工程線性代數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.若\(n\)階方陣\(A\)滿足\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值為（）A.0B.1C.0或1D.23.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.04.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^{-1}\)的一個特征值為（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^2\)D.\(-\lambda\)5.若齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解，則矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)（）A.小于未知數(shù)個數(shù)B.等于未知數(shù)個數(shù)C.大于未知數(shù)個數(shù)D.不確定6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)7.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(A^3\)等于（）A.\(\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}3&3\\0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1\\0&3\end{pmatrix}\)8.設(shè)向量\(\alpha=(1,-1,2)\)，\(\beta=(2,1,0)\)，則\(\alpha\)與\(\beta\)的內(nèi)積\((\alpha,\beta)\)為（）A.0B.1C.2D.39.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A=B\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.\(A\)與\(B\)有不同的特征值D.\(A\)與\(B\)的秩不同10.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)等于（）A.4B.8C.16D.32二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于矩陣的運算中，正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)滿秩B.若\(A\)的行列式不為零，則\(A\)可逆C.若\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值，則\(A\)可對角化D.若\(A\)是實對稱矩陣，則\(A\)可正交對角化3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于\(s\)D.向量組中任意一個向量都可由其余向量線性表示4.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是（）A.\(r(A)\ltn\)B.\(r(A)\ltm\)C.\(A\)的列向量組線性相關(guān)D.\(A\)的行向量組線性相關(guān)5.以下哪些是方陣\(A\)的特征值的性質(zhì)（）A.\(A\)的所有特征值之和等于\(A\)的主對角線元素之和B.\(A\)的所有特征值之積等于\(\vertA\vert\)C.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)為常數(shù)）6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)等價，則（）A.\(r(A)=r(B)\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.存在可逆矩陣\(P\)，\(Q\)，使得\(PAQ=B\)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值7.下列關(guān)于正交矩陣的說法正確的是（）A.正交矩陣\(A\)滿足\(A^TA=E\)B.正交矩陣的行列式為\(1\)或\(-1\)C.正交矩陣的列向量組是標準正交向量組D.若\(A\)，\(B\)是正交矩陣，則\(AB\)也是正交矩陣8.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系，則（）A.\(\alpha_1,\alpha_2\)線性無關(guān)B.\(Ax=0\)的任意解都可由\(\alpha_1,\alpha_2\)線性表示C.\(\alpha_1+\alpha_2\)也是\(Ax=0\)的解D.\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\)（\(k_1,k_2\)為任意常數(shù)）是\(Ax=0\)的通解9.已知矩陣\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)，對應(yīng)的特征向量分別為\(\xi_1,\xi_2,\xi_3\)，則（）A.若\(\lambda_1\neq\lambda_2\)，則\(\xi_1\)與\(\xi_2\)線性無關(guān)B.\(A(\xi_1+\xi_2)=\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2\)C.若\(A\)可對角化，則\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)互不相同D.\(A^n\xi_i=\lambda_i^n\xi_i\)（\(i=1,2,3\)，\(n\)為正整數(shù)）10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=r\)，則（）A.\(A\)的所有\(zhòng)(r+1\)階子式都為零B.\(A\)至少有一個\(r\)階子式不為零C.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系含有\(zhòng)(n-r\)個解向量D.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解的充分必要條件是\(r(A)=r(A\vertb)\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)一定不可逆。（）2.向量組中向量個數(shù)大于向量的維數(shù)時，向量組一定線性相關(guān)。（）3.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）4.矩陣\(A\)的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。（）5.若\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\((\lambdaE-A)x=0\)有非零解。（）6.正交矩陣一定是可逆矩陣。（）7.齊次線性方程組\(Ax=0\)的解向量的任意線性組合仍然是該方程組的解向量。（）8.若矩陣\(A\)與\(B\)合同，則\(A\)與\(B\)一定相似。（）9.一個向量組的極大線性無關(guān)組是唯一的。（）10.對于\(n\)階方陣\(A\)，若\(A^2=E\)，則\(A\)的特征值只能是\(1\)和\(-1\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。2.已知向量組\(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,3,4),\alpha_3=(3,4,5)\)，求該向量組的秩。3.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。4.求解齊次線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2-x_3=0\\2x_1-x_2+3x_3=0\end{cases}\)的基礎(chǔ)解系。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論方陣\(A\)可對角化的條件，并舉例說明。2.說明矩陣的秩在解線性方程組中的作用。3.探討正交矩陣在實際問題中的應(yīng)用。4.闡述特征值和特征向量在工程技術(shù)中的意義。答案一、單項選擇題1.A2.C3.C4.B5.B6.B7.A8.B9.B10.C二、多項選擇題1.BCD2.ABCD3.ABC4.AC5.ABCD6.AC7.ABCD8.ABCD9.AD10.ABCD三、判斷題1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.×10.√四、簡答題1.先求行列式\(\vertA\vert=1×4-2×3=-2\)，伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。2.對矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}\)進行初等行變換得\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}\)，秩為2。3.特征多項式\(\vert\lambdaE-A\vert=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)\)，特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3\)。分別代入\((\lambdaE-A)x=0\)求特征向量。4.對系數(shù)矩陣\(\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&-1&3\end{pmatrix}\)初等行變換得\(\begin{pmatrix}1&0&\frac{2}{3}\\0&1&-\frac{5}{3}\end{pmatrix}\)，基礎(chǔ)解系為\(\xi=k\begin{pmatrix}-2\\5\\3\end{pmatrix}\)，\(k\)為任意非零常數(shù)。五、討論題1.方陣\(A\)可對角化的條件：有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量，或\(A\)的每個特征值的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)。例如\(A=\begin{pmatrix}1&0