù)測量小組提供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，．）【答案】該塑像的高度約為．【詳解】延長交于，如圖所示：由題意得：，，，，在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴；答：該塑像的高度約為．21．圖1是某種路燈的實(shí)物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于A，B兩點(diǎn)，燈臂與支架交于點(diǎn)C，已知，，，求支架的長．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】49cm【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，∴∠ABC=60°15°=45°，∠ACD=30°，∴△BCD是等腰直角三角形，∵AC=40cm，∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm，∴CD=cm，∴在Rt△BCD中，BC=cm，∴支架BC的長為49cm．22．如圖，一艘漁船以40海里/小時的速度由西向東追趕魚群，在處測得小島在漁船的北偏東方向；半小時后，漁船到達(dá)處，此時測得小島在漁船的北偏東方向．已知以小島為中心，周圍18海里以內(nèi)為軍事演習(xí)著彈危險(xiǎn)區(qū)．如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有著彈危險(xiǎn)？【答案】如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險(xiǎn)，詳見解析【詳解】有著彈危險(xiǎn)．理由如下：作于，根據(jù)題意，，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，答：如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群有著彈危險(xiǎn)．23．如圖，王剛想測量樓CD的高度，樓在圍墻內(nèi)，王剛只能在圍墻外測量，他無法測得觀測點(diǎn)到樓底的距離，于是王剛在A處仰望樓頂，測得仰角為37°，再往樓的方向前進(jìn)30米至B處，測得樓頂?shù)难鼋菫?3°（A，B，C三點(diǎn)在一條直線上），求樓CD的高度（，，結(jié)果精確到1米，王剛的身高忽略不計(jì)）．【答案】樓CD的高度為52米【詳解】解：設(shè)CD=xm，在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AC=，同法可得：BC=，∵AC—BC=AB，∴﹣=30，解得x=52，答：樓CD的高度為52米．24．科技改變生活，時代將對我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變．某數(shù)學(xué)興趣小組要測量信號塔的高度，如圖，在起點(diǎn)處用高米(米)的測量儀測得信號塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達(dá)處，測得頂端的仰角為，求信號塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數(shù)據(jù)：)【答案】該信號塔的高度約為米【詳解】由已知得：，，設(shè)為米，則米，在中，，，，在中，．，求解得：（米）．故該信號塔的高度約為米．25．如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機(jī)在點(diǎn)發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺在俯角為21°方向上.飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)點(diǎn).此時測得點(diǎn)在點(diǎn)俯角為45°的方向上.請你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛到點(diǎn)的正上方點(diǎn)時（點(diǎn)、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：，，）【答案】豎直高度約為490米．【詳解】解：如圖：∴∵∴∵∴∴．答：豎直高度約為490米．26．如圖，一艘漁船沿南偏東42°方向航行，在A處測得一個小島P在其南偏東64°方向．又繼續(xù)航行海里到達(dá)B處，測得小島P位于漁船的南偏東72°方向，已知以小島P為圓心，半徑海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．如果漁船不改變航向有沒有觸礁的危險(xiǎn)，請通過計(jì)算加以說明．如果有危險(xiǎn)，漁船自B處開始，沿南偏東多少度的方向航行，能夠安全通過這一海域？（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】有危險(xiǎn)；漁船自B處開始，沿南偏東小于45度的方向航行，能夠安全通過這一海域．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PC垂直于AB所在直線，垂足為C，

根據(jù)題意可得，，在中，，在中，，∴，解得，∵，∴如果漁船不改變航向有觸礁的危險(xiǎn)，∵，∴若改變航向，剛好到暗礁區(qū)域邊界時的，此時，即如果有危險(xiǎn)，漁船自B處開始，沿南偏東小于45度的方向航行，能夠安全通過這一海域．27．如圖是某工廠貨物傳送帶的平面示意圖．為提高傳送過程的安全性，工廠計(jì)劃改造傳送帶與地面的夾角，使其由原來的43°減小為30°．已知原傳送帶AB長為5米．（1）求新傳送帶AC的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）新舊貨物傳送帶著地點(diǎn)B、C之間相距多遠(yuǎn)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？（參考數(shù)據(jù)：cos30°≈0.866，tan30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．）【答案】（1）新傳送帶AC的長約為6.8米；（2）新舊貨物傳送帶著地點(diǎn)B、C之間相距2.3米【詳解】（1）過點(diǎn)A作AD垂直于CB的延長線于點(diǎn)D．在Rt△ADB中，AB=5，∠ABD=43°，∵，，∴AD=AB?sin∠ABD=5×sin43°≈3.41，BD=AB?cos∠ABD=5×cos43°≈3.66．在Rt△ADC中，∵，∴，答：新傳送帶AC的長約為6.8米；（2）在Rt△ACD中，AC≈6.82，∠ACD=30°，∵，∴CD=AC?cos∠ACD≈6.82×cos30°≈5.91．∴BC=CDBD=5.913.66≈2.3．答：新舊貨物傳送帶著地點(diǎn)B、C之間相距2.3米．28．如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點(diǎn)處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達(dá)處，這時小島在船的北偏東方向海里處．

（1）求輪船從處到處的航速．（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時間輪船才恰好位于小島的東南方向？【答案】（1）海里/小時．（2）小時．【詳解】（1）過作，

由題意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小時）．（2）如圖，

由題意，，點(diǎn)在的東南方向，∴△OCD為等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小時），經(jīng)過小時后到達(dá)．29．二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場，是獨(dú)特的仿古，它是為紀(jì)念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀(jì)念性建筑物．學(xué)完三角函數(shù)知識后，某?！睌?shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識測量二七紀(jì)