廣東省深圳市石廈中學(xué)等多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年八年級下冊數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分)1．下列人工智能APP圖標(biāo)中，是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．若a<A．a(chǎn)+1>b+1 B．a(chǎn)2>b2 3．如圖，在△ABC中，∠B=65°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于12AC為半徑畫弧，兩?。ɑ∷趫A的半徑相等）相交于MA．45° B．50° C．54．若多項(xiàng)式x2+ax+b可因式分解為(x+9)(x-6)，則a的值為（）A．-3 B．3 C．-54 D．545．如圖，直線y=-2x+2與直線y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)相交于點(diǎn)A(-1，m)，則關(guān)于×的不等式-2x+2<kx+b的解集為（）A．x>-1 B．x<-1 C．x≦-1 D．x≧-16．下面是李明同學(xué)的一次限時(shí)小練習(xí)卷，他的得分應(yīng)是（）姓名：李明班級：八(2)班得分：____判斷題（每小題20分，共100分），對的打“√”，錯的打“×”.①代數(shù)式a3，x+y②當(dāng)y≠2時(shí)，分式y(tǒng)y-③若分式|x|-3x-3④式子xy=x⑤分式a2+bA．40 B．60 C．80 D．1007．關(guān)于x的不等式組m-x<03xA．-1<m≤0 B．0≤m<1 C．8．如圖，∠EOF=60°，點(diǎn)B1在邊OE上，且OB1=433，過點(diǎn)B1作B1A1⊥OF交ON于點(diǎn)A1，以A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作等邊三角形A1B1C1；過點(diǎn)C1作OF的垂線分別交OE，OF于點(diǎn)BA．5202422023 B．(52)2023 二、填空題(共5小題，每小題3分，共15分)9．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（3，7)向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是.10．已知直角三角形的兩條邊長分別為5和12，則這個(gè)直角三角形的第三邊長為.11．如圖，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長為cm.12．一個(gè)運(yùn)算程序，若需要經(jīng)過2次運(yùn)算才能輸出結(jié)果，則x的取值范圍為.13．如圖，已知在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，AB=8.將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A'B'C'，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的動點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F'，則線段EF'最小值.三、解答題(共7小題，共61分)14．計(jì)算（1）分式化簡；3（2）因式分解x15．解不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上.

216．網(wǎng)格中每個(gè)小方格是邊長為1個(gè)單位的小正方形，△ABC位置如圖所示，且A(-（1）①畫出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C1，其中點(diǎn)A1與點(diǎn)A②若點(diǎn)P(m，n)在△ABC內(nèi)，其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為P'，直接寫出P'的坐標(biāo)(，)；（用m（2）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△A2B2C2，其中點(diǎn)A_2與點(diǎn)A對應(yīng)，點(diǎn)B217．如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC//OA交OB于點(diǎn)C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=6.（1）求證：OC=CP.（2）求PD的長度.18．春節(jié)期間引發(fā)觀影熱潮的《哪吒2》堪稱中國動畫產(chǎn)業(yè)厚積薄發(fā)的典范之作.這部現(xiàn)象級影片的成功不僅標(biāo)志著國產(chǎn)動畫電影的突破性成就，更向世界有力證明：植根于中華文化沃土的精彩故事，同樣具有打動全球觀眾的藝術(shù)魅力、為了抓住商機(jī)，某商店決定購進(jìn)“哪吒”A、B兩種手辦進(jìn)行銷售，已知購進(jìn)3個(gè)A型手辦與購進(jìn)4個(gè)B型手辦的價(jià)格相同；若購進(jìn)A型手辦3件，B型手辦2件，需要90元（1）求A、B型手辦進(jìn)價(jià)分別是每件多少元?（2）該商店決定購進(jìn)兩種手辦共60件，計(jì)劃進(jìn)貨費(fèi)用不超過1040元，且購進(jìn)A型手辦的數(shù)量不少于B型手辦的34（3）在第(2)問的條件下，若每件A型手辦的售價(jià)為50元，每件B型手辦的售價(jià)為35元.當(dāng)兩種手辦全部銷售完時(shí)，求銷售的最大利潤及最大利潤的進(jìn)貨方案。19．“換元法”是初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的一個(gè)方法.在因式分解中，我們可以將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)用字母替換，將一個(gè)復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成較為簡單熟悉的形式，達(dá)到“化繁為簡”的目的.八(1)班的幾名同學(xué)在對多項(xiàng)式(m2-3m【解法一】小欣同學(xué)給出了一種換元的思路.解：令t=m2即原式=(【解法二】小于同學(xué)給出了另一種換元的思路.解：令t=m2即原式(【解法三】小明同學(xué)給出另一種較為簡潔的換元法，稱之為平均代換。相較于上一種換元方法，平均代換保留了相同的部分，取兩個(gè)因式常數(shù)部分的平均值，構(gòu)成新元.解：∵1∴令t=m2即原式=(請你閱讀以上材料，利用“換元法”的思想，解決以下問題：（1）因式分解：(a（2）小天同學(xué)發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式(a解：原式=[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16............請你根據(jù)小天同學(xué)的思路，把上述因式分解的過程補(bǔ)充完整。（3）請直接寫出最終結(jié)果。①因式分解：(x+3)(×+4)(x+5)(x+6)-360=.②因式分解：(x2-1)(x+3)(x+5)+16=.20．旋轉(zhuǎn)是圖形的一種基本變換，通過圖形的旋轉(zhuǎn)變換，能將一些簡單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢?，并且保持對?yīng)“元素”.【問題解決】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB.（1）則點(diǎn)P與P'之間的距離為PP'=，∠APB=°(（2）在(1)的條件下，小明同學(xué)在求AB2時(shí)思路如下：如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AP，交AP延長線于H，請你根據(jù)他的思路，計(jì)算AB2=（3）【類比探究】如圖3，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1,PB=2,PC=3.求∠APB的度數(shù)?（4）【學(xué)以致用】如圖4，將△BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△BP'A'，連接PP'、A'C，記A'C與AB交于點(diǎn)D，可知BA'=BA=BC，∠A'BC=∠A'BA+∠ABC=120請你用上述思想方法，解決下列問題：如圖6，P是邊長為6的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，Q為邊BC上一點(diǎn)，連接PA、PD、PQ，則PA+PD+PQ的最小值為(直接寫出答案)

