課時(shí)規(guī)范練67離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征1.(13分)(2024·廣東東莞模擬)某短視頻軟件經(jīng)過(guò)幾年的快速發(fā)展,深受人們的喜愛(ài),該軟件除了有娛樂(lè)屬性外,也可通過(guò)平臺(tái)推送廣告.某公司為了宣傳新產(chǎn)品,現(xiàn)有以下兩種宣傳方案:方案一:投放該平臺(tái)廣告,據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,其收益X分別為0元,20萬(wàn)元,40萬(wàn)元,且P(X=20)=0.3,期望E(X)=30.方案二:投放傳統(tǒng)廣告,據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,其收益Y分別為10萬(wàn)元,20萬(wàn)元,30萬(wàn)元,其概率依次為0.3,0.4,0.3.(1)請(qǐng)寫(xiě)出方案一的分布列,并求方差D(X);(2)請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)給出建議,該公司宣傳應(yīng)該投放哪種廣告,并說(shuō)明你的理由.2.(15分)(2024·山東濟(jì)寧一模)袋中裝有大小相同的4個(gè)紅球,2個(gè)白球.某人進(jìn)行摸球游戲,游戲規(guī)則如下:①每次從袋中摸取一個(gè)小球,若摸到紅球則放回袋中,充分?jǐn)嚢韬笤龠M(jìn)行下一次摸取;②若摸到白球或摸球次數(shù)達(dá)到4次時(shí)本輪摸球游戲結(jié)束.(1)求摸球游戲結(jié)束時(shí)摸球次數(shù)不超過(guò)3的概率;(2)若摸出1次紅球計(jì)1分,摸出1次白球記2分,求游戲結(jié)束時(shí),此人總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.3.(15分)(2024·江西南昌一模)甲公司現(xiàn)有資金200萬(wàn)元,考慮一項(xiàng)投資計(jì)劃,假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢(shì),若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好,投資有25%的收益率,若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好,投資有10%的損益率;如果不執(zhí)行該投資計(jì)劃,損失為1萬(wàn)元.現(xiàn)有兩個(gè)方案,方案一:執(zhí)行投資計(jì)劃;方案二:聘請(qǐng)投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢(shì),聘請(qǐng)費(fèi)用為5000元,若投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好,則執(zhí)行投資計(jì)劃;若投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好,則不執(zhí)行該計(jì)劃.根據(jù)以往的資料表明,投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)不一定正確,投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好,咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率是0.8;投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好,咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定,投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率是40%,經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好的概率是60%.(1)求投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率.(2)根據(jù)獲得利潤(rùn)的期望值的大小,甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個(gè)方案?說(shuō)明理由.4.(15分)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電量最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝多少臺(tái)發(fā)電機(jī)?答案：1.解(1)設(shè)P(X=0)=a,P(X=40)=b,依題意得a+b+0.3=1,①又E(X)=0×a+20×0.3+40b=30,②由①②解得a=0.1,b=0.6.∴X的分布列為X02040P0.10.30.6則D(X)=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.(2)由題得Y的分布列為Y102030P0.30.40.3則E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,D(Y)=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60.由E(X)>E(Y)可知采用平臺(tái)廣告投放期望收益較大,又D(X)>D(Y),說(shuō)明平臺(tái)廣告投放的風(fēng)險(xiǎn)較高.綜上所述,如果公司期望高收益,選擇平臺(tái)廣告;如果公司期望收益穩(wěn)定,選擇傳統(tǒng)廣告.2.解(1)設(shè)Bi=“第i次摸球時(shí)摸到紅球”(i=1,2,3,4),則由題可知P(Bi)=C4則P(Bi)=1-P(Bi)=1-設(shè)A=“摸球游戲結(jié)束時(shí),摸球次數(shù)不超過(guò)3”,則A=B1∪B1B2∪B1B2B3,事件B1、事件B1B2與事件由概率的加法公式及乘法公式,得P(A)=P(B1)+P(B1B2)+P(B1B2B3)=P(B1)+P(B1)P(B2)+P(B1)P(B2)·P(B3)=13+(2)由題可知,X的可能取值為2,3,4,5,則P(X=2)=P(B1)=13,P(X=3)=P(B1B2)=P(B1)P(B2)=23×13=29,P(X=4)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3B4)=P(B1)P(B2)P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)=23×23×13+23×23×23×23=2881,P所以X的分布列為X2345P12288所以E(X)=2×13+3×29+43.解(1)記事件B1=“投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好”,事件B2=“投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好”,事件A=“投資咨詢公司預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好”,則P(B1)=0.4,P(B2)=0.6,因此P(A)=P(B1A+B2A)=0.4×0.8+0.6×0.3=0.5.(2)若采取方案一,則該公司獲得的利潤(rùn)值X萬(wàn)元的分布列是X50-20P0.40.6E(X)=50×0.4-20×0.6=8;若采取方案二:設(shè)該公司獲得的利潤(rùn)值為Y萬(wàn)元,有以下情況,投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好,咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為好,Y=49.5,其發(fā)生的概率為P(B1A)=0.4×0.8=0.32,投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好,咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為不好,Y=-1.5,其發(fā)生的概率為P(B1A)=0.4×0.2=0.08,投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好,咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為好,Y=-20.5,其發(fā)生的概率為P(B2A)=0.6×0.3=0.18,投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好,咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為不好,Y=-1.5,其發(fā)生的概率為P(B2A)=0.6×0.7=0.42,因此,隨機(jī)變量Y的分布列為Y-20.5-1.549.5P0.180.50.32因此E(Y)=-20.5×0.18-1.5×0.5+49.5×0.32=-3.69-0.75+15.84=11.4,因?yàn)镋(X)<E(Y),所以甲公司應(yīng)該選擇方案二.4.解(1)依題意可得,P1=P(40<X<80)=1050=0.2,P2=P(80≤X≤120)=3550=0.7,P3=P(X>120)=550=記事件A=“在未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120”,所以P(A)=C40(1-P3)4+C41(1-P3)3P(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位:萬(wàn)元),①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40,所以一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5000,且E(Y)=5000×1=5000.②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī).當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=P1=0.2,當(dāng)X≥80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8.由此可得Y的分布列為Y420010000P0.20.8所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī).依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=P1=0.2;當(dāng)80≤X≤120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2-800=9200,此時(shí)P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=P2=0.7,當(dāng)X>120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=P3=0.1,由此可得Y的分布列為Y3400920015000P0.20.70.1所以E(Y)=3