課時規(guī)范練65隨機(jī)事件的概率與古典概型基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·北京順義模擬)已知隨機(jī)變量X的分布列如表:(其中a為常數(shù))X012345P0.20.1a0.30.20.1則P(1≤X≤3)等于()A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.72.向上拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,用(a,b)表示向上的點數(shù),事件A=“兩次點數(shù)之和小于10”,事件B=“兩次點數(shù)之和能被5整除”,則事件A∩B可表示為()A.{(5,5)}B.{(4,6),(5,5)}C.{(6,5),(5,5)}D.{(4,6),(6,4),(5,5)}3.從裝有3個黃球和4個藍(lán)球的口袋內(nèi)任取3個球,那么互斥不對立的事件是()A.“恰有一個黃球”與“恰有一個藍(lán)球”B.“至少有一個黃球”與“都是黃球”C.“至少有一個黃球”與“都是藍(lán)球”D.“至少有一個黃球”與“至少有一個藍(lán)球”4.(2024·江西吉安模擬)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=16,P(B)=23,則P(A∪B)=(A.118 B.4C.12 D.5.(2022·全國甲,文6)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.15 B.1C.25 D.6.(多選題)(2024·黑龍江哈爾濱模擬)一個袋子中有4個紅球,6個綠球,采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個球.事件A=“兩次取到的球顏色相同”;事件B=“第二次取到紅球”;事件C=“第一次取到紅球”.下列說法正確的是()A.A?BB.事件B與事件C是互斥事件C.P(AB)=2D.P(B+C)=27.(2022·全國乙,文14)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為.8.(2024·山東棗莊一模)盒子內(nèi)裝有編號為1,2,3,…,10的10個除編號外完全相同的玻璃球.從中任取三球,則其編號之和能被3整除的概率為.9.(13分)(2024·湖南岳陽模擬)甲、乙兩人準(zhǔn)備參加某電視臺舉辦的地理知識搶答賽.比賽規(guī)則為:每輪比賽每人隨機(jī)在題庫中抽取一道題作答,答對得1分,答錯或不答得0分,最后得分多的獲勝.為了在比賽中取得比較好的成績,甲、乙兩人在比賽前進(jìn)行了針對性訓(xùn)練,訓(xùn)練后的答題情況如下表:選手練習(xí)題目個數(shù)答錯個數(shù)甲12024乙12020若比賽中每個人回答正確與否相互之間沒有影響,且用頻率代替概率.(1)估計甲、乙兩人在比賽時答對題的概率;(2)設(shè)事件A=“某輪比賽中甲得1分或乙得1分”,求P(A).10.(15分)某學(xué)校共有學(xué)生2000名,各年級男、女生人數(shù)如下表:性別七年級八年級九年級女373xy男377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到八年級女生的概率為0.19.(1)求x的值;(2)已知y≥245,z≥245,求九年級中女生比男生少的概率;(3)已知z=218,在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,則該學(xué)生是女生或是九年級學(xué)生的概率是多少?綜合提升練11.(2024·河北保定二模)已知圓周率π=3.141592…,把圓周率通過四舍五入精確到0.1n(n=1,2,3,4,5)的近似值分別記為a1,a2,a3,a4,a5,若從a1,a2,a3,a4,a5中任取2個數(shù)ai,aj(1≤i<j≤5),則滿足ai>aj的概率為()A.110 B.1C.310 D.12.(2024·安徽馬鞍山三模)甲、乙等5名學(xué)生參加學(xué)校運動會志愿者服務(wù),每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機(jī)選擇一個崗位,每個崗位至少有一名志愿者,則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為()A.320 B.9C.625 D.13.(多選題)某品牌計算機(jī)售后保修期為1年,其維修記錄資料經(jīng)統(tǒng)計可以得到如下結(jié)論,這種品牌的計算機(jī)在使用一年內(nèi)需要維修1次的占15%,需要維修2次的占6%,需要維修3次的占4%.設(shè)Ak=“一年內(nèi)需要維修k次”,k=0,1,2,3,則下列事件的概率正確的是()A.在一年內(nèi)需要維修的概率為0.25B.在一年內(nèi)不需要維修的概率為0.75C.在一年內(nèi)維修不超過1次的概率為0.9D.在一年內(nèi)最多需要維修2次的概率為0.9414.(2024·浙江寧波模擬)設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件,記A,B為事件A,B的對立事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,P(AB+AB)=0.5,則P(AB)=創(chuàng)新應(yīng)用練15.(多選題)設(shè)m,n∈{-2,-1,0,1,2,3},曲線C:mx2+ny2=1,則下列說法不正確的是()A.曲線C表示雙曲線的概率為1B.曲線C表示橢圓的概率為1C.曲線C表示圓的概率為1D.曲線C表示兩條直線的概率為1答案：1.B解析根據(jù)分布列概率和為1,可得0.2+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1,則a=0.1,P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.1+0.3=0.5.2.D解析由已知得,事件A={(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},事件B={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,4)},所以事件A∩B={(4,6),(6,4),(5,5)}3.A解析從裝有3個黃球和4個藍(lán)球的口袋內(nèi)任取3個球,不同的取球情況共有以下4種:①3個球全是黃球;②2個黃球和1個藍(lán)球;③1個黃球和2個藍(lán)球;④3個球全是藍(lán)球.A選項,兩個事件可以同時不發(fā)生,是互斥不對立的事件