答案解析部分廣東省深圳市石廈中學(xué)等多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年八年級下冊數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分)1．下列人工智能APP圖標(biāo)中，是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】中心對稱圖形【解析】【解答】解：A不是中心對稱圖形，不符合題意；

B不是中心對稱圖形，不符合題意；

C是中心對稱圖形，符合題意；

D不是中心對稱圖形，不符合題意；故答案為：C【分析】將圖形沿某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形重合的圖形為中心對稱圖形.2．若a<A．a(chǎn)+1>b+1 B．a(chǎn)2>b2 【答案】D【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)【解析】【解答】解：A：a+1<b+1，錯誤，不符合題意；

B：a2>b2不一定成立，不符合題意.

C：故答案為：D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出答案.3．如圖，在△ABC中，∠B=65°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于12AC為半徑畫弧，兩?。ɑ∷趫A的半徑相等）相交于MA．45° B．50° C．5【答案】D【知識點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)-等邊對等角【解析】【解答】解：由題意可得：

BC垂直平分AC

∴AD=DC

∴∠C=∠DAC=30°

∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°

故答案為：D

【分析】由題意可得：BC垂直平分AC，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得AD=DC，根據(jù)等邊對等角可得∠C=∠DAC=30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出答案.4．若多項(xiàng)式x2+ax+b可因式分解為(x+9)(x-6)，則a的值為（）A．-3 B．3 C．-54 D．54【答案】C【知識點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法【解析】【解答】解：由題意可得：

(x+9)(x-6)=x2+3x-54

∴a=3，b=-54故答案為：C【分析】將(x+9)(x-6)展開，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等即可求出答案.5．如圖，直線y=-2x+2與直線y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)相交于點(diǎn)A(-1，m)，則關(guān)于×的不等式-2x+2<kx+b的解集為（）A．x>-1 B．x<-1 C．x≦-1 D．x≧-1【答案】B【知識點(diǎn)】一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系；兩一次函數(shù)圖象相交或平行問題【解析】【解答】解：∵直線y=-2x+2與直線y=kx+b相交于點(diǎn)A(-1，m)

∴-2x+2<kx+b的解集為x<-1故答案為：B【分析】當(dāng)直線y=-2x+2在直線y=kx+b下方時(shí)，有-2x+2<kx+b，結(jié)合圖象即可求出答案.6．下面是李明同學(xué)的一次限時(shí)小練習(xí)卷，他的得分應(yīng)是（）姓名：李明班級：八(2)班得分：____判斷題（每小題20分，共100分），對的打“√”，錯的打“×”.①代數(shù)式a3，x+y②當(dāng)y≠2時(shí)，分式y(tǒng)y-③若分式|x|-3x-3④式子xy=x⑤分式a2+bA．40 B．60 C．80 D．100【答案】B【知識點(diǎn)】分式的概念；分式有無意義的條件；分式的值為零的條件；分式的基本性質(zhì)；最簡分式的概念【解析】【解答】解：①代數(shù)式a3不是分式，答對

