高數(shù)第十章試題及答案解析

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.下列級數(shù)中，收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}1$D.$\sum_{n=1}^{\infty}n$2.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂半徑為$R$，則冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^n$的收斂半徑為（）A.$R$B.$R+2$C.$R-2$D.$2R$3.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂的必要條件是（）A.$\lim_{n\to\infty}u_n=1$B.$\lim_{n\to\infty}u_n=0$C.$\lim_{n\to\infty}u_n$不存在D.$\lim_{n\to\infty}u_n\gt0$4.設(shè)級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$發(fā)散，則$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$（）A.收斂B.發(fā)散C.不一定D.絕對收斂5.若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$絕對收斂，則該級數(shù)（）A.條件收斂B.發(fā)散C.收斂D.可能收斂可能發(fā)散6.冪級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂域為（）A.$(-1,1)$B.$[-1,1)$C.$(-1,1]$D.$[-1,1]$7.已知級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，那么下列級數(shù)一定收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+1)$B.$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}na_n$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$8.正項級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂的充要條件是（）A.部分和數(shù)列有界B.通項$u_n\to0$C.部分和數(shù)列單調(diào)遞增D.部分和數(shù)列單調(diào)遞減9.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的和函數(shù)是（）A.$\frac{1}{1-x}$，$|x|\lt1$B.$\frac{1}{1+x}$，$|x|\lt1$C.$1-x$，$|x|\lt1$D.$1+x$，$|x|\lt1$10.若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$與$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$都發(fā)散，則（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$一定發(fā)散B.$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n-v_n)$一定發(fā)散C.$\sum_{n=1}^{\infty}u_nv_n$一定發(fā)散D.以上都不對二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$2.冪級數(shù)的性質(zhì)包括（）A.冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)B.冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分C.兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可相加D.冪級數(shù)的收斂半徑一定大于03.關(guān)于級數(shù)斂散性的判別方法，正確的有（）A.比較判別法B.比值判別法C.根值判別法D.萊布尼茨判別法（針對交錯級數(shù)）4.下列說法正確的是（）A.絕對收斂的級數(shù)一定收斂B.條件收斂的級數(shù)一定發(fā)散C.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$收斂D.若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$發(fā)散，則$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$發(fā)散5.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$收斂半徑的求法有（）A.公式法（$R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，當(dāng)極限存在時）B.根值法（$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$）C.試值法D.圖像法6.正項級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂的判別方法有（）A.比較判別法B.比值判別法C.根值判別法D.積分判別法7.對于交錯級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$（$u_n\gt0$），滿足下列哪些條件時收斂（）A.$u_n\gequ_{n+1}$（$n=1,2,\cdots$）B.$\lim_{n\to\infty}u_n=0$C.$u_n$單調(diào)遞增D.$u_n$無界8.下列冪級數(shù)中，收斂半徑為1的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}x^n$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$9.若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，則（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n+1}$收斂B.$\sum_{n=1}^{\infty}ku_n$（$k$為非零常數(shù)）收斂C.$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n)^2$收斂D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{n}$收斂10.關(guān)于級數(shù)和函數(shù)，正確的是（）A.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)B.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)的冪級數(shù)收斂半徑不變C.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積，積分后的冪級數(shù)收斂半徑不變D.求冪級數(shù)的和函數(shù)只能用已知的冪級數(shù)展開式來推導(dǎo)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若$\lim_{n\to\infty}u_n=0$，則級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$一定收斂。（）2.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂半徑為$R$，則在區(qū)間$(-R,R)$內(nèi)一定絕對收斂。（）3.正項級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$與$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$，若$u_n\leqv_n$，且$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂。（）4.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$收斂。（）5.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在其收斂區(qū)間端點(diǎn)處一定發(fā)散。（）6.若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$絕對收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$收斂。（）7.用比值判別法判斷級數(shù)斂散性時，若$\lim_{n\to\infty}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=1$，則級數(shù)一定收斂。（）8.交錯級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$（$u_n\gt0$），只要$u_n\to0$就一定收斂。（）9.兩個收斂級數(shù)相減得到的級數(shù)一定收斂。（）10.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的和函數(shù)為$\frac{1}{1-x}$，$x\inR$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述級數(shù)收斂的必要條件，并舉例說明不滿足該條件則級數(shù)發(fā)散。答案：級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂的必要條件是$\lim_{n\to\infty}u_n=0$。例如$\sum_{n=1}^{\infty}n$，$\lim_{n\to\infty}n\neq0$，所以該級數(shù)發(fā)散。2.求冪級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂半徑和收斂域。答案：由公式$R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，這里$a_n=\frac{1}{n}$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$，則$R=1$。當(dāng)$x=1$時，級數(shù)為$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$發(fā)散；當(dāng)$x=-1$時，級數(shù)為$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$收斂，所以收斂域為$[-1,1)$。3.用比較判別法判斷級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$的斂散性。答案：因為$\frac{1}{n^2+1}\lt\frac{1}{n^2}$，而級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收斂（$p=2\gt1$的$p-$級數(shù)），根據(jù)比較判別法，小的收斂大的收斂，所以$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$收斂。4.簡述絕對收斂與條件收斂的區(qū)別。答案：若$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$絕對收斂；若$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$發(fā)散，但$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$條件收斂。絕對收斂的級數(shù)一定收斂，條件收斂是收斂但不絕對收斂。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}$（$p\gt0$）的斂散性。答案：當(dāng)$p\gt1$時，$\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^n}{n^p}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收斂，原級數(shù)絕對收斂；當(dāng)$0\ltp\leq1$時，$u_n=\frac{1}{n^p}$單調(diào)遞減且$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=0$，由萊布尼茨判別法，原級數(shù)收斂，但$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂。2.討論冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n$在$x=3$處收斂，在$x=4$處發(fā)散，求其收斂半徑和收斂區(qū)間。答案：因為冪級數(shù)在$x=3$處收斂，在$x=4$處發(fā)散，所以收斂半徑$R$滿足$R\geq|3-1|=2$且$R\leq|4-1|=3$，即$R=2$。收斂區(qū)間為$(1-2,1+2)$，即$(-1,3)$。3.討論正項級數(shù)斂散性判別方法的適用情況。答案：比較判別法適用于通項與已知斂散性級數(shù)通項有大小關(guān)系的；比值判別法適用于通項含階乘、指數(shù)形式；根值判別法適用于通項含$n$次冪形式；積分判別法適用于通項可看作某個函數(shù)值且該函數(shù)在$[1,+\infty)$有良好性質(zhì)的情況。4.討論如何利用已知冪級數(shù)展開式求其他冪級數(shù)的和函數(shù)。答案：先將目標(biāo)冪級數(shù)通過變形（如變量代換、求導(dǎo)、積分等）轉(zhuǎn)化為已知展開式的形式，再利