§3-4角動(dòng)量算符知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)角動(dòng)量平方算符的本征值和本征函數(shù)角動(dòng)量z分量算符的本征值和本征函數(shù)

能推證角動(dòng)量z分量算符的本征值和本征函數(shù)。牢記角動(dòng)量平方算符的本征值和本征函數(shù)的特征。知道角動(dòng)量平方算符和角動(dòng)量z分量算符本征函數(shù)的關(guān)系。本節(jié)內(nèi)容1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題軌道角動(dòng)量表征體系轉(zhuǎn)動(dòng)性質(zhì)的重要物理量。對(duì)中心力場(chǎng)尤為重要。軌道角動(dòng)量算符的定義如果粒子圍繞z軸旋轉(zhuǎn)，只有φ改變1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題表達(dá)式的推導(dǎo)練習(xí)：其他公式推導(dǎo)。1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題的本征問題把波函數(shù)歸一化周期性條件本征值，稱為磁量子數(shù)本征函數(shù)1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題的本征問題分離變量

在區(qū)間內(nèi)有限（參閱曾謹(jǐn)嚴(yán)《量子力學(xué)教程》）1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題方程的解球諧函數(shù)滿足的正交歸一化條件連帶勒讓德多項(xiàng)式歸一化常數(shù)球諧函數(shù)1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題軌道角動(dòng)量量子數(shù)本征值和本征函數(shù)前幾個(gè)球諧函數(shù)軌道磁量子數(shù)1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題討論量子數(shù)l

的意義

l

表示軌道角動(dòng)量大小。本征函數(shù)是算符與的共同本征態(tài)

l=0,1,2,…，取值量子化。

l=0,1,2,…對(duì)應(yīng)的態(tài)分別為s,p,d,…。

1角動(dòng)量算符2角動(dòng)量算符的本征問題本征值的簡(jiǎn)并度m表示軌道角動(dòng)量在z軸上分量的大小。量子數(shù)m的意義m=0,±1,±2,…,±l，取值量子化，或者的空間指向量子化。因?yàn)閘一定時(shí)，m可取2l+1個(gè)不同的值，所以本征值的簡(jiǎn)并度為ABCD提交12-1以下關(guān)于角動(dòng)量算符、說(shuō)法錯(cuò)誤的是算符的本征值為，且取值量子化。算符的本征值為，且取值量子化。算符與有共同的本征函數(shù)。算符的本征值不簡(jiǎn)并。單選題1分§3-5共同完備本征函數(shù)系力學(xué)量完全集知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)共同完備本征函數(shù)系力學(xué)量完全集知道算符對(duì)易與共同本征函數(shù)系的關(guān)系。領(lǐng)會(huì)兩個(gè)力學(xué)量算符相互對(duì)易的物理意義。理解力學(xué)量完全集的含義。本節(jié)內(nèi)容1共同完備本征函數(shù)系2力學(xué)量完全集因?yàn)?共同完備本征函數(shù)系2

力學(xué)量完全集當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)算符相互對(duì)易時(shí)，它們才可能存在完備的共同本征函數(shù)系，或者說(shuō)，它們才可能同時(shí)取確定值。定理1：若算符與分別滿足本征方程

則必有。所以對(duì)于任意態(tài)，有因?yàn)?共同完備本征函數(shù)系2

力學(xué)量完全集定理2：若算符和對(duì)易，即，且算符滿足本征方程的解是無(wú)簡(jiǎn)并的，則也必是算符

的本征態(tài)。所以，也是算符的對(duì)應(yīng)本征值an的本征態(tài)，它與只能相差一個(gè)常數(shù)因子，即因此，也必是算符的本征態(tài)。實(shí)際上，當(dāng)算符的本征值有簡(jiǎn)并時(shí)，上述結(jié)論也是正確的，但是它們的共同本征函數(shù)系需要加以適當(dāng)選擇。在力學(xué)量完全集中，力學(xué)量的數(shù)目一般與體系的自由度數(shù)相同，但也可以大于體系的自由度數(shù)。1共同完備本征函數(shù)系2

力學(xué)量完全集前面講過角動(dòng)量算符和的本征問題：推廣：如果有N個(gè)相互對(duì)易的力學(xué)量算符能唯一地確定體系的狀態(tài)，就將這N個(gè)力學(xué)量稱為力學(xué)量完全集，或者完整力學(xué)數(shù)量組。算符的本征值簡(jiǎn)并，所以僅由量子數(shù)l無(wú)法唯一地確定其本征態(tài)。要唯一地確定其本征態(tài)，必須啟用另一個(gè)與之對(duì)易的算符。兩個(gè)相互對(duì)易的線性厄米算符、有完備的共同本征函數(shù)系，能唯一地確定體系的狀態(tài)。動(dòng)量算符、、相互對(duì)易，有共同完備的本征函數(shù)系。在態(tài)，它們同時(shí)具有確定值px、py、pz，能唯一地確定自由度為3的

自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，構(gòu)成該體系的力學(xué)量完全集。1共同完備本征函數(shù)系2

力學(xué)量完全集舉例氫原子中電子、、相互對(duì)易，它們有共同完備的本征函數(shù)系。在態(tài)中，它們同時(shí)取確定值，構(gòu)成了描述氫原子中電子軌道