②當(dāng)y≠2時(shí)，分式y(tǒng)y-2有意義，答對

③若分式|x|-3x-3的值為0，則|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答錯

④故答案為：B【分析】根據(jù)分式的定義，分式值為0及有意義的條件，分式的性質(zhì)，最簡分式的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.7．關(guān)于x的不等式組m-x<03xA．-1<m≤0 B．0≤m<1 C．【答案】B【知識點(diǎn)】一元一次不等式組的特殊解；一元一次不等式組的含參問題【解析】【解答】解：m-x<03x-2<1+2x，解得：x>mx<3

∴不等式組的解集為：故答案為：B【分析】先求出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組的整數(shù)解，即可求出m的取值范圍.8．如圖，∠EOF=60°，點(diǎn)B1在邊OE上，且OB1=433，過點(diǎn)B1作B1A1⊥OF交ON于點(diǎn)A1，以A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作等邊三角形A1B1C1；過點(diǎn)C1作OF的垂線分別交OE，OF于點(diǎn)BA．5202422023 B．(52)2023 【答案】C【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；探索規(guī)律-圖形的遞變規(guī)律；直角三角形的兩銳角互余【解析】【解答】解：由題意可得：

在Rt△OA1B1中

∵∠EOF=60°

∴∠OA1B1=30°

∴OA1=12OB1=233

∴A1B1=3OA1=2

∵B2A2⊥OF，∠C1A1A2=30°

∴C二、填空題(共5小題，每小題3分，共15分)9．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（3，7)向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】(5，3)【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；沿著坐標(biāo)軸方向平移的點(diǎn)的坐標(biāo)特征【解析】【解答】解：由題意可得：

將點(diǎn)P（3，7)向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是(5，3)故答案為：(5，3)【分析】根據(jù)點(diǎn)的平移即可求出答案.10．已知直角三角形的兩條邊長分別為5和12，則這個(gè)直角三角形的第三邊長為.【答案】13或119【知識點(diǎn)】勾股定理【解析】【解答】解：當(dāng)12為直角邊時(shí)，第三邊長為52+122=13故答案為：13或119【分析】分情況討論，結(jié)合勾股定理即可求出答案.11．如圖，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長為cm.【答案】5【知識點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)-等邊對等角【解析】【解答】解：∵AC=BC=10，∠B=15°

∴∠BAC=∠B=15°

∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°

∴AD故答案為：5【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠BAC=∠B=15°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠ACD=∠B+∠BAC=30°，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)即可求出答案.12．一個(gè)運(yùn)算程序，若需要經(jīng)過2次運(yùn)算才能輸出結(jié)果，則x的取值范圍為.【答案】9≤x<12【知識點(diǎn)】解一元一次不等式組；列一元一次不等式組；求代數(shù)式的值-程序框圖【解析】【解答】解：由題意可得：

第一次運(yùn)算結(jié)果為：(x-3)×2<18

第二次運(yùn)算結(jié)果為[(x-3)×2-3]×2≥18

∵需要經(jīng)過2次運(yùn)算才能輸出結(jié)果

∴(x-3)×2<18故答案為：9≤x<12【分析】根據(jù)程序框圖建立不等式組，解不等式組即可求出答案.13．如圖，已知在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，AB=8.將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A'B'C'，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的動點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F'，則線段EF'最小值.【答案】2【知識點(diǎn)】三角形的面積；含30°角的直角三角形；解直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形【解析】【解答】解：連接AF，AF'，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H

在Rt△ACH中，∠C=45°

∴AH=過點(diǎn)B作BP⊥AC于點(diǎn)P，則∠ABP=90°-60°=30°

∵AB=8

∴AP=12AB=4，BP=32AB=23

∵∠C=45°

∴CP=23，BC=2BP=26

∵S△ABC=12AH·BC=12AC·BP

【分析】連接AF，AF'，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得AH=CH=22AC'，過點(diǎn)B作BP⊥AC于點(diǎn)P，則∠ABP=90°-60°=30°，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得AP=12AB=4，BP=3三、解答題(共7小題，共61分)14．計(jì)算（1）分式化簡；3（2）因式分解x【答案】（1）解：原式=3x+1x（2）解：原式=x-yx【知識點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；分式的化簡求值；因式分解-平方差公式【解析】【分析】（1）分子提公因數(shù)，分母根據(jù)完全平方公式化簡即可求出答案.

