課時(shí)規(guī)范練57定點(diǎn)與定值問(wèn)題1.(15分)(2024·湖南岳陽(yáng)三模)已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)F(0,1)且與直線y=3相切,記圓心P的軌跡為曲線E.(1)已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,1),(2,1),直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,證明:k1-k2=1;(2)若點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)是軌跡E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且x1x2=-4,設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q,圓P與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ交于不同于F的三點(diǎn)C,D,G,求證:△CDG的重心的橫坐標(biāo)為定值.2.(15分)(2022·全國(guó)乙,理20)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸、y軸,且過(guò)A(0,-2),B(32,-1)兩點(diǎn)(1)求E的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn),過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足MT=TH.證明:直線HN3.(17分)(2024·安徽皖北五校聯(lián)考)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為曲線C,求曲線C的方程.(2)曲線C與x軸交于點(diǎn)A1,A2.點(diǎn)A2在點(diǎn)A1的右側(cè),直線l1交曲線C于M,N兩點(diǎn)(l1不過(guò)點(diǎn)A2),直線A2M與直線A2N的斜率分別是k1,k2且k1k2=-94,直線A1M和直線A2N交于點(diǎn)P(x0,y0)①探究直線l1是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn)求出該點(diǎn)坐標(biāo),若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由;②證明:x0為定值,并求出該定值.4.(17分)(2024·山東棗莊模擬)已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C:x2a2(1)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交C的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:△AOB的面積S是定值;(2)已知點(diǎn)P(12,1),過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M,N,在線段MN上取異于點(diǎn)M,N的點(diǎn)H,滿足|PM||答案：1.證明(1)設(shè)圓心P(x,y),依題意有(x-0)2+(y-1)2=|y-3|,化簡(jiǎn)并整理成x2=-4y+8,曲線E的方程為x2=-4y+8,k1=y-1x+2,k2=y-1x-2,k1-k2=(2)顯然直線MN的斜率存在,如圖,設(shè)直線MN的方程為y=kx+b,k,b∈R,聯(lián)立x消去y并整理得x2+4kx+4b-8=0,因?yàn)棣?gt;0,所以x1x2=4b-8,又x1x2=-4,所以b=1,所以x2+4kx-4=0,直線MN的方程為y=kx+1,x1+x2=-4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=-4k2+2,所以線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q(-2k,-2k2+1).設(shè)Q(x3,y3),則x3=-2k,y3=-2k2+1,消去k得x因?yàn)閳AP過(guò)定點(diǎn)F(0,1),設(shè)其方程為x2+(y-1)2+mx+n(y-1)=0,m,n∈R,由x2+(y-1)2+mx+n(y-設(shè)C,D,G的橫坐標(biāo)分別為c,d,g,因?yàn)镃,D,G都異于F,所以c,d,g都不為零,故關(guān)于x的方程x3+(4-2n)x+4m=0的根為c,d,g,令(x-c)(x-d)(x-g)=0,即有x3-(c+d+g)x2+(cd+dg+gc)x-cdg=0,所以c+d+g=0,故△CDG的重心的橫坐標(biāo)為定值.2.(1)解設(shè)橢圓E的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),則4n=1故橢圓E的方程為x23+(2)證明由點(diǎn)A(0,-2),B32,-1,可知直線AB的方程為y=2當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線MN的斜率不存在時(shí),直線MN的方程為x=1.由x=1,則點(diǎn)M1,-263,N1,263.將y=-263代入y=23x-2,得x=3-6,則點(diǎn)T(3-6,-263).又MT=TH,所以點(diǎn)H(5-26,-263),所以直線HN的方程為y-263=-263-2635-26-1(x-1),即y=263+2x-2,所以直線HN過(guò)點(diǎn)(0,-2).當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)直線MN的方程為y+2=k(x-1),點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).由y+2=k(x-1),x23+y24=1,消去y,得(4+3k又MT=TH,所以點(diǎn)H(3y1+6-x1,y1).所以直線HN的方程為(3y1+6-x1-x2)(y-y2)=(y1-y2)(x-x2),即(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=將x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)因?yàn)閤1+x2=6k(k+2)4+3k2,x1x2=3k(k+4)4+3k2,所以y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=-8k-164+3k2,x1y2+x2y1=x1[k(x2-1)-2]+x2[k(x1-1)-2]=-24k4+3k2,y1y2=[k(x1-1)-2][k(x2-1)-2]=-綜上所述,直線HN恒過(guò)定點(diǎn)(0,-2).3.(1)解如圖所示,因?yàn)閨AD|=|AC|,EB∥AC,可得∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|,又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,可得圓心坐標(biāo)為A(-1,0),且|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4,又由B(1,0),可得|AB|=2,即a=2,c=1,b=3.由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為x24+y2(2)①解設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),且直線l1:x=my+t,聯(lián)立x=my+t,x24+y23=1,消去x整理得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,則方程的判別式Δ=(6mt)2-4(3m2+4)(3t2-12)>0,且y1+y2=-6mt3m2+4,y1y2=3t2-123m2+4因?yàn)閠≠2,所以(4+9m2)(t+2)-18m2t+3(t-2)(3m2+4)=0,化簡(jiǎn)得16t-16=0,解得t=1,所以直線m過(guò)定點(diǎn)F2(1,0).②證明設(shè)直線A1M和直線A2N的斜率為kA1M,kA2N,因?yàn)閤又由kA1M·kA2M=y1x1+2×y1x1-2=y12x12-4=-34,直線A2M與直線A2N的斜率分別是k1,k2,且k4.(1)解將點(diǎn)(2,3)代入雙曲線中,4a2?9a2+2=1,解得a2=1,故雙曲線方程為x2-y23=1.又雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為x0xa2?y0yb2=1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),則雙曲線過(guò)點(diǎn)Q(m,n)的切線方程為mx-ny3=1,由雙曲線方程得,漸近線方程為y=直線AB的方程為y-y1x-x1=y2-y1x2-x1,即(y-y1故點(diǎn)O到直線AB的距離為|(-y且|AB|=(x故△AOB的面積為12|x1y2-x2=1=12-18(2)證明若直線l斜率不存在,此時(shí)直線l與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn),不合題意,不滿足條件,故直線l斜率存在,設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-12),與x2-y23=1聯(lián)立,消去y得(3-k2)x2+(k2-2k)x-(14k2-k+由Δ>0,3-k2≠0,k2-2kk2-3>0,14k2-k+4k2-3>0,因?yàn)?4k設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則x3+x4=k2-2kk2-3設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(xH,yH),則由|PM||PN|=|MH||HN|得,x3-12x4-12=xH-x3x4-x