第三章量子力學中的力學量§3-1算符及其運算規(guī)則§3-7展開假定§3-2厄米算符的本征問題§3-8不確定關(guān)系§3-3坐標算符和動量算符§3-9電子在庫侖場中的運動§3-4角動量算符§3-10氫原子問題§3-5共同完備本征函數(shù)系力學量完全集§3-11力學量平均值隨時間的變化守恒定律§3-6力學量的平均值

§3-1算符及其運算規(guī)則知識點教學目標算符假設(shè)共軛算符厄米算符算符對易關(guān)系能描述算符假設(shè)（量子力學的第三個基本假設(shè)）。領(lǐng)會厄米算符的意義。牢記量子力學基本對易關(guān)系。能計算簡單的對易關(guān)系。本節(jié)內(nèi)容1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系算符概念若某一運算將函數(shù)u變?yōu)楹瘮?shù)v，記為。符號稱為算符。算符表示對波函數(shù)的一種運算或者操作。線性算符算符假設(shè)（量子力學的第三個基本假設(shè)）例如量子力學中的可觀測量（力學量或物理量，如坐標、動量和能量等）與相應的算符相對應，而且對應的算符都是線性算符。力學量的取值由相應算符滿足的本征方程的解來決定。1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系單位算符對任意波函數(shù)，總有，則稱為單位算符。性質(zhì)：任意波函數(shù)皆為單位算符的本征態(tài)，且本征值為1。算符之和對任意波函數(shù)，總有，則稱算符為算符和算符之和，記為。性質(zhì)交換律結(jié)合律1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系算符之積對任意波函數(shù)，總有，則稱算符為算符和算符之積，記為。性質(zhì)：一般情況下逆算符設(shè)，，則稱算符和算符互為逆算符。性質(zhì)：滿足只有當算符的本征值都不為零時才存在逆算符。1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系算符的共軛對任意的波函數(shù)

、和算符，令若算符與之間滿足，即則算符與互為共軛。1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系厄米算符若算符等于其共軛，即或稱算符為厄米算符或自共軛算符。意義量子力學中可觀測量對應的算符都是厄米算符。1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系例1.求常數(shù)算符的共軛。即結(jié)論：常數(shù)算符的共軛等于其復共軛。例2.求微分算符的共軛。對束縛態(tài)，=01算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系所以結(jié)論：動量算符是厄米算符。由此得1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系例3.證明：。推廣例4.求算符的共軛。結(jié)論：角動量算符是厄米算符。1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系算符的函數(shù)任意的函數(shù)在0點可以作展開類似地，算符的函數(shù)也可以作展開例如若算符的本征方程為，則例如，若，則ABCD提交10-1以下公式中正確的是單選題1分稱為算符和的對易關(guān)系或?qū)σ鬃印?算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系對易關(guān)系引入符號若，稱算符、對易或可交換。若，稱算符、不對易或不可交換。例如反對易關(guān)系即1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系量子力學基本對易關(guān)系對于任意的狀態(tài)，有稱為海森堡對易關(guān)系，它是量子力學最基本的對易關(guān)系。同理1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系例5.計算對易關(guān)系。1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系對易關(guān)系代數(shù)的運算規(guī)則例6.計算。利用例5結(jié)果，也可以求得1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系坐標、動量算符之間的對易關(guān)系動量、角動量算符之間的對易關(guān)系例7.計算。例8.計算。1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系引入：反對稱三階張量，其定義為統(tǒng)一表述例9.計算。1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系例11.計算。坐標、角動量算符之間的對易關(guān)系例10.計算。統(tǒng)一表述統(tǒng)一表述1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系例12.計算。角動量算符各分量之間的對易關(guān)系由此可得1算符假設(shè)2算符的運算規(guī)則3算符的對易關(guān)系例