（2）提公因式，結(jié)合平方差公式即可求出答案.15．解不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上.

2【答案】解：2x-13+2≥3x2①3(x-1)≤5(x+1)【知識點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組【解析】【分析】分別求出兩個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，再將解集在數(shù)軸上表示即可.16．網(wǎng)格中每個(gè)小方格是邊長為1個(gè)單位的小正方形，△ABC位置如圖所示，且A(-（1）①畫出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C1，其中點(diǎn)A1與點(diǎn)A②若點(diǎn)P(m，n)在△ABC內(nèi)，其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為P'，直接寫出P'的坐標(biāo)(，)；（用m（2）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△A2B2C2，其中點(diǎn)A_2與點(diǎn)A對應(yīng)，點(diǎn)B2【答案】（1）n；-m（2）解：如圖，△A2B【知識點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)；作圖﹣中心對稱【解析】【解答】解：（1）①如圖，△A1B1C1即為所求

【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可求出答案.17．如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC//OA交OB于點(diǎn)C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=6.（1）求證：OC=CP.（2）求PD的長度.【答案】（1）證明：∵OP是∠AOB的角平分線

∴∠AOP=∠BOP

∵PC//OA

∴∠AOP=∠OPC

∴∠BOP=∠OPC

∴OC=CP（2）解：過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E

∵OP是∠AOB的角平分線，PD⊥OA，∠AOB=60°

∴PE=PD，∠AOP=∠BOP=30°

由（1）知OC=CP=6，∠BOP=∠OPC=30°

∵∠CPE=180°-∠PEO-∠BOP-∠OPC=30°

在Rt△CPE中，∠CPE=30°

∴CE=12CP=3

∴【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分線的概念【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線定義可得∠AOP=∠BOP，再根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠AOP=∠OPC，則∠BOP=∠OPC，再根據(jù)等角對等邊即可求出答案.

（2）過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線定義及性質(zhì)可得PE=PD，∠AOP=∠BOP=30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角之間的關(guān)系可得∠CPE=30°，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得CE，再根據(jù)勾股定理即可求出答案.18．春節(jié)期間引發(fā)觀影熱潮的《哪吒2》堪稱中國動畫產(chǎn)業(yè)厚積薄發(fā)的典范之作.這部現(xiàn)象級影片的成功不僅標(biāo)志著國產(chǎn)動畫電影的突破性成就，更向世界有力證明：植根于中華文化沃土的精彩故事，同樣具有打動全球觀眾的藝術(shù)魅力、為了抓住商機(jī)，某商店決定購進(jìn)“哪吒”A、B兩種手辦進(jìn)行銷售，已知購進(jìn)3個(gè)A型手辦與購進(jìn)4個(gè)B型手辦的價(jià)格相同；若購進(jìn)A型手辦3件，B型手辦2件，需要90元（1）求A、B型手辦進(jìn)價(jià)分別是每件多少元?（2）該商店決定購進(jìn)兩種手辦共60件，計(jì)劃進(jìn)貨費(fèi)用不超過1040元，且購進(jìn)A型手辦的數(shù)量不少于B型手辦的34（3）在第(2)問的條件下，若每件A型手辦的售價(jià)為50元，每件B型手辦的售價(jià)為35元.當(dāng)兩種手辦全部銷售完時(shí)，求銷售的最大利潤及最大利潤的進(jìn)貨方案?！敬鸢浮浚?）解：設(shè)A型手辦進(jìn)價(jià)為x元，B型手辦進(jìn)價(jià)為y元

由題意可得：3x=4y3x+2y=90，解得：x=20y（2）解：設(shè)購進(jìn)A型手辦a件，則B型手辦為(60-a)件

由題意可得：20a+1560-a≤1040a≥3460-a

解得：26≤a≤28

∴共有3種方案

A型26件，B型34件

A型27件，（3）解：由題意可得：

利潤函數(shù)為10a+1200

當(dāng)a=28時(shí)，利潤最大為1480元

∴最大利潤為1490元，對應(yīng)的進(jìn)貨方案為購進(jìn)A型28件，B型32件【知識點(diǎn)】二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題；一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題；一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用-方案問題【解析】【分析】（1）設(shè)A型手辦進(jìn)價(jià)為x元，B型手辦進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)題意建立方程組，解方程即可求出答案.