,故A正確;B選項,當(dāng)①發(fā)生時,兩個事件同時發(fā)生,不是互斥事件,故B錯誤;C選項,“至少有一個黃球”是情況①②③,“都是藍(lán)球”是情況④,必然有其中之一發(fā)生,是對立事件,故C錯誤;D選項,當(dāng)②或③發(fā)生時,兩個事件同時發(fā)生,不是互斥事件,故D錯誤.4.C解析P(B)=1-P(B)=13∵事件A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=15.C解析從6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張,所有可能的結(jié)果是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15種,其中數(shù)字之積是4的倍數(shù)的結(jié)果是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)共6種,故所求概率為615=256.CD解析若兩次取到綠球,則事件A發(fā)生,事件B不發(fā)生,故A?B,故A錯誤;事件B與事件C可能同時發(fā)生,故B錯誤;事件AB=“兩次都取到紅球”,P(AB)=4×310×9=215,故C正確;事件B+C包含的取球顏色為{(紅,紅),(綠,紅),(紅,綠)},P(B+C)=47.310解析設(shè)除甲、乙外,其余三名同學(xué)為A,B,C.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名,則所有的可能結(jié)果為(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10個.甲、乙都入選的可能結(jié)果為(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3個.由古典概型公式計算,8.720解析依題意,問題相當(dāng)于從1,2,3,…,10的10個數(shù)中任取3個,這3個數(shù)的和能被3整除的概率,顯然試驗的樣本空間Ω含有的樣本點總數(shù)為n(Ω)=C103=120,它們等可能.10個數(shù)中能整除3的有3,6,9;除以3余數(shù)是1的有1,4,7,10;除以3余數(shù)是設(shè)事件A=“取出的3個數(shù)的和能被3整除”,則n(A)=2C33所以P(A)=n9.解(1)由題意,可以估計甲在比賽時答對題的概率為p1=120-24120=45(2)設(shè)事件B=“某輪比賽中甲得1分”,事件C=“某輪比賽中乙得1分”,由(1)知P(B)=p1=45,P(C)=p2=5則事件A=BC∪BC∪所以P(A)=P(BC)+P(BC)+P(BC)=P(B)P(C)+P(B)P(C)+P(B)P(C)=4(或P(A)=1-P(BC)=1-10.解(1)∵x2000=0.19,(2)設(shè)事件A=“九年級女生比男生少”,九年級女生數(shù)、男生數(shù)記為(y,z),由(1)知x=380,∴y+z=2000-(373+377+380+370)=500,y,z∈N.試驗的樣本空間Ω={(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245)},共11個樣本點,A={(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251)},共5個樣本點.∴P(A)=n(3)設(shè)B=“抽到女生”,C=“抽到九年級學(xué)生”,由(2)知y+z=500,又z=218,∴y=282,∴全校女生共有373+380+282=1035(名),則有P(B)=10352000=207400,P(C)=5002∴該學(xué)生是女生或九年級學(xué)生的概率為P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=20711.C解析由題意可得a1=3.1,a2=3.14,a3=3.142,a4=3.1416,a5=3.14159,試驗的樣本空間為Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5)},共10個樣本點,設(shè)事件A=“ai>aj”,則A={(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5)},共3個樣本點,所以所求概率為n12.C解析若人數(shù)配比為3∶1∶1時,則有C53A33=60(種)不同安排方法;若人數(shù)配比為2∶2∶1時,則有C51C31C42=90(種若甲、乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為3∶1∶1時,則有C31A33=若甲、乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為2∶2∶1時,則有C32A33=18(種)不同安排方法,所以共有18+18=36(種)13.ABC解析依題意得P(A1)=0.15,P(A2)=0.06,P(A3)=0.04,且A0,A1,A2,A3兩兩互斥,由題可知Ω=A0∪A1∪A2∪A3,所以P(A0)=1-[P(A1)+P(A2)+P(A3)]=0.75.記事件A=“一年內(nèi)需要維修”,則A=A1∪A2∪A3,所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.15+0.06+0.04=0.25,故A正確;記事件B=“一年內(nèi)不需要維修”,則B=A0,所以P(B)=P(A0)=0.75,故B正確;記事件C=“在一年內(nèi)維修不超過1次”,則C=A0∪A1,所以P(C)=P(A0)+P(A1)=0.75+0.15=0.9,故C正確;記事件D=“一年內(nèi)最多需要維修2次”,則D=A3,所以P(D)=1-P(D)=1-P(A3)=1-0.04=0.96,故D錯誤.故選ABC.14.0.3解析由題意得P(B)=1-P(B)=0.7,AB,AB為互斥事件,即AB∩AB=?,所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=0.5,又P(B)=P(AB)+P(AB)=0.7,P(A)=P(AB)+P(AB)=0.6,所以2P(AB)+P(AB)+P(AB)=1.3,所以P(AB)=0.4,則P(AB)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3.15.ACD解析對于A,當(dāng)mn<0時,曲線C表示雙曲線,則當(dāng)m>0,n<0時,有C31·C21=6(種),當(dāng)m<0,n>0時,有C31·C21=對于B,當(dāng)m>0,n>0,m≠n時,曲線C表示橢圓,所以有A3