§4-6線性諧振子與粒子數(shù)表象知識點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)線性諧振子的代數(shù)解法粒子數(shù)表象（數(shù)態(tài)表象）

記住產(chǎn)生算符和消滅算符的性質(zhì)。會(huì)推導(dǎo)粒子數(shù)算符的性質(zhì)。牢記產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用公式。把握線性諧振子的能量表象和粒子數(shù)表象之間的關(guān)系。初步了解量子力學(xué)的代數(shù)解法。本節(jié)內(nèi)容1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示量綱分析線性諧振子的哈密頓算符為構(gòu)造無量綱量所以產(chǎn)生算符和消滅算符（無量綱算符）消滅算符產(chǎn)生算符1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示產(chǎn)生算符和消滅算符的性質(zhì)由于，故不是厄米算符。滿足對易關(guān)系可以推出1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示

、和的對易關(guān)系同理1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示定義：粒子數(shù)算符它是厄米算符滿足對易關(guān)系粒子數(shù)算符的性質(zhì)1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示粒子數(shù)算符的本征值和本征態(tài)設(shè)

的本征方程為且因?yàn)樗郧沂堑谋菊鲬B(tài)，對應(yīng)的本征值為n-1所以又因?yàn)槭堑谋菊鲬B(tài)，對應(yīng)的本征值為n-2采用類似辦法，可得結(jié)論：的本征值及本征態(tài)分別為1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示以此類推，得是的本征態(tài)，對應(yīng)的本征值為n-k是的本征態(tài)，對應(yīng)的本征值為n+k本征值：本征態(tài)：1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示又因此所以同理即、的作用使態(tài)分別變成了、態(tài)，所以、

分別稱為消滅算符（降算符）、產(chǎn)生算符（升算符）。1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示設(shè)的最小本征值為，相應(yīng)的本征矢為，則把、、···逐次作用于

，得到的一系列本征解：即是的本征值為0的本征態(tài)，記為。本征值：本征態(tài)：1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示即也是的本征態(tài)，對應(yīng)的本征值為能量本征值能量本征態(tài)1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示基態(tài)波函數(shù)歸一化1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示激發(fā)態(tài)波函數(shù)所以下面計(jì)算因此1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示說明：實(shí)際上將矩陣取共軛就可得矩陣。算符、的矩陣表示1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示算符、的矩陣表示說明：因?yàn)樵谧陨肀硐笙?，所以均為對角矩陣?產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示算符、的矩陣表示1產(chǎn)生算符和消滅算符2粒子數(shù)算符3產(chǎn)生、消滅算符對粒子數(shù)算符本征態(tài)的作用4粒子數(shù)算符的本征解5能量本征值及本征態(tài)6粒子數(shù)表象中算符的矩陣表示例1如果的本征方程為，且，那么，波函數(shù)

和也都是的本征函數(shù)，對應(yīng)的本征值分別為

和。因?yàn)樗酝鞟BCD提交21-1若，，且