（2）設(shè)購進(jìn)A型手辦a件，則B型手辦為(60-a)件，根據(jù)題意建立不等式組，解不等式組即可求出答案.

（3）根據(jù)題意求出利潤函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.19．“換元法”是初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的一個(gè)方法.在因式分解中，我們可以將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)用字母替換，將一個(gè)復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成較為簡單熟悉的形式，達(dá)到“化繁為簡”的目的.八(1)班的幾名同學(xué)在對多項(xiàng)式(m2-3m【解法一】小欣同學(xué)給出了一種換元的思路.解：令t=m2即原式=(【解法二】小于同學(xué)給出了另一種換元的思路.解：令t=m2即原式(【解法三】小明同學(xué)給出另一種較為簡潔的換元法，稱之為平均代換。相較于上一種換元方法，平均代換保留了相同的部分，取兩個(gè)因式常數(shù)部分的平均值，構(gòu)成新元.解：∵1∴令t=m2即原式=(請你閱讀以上材料，利用“換元法”的思想，解決以下問題：（1）因式分解：(a（2）小天同學(xué)發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式(a解：原式=[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16............請你根據(jù)小天同學(xué)的思路，把上述因式分解的過程補(bǔ)充完整。（3）請直接寫出最終結(jié)果。①因式分解：(x+3)(×+4)(x+5)(x+6)-360=.②因式分解：(x2-1)(x+3)(x+5)+16=.【答案】（1）解：令t=a2+4a+1

原式=(t-5)(t+5)+25

=t2-25+25

=t2

=(a2+4a+1)2（2）解：原式=(a2+8a+7)(a2+8a+15)+16

令t=a2+8a+11

∴原式=(t-4)(t+4)+16

=t2-16+16

=t2

=(a2+8a+11)2（3）x(x+9)(x2+9x+38)；(x2+4x-1)2【知識點(diǎn)】因式分解﹣換元法【解析】【解答】解：（3）①原式=[(x+3)(x+6)][(x+4)(2+5)]-360

=(x2+9x+18)(x2+9x+20)-360

令t=x2+9x+19，

則原式=(t-1)(t+1)-360

=t2-1-360

=t2-361

=(t-19)(t+19).

=(x2+9x)(x2+9x+38)

=x(x+9)(x2+9x+38)

故答案為：x(x+9)(x2+9x+38)

②原式=(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)+16

=[(x-1)(x+5)][(x+1)(x+3)]+16

=(x2+4x-5)(x2+4x+3)+16

令t=x2+4x-1

∴原式=(t-4)(t+4)+16

=t2-16+16

=t2

=(x2+4x-1)2

故答案為：(x2+4x-1)2

【分析】（1）根據(jù)“換元法”思想進(jìn)行因式分解即可求出答案.

（2）根據(jù)“換元法”思想進(jìn)行因式分解即可求出答案.

（3）根據(jù)“換元法”思想進(jìn)行因式分解即可求出答案.20．旋轉(zhuǎn)是圖形的一種基本變換，通過圖形的旋轉(zhuǎn)變換，能將一些簡單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢茫⑶冶３謱?yīng)“元素”.【問題解決】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB.（1）則點(diǎn)P與P'之間的距離為PP'=，∠APB=°(（2）在(1)的條件下，小明同學(xué)在求AB2時(shí)思路如下：如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AP，交AP延長線于H，請你根據(jù)他的思路，計(jì)算AB2=（3）【類比探究】如圖3，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1,PB=2,PC=3.求∠APB的度數(shù)?（4）【學(xué)以致用】如圖4，將△BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△BP'A'，連接PP'、A'C，記A'C與AB交于點(diǎn)D，可知BA'=BA=BC，∠A'BC=∠A'BA+∠ABC=120請你用上述思想方法，解決下列問題：如圖6，P是邊長為6的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，Q為邊BC上一點(diǎn)，連接PA、PD、PQ，則PA+PD+PQ的最小值為(直接寫出答案)【答案】（1）3；150°（2）25+12（3）解：將△ABP繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使AB與BC重合，過點(diǎn)A作AH⊥BP，交BP的延長線于點(diǎn)H由旋轉(zhuǎn)可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB∴△BP'P為等腰直角三角形∴∠BP'P=45°在Rt△BPP'中，由勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8∴PP'2+P'C2=9，PC2=9∴PC2=PP'2+P'C2∴△PP'C為直角三角形，即∠PP'C=90°∴∠BP'C=∠BP